1010 Rúmfræði

10.7 Rúmmál og yfirborðsflatarmál

Þrívíð grunnmynd. — **Mynd 10.123.** Rúmmál birtist í þessari þrívíðu mynd af innra rými og gefur kaupanda raunsærri hugmynd um rýmið. (mynd: „beam render 10 with sun and cat tree“ eftir monkeywing/Flickr, CC BY 2.0)

Námsmarkmið

Eftir að hafa lokið þessum hluta átt þú að geta:

Reiknað yfirborðsflatarmál réttra strendinga og sívalninga.
Reiknað rúmmál réttra strendinga og sívalninga.
Leyst hagnýt dæmi um yfirborðsflatarmál og rúmmál.

Rúmmál og yfirborðsflatarmál eru mælistærðir sem tengjast daglegu lífi. Við notum rúmmál á hverjum degi, til dæmis við verðlagningu matvöru. Mat á málningarmagni eða hve marga ferfeta af klæðningu þarf byggist á yfirborðsflatarmáli. Þrívíð teikning grunnmyndar er annað dæmi; hún auðveldar viðskiptavini að skilja skipulag byggingar og sjá fyrir sér fullgerða vöru og rými herbergjanna. Þessi hluti veitir hagnýta þekkingu sem nýtist aftur og aftur. Þótt þú munir ekki allar formúlurnar muntu muna hugtökin og vita hvert á að leita þegar reikna þarf rúmmál eða yfirborðsflatarmál.

Við einbeitum okkur að nokkrum gerðum þrívíðra hluta: réttum strendingum og réttum sívalningum. Lýsingarorðið „réttur“ merkir að hliðarflötur myndi rétt horn við grunnflöt. Við skoðum rétthyrnda, þríhyrnda, sexhyrnda og átthyrnda rétta strendinga og rétta sívalninga, en meginreglurnar gilda um alla rétta strendinga.

Þrívíðir hlutir

Í rúmfræði kallast þrívíðir hlutir rúmfræðilegir hlutir. Yfirborðsflatarmál er samanlagt flatarmál flatanna sem umlykja hlutinn og er mælt í ferningseiningum. Rúmmál er rýmið innan hlutarins og er mælt í rúmeiningum. Hugsaðu þér flatan ferning með breidd og lengd. Þriðja víddin bætir við dýpt eða hæð og úr verður kassi. Í þrívíðu rétthyrndu hnitakerfi gefa $x$ -ásinn og $y$ -ásinn tvær víddir fyrir tvívíð gröf og form. Þegar $z$ -ásnum er bætt við hornréttum á $x y$ -sléttuna gegnum upphafspunktinn fæst þriðja víddin. Sjá mynd 10.124.

Rétthyrndur strendingur í xyz-hnitakerfi, myndaður með því að tengja tvær ferningssléttur. — **Mynd 10.124.** Þrívítt rúm

Hér er önnur sýn á hvernig tvívíður ferningur verður þrívíður. Sjá mynd 10.125.

Ör liggur frá ferningi að teningi. Ferningurinn er merktur tvær víddir og teningurinn þrjár víddir. — **Mynd 10.125.** Frá tveimur víddum í þrjár

Til að rannsaka þrívíða hluti þurfum við formúlur fyrir yfirborðsflatarmál og rúmmál. Ef þú vilt til dæmis klæða kassa með loki (mynd 10.126) í skrautpappír þarftu yfirborðsflatarmálið til að reikna pappírsmagnið. Ef finna á hve mikið vatn fyllir sundlaug þarf að reikna rúmmál hennar. Þetta eru aðeins tvö dæmi um notagildi hugtakanna og formúlurnar gera okkur kleift að beita þeim á rétta strendinga og sívalninga.

Rétthyrndur strendingur með lengd, breidd og hæð merktar l, w og h.

Réttir strendingar

Réttur strendingur er sérstök gerð þrívíðs hlutar. Hann hefur marghyrndan grunnflöt og einslaga reglulegan marghyrning sem toppflöt, tengda með hæð hliðarflatanna eins og á mynd 10.127. Hliðarflatirnir mynda rétt horn við grunn- og toppflötinn. Til eru meðal annars rétthyrndir, sexhyrndir, átthyrndir og þríhyrndir strendingar.

Fimmhyrndur strendingur með fimmhyrndan topp- og grunnflöt og merktum hliðarflötum. — **Mynd 10.127.** Fimmhyrndur strendingur

Yfirborðsflatarmál fæst almennt með því að finna flatarmál hvers flatar hlutarins og leggja þau saman. Rúmmál er stærð rýmisins innan rúmhlutarins sem fletir hans afmarka.

Dæmi 10.56

Að reikna yfirborðsflatarmál og rúmmál rétthyrnds strendings

Finndu yfirborðsflatarmál og rúmmál rétthyrnds strendings sem er 10 cm á breidd, 5 cm á lengd og 3 cm á hæð (mynd 10.128).

Rétthyrndur strendingur með lengd l = 5 cm, breidd w = 10 cm og hæð h = 3 cm. — **Mynd 10.128.** Mynd 10.128

Lausn

Yfirborðsflatarmálið er $S A = 2 (10) (5) + 2 (5) (3) + 2 (10) (3) = 190 {cm}^{2} .$

Rúmmálið er $V = 10 (5) (3) = 150 {cm}^{3} .$

Á mynd 10.129 eru þrjár sýnir af réttum sexhyrndum strendingi. Reglulegi sexhyrningurinn er grunn- og toppflötur og hliðarflatirnir rétthyrningar hornréttir á grunnflötinn. Strendingurinn kallast réttur því hornið milli hliðarflata og grunnflatar er $90^{\circ} .$ Sjá mynd 10.127.

Þrjár sýnir af réttum sexhyrndum strendingi. Framsýn sýnir hæð h = 20 cm og hverja hlið sexhyrnings S = 6 cm. Ofansýn sýnir hverja hlið S = 6 cm og inngeisla a = 5,2 cm. Þrívíða sýnin sýnir hæð h = 20 cm og hverja hlið S = 6 cm. — **Mynd 10.129.** Réttur sexhyrndur strendingur

Fyrsta myndin sýnir hlutinn beint framan frá, miðmyndin grunn- eða toppflötinn og sú síðasta rúmhlutinn í þremur víddum. Til að reikna yfirborðsflatarmál strendingsins á mynd 10.129 finnum við fyrst flatarmál sexhyrnda grunnflatarins og tvöföldum það og bætum síðan við ummáli grunnflatar margfölduðu með hæðinni. Flatarmál reglulegs marghyrnings er $A = \frac{1}{2} a p,$ þar sem $a$ er inngeislinn og $p$ er ummálið. Þá fæst

A_{b a s e} = \frac{1}{2} (5.2) (36) = 93.6 {cm}^{2}

Yfirborðsflatarmál sexhyrnda strendingsins er síðan

S A = 2 (93.6) + 36 (20) = 907.2 ″^{2}

Rúmmál rétta sexhyrnda strendingsins fæst með formúlunni $V = B h .$ Grunnflatarmálið er $93.6 {cm}^{2},$ og hæðin 20 $cm$ . Þá er

V = 93.6 (20) = 1872 {cm}^{3} .

Dæmi 10.57

Að reikna yfirborðsflatarmál rétts þríhyrnds strendings

Finndu yfirborðsflatarmál þríhyrnda strendingsins (mynd 10.130).

Réttur þríhyrndur strendingur. Hliðar þríhyrningsins eru l = 8,49 tommur, l = 8,49 tommur og l = 12 tommur. Hæð þríhyrningsins er h = 6 tommur og lengd strendingsins w = 10 tommur. — **Mynd 10.130.** Mynd 10.130

Lausn

Flatarmál þríhyrnda grunnflatarins er $A_{b a s e} = \frac{1}{2} (12) (6) = 36 ″^{2}$ . Ummál grunnflatarins er $p = 12 + 8.49 + 8.49 = 28.98 ″ .$ Yfirborðsflatarmál þríhyrnda strendingsins er því $S A = 2 (36) + 28.98 (10) = 361.8 ″^{2} .$

Dæmi 10.58

Að finna yfirborðsflatarmál og rúmmál

Finndu yfirborðsflatarmál og rúmmál rétta þríhyrnda strendingsins með jafnhliða þríhyrning sem grunnflöt (mynd 10.131).

Réttur þríhyrndur strendingur. Hlið þríhyrningsins er l = 12 cm, hæð þríhyrningsins h = 10,39 cm og hæð strendingsins h = 10 cm. — **Mynd 10.131.** Mynd 10.131

Lausn

Flatarmál þríhyrnda grunnflatarins er $A_{b a s e} = \frac{1}{2} (6) (10.39) = 31.17 {cm}^{2}$ . Yfirborðsflatarmálið er síðan $S A = 2 (31.17) + 36 (10) = 422.34 {cm}^{2} .$

Rúmmálið fæst með því að margfalda flatarmál grunnflatar með hæð: $V = B \cdot h = (31.17) (10) = 311.7 {cm}^{3} .$

Dæmi 10.59

Hagnýtt dæmi um yfirborðsflatarmál

Katherine og Romano byggðu gróðurhús úr gleri með málmþaki (mynd 10.132). Til að ákvarða hita- og kæliþörf þarf að þekkja yfirborðsflatarmálið. Reiknaðu heildaryfirborðsflatarmál gróðurhússins.

Gróðurhús í lögun þríhyrnds strendings ofan á rétthyrndum strendingi. Rétthyrndi hlutinn er 95 fet á lengd, 22 fet á breidd og 6,5 fet á hæð. Heildarhæðin er 11,5 fet. Skáhliðar þríhyrningsins eru 12,1 fet, grunnlínan 22 fet og lengd þríhyrnda strendingsins 95 fet. — **Mynd 10.132.** Mynd 10.132

Lausn

Flatarmál langhliðar er $95 ft \times 6.5 ft = 1,235 {ft}^{2} .$ Tvöföldun gefur $2,470 {ft}^{2} .$ Framhliðin án þríhyrningsins er $22 ft \times 6.5 ft = 286 {ft}^{2} .$ Tvöföldun gefur $572 {ft}^{2} .$ Gólfið er $95 ft \times 22 ft = 2,090 {ft}^{2} .$ Hvert þríhyrnda svæði er $A = \frac{1}{2} (22) (5) = 55 {ft}^{2} .$ Tvöföldun gefur $110 {ft}^{2} .$ Annar þakflöturinn er $12.1 ft \times 95 ft = 1,149.5 {ft}^{2} .$ Tvöföldun gefur $2299 {ft}^{2} .$ Samanlagt er $S A = 2,470 + 572 + 2,090 + 110 + 2,299 = 7,541 {ft}^{2} .$

Réttir sívalningar

Strendingar og sívalningar hafa ýmislegt sameiginlegt. Strendingur hefur samsíða einslaga marghyrninga sem topp- og grunnflöt en réttur sívalningur hefur samsíða einslaga hringi. Hliðarflötur rétts strendings myndar $90^{\circ}$ horn við grunnflötinn og hliðarflötur sívalnings myndar $90^{\circ}$ horn við hringlaga grunnflötinn.

Réttir sívalningar eru algengir í daglegu lífi, til dæmis súpu-, safa- og gosdósir, rör og loftslöngur.

Á mynd 10.133 skaltu ímynda þér að sívalningurinn sé skorinn eftir 12 tommu hliðinni og rúllað út. Hliðarflöturinn verður þá rétthyrningur. Formúlan fyrir $S A$ tekur til hringlaga grunn- og toppflatarins og rétthyrnda hliðarflatarins. Lengd rétthyrningsins er ummál grunnflatarins og þannig fæst heildaryfirborðsflatarmálið.

Tvær sýnir af réttum sívalningi. Ofansýn sýnir geisla r = 5 tommur. Framsýn sýnir hæð sívalningsins 12 tommur. — **Mynd 10.133.** Réttur sívalningur

Rúmmál sívalnings fæst með því að margfalda flatarmál grunnflatar með hæð.

Dæmi 10.60

Að finna yfirborðsflatarmál og rúmmál sívalnings

Finndu yfirborðsflatarmál og rúmmál sívalningsins á mynd 10.133 sem hefur 5 tommu geisla og 12 tommu hæð.

Lausn

Skref 1: Byrjum á grunn- og toppfletinum. Flatarmál hringlaga grunnflatarins er

A_{b a s e} = π {(5)}^{2} = 25 π = 78.5 ″^{2} .

Skref 2: Grunn- og toppflöturinn eru einslaga samsíða fletir. Samanlagt flatarmál þeirra er

A = 2 (78.5) = 157 ″^{2} .

Skref 3: Flatarmál rétthyrnda hliðarflatarins er ummál grunnflatar margfaldað með hæð:

A = 2 π (5) (12) = 377 ″^{2}

Skref 4: Leggjum flatarmál hliðarflatarins við flatarmál grunn- og toppflatar til að fá heildaryfirborðsflatarmálið:

S A = 157 + 377 = 534 ″^{2}

Skref 5: Rúmmálið er flatarmál grunnflatar margfaldað með hæð. Þá er

V = π {(5)}^{2} (12) = 942.48 ″^{3} .

Notkun yfirborðsflatarmáls og rúmmáls

Eftirfarandi eru aðeins fáein dæmi um verkefni þar sem yfirborðsflatarmál og rúmmál skipta sköpum. Með smá umhugsun finnurðu miklu fleiri hagnýt not.

Dæmi 10.61

Að beita rúmmálsútreikningi

Dós með eplabökufyllingu hefur 4 cm geisla og 10 cm hæð. Hve margar dósir þarf til að fylla bökumót (mynd 10.134) með 22 cm þvermál og 3 cm dýpt?

Bökumót með þvermál 22 cm og hæð 3 cm. — **Mynd 10.134.** Mynd 10.134

Lausn

Rúmmál dósarinnar er $V = π {(4)}^{2} (10) = 502.7 {cm}^{3} .$ Rúmmál mótsins er $V = π {(11)}^{2} (3) = 1140.4 {cm}^{3} .$ Til að finna dósafjöldann deilum við rúmmáli mótsins með rúmmáli dósar: $1140 \div 502.7 = 2.3.$ Það þarf því 2,3 dósir til að fylla mótið.

Bestun

Bestunarverkefni leita að bestu lausn við gefnar aðstæður. Oft er stærðfræðigreining notuð en mörg rúmfræðileg verkefni má leysa með aðferðunum úr þessum hluta. Ef þú vilt sauma sem stærsta púða úr takmörkuðu efni þarftu að finna mál púðanna sem uppfylla skilyrðin. Ef girða á sem stærstan matjurtagarð með takmarkaðri girðingu þarf að ákvarða lögun hans og stærð. Markmiðið gæti verið mesta rúmmál, minnsta yfirborðsflatarmál eða lægsti kostnaður. Skoðum nokkur dæmi.

Dæmi 10.62

Að hámarka flatarmál

Þú hefur 150 metra af girðingu til að afmarka gerði á búgarði. Hvaða lögun gefur mesta mögulega flatarmál?

Lausn

Skoðum smærra dæmi. Þú hefur 30 tommu band og prófar ólík form. Rétthyrningurinn á mynd 10.135 er 12 tommur á lengd og 3 tommur á breidd. Ummálið er $P = 2 (12) + 2 (3) = 30 ″$ og flatarmálið $A = 3 (12) = 36 ″^{2} .$ Annar rétthyrningur á mynd 10.135 er 8 tommur á lengd og 7 tommur á breidd. Ummálið er $P = 2 (8) + 2 (7) = 30 ″$ og flatarmálið $A = 8 (7) = 56 ″^{2} .$ Á mynd 10.135 hefur ferningurinn 7,5 tommu hliðar. Ummálið er $P = 4 (7.5) = 30 ″$ og flatarmálið $A = 7.5 (7.5) = 56.25 ″^{2} .$ Fyrir hringlaga gerði á mynd 10.135 er ummálið $30 = 2 π r,$ sem gefur geislann $30 \div 2 π = 4.77 ″$ og flatarmálið $A = π {(4.77)}^{2} = 71.5 ″^{2} .$

Fjögur form: a. rétthyrningur 12 tommur á lengd og 3 tommur á breidd; b. rétthyrningur 8 tommur á lengd og 7 tommur á breidd; c. ferningur með 7,5 tommu hliðar; d. hringur með geisla r = 4,77 tommur. — **Mynd 10.135.** Mynd 10.135

Hringurinn gefur mesta flatarmálið miðað við 30 tommu ummál. Hringlaga gerði með 150 metra ummál og 23,87 metra geisla gefur mesta flatarmálið, $1,790.5 m^{2} .$

Dæmi 10.63

Hönnun með kostnað í huga

Þú ætlar að hanna trékassa í lögun rétthyrnds strendings (mynd 10.136). Rúmmálið verður að vera 3 rúmmetrar og viðurinn kostar 15 dali á fermetra. Hvaða mál gefa hagkvæmustu hönnunina með tilskildu rúmmáli?

Kassi í lögun rétthyrnds strendings með lengd, breidd og hæð 1,44 metra. — **Mynd 10.136.** Mynd 10.136

Lausn

Til að velja bestu lögun kassans má prófa mismunandi mál sem rúma 3 rúmmetra. Líkt og ferningur gefur stærsta rétthyrnda flatarmálið fyrir gefið ummál gefur teningur mesta rúmmál og minnsta yfirborðsflatarmál fyrir gefna stærð.

Þar sem allar sex hliðar eru jafnar má nota einfaldaða rúmmálsformúlu:

𝑉=𝑠3, $V = s^{3},$

þar sem $s$ er hliðarlengdin. Til að finna hana tökum við teningsrót rúmmálsins.

Þá fæst

3=𝑠33√3=𝑠=1.4422m $\begin{matrix} 3 & = & s^{3} \\ \sqrt[3]{3} & = & s \\ = & 1.4422 m \end{matrix}$

Yfirborðsflatarmálið er summa flatanna sex. Flatarmál eins flatar er $A = {(1.4422)}^{2} = 2.08 m^{2} .$ Yfirborðsflatarmál kassans er því $S A = 6 (2.08) = 12.5 m^{2}$ . Við 15 dali á fermetra verður kostnaðurinn $12.5 ($ 15) = $ 187.50.$ Athugun á rúmmáli gefur $V = {(1.4422)}^{3} = 2.99 m^{3}$ .

Athugaðu skilning þinn

Finndu yfirborðsflatarmál jafnhliða þríhyrnda strendingsins á myndinni.

Jafnhliða þríhyrndur strendingur. Hliðar þríhyrningsins eru 10 cm, hæð hans 8,66 cm og lengd strendingsins 10 cm.

Finndu yfirborðsflatarmál átthyrnda strendingsins á myndinni.

Átthyrndur strendingur. Hver hlið átthyrningsins er 4 tommur, hæð strendingsins h = 8 tommur og inngeislinn a = 5 tommur.

Finndu rúmmál átthyrnda strendingsins þar sem inngeislinn er

5\,\text{in},

hliðarlengdin

4\,\text{in},

og hæðin

8\,\text{in}.

Finndu yfirborðsflatarmál rétta sívalningsins þar sem geisli grunnflatar er

10\,\text{cm}

og hæðin

5\,\text{cm}

Finndu rúmmál sívalningsins þar sem geisli grunnflatar er

10\,\text{cm}

og hæðin

5\,\text{cm}

Þú ert myndlistarmaður og ætlar að hanna sívalt ílát undir litblýanta og rétthyrnt ílát undir önnur verkfæri. Sívala ílátið verður 8 tommur á hæð og 6 tommur í þvermál. Rétthyrnda ílátið er 10 tommur á breidd, 8 tommur á dýpt og 4 tommur á hæð og hefur lok. Þú ætlar að vefja bæði í mynstraðan pappír. Hve mikinn pappír þarftu?

Sívalningur og strendingur. Sívalningurinn hefur 6 tommu þvermál og 8 tommu hæð. Rétthyrndi strendingurinn er 10 tommur á lengd, 8 tommur á breidd og 4 tommur á hæð.

Æfingar úr hluta 10.7

Finndu rúmmál rétta þríhyrnda strendingsins þar sem skammhliðar grunnflatarins eru 10 m og langhliðin

10\sqrt 2

og hæð eða lengd strendingsins er 15 m.

Réttur þríhyrndur strendingur. Skammhliðar þríhyrningsins eru 10 m hvor, langhliðin 10√2 og lengd strendingsins 15 m.

Finndu yfirborðsflatarmál rétta þríhyrnda strendingsins í æfingu 1 með 10 m skammhliðar á grunnfletinum og 15 m hæð.

Finndu yfirborðsflatarmál rétta trapisustrendingsins með hlið

{\text{a = }}5\,{\text{cm}}

, hlið

{\text{b = }}{\text{12}}\,{\text{cm}}

, 10 cm hæð trapisu, 12 cm skáhlið og 24 cm lengd strendings.

Réttur trapisustrendingur. Grunnlínur trapisunnar eru a og b, skáhliðarnar 12 cm, hæð trapisunnar h = 10 og lengd strendingsins 24 cm.

Finndu rúmmál trapisustrendingsins að ofan þar sem grunn- og toppflöturinn hafa hliðina

a = 5\,\text{cm}

, hliðina

b = 12\,\text{cm}

, skáhliðarnar eru hvor um sig

12\,\text{cm}

, hæð trapisulaga grunnflatarins er

10\,\text{cm}

. Hæð eða lengd rúmhlutarins er

24\,\text{cm}

Finndu yfirborðsflatarmál átthyrnda strendingsins. Grunn- og toppflöturinn eru reglulegir átthyrningar með 10 m inngeisla, 12 m hliðarlengd og 30 m hæð strendings.

Tvær sýnir af átthyrndum strendingi. Í fyrri sýn er hæð strendingsins 30 m og hliðar átthyrningsins 12 m. Í síðari sýn er inngeislinn 10 m og hliðarnar 12 m.

Finndu rúmmál rétta átthyrnda strendingsins með 10 m inngeisla, 12 m hliðarlengd grunnflatar og 30 m hæð.

Þú ætlar að mála stofuna og þarft yfirborðsflatarmál veggjanna fjögurra og loftsins. Herbergið er 20 fet á lengd, 14 fet á breidd og lofthæðin 8 fet.

Finndu yfirborðsflatarmál hvers rétts sívalnings í eftirfarandi æfingum.

𝑟 =6 cm, ℎ =5 cm

r = 6\,\text{cm},\,h = 5\,\text{cm}

𝑟 =9 cm, ℎ =15 cm

r = 9\,\text{cm},\,h = 15\,\text{cm}

10.

𝑟 =12.2 ″ , ℎ =30 ″

r = 12.2\,\text{in},\,h = 30\,\text{in}

11.

𝑟 =3.4 m, ℎ =10.5 m

r = 3.4\,\text{m},\,h = 10.5\,\text{m}

12.

𝑑 =11.4 m, ℎ =4.4 m

d = 11.4\,\text{m},\,h = 4.4\,\text{m}

13.

𝑑 =20 ″ , ℎ =8.5 ″

d = 20\,\text{in},\,h = 8.5\,\text{in}

Finndu rúmmál hvers rétts sívalnings í eftirfarandi æfingum og námundaðu að næsta tíunda hluta.

14.

𝑟 =7 cm, ℎ =8 cm

r = 7\,\text{cm},\,h = 8\,\text{cm}

15.

𝑟 =14 cm, ℎ =19 cm

r = 14\,\text{cm},\,h = 19\,\text{cm}

16.

𝑟 =14 ″ , ℎ =30 ″

r = 14\,\text{in},\,h = 30\,\text{in}

17.

𝑟 =4.9 m, ℎ =17 m

r = 4.9\,\text{m},\,h = 17\,\text{m}

18.

𝑟 =12.6 cm, ℎ =16.2 cm

r = 12.6\,\text{cm},\,h = 16.2\,\text{cm}

19.

Þú hefur endurnýjað eldhúsið og útblástursrörið yfir eldavélinni þarf að liggja gegnum efri skáp eins og á myndinni. Finndu rúmmál rýmisins sem eftir verður í skápnum.