10.5 Flísanir

Myndin hér að ofan (mynd 10.77) sýnir óvenjulegt mynstur sem kallast Penrose-flísun. Taktu eftir að tvenns konar form eru notuð í öllu mynstrinu: minni grænir samsíðungar og stærri bláir samsíðungar. Athyglisvert er að þótt aðeins tvö form séu endurtekin myndast ekkert endurtekningarmynstur.

Við skoðum hvernig flísanir eru búnar til og gerum tilraunir með eigin flísanir. Flísanir tilheyra því sviði stærðfræðinnar sem kallast færslurúmfræði og fjallar um hvernig færa má hluti án þess að lögun þeirra eða stærð breytist. Slíkar færslur kallast stífar færslur og samhverfur.

Regluleg flísun er mynstur úr einslaga reglulegum marghyrningum, jafnstórum og með sömu lögun, sem hafa verið færðir á einhvern hátt, það er með færslu eða samhverfu. Hér skoðum við stífu færslurnar hliðrun, snúning, speglun og spegilrennsli. Flísun flatar hefur eftirfarandi eiginleika:

Á mynd 10.78 er flísunin úr ferningum. Fjórir ferningar mætast í hverjum hornpunkti. Innra horn fernings er ${90}^{\circ }$ og summa fjögurra innri horna er ${360}^{\circ }.$ Á mynd 10.79 er flísunin úr reglulegum sexhyrningum. Þrír sexhyrningar mætast í hverjum hornpunkti. Innra horn sexhyrnings er ${120}^{\circ },$ og summa þriggja innri horna er ${360}^{\circ }.$ Báðar flísanir fylla flötinn án bila og innri hornin við hornpunkt hafa summuna ${360}^{\circ },$. Báðar verða til með hliðrun. Flísanirnar virka því allir eiginleikar flísunar eru fyrir hendi.

Hliðrun er færsla sem flytur form lóðrétt, lárétt eða á ská. Skoðum trapisuna $ABCD$ á mynd 10.80. Henni hefur verið hliðrað 3 einingar til hægri og 3 einingar upp. Hvert horn færist tiltekinn fjölda eininga í tiltekna átt. Stærðfræðingar sýna þetta með vigri, ör sem gefur stefnu og lengd hliðrunarinnar. Hornpunktar hliðruðu trapisunnar eru $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime },$, en hún hefur enn nákvæmlega sömu lögun og stærð og upprunalega trapisan $ABCD$.

Snúningur verður þegar formi er snúið um punkt um fyrirfram ákveðið horn. Á mynd 10.83 er þríhyrningnum snúið um snúningspunktinn um ${90}^{\circ },$ og síðan hliðrað 7 einingar upp og 4 einingar til hægri. Hvert horn færist því jafnmargar einingar í sömu átt.

Við sjáum að $\text{Δ}A$ varpast á $\text{Δ}{A}^{\prime }$ með snúningi um ${90}^{\circ }$ upp og til hægri. Ef þríhyrningnum væri snúið aftur um ${90}^{\circ }$ sneri hann á hvolf.

Speglun er þriðja færslan. Formi er speglað um línu og nýja formið verður spegilmynd. Spegla má formið lóðrétt, lárétt eða á ská. Tvö form eru á mynd 10.85. Ferhyrningurinn er speglaður lárétt en örin lóðrétt.

Spegilrennsli er fjórða færslan og sameinar speglun og hliðrun. Fyrst má spegla formið og renna því síðan, það er hliðra því, á nýjan stað, eða hliðra fyrst og spegla síðan. Á mynd 10.86 er trapisa spegluð um strikalínuna þannig að hún snýr á hvolf og síðan hliðrað 6 einingar til hægri. Í flestum tilvikum verður niðurstaðan sú sama hvor aðgerðin er framkvæmd fyrst. Flísunin í næsta dæmi næst þó aðeins með speglun á undan hliðrun.

Summa innri hornanna við hornpunkt flísunar er ${360}^{\circ }$. Á mynd 10.89 er flísunin úr sex þríhyrningum sem mynda sexhyrning. Hvert horn þríhyrningsins er ${60}^{\circ }$ og hornpunktarnir sex mætast þannig að summan er $6\left({60}^{°}\right)={360}^{°}$.

Á mynd 10.90 er flísunin úr trapisum. Tvö innri horn hverrar trapisu eru ${75}^{°}$ og hin tvö ${105}^{°}$. Summa innri hornanna þar sem hornpunktar fjögurra trapisa mætast er því ${105}^{°}+{75}^{°}+{75}^{°}+{105}^{°}={360}^{°}$.

Þessar flísanir sýna að formin mætast í hornpunkti þar sem innri hornin hafa summuna ${360}^{°}$.

Ætla mætti að allir reglulegir marghyrningar gætu einir og sér flísað flötinn. Við höfum séð að ferningar og sexhyrningar geta það. Ferningamynstrið á mynd 10.91 verður til með láréttri og lóðréttri hliðrun. Sexhyrningamynstrinu á mynd 10.92 er hliðrað lárétt og síðan á ská til hægri eða vinstri. Einnig má mynda það með snúningum. Báðar flísanirnar eru úr einslaga formum sem falla fullkomlega saman þegar mynstrið endurtekur sig.

Við höfum einnig séð að jafnhliða þríhyrningar flísa flötinn án bila eða skörunar, eins og á mynd 10.93. Mynstrið verður til með speglun og hliðrun. Dekkri hliðin er framhlið þríhyrningsins en sú ljósari bakhliðin, eins og speglunin sýnir. Hver þríhyrningur er speglaður og honum síðan hliðrað á ská.

Þótt reglulegir fimmhyrningar flísi ekki flötinn einir og sér þýðir það ekki að engir fimmhyrningar geti flísað hann, eins og sést á mynd 10.96.

Annað dæmi um óreglulegan marghyrning sem flísar flötinn fæst með gleiðhyrnda óreglulega þríhyrningnum úr fyrra dæmi. Hvaða færslur þarf að framkvæma til að búa til flísunina á mynd 10.97?

Fyrst er þríhyrningurinn speglaður um oddinn í punktinum $A$ og spegilmyndinni síðan hliðrað til hægri og hún tengd upprunalega þríhyrningnum svo samsíðungur myndast. Samsíðungnum er síðan hliðrað á ská, bæði til hægri og vinstri.

Ferningaflísun er nefnd með því að velja hornpunkt og skrá hliðafjölda formanna sem mætast þar. Á mynd 10.98 mætast ferningarnir $A$, $B$, $C$ og $D$ í einum hornpunkti. Hver þeirra hefur fjórar hliðar og flísunin nefnist því 4.4.4.4.

Sexhyrningaflísunin á mynd 10.99 hefur sex hliðar í hverju formi og þrír sexhyrningar mætast í hornpunktinum. Hún nefnist því 6.6.6. Í þríhyrningaflísuninni á mynd 10.100 mætast sex þríhyrningar í hornpunktinum og hver þeirra hefur þrjár hliðar. Hún nefnist því 3.3.3.3.3.3.