10.5 Flísanir – Stærðfræði í daglegu lífi (IS) | Námsgögn
1010 Rúmfræði
10.5 Flísanir
10.5 Flísanir
Mynd 10.77. Penrose-flísun er ein gerð flísunar. (mynd: „Penrose Tiling“ eftir Inductiveload/Wikimedia Commons, almenningseign)
Námsmarkmið
Eftir að hafa lokið þessum hluta átt þú að geta:
Beitt hliðrunum, snúningum og speglunum.
Ákvarðað hvort form flísar flöt.
Myndin hér að ofan (mynd 10.77) sýnir óvenjulegt mynstur sem kallast Penrose-flísun. Taktu eftir að tvenns konar form eru notuð í öllu mynstrinu: minni grænir samsíðungar og stærri bláir samsíðungar. Athyglisvert er að þótt aðeins tvö form séu endurtekin myndast ekkert endurtekningarmynstur.
Í þessum hluta beinum við sjónum að mynstrum sem endurtaka sig. Endurtekin mynstur finnast í byggingarlist, vefnaði, gólfflísum, veggskreytingum, teppum og víða þar sem þeirra er síður von. Mynstrið getur verið einföld sexhyrnd gólfflís eða flókin samsetning margra ólíkra stefja. Slík tvívíð mynstur kallast reglulegar (eða lotubundnar) flísanir. Ótal mynstur teljast reglulegar flísanir og þau eiga það sameiginlegt að endurtaka sig og þekja flötinn.
Við skoðum hvernig flísanir eru búnar til og gerum tilraunir með eigin flísanir. Flísanir tilheyra því sviði stærðfræðinnar sem kallast færslurúmfræði og fjallar um hvernig færa má hluti án þess að lögun þeirra eða stærð breytist. Slíkar færslur kallast stífar færslur og samhverfur.
Eiginleikar flísana og færslur
Regluleg flísun er mynstur úr einslaga reglulegum marghyrningum, jafnstórum og með sömu lögun, sem hafa verið færðir á einhvern hátt, það er með færslu eða samhverfu. Hér skoðum við stífu færslurnar hliðrun, snúning, speglun og spegilrennsli. Flísun flatar hefur eftirfarandi eiginleika:
Mynstrið endurtekur sig og fyllir flötinn.
Engin bil eða skörun eru milli forma. Þau verða að falla fullkomlega saman. (Escher sýndi fram á að rétt flísun mætti hvorki hafa bil né skörun.)
Formin eru tengd saman með færslu.
Öll formin mætast í hornpunkti. Ef hringur væri teiknaður um hornpunktinn myndi hann innihalda horn úr hverju formi sem mætist þar.
Í flísun úr reglulegum einslaga marghyrningum er summa innri hornanna sem mætast í hornpunkti
Á mynd 10.78 er flísunin úr ferningum. Fjórir ferningar mætast í hverjum hornpunkti. Innra horn fernings er og summa fjögurra innri horna er Á mynd 10.79 er flísunin úr reglulegum sexhyrningum. Þrír sexhyrningar mætast í hverjum hornpunkti. Innra horn sexhyrnings er og summa þriggja innri horna er Báðar flísanir fylla flötinn án bila og innri hornin við hornpunkt hafa summuna . Báðar verða til með hliðrun. Flísanirnar virka því allir eiginleikar flísunar eru fyrir hendi.
Mynd 10.78. Flísun – ferningar
Mynd 10.79. Flísun – sexhyrningar
Stífu færslurnar sem skilgreina flísanir flokkast sem hliðranir, snúningar, speglanir eða spegilrennsli. Skilgreinum fyrst þessar færslur og skoðum síðan dæmi um hvernig þær birtast.
Hliðrun
Hliðrun er færsla sem flytur form lóðrétt, lárétt eða á ská. Skoðum trapisuna á mynd 10.80. Henni hefur verið hliðrað 3 einingar til hægri og 3 einingar upp. Hvert horn færist tiltekinn fjölda eininga í tiltekna átt. Stærðfræðingar sýna þetta með vigri, ör sem gefur stefnu og lengd hliðrunarinnar. Hornpunktar hliðruðu trapisunnar eru , en hún hefur enn nákvæmlega sömu lögun og stærð og upprunalega trapisan .
Mynd 10.80. Hliðrun
Dæmi 10.34
Að framkvæma hliðrun
Gerum ráð fyrir sexhyrningi á neti eins og á mynd 10.81. Hliðraðu sexhyrningnum 5 einingar til hægri og 3 einingar upp.
Lausn
Best er að hliðra hverjum punkti . Eftir hliðrun verða punktarnir
Snúningur
Snúningur verður þegar formi er snúið um punkt um fyrirfram ákveðið horn. Á mynd 10.83 er þríhyrningnum snúið um snúningspunktinn um og síðan hliðrað 7 einingar upp og 4 einingar til hægri. Hvert horn færist því jafnmargar einingar í sömu átt.
Mynd 10.83. Snúningur
Við sjáum að varpast á með snúningi um upp og til hægri. Ef þríhyrningnum væri snúið aftur um sneri hann á hvolf.
Dæmi 10.35
Að beita snúningi
Mynd 10.84 sýnir flísun sem hefst á jafnhliða þríhyrningi. Útskýrðu hvernig mynstrið er myndað.
Lausn
Sex snúningar til hægri eða vinstri um hornpunktinn, hver um , mynda sexhyrning. Sjötti snúningurinn færir þríhyrninginn aftur í upphafsstöðu. Speglun upp og önnur á ská endurtekur síðan mynstrið. Þegar form snýr aftur í upphafsstöðu við snúning segjum við að það hafi snúningssamhverfu.
Speglun
Speglun er þriðja færslan. Formi er speglað um línu og nýja formið verður spegilmynd. Spegla má formið lóðrétt, lárétt eða á ská. Tvö form eru á mynd 10.85. Ferhyrningurinn er speglaður lárétt en örin lóðrétt.
Mynd 10.85. Speglun
Spegilrennsli
Spegilrennsli er fjórða færslan og sameinar speglun og hliðrun. Fyrst má spegla formið og renna því síðan, það er hliðra því, á nýjan stað, eða hliðra fyrst og spegla síðan. Á mynd 10.86 er trapisa spegluð um strikalínuna þannig að hún snýr á hvolf og síðan hliðrað 6 einingar til hægri. Í flestum tilvikum verður niðurstaðan sú sama hvor aðgerðin er framkvæmd fyrst. Flísunin í næsta dæmi næst þó aðeins með speglun á undan hliðrun.
Mynd 10.86. Spegilrennsli
Dæmi 10.36
Að beita spegilrennsli
Gleiðhyrndur þríhyrningur er speglaður um strikalínuna og formin tvö tengd saman. Hvernig verður flísunin á mynd 10.87 til?
Lausn
Nýja formið er speglað lárétt og tengt upprunalega forminu. Því er síðan hliðrað lóðrétt og lárétt til að mynda flísunina. Taktu eftir auðu svæðunum við lóðrétta mynstrið. Þau eru nákvæmlega upprunalega formið snúið um , en án línu í miðjunni. Snúnu formunum er hliðrað lárétt og lóðrétt svo flöturinn flísast án bila. Þetta er dæmi um spegilrennsli þar sem röð færslanna skiptir máli.
Dæmi 10.37
Að beita fleiri en einni færslu í flísun
Sýndu hvernig flísunin á mynd 10.88 getur myndast.
Lausn
Í þessari flísun er framhlið trapisunnar í einum lit og bakhliðin í öðrum. Trapisan er hliðruð á ská og spegluð lóðrétt. Þetta eru tvær aðskildar færslur sem gefa tvær nýjar staðsetningar trapisunnar. Kalla má þetta samsetningu tveggja færslna eða spegilrennsli.
Innri horn
Summa innri hornanna við hornpunkt flísunar er . Á mynd 10.89 er flísunin úr sex þríhyrningum sem mynda sexhyrning. Hvert horn þríhyrningsins er og hornpunktarnir sex mætast þannig að summan er .
Mynd 10.89. Innri horn þríhyrninga við hornpunkt
Á mynd 10.90 er flísunin úr trapisum. Tvö innri horn hverrar trapisu eru og hin tvö . Summa innri hornanna þar sem hornpunktar fjögurra trapisa mætast er því .
Mynd 10.90. Innri horn trapisa við hornpunkt
Þessar flísanir sýna að formin mætast í hornpunkti þar sem innri hornin hafa summuna .
Form sem flísa flöt
Ætla mætti að allir reglulegir marghyrningar gætu einir og sér flísað flötinn. Við höfum séð að ferningar og sexhyrningar geta það. Ferningamynstrið á mynd 10.91 verður til með láréttri og lóðréttri hliðrun. Sexhyrningamynstrinu á mynd 10.92 er hliðrað lárétt og síðan á ská til hægri eða vinstri. Einnig má mynda það með snúningum. Báðar flísanirnar eru úr einslaga formum sem falla fullkomlega saman þegar mynstrið endurtekur sig.
Mynd 10.91. Lárétt og lóðrétt hliðrun
Mynd 10.92. Lárétt hliðrun og rennsli á ská
Við höfum einnig séð að jafnhliða þríhyrningar flísa flötinn án bila eða skörunar, eins og á mynd 10.93. Mynstrið verður til með speglun og hliðrun. Dekkri hliðin er framhlið þríhyrningsins en sú ljósari bakhliðin, eins og speglunin sýnir. Hver þríhyrningur er speglaður og honum síðan hliðrað á ská.
Mynd 10.93. Speglun og spegilrennsli
Escher prófaði alla reglulega marghyrninga og komst að því að aðeins þeir sem þegar hafa verið nefndir — jafnhliða þríhyrningur, ferningur og sexhyrningur — geta einir og sér flísað flötinn. Prófum nokkra aðra reglulega marghyrninga til að sjá það sem Escher uppgötvaði.
Dæmi 10.38
Að flísa flötinn
Flísa reglulegir fimmhyrningar flötinn einir og sér (mynd 10.94)?
Lausn
Við sjáum að reglulegir fimmhyrningar flísa ekki flötinn einir og sér. Eftir verður bil í lögun samsíðungs. Við ályktum því að reglulegir fimmhyrningar geti ekki einir og sér flísað flötinn.
Dæmi 10.39
Flísun með átthyrningum
Flísa reglulegir átthyrningar flötinn einir og sér (mynd 10.95)?
Lausn
Aftur sjáum við að reglulegir átthyrningar flísa ekki flötinn einir og sér. Bilin eru hins vegar ferningar. Tveir reglulegir marghyrningar, átthyrningur og ferningur, geta því saman flísað flötinn.
Þótt reglulegir fimmhyrningar flísi ekki flötinn einir og sér þýðir það ekki að engir fimmhyrningar geti flísað hann, eins og sést á mynd 10.96.
Mynd 10.96. Flísun með fimmhyrningum
Annað dæmi um óreglulegan marghyrning sem flísar flötinn fæst með gleiðhyrnda óreglulega þríhyrningnum úr fyrra dæmi. Hvaða færslur þarf að framkvæma til að búa til flísunina á mynd 10.97?
Mynd 10.97. Flísun með gleiðhyrndum óreglulegum þríhyrningum
Fyrst er þríhyrningurinn speglaður um oddinn í punktinum og spegilmyndinni síðan hliðrað til hægri og hún tengd upprunalega þríhyrningnum svo samsíðungur myndast. Samsíðungnum er síðan hliðrað á ská, bæði til hægri og vinstri.
Heiti flísana
Ferningaflísun er nefnd með því að velja hornpunkt og skrá hliðafjölda formanna sem mætast þar. Á mynd 10.98 mætast ferningarnir , , og í einum hornpunkti. Hver þeirra hefur fjórar hliðar og flísunin nefnist því 4.4.4.4.
Sexhyrningaflísunin á mynd 10.99 hefur sex hliðar í hverju formi og þrír sexhyrningar mætast í hornpunktinum. Hún nefnist því 6.6.6. Í þríhyrningaflísuninni á mynd 10.100 mætast sex þríhyrningar í hornpunktinum og hver þeirra hefur þrjár hliðar. Hún nefnist því 3.3.3.3.3.3.
Mynd 10.98. 4.4.4.4
Mynd 10.99. 6.6.6
Mynd 10.100. 3.3.3.3.3.3
Dæmi 10.40
Að búa til eigin flísun
Búðu til flísun með tveimur litum og tveimur formum.
Lausn
Við notuðum samsíðung og jafnarma þríhyrning. Samsíðungurinn er speglaður lóðrétt og lárétt þannig að aðeins annað hvert horn snertist. Þríhyrningarnir eru speglaðir lóðrétt og lárétt og þeim síðan hliðrað yfir samsíðunginn. Niðurstaðan er víxlmynstur lóðréttra dálka úr samsíðungum og þríhyrningum (mynd 10.101).
Athugaðu skilning þinn
Hvaða eiginleika þurfa endurtekin mynstur að hafa til að teljast flísanir?
Útskýrðu hvernig hliðrun er beitt til að færa þetta form, með punktinn sem upphafspunkt.
Byrjaðu á þríhyrningnum með hornpunktinn og lýstu hvernig færslan á myndinni er framkvæmd.
Byrjaðu á þríhyrningi með dekkri framhlið og ljósari bakhlið og lýstu hvernig mynstrið varð til.
Nefndu flísunina á myndinni.
Æfingar úr hluta 10.5
1.
Hvaða færslur eru notaðar til að breyta stefnu og staðsetningu forms?
2.
Hvað nefnist færslan sem snýr formi á hvolf?
3.
Hvað nefnist færslan sem flytur form til hægri, vinstri eða á ská?
4.
Ef flötur er flísaður með reglulegum marghyrningi, hver er summa innri hornanna sem umlykja hornpunkt?
5.
Flísar reglulegur sjöhyrningur flötinn einn og sér?
6.
Hvaða reglulegu marghyrningar eru þeir einu sem geta flísað flötinn einir og sér?
7.
Hvað nefnist færslan sem snýr formi um punkt í nýja stöðu?
8.
Hvað rannsakar færslurúmfræði?
9.
Lýstu hvernig snúningur er framkvæmdur.
10.
Teiknaðu snúning af þríhyrningnum á myndinni.
11.
Formum má snúa um snúningspunkt eða ____________.
12.
Hvað nefnist færslan sem sameinar speglun og hliðrun?
13.
Hvað má ekki vera milli forma í flísun?
14.
Lýstu færslunni á myndinni.
15.
Hvað nefnist færsla sem myndar spegilmynd?
16.
Teiknaðu spegilmynd formsins um strikalínuna.
17.
Teiknaðu spegilmynd formsins um strikalínuna.
18.
Teiknaðu mynd formsins eftir hliðrun 3 einingar til hægri og 3 einingar upp.
19.
Snúðu forminu um snúningspunktinn og notaðu punktinn til viðmiðunar.
20.
Flísa reglulegir fimmhyrningar flötinn einir og sér?
21.
Hvað eiga reglulegar flísanir sameiginlegt?
22.
Hvernig nefnist ferningaflísunin á myndinni?
23.
Hvernig nefnist flísunin úr átthyrningum og ferningum á myndinni?