1010 Rúmfræði

10.3 Þríhyrningar

Bogadregið loft í byggingu. — **Mynd 10.42.** Þríhyrningar í byggingum eru áberandi þáttur í nútímaarkitektúr. (mynd: „Inside Hallgrímskirkja church, Reykjavik, Iceland“ eftir O Palsson/Flickr, CC BY 2.0)

Námsmarkmið

Að loknum þessum hluta átt þú að geta:

Flokkað þríhyrninga eftir hliðum.
Flokkað þríhyrninga eftir hornum.
Ákvarðað hvort þríhyrningar séu einslaga.
Ákvarðað hvort þríhyrningar séu líkir.
Fundið óþekkta hlið í líkum þríhyrningum.

Hvernig gátu Forn-Grikkir reiknað geisla jarðar? Hvernig miðuðu hermenn á skotmörk og hvernig var hægt fyrir mörgum öldum að áætla hæð segls á hafi úti? Þríhyrningar hafa lengi verið mikilvægir við að finna hæð hluta sem eru of háir til beinnar mælingar og fjarlægðir sem eru of miklar til að mæla beint. Líkir þríhyrningar eiga sérstaklega ótal hagnýtar notkunarleiðir sem við skoðum í þessum hluta.

Tæknin hefur fært okkur tæki sem auðvelda mælingar á fjarlægum hlutum, en þau byggjast á eiginleikum þríhyrninga sem fundust fyrir öldum. Hér skoðum við ólíkar gerðir þríhyrninga og eiginleika þeirra, mælingu innri og ytri horna og setningar um einslögun og líkindi.

Greining þríhyrninga

Þrír punktar sem eru ekki samlína mynda þríhyrning þegar þeir eru tengdir með línustrikum. Ef punktarnir $A$ , $B$ og $C$ eru tengdir með línustrikunum $\bar{A B}, \bar{B C,}$ og $\bar{A C},$ fæst þríhyrningur eins og á mynd 10.43.

Þríhyrningur með punktunum A, B og C og hliðunum a, b og c. — **Mynd 10.43.** Þríhyrningur

Þríhyrningar eru flokkaðir eftir hornum og hliðum. Öll horn hvasshyrnds þríhyrnings eru minni en $< 90^{\circ} .$ Eitt horn rétthyrnds þríhyrnings er $90^{\circ},$ og táknað með □. Eitt horn gleiðhyrnds þríhyrnings er milli $90^{\circ}$ og $180^{\circ} .$ Jafnlangar hliðar eru merktar með eins strikum. Mynd 10.44 sýnir grunnflokka þríhyrninga, heiti þeirra og eiginleika.

Hafðu einnig eftirfarandi í huga:

Punktarnir þar sem línustrikin mætast kallast oddpunktar.
Hliðar þríhyrnings eru oft nefndar eftir horninu á móti þeim. Hliðin $a$ er á móti horninu $A$ , hliðin $b$ er á móti horninu $B$ , og hliðin $c$ er á móti horninu $C$ .

Sex þríhyrningar: hvasshyrndur, rétthyrndur, gleiðhyrndur, jafnarma, jafnhliða og óreglulegur. Jafnarma þríhyrningur hefur tvær jafnlangar hliðar og tvö jafnstór horn. Í jafnhliða þríhyrningi eru allar hliðar og öll horn jafnstór. Í óreglulegum þríhyrningi eru allar hliðar mislangar. — **Mynd 10.44.** Gerðir þríhyrninga

Rétthyrndir þríhyrningar koma sérstaklega oft fyrir. Hliðin á móti rétta horninu er lengsta hliðin og kallast langhlið. Hliðarnar sem liggja að rétta horninu kallast skammhliðar.

Einn mikilvægasti eiginleiki þríhyrnings er að summa innri horna hans er $180^{\circ} .$ Evklíð uppgötvaði og sannaði eiginleikann með samsíða línum. Fullgerð teikning er á mynd 10.45.

Tvær láréttar línur og tvær þverlínur. Fyrri þverlínan myndar fjögur horn við neðri línuna; innra horn er merkt 1 og ytra horn A. Hin þverlínan myndar einnig fjögur horn; innra horn er merkt 3 og ytra horn B. Þverlínurnar mætast á efri línunni og mynda sex horn. Innri hornin eru merkt 2, 5 og 4, tvö ytri horn eru ómerkt og hið þriðja merkt C. — **Mynd 10.45.** Summa innri horna

Sönnunin er svona:

Skref 1: Byrjaðu á beinni línu $\overset{\leftrightarrow}{A B}$ og punkti $C$ utan hennar.

Skref 2: Dragðu línu gegnum punktinn $C$ samsíða línunni $\overset{\leftrightarrow}{A B}$ .

Skref 3: Dragðu tvær þverlínur milli samsíðu línanna, aðra hallandi til hægri og hina til vinstri.

Skref 4: Þar sem víxlhorn innan samsíða lína eru jafnstór fæst

m 2 = m 1 andm 3 = m 4

Skref 5: Athugaðu að $m ∡ 2 + m ∡ 5 + m ∡ 4 = 180^{\circ}$ vegna eiginleika beins horns.

Skref 6: Með innsetningu $m ∡ 1 = m ∡ 2,$ og $m ∡ 3 = m ∡ 4,$ fæst

m ∡ 1 + m ∡ 3 + m ∢ 5 = 180^{\circ} .

Því er summa innri horna $þríhyrningur = 180^{\circ} .$

Dæmi 10.15

Ákvörðun innri horna þríhyrnings

Finndu stærð hvers horns í þríhyrningnum ámynd 10.46. Summa hornanna er $180^{\circ} .$

Þríhyrningur með hornin x gráður, (x + 17) gráður og (3x − 62) gráður.

Lausn

Skref 1: Þar sem summa innri horna er $180^{\circ},$ má nota algebru til að finna hornin:

\begin{matrix} x + (x + 17) + (3 x - 62) & = & 180 \\ 5 x - 45 & = & 180 \\ 5 x & = & 225 \\ x & = & \frac{225}{5} = 45 \end{matrix}

Skref 2: Þegar gildi $x$ er þekkt setjum við 45 inn í hinar tvær stæðurnar til að finna hornin:

\begin{matrix} (x + 17) & = & 45 + 17 = 62^{\circ} \\ (3 x - 62) & = & 3 (45) - 62 = 135 - 62 = 73^{\circ} \end{matrix}

Skref 3: Þá er $m ∡ x = 45^{\circ}$ , $m ∡ (x + 17) = 62^{\circ}$ og $m ∡ (3 x - 62) = 73^{\circ} .$

Dæmi 10.16

Ákvörðun hornastærða

Finndu stærð hornanna 1–5 á mynd 10.47.

Þrír þríhyrningar liggja á láréttri línu. Fyrsti og þriðji eru ofan línunnar en annar neðan hennar. Horn fyrsta þríhyrningsins eru 30°, 89° og óþekkt og ytra hornið merkt 1. Horn annars eru merkt 2, 3 og 4. Horn þess þriðja eru merkt 5, 75° og óþekkt og ytra hornið er 134°.

Lausn

Hornið $m ∡ 1 = 119^{\circ}$ því það er grannhorn við óþekkta hornið sem er $61^{\circ} .$ Hornið $m ∡ 2 = 61^{\circ}$ vegna topphorna. Hornið $m ∡ 5 = 59^{\circ}$ því grannhornið við $134^{\circ}$ er $46^{\circ}$ og horn 5 er óþekkta hornið. Hornið $m ∡ 4 = 59^{\circ}$ vegna topphorna. Að lokum er $m ∡ 3 = 60^{\circ},$ þriðja hornið í þríhyrningi með hornin $59^{\circ}$ og $61^{\circ} .$

Einslögun

Ef tveir þríhyrningar hafa jafnstór horn og samsvarandi hliðar jafnlangar eru þeir einslaga. Þá má leggja annan ofan á hinn þannig að þeir falli saman, eftir snúning ef þarf.

Dæmi 10.17

Ákvörðun einslögunar þríhyrninga

Á mynd 10.48 er þríhyrningurinn $ABC$ einslaga þríhyrningnum $DEF$ ?

Tveir þríhyrningar, ABC og DEF. Horn A og C eru einslaga hornunum D og F. Hliðarnar AB og BC eru jafnlangar. AB er einslaga DE og hliðarnar DE og EF eru jafnlangar. BC er einslaga EF.

Lausn

Þríhyrningurinn $ABC$ er einslaga þríhyrningnum $DEF$ . Hornin $A$ og $C$ eru einslaga hornunum $D$ og $F$ , svo hornið $B$ er einslaga horninu $E$ . Hliðin $AB$ er einslaga hliðinni $DE$ og hliðin $CB$ er einslaga hliðinni $FE$ , svo hliðin $AC$ er einslaga hliðinni $DF$ .

Einslögunarsetningar

Eftirfarandi setningar má nota til að sanna að tveir þríhyrningar séu einslaga. Táknið $≅$ merkir einslögun. Til dæmis er $Δ A B C ≅ Δ D E F$ .

Hlið–hlið–hlið (SSS). Ef þrjár hliðar annars þríhyrnings eru jafnlangar samsvarandi hliðum hins eru þríhyrningarnir einslaga. Sjá mynd 10.49.

Þríhyrningarnir DEF og RST. Hliðin DF er einslaga RT, EF einslaga ST og DE einslaga RS. — **Mynd 10.49.** Hlið–hlið–hlið (SSS)

Ef $\bar{D F} ≅ \bar{R T}$ , $\bar{E F} ≅ \bar{S T},$ og $\bar{DE} ≅ \bar{RS},$ þá er $Δ D E F ≅ Δ R S T .$

Hlið–horn–hlið (SAS). Ef tvær hliðar og hornið milli þeirra í öðrum þríhyrningi eru einslaga samsvarandi hliðum og millihorni hins eru þríhyrningarnir einslaga. Sjá mynd 10.50. Þar er $\bar{A B} ≅ \bar{A^{'} B^{'}}$ og $\bar{B C} ≅ \bar{B^{'} C^{'}}$ , $m ∡ B = m ∡ B^{'}$ svo $Δ A B C ≅ Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ .

Þríhyrningarnir ABC og A′B′C′. Hornin B og B′ eru einslaga. Hliðin AB er einslaga A′B′ og BC einslaga B′C′. — **Mynd 10.50.** Hlið–horn–hlið (SAS)

Horn–hlið–horn (ASA). Ef tvö horn og hliðin milli þeirra í öðrum þríhyrningi eru einslaga samsvarandi hornum og millihlið hins eru þríhyrningarnir einslaga. Sjá mynd 10.51. Þar er $m ∡ A ≅ m ∡ F$ og $m ∡ C ≅ m ∡ D$ , $\bar{AC} ≅ \bar{DF}$ svo $Δ ABC ≅ Δ DEF .$

Þríhyrningarnir ABC og DEF. Hliðarnar CA og DF liggja á sömu línu og eru jafnlangar. Hornin A og F eru einslaga og hornin C og D einslaga. — **Mynd 10.51.** Horn–hlið–horn (ASA)

Horn–horn–hlið (AAS). Ef tvö horn og hlið sem liggur ekki milli þeirra í öðrum þríhyrningi eru einslaga samsvarandi hornum og hlið hins eru þríhyrningarnir einslaga.

Sjá mynd 10.52. Þar er $m ∡ X ≅ m X^{'}$ , $m ∡ Z ≅ m ∡ Z^{'}$ og $\bar{X Y} ≅ \bar{X^{'} Y^{'}}$ svo $Δ X Y Z ≅ Δ X^{'} Y^{'} Z^{'}$ .

Þríhyrningarnir XYZ og X′Y′Z′. Í XYZ er XY 5 sentímetrar og hornin X og Z 22° og 118°. Í X′Y′Z′ er X′Y′ 5 sentímetrar og hornin X′ og Z′ 22° og 118°. — **Mynd 10.52.** Horn–horn–hlið (AAS)

Dæmi 10.18

Greining einslögunarsetningar

Hvaða einslögunarsetning er sýnd á mynd 10.53?

Rétthyrningur er myndaður af tveimur rétthyrndum þríhyrningum. Langhliðar þeirra eru sameiginlegar og efra vinstra horn og neðra hægra horn rétthyrningsins jafnstór.

Lausn

AAS: Tvö horn og hlið sem liggur ekki milli þeirra í öðrum þríhyrningnum eru einslaga samsvarandi hornum og hlið hins.

Dæmi 10.19

Ákvörðun einslögunarsetningar

Hvaða einslögunarsetning er sýnd á mynd 10.54?

Tveir þríhyrningar þar sem allar þrjár hliðar hvors um sig eru mislangar.

Lausn

SSS-setningin.

Líkindi

Ef tveir þríhyrningar hafa jafnstór samsvarandi horn og sömu lögun en ólíka stærð eru þeir líkir. Samsvarandi hliðar þeirra eru í föstu hlutfalli. Eitt brot $\frac{a}{b}$ kallast hlutfall, en jafna tveggja hlutfalla kallast hlutfallajafna, til dæmis $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} .$

Líkindi gilda um öll form. Einnig má lýsa þeim með kvarðastuðli, hlutfalli samsvarandi lengda í frummynd og mynd sem er stækkuð eða minnkuð.

Myndirnar tvær á mynd 10.55 eru líkar vegna þess að samsvarandi hlutar þeirra hafa sömu hlutföll.

Tvö brosandi andlit, annað stærra en hitt. — **Mynd 10.55.** Líkindi

Dæmi 10.20

Ákvörðun líkinda þríhyrninga

Eru þríhyrningarnir tveir á mynd 10.56 líkir?

Tveir rétthyrndir þríhyrningar. Í þeim fyrri eru skammhliðar 4 og 7 og langhlið 8,06. Hornin eru 57°, 90° og 33° og þríhyrningurinn merktur alfa. Í hinum eru skammhliðar 3,5 og 2 og langhlið 4,03. Hornin eru 57°, 33° og 90° og hann er merktur beta.

Lausn

Skref 1: Skoðum hlutföll innan hvors þríhyrnings. Í þríhyrningnum $α$ (alfa) er hliðin á móti $57^{\circ}$ horninu 7 og hliðin á móti $33^{\circ}$ horninu 4. Samsvarandi hliðar í þríhyrningnum $β$ (beta) eru 3,5 og 2. Þá fæst

\frac{4}{7} = 0.5714 \frac{2}{3.5} = 0.5714.

Þetta er hlutfallajafnan $\frac{4}{7} = \frac{2}{3.5}$ . Kvarðastuðullinn er 0,5714.

Skref 2: Prófum önnur samsvarandi pör. Í $α$ er langhliðin 8,06 og hliðin á móti $57^{\circ}$ horninu 7. Í $β$ er langhliðin 4,03 og hliðin á móti $57^{\circ}$ horninu 3,5. Þá fæst

\frac{7}{8.06} = 0.8685 \frac{3.5}{4.03} = 0.8685.

Skref 3: Skoðum nú hlutföll milli $α$ og $β .$ Hliðin 2 í $β$ samsvarar hliðinni 4 í $α$ , hliðin 3,5 í $β$ samsvarar hliðinni 7 í $α,$ og langhliðin í $β$ samsvarar langhliðinni í $α .$ Þá fæst

\frac{2}{4} = 0.5 \frac{3.5}{7} = 0.5 \frac{4.03}{8.06} = 0.5

Samsvarandi horn eru jafnstór og hlutfall hvers pars samsvarandi hliða er 0,5. Kvarðastuðullinn er því 0,5 og þríhyrningarnir eru líkir.

Dæmi 10.21

Sönnun líkinda

Á mynd 10.57er þríhyrningurinn $δ$ (delta) líkur þríhyrningnum $ε$ (epsilon)? Finndu einnig lengdir hliðanna $x$ og $y$ .

Tveir rétthyrndir þríhyrningar merktir delta og epsilon. Í þeim fyrri eru skammhliðar x og 2,375 og langhlið 6. Í hinum eru skammhliðar 2,475 og 1,069 og langhlið y. Samsvarandi horn eru einslaga.

Lausn

Öll horn þríhyrningsins $δ$ eru jafnstór samsvarandi hornum í $ε$ . Það nægir til að sýna líkindi. Við finnum þó $x$ og $y$ til frekari staðfestingar.

Skref 1: Setjum upp hlutföll samsvarandi hliða. Hliðin 2,375 í $δ$ samsvarar 1,069 í $ε$ . Langhliðin í $δ$ er 6 og samsvarar $y$ í $ε$ . Að lokum samsvarar hliðin $x$ í $δ$ hliðinni 2,475 í $ε .$

Öll hlutföllin eiga að vera jöfn. Byrjum á styttri hliðunum:

\frac{1.069}{2.375} = 0.45

Skref 2: Leysum fyrir $y$ með fyrstu hlutfallajöfnunni. Jöfnum hlutföllin, krossmargföldum og leysum fyrir $y$ :

\begin{matrix} \frac{1.069}{2.375} & = & \frac{y}{6} \\ (6) (1.069) & = & (2.375) (y) \\ 6.414 & = & 2.375 y \\ \frac{6.414}{2.375} & = & 2.7 = y \end{matrix}

Því er $y = 2.7$ .

Skref 3: Prófum lengdina með kvarðastuðlinum 0,45:

\frac{y}{6} = \frac{2.7}{6} = 0.45

Skref 4: Til að leysa fyrir $x$ notum við sömu hlutfallajöfnu og fyrir $y$ :

\begin{matrix} \frac{1.069}{2.375} & = & \frac{2.475}{x} \\ 1.069 (x) & = & 2.475 (2.375) \\ 1.069 (x) & = & 5.878 \\ x & = & \frac{5.878}{1.069} = 5.5 \\ \frac{2.475}{x} & = & \frac{2.475}{5.5} = 0.45 \end{matrix}

Skref 5: Prófum hlutföllin:

\frac{2.7}{6} = \frac{2.475}{5.5} = \frac{1.069}{2.375} = 0.45

Hlutföllin eru öll jöfn. Þar með höfum við sýnt að þríhyrningarnir $δ$ og $ε .$

Dæmi 10.22

Notkun líkra þríhyrninga

Fimm feta há manneskja stendur 50 fet frá tré (mynd 10.58). Skuggi trésins er 57 fet og skuggi manneskjunnar 7 fet. Hve hátt er tréð?

Pálmatré og manneskja mynda rétthyrndan þríhyrning. Lóðrétta skammhliðin er tréð og merkt x, langhliðin er óþekkt og lárétta skammhliðin 57 fet. Fimm feta há manneskja stendur 50 fet frá trénu og varpar 7 feta skugga.

Lausn

Stærri þríhyrningurinn hefur tréð sem hlið $x$ og sá minni manneskjuna sem 5 feta hlið. Þríhyrningarnir eru líkir vegna jafnstórra samsvarandi horna og leysa má með hlutföllum:

\begin{matrix} \frac{5}{7} & = & \frac{x}{57} \\ 5 (57) & = & 7 x \\ \frac{285}{7} & = & x = 40.7 \end{matrix}

Tréð er 40,7 fet á hæð.

Dæmi 10.23

Ákvörðun óþekktra lengda

Á tilteknum tíma dags varpar fjarskiptamastur 180 feta skugga (mynd 10.59). Á sama tíma varpar 9 feta hár vörubíll 15 feta skugga. Hve hátt er mastrið?

Rétthyrndur þríhyrningur með mastur sem x feta lóðrétta skammhlið og 180 feta lárétta skammhlið. Níu feta hár vörubíll varpar 15 feta skugga og stendur 15 fet vinstra megin við neðra hægra horn þríhyrningsins.

Lausn

Þetta eru líkir þríhyrningar og leysa má verkefnið með hlutföllum:

\begin{matrix} \frac{x}{180} & = & \frac{9}{15} \\ 9 (180) & = & 15 x \\ 1620 & = & 15 x \\ 108 & = & x \end{matrix}

Mastrið er 108 fet á hæð.

Fólk í stærðfræði

Þales frá Míletos

Þales frá Míletos, sem var uppi á sjöttu öld f.Kr., er talinn einn merkasti stærðfræðingur og heimspekingur sögunnar. Honum er eignuð uppgötvunin að grunnhorn jafnarma þríhyrnings séu jafnstór og að topphorn séu jafnstór. Hann þróaði einnig aðferð til að mæla hæð pýramída með líkum rétthyrndum þríhyrningum. Mynd 10.60 sýnir aðferðina. Hann mældi lengd pýramídaskuggans á því augnabliki þegar eigin skuggi endaði á sama stað.

Mynd 10.60. Þales og líkindi

Þales paraði hæð pýramídans við eigin hæð og samsvarandi skuggalengdir. Með hlutföllunum á mynd 10.60uppgötvaði hann í reynd líkindi rétthyrndra þríhyrninga. Þannig er $△ A B C$ líkur $△ A^{'} B^{'} C^{'} .$ . Öll samsvarandi horn þurfa að vera jafnstór og hlutföll samsvarandi hliða jöfn.

Þales er einnig eignuð aðferð til að finna fjarlægð skips frá strönd. Mynd 10.61 sýnir aðferðina.

Mynd 10.61. Þales og líkir þríhyrningar

Þales gekk eftir ströndinni og miðaði staf á skipið þar til stefnan myndaði $90^{\circ}$ horn við ströndina. Hann stakk stafnum niður í punktinum $C$ og hélt áfram að $D$ . Þar gekk hann hornrétt frá ströndinni í $90^{\circ}$ horni þar til stafurinn í $C$ bar í skipið í punktinum $E$ . Þannig myndaði hann líka þríhyrninga og áætlaði fjarlægð skipsins með hlutföllum.

Athugaðu skilning þinn

Finndu óþekkta hornið á myndinni.

Þríhyrningur með innri hornin x, 26° og 65°.

Finndu óþekkta hornið á myndinni.

Rétthyrndur þríhyrningur með innri hornin x, 90° og 23°.

Finndu óþekktu hornin í jafnarma þríhyrningnum.

Þríhyrningur með innri hornin x, y og 77°.

Á myndinni er

\overline {BE}

samsíða

\overline {CD}

. Finndu

x

y

Þríhyrningurinn ACD með lárétta línustrikið BE í miðju. AB er 3, AE er 4, BC er 4, ED er y, CD er x og BE er 2.

Finndu

a

t

á myndinni.

Þríhyrningarnir ABC og RST. Í ABC er AC = a, BC = 6 og AB = 10. Í RST er RT = 14, TS = 12 og RS = t. Horn A og R eru einslaga og B og S einslaga.

Æfingar í hluta 10.3

Flokkaðu þríhyrningana í eftirfarandi æfingum sem hvasshyrnda, rétthyrnda eða gleiðhyrnda eftir uppgefnum hornum.

𝑚∡𝐴 =88∘

m\measuredangle A = {88^ \circ }

, 𝑚∡𝐵 =32∘

m\measuredangle B = {32^ \circ }

, 𝑚∡𝐶 =60∘

m\measuredangle C = {60^ \circ }

𝑚∡𝐴 =65∘

m\measuredangle A = {65^ \circ }

, 𝑚∡𝐵 =90∘

m\measuredangle B = {90^ \circ }

, 𝑚∡𝐶 =25∘

m\measuredangle C = {25^ \circ }

𝑚∡𝐴 =30∘

m\measuredangle A = {30^ \circ }

, 𝑚∡𝐵 =120∘

m\measuredangle B = {120^ \circ }

, 𝑚∡𝐶 =30∘

m\measuredangle C = {30^ \circ }

𝑚∡𝐴 =85∘

m\measuredangle A = {85^ \circ }

, 𝑚∡𝐵 =50∘

m\measuredangle B = {50^ \circ }

, 𝑚∡𝐶 =45∘

m\measuredangle C = {45^ \circ }

Finndu óþekktu hornin á myndinni.

Þríhyrningarnir xyz og abc. Hornin x og a eru einslaga og x er 74°. Hornin y og b eru einslaga og b er 28°.

Hve stórt er hvert horn á myndinni?

Þríhyrningurinn ABC. Hornið A er (4x + 7)°, B er (7x + 3)° og C er 23x°.

Finndu stærð hornanna á myndinni.

Rétthyrndi þríhyrningurinn ABC. A er 90°, B er (4x + 2)° og C er (7x + 11)°.

Finndu stærð hornanna á myndinni.

Þríhyrningur með innri hornin (x − 2)°, (7x − 14)° og (x − 2)°.

Ákvarðaðu í eftirfarandi æfingum hvaða einslögunarsetning sýnir að þríhyrningarnir séu einslaga.

Tveir þríhyrningar. Efsta horn þess fyrri og efra hægra horn hins eru einslaga. Vinstri hlið þess fyrri og efri hlið hins eru einslaga. Hægri hliðar beggja eru einslaga.

10.

Tveir rétthyrndir þríhyrningar. Langhliðar þeirra eru einslaga og lárétta skammhlið þess fyrri einslaga lóðréttu skammhlið hins.

11.

Flugdrekinn ABCD myndaður af tveimur þríhyrningum. Hliðarnar AD og DC eru jafnlangar og AB og CB jafnlangar.

12.

Eru þríhyrningarnir líkir? Ef svo er, hvert er sameiginlega hlutfallið eða kvarðastuðullinn?

Tveir rétthyrndir þríhyrningar. Skammhliðar þess fyrri eru 1 og 2 og hins 0,6 og 1,2. Efstu hornin eru einslaga.

13.

Eru myndirnar líkar? Ef svo er, hvert er sameiginlega hlutfallið eða kvarðastuðullinn?

Tvær myndir með tveimur sammiðja ferningum og stjörnu í innri ferningnum. Í fyrri myndinni er ytri ferningurinn 4 og hliðar stjörnunnar 1. Í hinni er ytri ferningurinn 6 og hliðar stjörnunnar 1,5.

14.

Á myndinni er

\overline {BE}

samsíða

\overline {CD} ,

. Finndu

x

y

15.

Finndu 𝑎

a

og 𝑡

t

á myndinni.

16.

Finndu hlutfallajöfnurnar á myndinni og leystu fyrir

a

b

Tveir rétthyrndir þríhyrningar. Í þeim fyrri eru skammhliðar a og b og langhlið 25. Í hinum eru skammhliðar 8 og 6 og langhlið 10.

17.

Finndu hlutfallajöfnurnar á myndinni og leystu fyrir

r

Tveir þríhyrningar. Efri og hægri hlið þess fyrri eru r og 21 og hins 12 og 4. Efri vinstri hornin eru einslaga.

18.

Þríhyrnd lóð hefur ummálið 2.400 fet. Lengsta hliðin er 200 fetum styttri en tvöföld stysta hliðin. Miðhliðin er 200 fetum styttri en lengsta hliðin. Finndu lengdir hliðanna þriggja.

19.

Orange Tree Hotel í Charleston í Norður-Karólínu er með sívalan gosbrunn á hringlaga grunni. Ummál grunnsins er 12,88 fetum meira en sexfaldur geislinn. Finndu geisla grunnsins. (Notaðu 3,14 sem nálgun á

\pi