10.1 Punktar, línur og sléttur

Í Frumþáttum tók Evklíð saman eldri rúmfræðireglur og mótaði frumsendukerfi, það er kerfi frumsendna. Frumsenda er staðhæfing sem er tekin gild án sönnunar eða sannprófunar. Fyrir daga Evklíðs voru engar formlegar rúmfræðiskilgreiningar og hugtök sem ekki var unnt að skilgreina voru þess í stað útskýrð. Til að setja frumsendur sínar fram þurfti Evklíð að lýsa nauðsynlegum hugtökum og kallaði lýsingarnar „skilgreiningar“. Síðar vinnum við með setningar, það er staðhæfingar sem hafa verið og má sanna.

Áður en lengra er haldið skilgreinum við nokkur rúmfræðitákn á mynd 10.3:

Mynd 10.3 sýnir afbrigði lína: línustrik, geisla og hálflínur. Tveir samlína punktar, það er punktar á sömu línu, ákvarða línu. Línustrik afmarkast af tveimur endapunktum og hefur því ákveðið upphaf og endi. Geisli er ákvarðaður af tveimur punktum; sá fyrri er upphafspunktur og hinn ákvarðar stefnu. Hálflína er einnig ákvörðuð af upphafspunkti og stefnupunkti, en opinn hringur við upphafið sýnir að upphafspunkturinn tilheyrir henni ekki. Bein lína er ákvörðuð af hvaða tveimur punktum hennar sem er og nær endalaust í báðar áttir. Hún er venjulega teiknuð með ör á hvorum enda.

Línustrik koma víða við sögu í daglegu lífi. Flugfélög skipuleggja til dæmis leiðir milli borga þar sem hver flugvöllur er punktur og punktarnir tengjast með línustrikum. Annað dæmi er borgarkort: miðja hverra gatnamóta er punktur og göturnar eru línustrik sem tengja punktana. Sjá mynd 10.5.

Samsíða línur liggja í sömu sléttu og stefna eins en skerast aldrei. Til að tákna að línan $l_1$ og línan $l_2$ séu samsíða er oft notað táknið $l_1\parallel l_2.$. Fjarlægðin $d$ milli samsíða lína er föst þegar þær ná endalaust í báðar áttir. Sjá mynd 10.7.

Tvær línur sem skerast í ${90}^{\circ }$ horni eru hornréttar línur og táknaðar með $\perp$. Ef $l_1$ og $l_2$ eru hornréttar er skrifað $l_1\perp l_2.$. Rétt horn, ${90}^{\circ }$ horn, er merkt með litlum ferningi $\square .$. Sjá mynd 10.8.

Samruni og snið mengja eru hugtök úr mengjafræði sem oft tengjast punktum og línum. Því er við hæfi að kynna hér stutta útgáfu af mengjafræði. Mengi er safn $A=\left\{1,3,5,7,9\right\}.$ hluta sem uppfylla sameiginlegt skilyrði og mengi eru yfirleitt táknuð með hástöfum. Mengi oddatalna milli 0 og 10 er til dæmis 𝐴 = {1, 3, 5, 7, 9}. Þegar um mengi lína, línustrika eða punkta er að ræða er yfirleitt átt við samruna eða snið mengja.

Samruni tveggja eða fleiri mengja inniheldur öll stök sem eru í einhverju mengjanna. Samruni er táknaður með ∪ milli mengjanna. Látum til dæmis 𝐴 = {1, $\cup$ 2, 3} og 𝐵 = {4, 5, 6}. Þá $A=\left\{1,2,3\right\},$ er samruni mengjanna 𝐴 og 𝐵 mengið 𝐴 $B=\left\{4,5,6\right\}.$ ∪ 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. $A\cup B=\left\{1,2,3,4,5,6\right\}.$

Snið tveggja eða fleiri mengja inniheldur aðeins þau stök sem eru sameiginleg öllum mengjunum. Snið er táknað með $\cap$ ∩ milli mengjanna. Látum til dæmis $A=\left\{1,3,5\right\},$ 𝐴 = {1, 3, 5} og $B=\left\{5,7,9\right\}.$ 𝐵 = {5, 7, 9}. Þá $A$ er snið mengjanna 𝐴 og 𝐵 $B$ mengið 𝐴 ∩ 𝐵 = {5}. $A\cap B=\left\{5\right\}.$

Evklíð skilgreindi sléttu sem „flöt sem liggur jafnt með beinu línunum á sjálfum sér“. Slétta er tvívíður flötur með óendanlega lengd og breidd en enga þykkt. Hún ákvarðast einnig af þremur punktum sem eru ekki allir samlína. Hugsa má um pappírsblað með óendanlega lengd og breidd en enga þykkt. Ekki þurfa þó allar sléttur í hagnýtri framsetningu að ná óendanlega langt; stundum er sýndur takmarkaður hluti sléttu.

Sléttur eru venjulega merktar með einum hástaf, svo sem sléttan $P$, eins og á mynd 10.16, eða með punktunum sem ákvarða jaðra þeirra. Á myndinni inniheldur sléttan $P$ punktana $A$ og $B$, sem liggja á sömu línu, og punktinn $C$, sem liggur utan hennar. Samkvæmt skilgreiningu er $P$ slétta. Á sléttu má hreyfast til hliðar í hvaða átt sem er.

Ein leið til að hugsa um sléttu er rétthyrnt hnitakerfi með $x$-ás í lárétta stefnu og $y$-ás í lóðrétta. Í hnitakerfinu má greina ólíkar línugerðir og staðsetningu þeirra. Sjá mynd 10.17.

Sléttan inniheldur punktana $S$, $T$, og $R$. Punktarnir $T$ og $R$ eru samlína og mynda línustrik. Punkturinn $S$ liggur ekki á því. Myndin táknar því sléttu.

Til að staðsetja punkt í hnitakerfi skaltu muna að fyrra hnit raðaðrar tvenndar sýnir lárétta færslu og hið síðara lóðrétta. Punkturinn $R$ er í $(4,2);$ punkturinn $S$ er í $(-3,4);$ og punkturinn $T$ er í $(-1,-1).$. Línustrikið er einnig táknað $\overline{TR}.$

Tvö atriði til viðbótar: Samsíða sléttur skerast ekki og snið tveggja slétta er bein lína. Jafna skurðlínunnar tilheyrir námi um þrívítt rúm. Sjá mynd 10.18.