10.8 Hornareikningur rétthyrndra þríhyrninga – Stærðfræði í daglegu lífi (IS) | Námsgögn
1010 Rúmfræði
10.8 Hornareikningur rétthyrndra þríhyrninga
10.8 Hornareikningur rétthyrndra þríhyrninga
Mynd 10.137. Neðst til vinstri í freskunni *Skólinn í Aþenu* eftir Rafael er maður í hvítu sem skrifar í bók og táknar Pýþagóras. Til hægri við hann er síðhærður maður sem talinn er sýna Arkimedes. (mynd: breytt verk „School of Athens“ eftir Rafael (1483–1520), Vatíkan-söfnin/Wikimedia, almenningseign)
Námsmarkmið
Eftir að hafa lokið þessum hluta átt þú að geta:
Beitt reglu Pýþagórasar til að finna óþekktar hliðar rétthyrnds þríhyrnings.
Beitt hlutföllum og rétthyrndra þríhyrninga til að finna óþekktar hliðar.
Beitt hornafallahlutföllum til að finna óþekktar stærðir í rétthyrndum þríhyrningi.
Leyst hagnýt dæmi með hornafallahlutföllum.
Þetta er annar hluti úr *Skólanum í Aþenu* eftir Rafael. Maðurinn sem skrifar í bókina táknar Pýþagóras, sem regla Pýþagórasar er kennd við. Hún er ein mest notaða formúlan í rúmfræði, verkfræði, byggingarlist og mörgum öðrum greinum. Vísbendingar eru þó um að Babýloníumenn hafi þekkt regluna þegar á árunum 1900–1100 f.Kr. Regla Pýþagórasar er notuð til að finna hliðarlengdir rétthyrndra þríhyrninga.
Pýþagóras fæddist í Grikklandi og lifði um 569–500 f.Kr. Hann stofnaði lokaðan hóp stærðfræðinga, heimspekinga og tónlistarmanna sem nefndist Pýþagóringar. Pýþagóras taldi að útskýra mætti allt í heiminum með tölum. Auk reglu Pýþagórasar eru hann og fylgjendur hans taldir hafa uppgötvað óræðar tölur og tónskalann, tengt tónlist og stærðfræði og mótað fjölmargar hugmyndir sem höfðu ómæld áhrif á síðari stærðfræðinga og vísindamenn.
Í þessum hluta einbeitum við okkur að rétthyrndum þríhyrningum. Við skoðum hvernig regla Pýþagórasar finnur óþekktar hliðar og lærum um sérstaka þríhyrninga með föst hlutföll milli hliðarlengda. Hlutfall lýsir tengslum einnar hliðar við aðra og má hugsa um það sem brot; brot er hlutfall teljara og nefnara. Að lokum fáum við kynningu á hornareikningi. Við lærum grunnfallin sínus, kósínus og tangens og notum þau til að finna bæði óþekktar hliðar og óþekkt horn út frá litlum upplýsingum.
Regla Pýþagórasar
Regla Pýþagórasar er notuð til að finna óþekktar hliðar rétthyrndra þríhyrninga. Hún segir að summa ferninga skammhliðanna tveggja sé jöfn ferningi langhliðarinnar.
Ef hliðin og hliðin getum við fundið hliðina með reglu Pýþagórasar. Þá er
Dæmi 10.64
Notkun reglu Pýþagórasar
Finndu lengd óþekktu hliðarinnar í þríhyrningnum á mynd 10.139.
Ferningsrót tölu hefur yfirleitt bæði jákvæða og neikvæða lausn. Lengd getur þó ekki verið neikvæð og því notum við aðeins jákvæðu rótina.
Fjarlægð
Regla Pýþagórasar á sér ótal not, en sérstaklega gagnleg er notkun hennar til að finna fjarlægð. Fjarlægðarformúlan er leidd beint af reglunni og virkar þannig:
Á mynd 10.140 á að finna fjarlægð milli punktanna og Köllum lengdina frá að hlið og lengdina frá að hlið . Hliðin fæst með fjarlægðarformúlunni: þar sem kemur í stað í reglu Pýþagórasar og er og kemur í stað og er Þegar gildin eru sett inn fæst
Því er , langhliðin í reglu Pýþagórasar.
Mynd 10.140. Fjarlægð
Dæmi 10.65
Að reikna fjarlægð með fjarlægðarformúlunni
Þú býrð á horni First Street og Maple Avenue og vinnur hjá Star Enterprises á horni Tenth Street og Elm Drive (mynd 10.141). Þú vilt bera saman vegalengdina sem þú gengur daglega við beina fjarlægð. Hver húsaröð er 200 fet á 200 fet.
Lausn
Þú ferð 7 húsaraðir suður og 9 vestur. Ef hver röð er 200 fet á 200 fet er vegalengdin .
Notum fjarlægðarformúluna til að finna beinu fjarlægðina:
Dæmi 10.66
Að reikna fjarlægð með reglu Pýþagórasar
Byggingarreglur borgarinnar setja ákveðin skilyrði fyrir hjólastólarampa. Fyrir hverja 1 tommu lóðrétta hækkun þarf 12 tommu lárétta lengd. Þú smíðar rampa við fyrirtækið þitt með 130 tommu lárétta lengd og um 132,4 tommu skálengd (mynd 10.142). Hver á lóðrétta hæðin að vera?
Lausn
Samkvæmt reglu Pýþagórasar er lárétt grunnlína rampans, hlið a, 130 tommur. Langhliðin c er 132,4 tommur og lóðrétta hæðin hlið b.
Uppfyllir rampi með 25 tommu lóðrétta hækkun byggingarreglurnar? Ef ekki, hverju þarf að breyta?
Reglurnar krefjast 12 tommu láréttrar lengdar fyrir hverja 1 tommu lóðrétta hækkun. Við 25 tommu hækkun þarf lárétta lengdin að vera Rampinn stenst því ekki reglurnar. Ef hækkunin verður að haldast þarf lárétta lengdin að vera að minnsta kosti 300 tommur:
Í rúmfræði gilda sérstakar reglur við sérstakar aðstæður. Dæmi er ferningsreglan í algebru. Þegar stæða eins og er margfölduð upp þarf ekki að fara lengri leiðina:
Ef við þekkjum ferningsformúluna
getum við sleppt milliskrefinu og ritað svarið beint. Þetta virðist smávægilegt fyrir En hvað ef stæðan er Sama ferningsformúla gildir. Sérstakar formúlur og aðferðir eiga við ákveðin rúmfræðiverkefni. Þótt formúla kallist sérstök, er hún ekki endilega sjaldan notuð. Skoðum því þríhyrninginn og hvers vegna hann er sérstakur. Sjá mynd 10.144.
Mynd 10.144.
Stysta hliðin liggur á móti minnsta horninu og langhliðin á móti rétta horninu. Hliðarhlutfall þríhyrnings er eða Því nægir að þekkja eina hlið til að finna hinar tvær í þríhyrningi.
Dæmi 10.67
Að finna óþekktar lengdir í þríhyrningi
Finndu óþekktu hliðarlengdir þríhyrningsins á mynd 10.145.
Lausn
Þetta er þríhyrningur því hann hefur rétt horn og horn. Hornið sem eftir er er Hliðarhlutföllin hjálpa okkur að finna lengdirnar. Hliðin er stysta hliðin því hún liggur á móti og við setjum Hlutfallið er Langhliðin 10 samsvarar og er 2. Leysum fyrir :
Hliðin er eða Lengdirnar eru
Dæmi 10.68
Notkun þríhyrnings í raunverulegu verkefni
Starfsmaður borgarinnar hallar 40 feta stiga að byggingu í horni við jörð (mynd 10.146). Hve hátt nær stiginn?
Lausn
Við höfum þríhyrning með 40 feta langhlið. Hún er 2, þar sem er stysta hliðin. Ef er . Stiginn nær 20 fet upp á vegginn.
4 5 ∘ - 4 5 ∘ - 9 0 ∘ þríhyrningar
þríhyrningur er annar sérstakur þríhyrningur þar sem ein hliðarlengd nægir til að finna allar hliðar. Hornin tvö við hlið hornsins eru jafnstór, hvort. Jafnstór horn liggja á móti jafnlangri hlið. Hliðarhlutfallið er eða eins og á mynd 10.147.
Finndu lengdir óþekktu hliðanna í þríhyrningnum á mynd 10.148.
Lausn
Þar sem þetta er þríhyrningur eru skammhliðarnar jafnlangar og langhliðin er skammhlið margfölduð með Önnur skammhliðin er 3 og því er einnig 3. Hlutfallið er Langhliðin er því
Hornaföll
Hornareikningur þróaðist um 200 f.Kr. vegna þarfar á að ákvarða fjarlægðir og horn í stjörnufræði og landmælingum. Hann fjallar einkum um hlutföll milli horna og hliðarlengda í rétthyrndum þríhyrningum, en nýtist einnig til að finna óþekktar hliðar og horn í öðrum þríhyrningum og fjölmörgum hagnýtum verkefnum.
Hornareikningur byggist á þremur föllum. Við táknum þau með eftirfarandi skammstöfunum:
sin=sine
cos=cosine
tan=tangent
Látum , langhlið rétthyrnds þríhyrnings. Þá sýnir tafla 10.1 föllin með , og og með mótlægri hlið, aðlægri hlið og langhlið miðað við hornið.
Við notum sínus, kósínus og tangens til að finna óþekktar hliðar og horn. Á mynd 10.149 eru og hliðarnar og auðkennd.
Mynd 10.149. Hornið
Hornið er mælt rangsælis frá jákvæða -ásnum. Geislinn þar sem endar kallast lokaarmur. Með hornaföllunum má finna allar óþekktar stærðir. Á mynd 10.150 finnum við hliðarnar.
Mynd 10.150. Að leysa fyrir óþekktar hliðar
Notum hornaföllin til að finna og . Reiknivélin þarf að vera stillt á gráður. Byrjum á .
Við höfum og Þá er
Finnum næst með kósínusfallinu Þá er
Nú þekkjum við allar hliðarnar: Sannreyna má þær með hlutfallinu Tafla 10.2 sýnir algeng horn.
s i n 0 ∘ = 0 sin 0 ∘ = 0
c o s 0 ∘ = 1 cos 0 ∘ = 1
s i n 3 0 ∘ = 1 2 sin 30 ∘ = 1/2
c o s 3 0 ∘ = √ 3 2 cos 30 ∘ = 3/2
s i n 4 5 ∘ = √ 2 2 sin 45 ∘ = 2/2
c o s 4 5 ∘ = √ 2 2 cos 45 ∘ = 2/2
s i n 6 0 ∘ = √ 3 2 sin 60 ∘ = 3/2
c o s 6 0 ∘ = 1 2 cos 60 ∘ = 1/2
s i n 9 0 ∘ = 1 sin 90 ∘ = 1
c o s 9 0 ∘ = 0 cos 90 ∘ = 0
Dæmi 10.70
Notkun hornafalla
Finndu lengdir óþekktu hliðanna í þríhyrningnum á mynd 10.151.
Lausn
Við höfum horn og lárétta skammhlið á -ásnum með lengd 6.
Skref 1: Til að finna notum við kósínusfallið Umritum jöfnuna fyrir :
Skref 2: Notum reglu Pýþagórasar til að finna . Sannreyndu svörin með öðrum hornafallahlutföllum:
Skref 3: Þegar er þekkt sannreynum við með sínusfallinu
Til að finna horn út frá tveimur hliðum notum við andhverfu hornaföllin eða Veldisvísirinn −1 merkir andhverfu. Í fyrra dæmi var og Sláum inn í reiknivélina:
Einnig má nota með og Þá fæst
Að lokum má nota andhverfa tangensfallið. Þar sem fæst
Dæmi 10.71
Að finna lengdir í rétthyrndum þríhyrningi
Finndu hliðarlengdir rétthyrnds þríhyrnings þar sem og (mynd 10.152).
Lausn
Skref 1: Til að finna notum við sínusfallið:
Skref 2: Til að finna notum við kósínusfallið:
Skref 3: Þar sem þetta er þríhyrningur á að vera Setjum 3 fyrir og fáum Reiknivélin gefur
Dæmi 10.72
Að finna flughæð
Lítil flugvél tekur á loft í horni við jörð. Um tveir þriðju úr mílu (3.520 fet) frá flugvellinum er 1.100 feta tindur í flugleiðinni (mynd 10.153). Finndu flughæð vélarinnar yfir tindinum og hve hátt hún er yfir honum.
Lausn
Notum tangensfallið til að leysa dæmið:
Flughæð vélarinnar yfir tindinum er 2.140 fet og hún er 1.040 fet yfir tindinum.
Dæmi 10.73
Að finna óþekktar hliðar og horn
Tvær hliðar eru þekktar en engin horn nema rétta hornið (mynd 10.154). Finndu óþekktu hornin og þriðju hliðina.
Lausn
Skref 1: Finnum þriðju hliðina með reglu Pýþagórasar:
Nú þekkjum við allar þrjár hliðarnar.
Skref 2: Til að finna finnum við fyrst
Hornið hefur sínusgildið
Skref 3: Finnum með andhverfa sínusfallinu:
Skref 4: Síðasta hornið fæst með frádrætti: .
Háhorn og lághorn
Önnur verkefni með hornaföllum fela í sér háhorn og lághorn. Háhorn myndast milli láréttrar línu og sjónlínu frá athuganda að hlut ofar. Lághorn myndast milli láréttrar línu og sjónlínu frá athuganda að hlut neðar.
Dæmi 10.74
Að finna háhorn
110 metra stagvír liggur frá toppi loftnets að jörð (mynd 10.155). Ef háhornið að toppnum er hve hátt er loftnetið?
Lausn
Við leitum að hæð turnsins, sem samsvarar -gildinu, og notum sínusfallið:
Turninn er 75 m hár.
Dæmi 10.75
Að finna háhorn
Þú flýgur flugdreka í 50 feta snúru (mynd 10.156). Háhornið er Hve hátt yfir jörð er drekinn?
Lausn
Notum sínusfallið
Athugaðu skilning þinn
Finndu óþekktu hliðarlengdir þríhyrningsins á myndinni.
Finndu óþekktu hliðarlengdir þríhyrningsins á myndinni.
Notaðu reglu Pýþagórasar til að finna óþekktu lengdina í þríhyrningnum.
Sólin varpar skugga frá húsþaki sem endar 105 fet frá útidyrunum, eins og á myndinni. Hve hátt er húsið upp að þakbrún?
Finndu lengd hliðarinnar á myndinni.
Finndu lengd hliðarinnar á myndinni.
Æfingar úr hluta 10.8
Notaðu reglu Pýþagórasar í eftirfarandi æfingum. Látum