1010 Rúmfræði

10.8 Hornareikningur rétthyrndra þríhyrninga

Pýþagóras skrifar í bók en ungur maður sýnir honum töflu með skýringarmynd af lýru ofan við teikningu af hinni helgu tetraktýs. — **Mynd 10.137.** Neðst til vinstri í freskunni *Skólinn *í Aþenu* eftir* Rafael er maður í hvítu sem skrifar í bók og táknar Pýþagóras. Til hægri við hann er síðhærður maður sem talinn er sýna Arkimedes. (mynd: breytt verk „School of Athens“ eftir Rafael (1483–1520), Vatíkan-söfnin/Wikimedia, almenningseign)

Námsmarkmið

Eftir að hafa lokið þessum hluta átt þú að geta:

Beitt reglu Pýþagórasar til að finna óþekktar hliðar rétthyrnds þríhyrnings.
Beitt hlutföllum $30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ}$ og $45^{\circ} - 45^{\circ} - 90^{\circ}$ rétthyrndra þríhyrninga til að finna óþekktar hliðar.
Beitt hornafallahlutföllum til að finna óþekktar stærðir í rétthyrndum þríhyrningi.
Leyst hagnýt dæmi með hornafallahlutföllum.

Þetta er annar hluti úr *Skólanum í Aþenu* eftir Rafael. Maðurinn sem skrifar í bókina táknar Pýþagóras, sem regla Pýþagórasar er kennd við. Hún er ein mest notaða formúlan í rúmfræði, verkfræði, byggingarlist og mörgum öðrum greinum. Vísbendingar eru þó um að Babýloníumenn hafi þekkt regluna þegar á árunum 1900–1100 f.Kr. Regla Pýþagórasar er notuð til að finna hliðarlengdir rétthyrndra þríhyrninga.

Pýþagóras fæddist í Grikklandi og lifði um 569–500 f.Kr. Hann stofnaði lokaðan hóp stærðfræðinga, heimspekinga og tónlistarmanna sem nefndist Pýþagóringar. Pýþagóras taldi að útskýra mætti allt í heiminum með tölum. Auk reglu Pýþagórasar eru hann og fylgjendur hans taldir hafa uppgötvað óræðar tölur og tónskalann, tengt tónlist og stærðfræði og mótað fjölmargar hugmyndir sem höfðu ómæld áhrif á síðari stærðfræðinga og vísindamenn.

Í þessum hluta einbeitum við okkur að rétthyrndum þríhyrningum. Við skoðum hvernig regla Pýþagórasar finnur óþekktar hliðar og lærum um sérstaka þríhyrninga með föst hlutföll milli hliðarlengda. Hlutfall lýsir tengslum einnar hliðar við aðra og má hugsa um það sem brot; brot er hlutfall teljara og nefnara. Að lokum fáum við kynningu á hornareikningi. Við lærum grunnfallin sínus, kósínus og tangens og notum þau til að finna bæði óþekktar hliðar og óþekkt horn út frá litlum upplýsingum.

Regla Pýþagórasar

Regla Pýþagórasar er notuð til að finna óþekktar hliðar rétthyrndra þríhyrninga. Hún segir að summa ferninga skammhliðanna tveggja sé jöfn ferningi langhliðarinnar.

Ef hliðin $a = 6,$ og hliðin $b = 8,$ getum við fundið hliðina $c$ með reglu Pýþagórasar. Þá er

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} & = & c^{2} \\ {(6)}^{2} + {(8)}^{2} & = & c^{2} \\ 36 + 64 & = & c^{2} \\ 100 & = & c^{2} \\ \sqrt{100} & = & \sqrt{c^{2}} \\ 10 & = & c \end{matrix}

Dæmi 10.64

Notkun reglu Pýþagórasar

Finndu lengd óþekktu hliðarinnar í þríhyrningnum á mynd 10.139.

Rétthyrndur þríhyrningur með skammhliðar 6 og b og langhlið 14.

Lausn

Með reglu Pýþagórasar fæst

\begin{matrix} {(6)}^{2} + b^{2} & = & {(14)}^{2} \\ 36 + b^{2} & = & 196 \\ b^{2} & = & 196 - 36 \\ b^{2} & = & 160 \\ b & = & \pm \sqrt{160} \\ = & 4 \sqrt{10} = 12.65 \end{matrix}

Ferningsrót tölu hefur yfirleitt bæði jákvæða og neikvæða lausn. Lengd getur þó ekki verið neikvæð og því notum við aðeins jákvæðu rótina.

Fjarlægð

Regla Pýþagórasar á sér ótal not, en sérstaklega gagnleg er notkun hennar til að finna fjarlægð. Fjarlægðarformúlan er leidd beint af reglunni og virkar þannig:

Á mynd 10.140 á að finna fjarlægð milli punktanna $(- 3, - 1)$ og $(3, 2) .$ Köllum lengdina frá $(- 3, - 1)$ að $(3, - 1)$ hlið $a$ og lengdina frá $(3, - 1)$ að $(3, 2)$ hlið $b$ . Hliðin $c$ fæst með fjarlægðarformúlunni: $d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}},$ þar sem $(x_{2} - x_{1})$ kemur í stað $a$ í reglu Pýþagórasar og er $3 - (- 3) = 6;$ og $(y_{2} - y_{1})$ kemur í stað $b$ og er $2 - (- 1) = 3.$ Þegar gildin eru sett inn fæst

\begin{matrix} d & = & \sqrt{{(3 - (- 3))}^{2} + {(2 - (- 1))}^{2}} \\ = & \sqrt{{(6)}^{2} + {(3)}^{2}} = \sqrt{36 + 9} \\ = & \sqrt{45} = 3 \sqrt{5} = 6.7 \end{matrix}

Því er $d = c$ , langhliðin í reglu Pýþagórasar.

Rétthyrndur þríhyrningur í xy-hnitakerfi með hornpunkta (−3, −1), (3, −1) og (3, 2). Fjarlægðin frá (−3, −1) að (3, 2) er c, lárétta fjarlægðin a og lóðrétta fjarlægðin b. — **Mynd 10.140.** Fjarlægð

Dæmi 10.65

Að reikna fjarlægð með fjarlægðarformúlunni

Þú býrð á horni First Street og Maple Avenue og vinnur hjá Star Enterprises á horni Tenth Street og Elm Drive (mynd 10.141). Þú vilt bera saman vegalengdina sem þú gengur daglega við beina fjarlægð. Hver húsaröð er 200 fet á 200 fet.

Rétthyrndur þríhyrningur á rétthyrndu neti. Lárétta skammhliðin táknar Elm Drive, frá stjörnu við 0 að 1800. Lóðrétta skammhliðin táknar First Street frá 0 að húsi við 1400. Strikalína milli stjörnu og húss er langhliðin. Maple Avenue liggur eftir fyrstu röð og Tenth Street eftir fyrsta dálki netsins.

Lausn

Þú ferð 7 húsaraðir suður og 9 vestur. Ef hver röð er 200 fet á 200 fet er vegalengdin $9 (200) + 7 (200) = 1,800 ′ + 1,400 ′ = 3,200 ′$ .

Notum fjarlægðarformúluna til að finna beinu fjarlægðina:

\begin{matrix} d & = & \sqrt{{(1,800 - 0)}^{2} + {(1,400 - 0)}^{2}} \\ = & \sqrt{3,240,000 + 1,960,000} \\ = & \sqrt{5,200,000} \\ = & 2280.4 ′ \end{matrix}

Dæmi 10.66

Að reikna fjarlægð með reglu Pýþagórasar

Byggingarreglur borgarinnar setja ákveðin skilyrði fyrir hjólastólarampa. Fyrir hverja 1 tommu lóðrétta hækkun þarf 12 tommu lárétta lengd. Þú smíðar rampa við fyrirtækið þitt með 130 tommu lárétta lengd og um 132,4 tommu skálengd (mynd 10.142). Hver á lóðrétta hæðin að vera?

Rétthyrndur þríhyrningur með skammhliðar b og 130 tommur og langhlið 132,4 tommur.

Lausn

Samkvæmt reglu Pýþagórasar er lárétt grunnlína rampans, hlið a, 130 tommur. Langhliðin c er 132,4 tommur og lóðrétta hæðin hlið b.

Með reglu Pýþagórasar fæst:

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} & = & c^{2} \\ {(130)}^{2} + b^{2} & = & {(132.4)}^{2} \\ 16,900 + b^{2} & = & 17,529.76 \\ b^{2} & = & 17,529.76 - 16,900 \\ b^{2} & = & 629.8 \\ b & = & \sqrt{629.8} = 25 \end{matrix}

Uppfyllir rampi með 25 tommu lóðrétta hækkun byggingarreglurnar? Ef ekki, hverju þarf að breyta?

Reglurnar krefjast 12 tommu láréttrar lengdar fyrir hverja 1 tommu lóðrétta hækkun. Við 25 tommu hækkun þarf lárétta lengdin að vera $12 (25) = 300 ″ .$ Rampinn stenst því ekki reglurnar. Ef hækkunin verður að haldast þarf lárétta lengdin að vera að minnsta kosti 300 tommur:

\begin{matrix} {(300)}^{2} + {(25)}^{2} & = & c^{2} \\ 90,625 & = & c^{2} \\ \sqrt{90,625} & = & c = 301 ″ \end{matrix}

Nýi rampinn lítur út eins og á mynd 10.143.

Rétthyrndur þríhyrningur með skammhliðar 25 og 300 tommur og langhlið 301 tomma.

30 ∘ - 60 ∘ - 90 ∘ þríhyrningar

Í rúmfræði gilda sérstakar reglur við sérstakar aðstæður. Dæmi er ferningsreglan í algebru. Þegar stæða eins og ${(2 x + 5 y)}^{2},$ er margfölduð upp þarf ekki að fara lengri leiðina:

\begin{matrix} {(2 x + 5 y)}^{2} & = & (2 x + 5 y) (2 x + 5 y) \\ = & {(2 x)}^{2} + 10 x y + 10 x y + {(5 y)}^{2} \\ = & 4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2} \end{matrix}

Ef við þekkjum ferningsformúluna

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2},

getum við sleppt milliskrefinu og ritað svarið beint. Þetta virðist smávægilegt fyrir ${(a + b)}^{2} .$ En hvað ef stæðan er ${(2 \sqrt{3} + 3 \sqrt[3]{31.8 c})}^{2} ?$ Sama ferningsformúla gildir. Sérstakar formúlur og aðferðir eiga við ákveðin rúmfræðiverkefni. Þótt formúla kallist sérstök, er hún ekki endilega sjaldan notuð. Skoðum því $30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ}$ þríhyrninginn og hvers vegna hann er sérstakur. Sjá mynd 10.144.

Rétthyrndur þríhyrningur með skammhliðar x og x√3, langhlið 2x og horn 60°, 90° og 30°. — **Mynd 10.144.** $3 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 9 0^{\circ}$

Stysta hliðin liggur á móti minnsta horninu og langhliðin á móti rétta horninu. Hliðarhlutfall $30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ}$ þríhyrnings er $1 : \sqrt{3} : 2,$ eða $x : x \sqrt{3} : 2 x .$ Því nægir að þekkja eina hlið til að finna hinar tvær í $30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ}$ þríhyrningi.

Dæmi 10.67

Að finna óþekktar lengdir í $3 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 9 0^{\circ}$ þríhyrningi

Finndu óþekktu hliðarlengdir þríhyrningsins á mynd 10.145.

Rétthyrndur þríhyrningur með skammhliðar a og b, langhlið 10 og horn 90° og 30°.

Lausn

Þetta er $30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ}$ þríhyrningur því hann hefur rétt horn og $30^{\circ}$ horn. Hornið sem eftir er er $60^{\circ} .$ Hliðarhlutföllin hjálpa okkur að finna lengdirnar. Hliðin $a$ er stysta hliðin því hún liggur á móti $30^{\circ},$ og við setjum $a = x .$ Hlutfallið er $x : x \sqrt{3} : 2 x .$ Langhliðin 10 samsvarar $c$ og $c$ er 2 $x$ . Leysum fyrir $x$ :

\begin{matrix} 2 x & = & 10 \\ x & = & 5 \end{matrix}

Hliðin $b$ er $x \sqrt{3}$ eða $5 \sqrt{3} .$ Lengdirnar eru $5, 5 \sqrt{3}, 10.$

Dæmi 10.68

Notkun $3 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 9 0^{\circ}$ þríhyrnings í raunverulegu verkefni

Starfsmaður borgarinnar hallar 40 feta stiga að byggingu í $30^{\circ}$ horni við jörð (mynd 10.146). Hve hátt nær stiginn?

40 feta stigi hallar að byggingu í 30° horni. Lóðrétta fjarlægðin er x en lárétta fjarlægðin frá byggingunni að neðri enda stigans er óþekkt.

Lausn

Við höfum $30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ}$ þríhyrning með 40 feta langhlið. Hún er 2 $x$ , þar sem $x$ er stysta hliðin. Ef $2 x = 40$ er $x = 20$ . Stiginn nær 20 fet upp á vegginn.

4 ⁢ 5 ∘ - 4 ⁢ 5 ∘ - 9 ⁢ 0 ∘ þríhyrningar

$45^{\circ} - 45^{\circ} - 90^{\circ}$ þríhyrningur er annar sérstakur þríhyrningur þar sem ein hliðarlengd nægir til að finna allar hliðar. Hornin tvö við hlið $90^{\circ}$ hornsins eru jafnstór, $45^{\circ} .$ hvort. Jafnstór horn liggja á móti jafnlangri hlið. Hliðarhlutfallið er $1 : 1 : \sqrt{2},$ eða $x : x : x \sqrt{2},$ eins og á mynd 10.147.

Tveir rétthyrndir þríhyrningar. Í þeim fyrri eru skammhliðar 1 og 1, langhlið √2 og hornin 90°, 45° og 45°. Í þeim síðari eru skammhliðar x og x og langhlið x√2 með sömu hornum. — **Mynd 10.147.** $4 5^{\circ} - 4 5^{\circ} - 9 0^{\circ}$ 4 5 ∘-4 5 ∘-9 0 ∘, 45°-45°-90°, þríhyrningar

Dæmi 10.69

Að finna óþekktar lengdir í $4 5^{\circ} - 4 5^{\circ} - 9 0^{\circ}$ þríhyrningi

Finndu lengdir óþekktu hliðanna í þríhyrningnum á mynd 10.148.

Rétthyrndur þríhyrningur með skammhliðar a og 3, langhlið c og hornin 90°, 45° og 45°.

Lausn

Þar sem þetta er $45^{\circ} - 45^{\circ} - 90^{\circ}$ þríhyrningur eru skammhliðarnar jafnlangar og langhliðin er skammhlið margfölduð með $\sqrt{2} .$ Önnur skammhliðin er 3 og því er $a$ einnig 3. Hlutfallið er $x : x : x \sqrt{2} .$ Langhliðin $c$ er því $3 \sqrt{2} .$

Hornaföll

Hornareikningur þróaðist um 200 f.Kr. vegna þarfar á að ákvarða fjarlægðir og horn í stjörnufræði og landmælingum. Hann fjallar einkum um hlutföll milli horna og hliðarlengda í rétthyrndum þríhyrningum, en nýtist einnig til að finna óþekktar hliðar og horn í öðrum þríhyrningum og fjölmörgum hagnýtum verkefnum.

Hornareikningur byggist á þremur föllum. Við táknum þau með eftirfarandi skammstöfunum:

sin=sine $\sin = sínus$
cos=cosine $\cos = kósínus$
tan=tangent $\tan = tangens$

Látum $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}},$ , langhlið rétthyrnds þríhyrnings. Þá sýnir tafla 10.1 föllin með $x$ , $y$ og $r$ og með mótlægri hlið, aðlægri hlið og langhlið miðað við hornið.

\frac{s i n ⁡ 𝜃 = 𝑦 𝑟 = 𝑜 ⁢ 𝑝 ⁢ 𝑝 ℎ ⁡ 𝑦 ⁢ 𝑝 sin ⁡ θ = y}{r} = \frac{o ⁢ p ⁢ p}{h ⁡ y ⁢ p}

\frac{c o s ⁡ 𝜃 = 𝑥 𝑟 = 𝑎 ⁢ 𝑑 ⁢ 𝑗 ℎ ⁡ 𝑦 ⁢ 𝑝 cos ⁡ θ = x}{r} = \frac{a ⁢ d ⁢ j}{h ⁡ y ⁢ p}

\frac{t a n ⁡ 𝜃 = 𝑦 𝑥 = 𝑜 ⁢ 𝑝 ⁢ 𝑝 𝑎 ⁢ 𝑑 ⁢ 𝑗 tan ⁡ θ = y}{x} = \frac{o ⁢ p ⁢ p}{a ⁢ d ⁢ j}

Við notum sínus, kósínus og tangens til að finna óþekktar hliðar og horn. Á mynd 10.149 eru $r$ og hliðarnar $x$ og $y$ auðkennd.

Tveir geislar í xy-hnitakerfi hefjast í upphafspunkti. Annar liggur á jákvæða x-ásnum en hinn í fyrsta fjórðungi gegnum punktinn (x, y). Hornið milli þeirra er θ og fjarlægðin frá upphafspunkti að punktinum eftir geislanum er r. — **Mynd 10.149.** Hornið $θ$

Hornið $θ$ er mælt rangsælis frá jákvæða $x$ -ásnum. Geislinn þar sem $θ^{\circ}$ endar kallast lokaarmur. Með hornaföllunum má finna allar óþekktar stærðir. Á mynd 10.150 finnum við hliðarnar.

Geisli í fyrsta fjórðungi xy-hnitakerfis liggur frá upphafspunkti að punkti. Lóðrétt lína frá punktinum að x-ásnum er y og lárétta fjarlægðin x. Hornið við x-ásinn er 60° og fjarlægðin eftir geislanum r = 2. — **Mynd 10.150.** Að leysa fyrir óþekktar hliðar

Notum hornaföllin til að finna $x$ og $y$ . Reiknivélin þarf að vera stillt á gráður. Byrjum á $y$ .

Við höfum $\sin θ = \frac{y}{r},$ og $θ = 60^{\circ} .$ Þá er

\begin{matrix} \sin 60^{\circ} & = & \frac{y}{2} \\ 2 \sin 60^{\circ} & = & y \\ 1.732 & = & y \\ \sqrt{3} & = & y \end{matrix}

Finnum næst $x$ með kósínusfallinu $\cos θ = \frac{x}{r} .$ Þá er

\begin{matrix} \cos 60^{\circ} & = & \frac{x}{2} \\ 2 \cos 60^{\circ} & = & x \\ = & 1 \end{matrix}

Nú þekkjum við allar hliðarnar: $1, \sqrt{3}, 2.$ Sannreyna má þær með $30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ}$ hlutfallinu $1 : \sqrt{3} : 2.$ Tafla 10.2 sýnir algeng horn.

s i n ⁡ 0 ∘ = 0 sin ⁡ 0 ∘ = 0	c o s ⁡ 0 ∘ = 1 cos ⁡ 0 ∘ = 1
s i n ⁡ 3 0 ∘ = 1 2 sin ⁡ 30 ∘ = 1/2	c o s ⁡ 3 0 ∘ = √ 3 2 cos ⁡ 30 ∘ = 3/2
s i n ⁡ 4 5 ∘ = √ 2 2 sin ⁡ 45 ∘ = 2/2	c o s ⁡ 4 5 ∘ = √ 2 2 cos ⁡ 45 ∘ = 2/2
s i n ⁡ 6 0 ∘ = √ 3 2 sin ⁡ 60 ∘ = 3/2	c o s ⁡ 6 0 ∘ = 1 2 cos ⁡ 60 ∘ = 1/2
s i n ⁡ 9 0 ∘ = 1 sin ⁡ 90 ∘ = 1	c o s ⁡ 9 0 ∘ = 0 cos ⁡ 90 ∘ = 0

Dæmi 10.70

Notkun hornafalla

Finndu lengdir óþekktu hliðanna í þríhyrningnum á mynd 10.151.

Geisli í fyrsta fjórðungi xy-hnitakerfis. Lóðrétt strikalína frá punkti á geislanum að x-ásnum myndar rétt horn. Lárétta fjarlægðin er 6, hornið við x-ásinn 55° og fjarlægðin eftir geislanum r.

Lausn

Við höfum $55^{\circ}$ horn og lárétta skammhlið á $x$ -ásnum með lengd 6.

Skref 1: Til að finna $r$ notum við kósínusfallið $\cos θ = \frac{x}{r} .$ Umritum jöfnuna fyrir $r$ :

\begin{matrix} \cos (55^{\circ}) & = & \frac{6}{r} \\ r \cos (55^{\circ}) & = & 6 \\ r & = & \frac{6}{\cos (55^{\circ})} \\ r & = & \frac{6}{0.5736} = 10.46 \end{matrix}

Skref 2: Notum reglu Pýþagórasar til að finna $y$ . Sannreyndu svörin með öðrum hornafallahlutföllum:

\begin{matrix} 6^{2} + y^{2} & = & {10.46}^{2} \\ y^{2} & = & 109.4 - 36 \\ y & = & 8.57 \end{matrix}

Skref 3: Þegar $y$ er þekkt sannreynum við $r$ með sínusfallinu $\sin θ = \frac{y}{r} .$

\begin{matrix} \sin (55^{\circ}) & = & \frac{8.57}{r} \\ r \sin (55^{\circ}) & = & 8.57 \\ r & = & \frac{8.57}{\sin (55^{\circ})} \\ = & \frac{8.57}{0.819} = 10.46 \end{matrix}

Til að finna horn út frá tveimur hliðum notum við andhverfu hornaföllin $\sin^{- 1},$ $\cos^{- 1},$ eða $\tan^{- 1} .$ Veldisvísirinn −1 merkir andhverfu. Í fyrra dæmi var $x = 6$ og $r = 10.46.$ Sláum $\cos^{- 1} (\frac{x}{r})$ inn í reiknivélina:

\cos^{- 1} (\frac{6}{10.46}) = 55^{\circ} .

Einnig má nota $\sin^{- 1} (\frac{y}{r})$ með $y = 8.57$ og $r = 10.46.$ Þá fæst

\sin^{- 1} (\frac{8.57}{10.46}) = 55^{\circ} .

Að lokum má nota andhverfa tangensfallið. Þar sem $\tan θ = \frac{y}{x} .$ fæst

\tan^{- 1} (\frac{8.57}{6}) = 55^{\circ} .

Dæmi 10.71

Að finna lengdir í rétthyrndum þríhyrningi

Finndu hliðarlengdir rétthyrnds þríhyrnings þar sem $θ = 30^{\circ}$ og $r = 6$ (mynd 10.152).

Geisli í fyrsta fjórðungi xy-hnitakerfis. Lóðrétt strikalína frá punkti á geislanum að x-ásnum er a og myndar rétt horn. Lárétta fjarlægðin er b, hornið við x-ásinn 30° og langhliðin 6.

Lausn

Skref 1: Til að finna $a$ notum við sínusfallið:

\begin{matrix} \sin 30^{\circ} & = & \frac{a}{6} \\ 6 \sin 30^{\circ} & = & a = 3 \end{matrix}

Skref 2: Til að finna $b$ notum við kósínusfallið:

\begin{matrix} \cos 30^{\circ} & = & \frac{b}{6} \\ 6 \cos 30^{\circ} & = & b = 5.196 \end{matrix}

Skref 3: Þar sem þetta er $30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ}$ þríhyrningur á $b$ að vera $x \sqrt{3},$ Setjum 3 fyrir $x$ og fáum $b = 3 \sqrt{3} .$ Reiknivélin gefur $3 \sqrt{3} = 5.196.$

Dæmi 10.72

Að finna flughæð

Lítil flugvél tekur á loft í ${31.3}^{\circ}$ horni við jörð. Um tveir þriðju úr mílu (3.520 fet) frá flugvellinum er 1.100 feta tindur í flugleiðinni (mynd 10.153). Finndu flughæð vélarinnar yfir tindinum og hve hátt hún er yfir honum.

Lárétt lína er 3.520 fet. Geisli frá vinstri enda hennar myndar 31,3° horn. Lóðrétt 1.100 feta lína er við hægri endann og flugvél flýgur ofan hennar.

Lausn

Notum tangensfallið til að leysa dæmið:

\begin{matrix} \tan {31.3}^{\circ} & = & \frac{x}{3,520} \\ 3,520 \tan {31.3}^{\circ} & = & 2,140 \end{matrix}

Flughæð vélarinnar yfir tindinum er 2.140 fet og hún er 1.040 fet yfir tindinum.

Dæmi 10.73

Að finna óþekktar hliðar og horn

Tvær hliðar eru þekktar en engin horn nema rétta hornið (mynd 10.154). Finndu óþekktu hornin og þriðju hliðina.

Rétthyrndur þríhyrningur með skammhliðar 4 og 6, langhlið c og horn θ milli langhliðar og láréttrar skammhliðar.

Lausn

Skref 1: Finnum þriðju hliðina með reglu Pýþagórasar:

\begin{matrix} 6^{2} + 4^{2} & = & c^{2} \\ 52 & = & c^{2} \\ 2 \sqrt{13} & = & c \end{matrix}

Nú þekkjum við allar þrjár hliðarnar.

Skref 2: Til að finna $θ,$ finnum við fyrst $\sin θ .$

\begin{matrix} \sin θ & = & \frac{o p p}{h y p} \\ = & \frac{4}{2 \sqrt{13}} \\ = & \frac{2}{\sqrt{13}} . \end{matrix}

Hornið $θ$ hefur sínusgildið $\frac{2}{\sqrt{13}} .$

Skref 3: Finnum $θ$ með andhverfa sínusfallinu:

\begin{matrix} θ & = & \sin^{- 1} (\frac{2}{\sqrt{13}}) \\ = & {33.7}^{\circ} \end{matrix}

Skref 4: Síðasta hornið fæst með frádrætti: $180^{\circ} - 90^{\circ} - {33.7}^{\circ} = {56.3}^{\circ}$ .

Háhorn og lághorn

Önnur verkefni með hornaföllum fela í sér háhorn og lághorn. Háhorn myndast milli láréttrar línu og sjónlínu frá athuganda að hlut ofar. Lághorn myndast milli láréttrar línu og sjónlínu frá athuganda að hlut neðar.

Dæmi 10.74

Að finna háhorn

110 metra stagvír liggur frá toppi loftnets að jörð (mynd 10.155). Ef háhornið að toppnum er $43^{\circ},$ hve hátt er loftnetið?

Rétthyrndur þríhyrningur þar sem lóðrétta skammhliðin er hæð loftnets, langhliðin 110 metra stagvír og athugandi stendur við neðri vinstri hornpunkt. Hornin neðst eru 43° og 90°.

Lausn

Við leitum að hæð turnsins, sem samsvarar $y$ -gildinu, og notum sínusfallið:

\begin{matrix} \sin 43^{\circ} & = & \frac{y}{110} \\ 110 \sin 43^{\circ} & = & y \\ 75 & = & y \end{matrix}

Turninn er 75 m hár.

Dæmi 10.75

Að finna háhorn

Þú flýgur flugdreka í 50 feta snúru (mynd 10.156). Háhornið er $60^{\circ} .$ Hve hátt yfir jörð er drekinn?

Rétthyrndur þríhyrningur með flugdreka efst, 50 feta langhlið og 60° horn milli langhliðar og láréttrar skammhliðar.

Lausn

Notum sínusfallið $\sin θ = \frac{o p p}{h y p} .$

\begin{matrix} \sin 60^{\circ} & = & \frac{x}{50} \\ 50 \sin 60^{\circ} & = & x \\ = & 43.3 ′ \end{matrix}

Fólk í stærðfræði

Pýþagóras og Pýþagóringar

Regla Pýþagórasar er svo mikið notuð að flestir gera ráð fyrir að Pýþagóras (570–490 f.Kr.) hafi uppgötvað hana. Heimspekingurinn og stærðfræðingurinn fann þó vísbendingar um hugmyndina í um 1900 ára gömlum kenningum Babýloníumanna. Pýþagóras fann engu að síður ótal not fyrir regluna sem leiddu til framfara í rúmfræði, byggingarlist, stjörnufræði og verkfræði.

Pýþagóras stofnaði meðal annars skóla til að rannsaka stærðfræði og tónlist. Nemendurnir nefndust Pýþagóringar og kennslan var jafnt trúarleg innræting sem fræðilegt nám. Pýþagóras taldi andleg málefni og vísindi geta farið saman, vitsmunina æðri skynjun og innsæi mikilvægara en athugun.

Pýþagóras var sannfærður um að skilgreina mætti alheiminn með tölum og að náttúran byggðist á stærðfræði. Meginhugmynd hans var „Allt er tala“. Hann eignaði tölum jafnvel eiginleika; 8 táknaði réttlæti og 7 visku. Goðsagnakenndur blær umlukti Pýþagóras og fylgjendur töldu hann andlega veru, alvitran dulspeking sem gæti ferðast um tíma og rúm. Sumir töldu hann hafa dulræna krafta, án þess að það væri staðfest.

Pýþagóras og fylgjendur hans lögðu fjölmargar hugmyndir til stærðfræði, tónlistar og stjörnufræði. Þeim er meðal annars eignuð uppgötvun óræðra talna, tónskalans og að morgunstjarnan væri Venus. Þeir sýndu einnig að summa innri horna þríhyrnings væri $180^{\circ} .$ Evklíð sannaði þessar meginreglur 200 árum síðar.

Athugaðu skilning þinn

Finndu óþekktu hliðarlengdir

{30^ \circ } {\text{-}} {60^ \circ } {\text{-}} {90^ \circ }

þríhyrningsins á myndinni.

Rétthyrndur þríhyrningur með skammhliðar a og b, langhlið 5 og horn 30° og 90°.

Finndu óþekktu hliðarlengdir

{45^ \circ } {\text{-}} {45^ \circ } {\text{-}} {90^ \circ }

þríhyrningsins á myndinni.

Rétthyrndur þríhyrningur með skammhliðar 10 og b, langhlið c og horn 45°, 90° og 45°.

Notaðu reglu Pýþagórasar til að finna óþekktu lengdina í þríhyrningnum.

Rétthyrndur þríhyrningur með skammhliðar b og 3 og langhlið 3√5.

Sólin varpar skugga frá húsþaki sem endar 105 fet frá útidyrunum, eins og á myndinni. Hve hátt er húsið upp að þakbrún?

Rétthyrndur þríhyrningur þar sem lóðrétta skammhliðin er hæð húss, lárétta skammhliðin 105 fet og hornið milli langhliðar og láréttrar skammhliðar 13°.

Finndu lengd hliðarinnar

c

á myndinni.

Rétthyrndur þríhyrningur með skammhliðar 7,5 cm og óþekkta lengd, langhlið c og horn 90° og 40°.

Finndu lengd hliðarinnar

x

á myndinni.

Rétthyrndur þríhyrningur með eina óþekkta skammhlið og hina merkta x, langhlið 15 m og horn 90° og 18°.

Æfingar úr hluta 10.8

Notaðu reglu Pýþagórasar í eftirfarandi æfingum. Látum

𝑎

𝑏

tákna skammhliðar rétthyrnds þríhyrnings og

𝑐

tákna langhliðina. Finndu óþekktu hliðarlengdirnar.

Rétthyrndur þríhyrningur með skammhlið a = 7, skammhlið b og langhlið c = 25.

Rétthyrndur þríhyrningur með skammhliðar a = 8 og b = 15 og langhlið c.

b = 25

c = 65{\text{ ft}}

, finndu

a

a = 18{\text{ ft}}

c = 30{\text{ ft}}

, finndu

b

b = 12{\text{ cm}}

c = 15{\text{ cm}}

, finndu

a

Notaðu

∘

þríhyrninginn á myndinni í eftirfarandi æfingum.

Rétthyrndur þríhyrningur með skammhliðar a og b, langhlið c og horn 60°, 90° og 30°.

b = 10

, finndu

c

a

a = 2\sqrt 3{\text{ ft}}

, finndu

b

c

b = 7{\text{ cm}}

, finndu

a

c

c = \sqrt 3

, finndu

a

b

10.

c = 8\sqrt 3

, finndu

a

b

Notaðu

∘

þríhyrninginn á myndinni í eftirfarandi æfingum.

Rétthyrndur þríhyrningur með skammhliðar a og b, langhlið c og horn 90°, 45° og 45°.

11.

a = 15{\text{ cm}}

, finndu

b

12.

a = 3\sqrt {2}{\text{ ft}}

, finndu

a

13.

a = 4\sqrt 5{\text{ cm}}

, finndu

b

14.

a = 10{\text{ ft}}

, finndu

b

15.

b = \frac{{\sqrt 2 }}{2}{\text{ cm}}

, finndu

a

16.

Finndu óþekktu hliðarnar og hornin þegar

\alpha = {10^ \circ }

Rétthyrndur þríhyrningur með skammhlið a = 11 og b og hornin beta, 90° og alfa.

Reiknaðu stæðurnar í eftirfarandi æfingum.

17.

sin−1⁡(25)

{\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{2}{5}} \right)

18.

tan−1⁡(5.68)

{\tan ^{ - 1}}(5.68)

19.

cos−1⁡(19)

{\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{9}} \right)

20.

Notaðu myndina til að finna allar óþekktar hliðar og horn þegar

a = 6,\,b = 8

Rétthyrndur þríhyrningur með skammhliðar b og a, langhlið c og hornin beta, alfa og 90°.

21.

Notaðu myndina til að finna allar óþekktar hliðar og horn þegar

\alpha = {16^ \circ },\,c = 20