10.4 Marghyrningar, ummál og ummál hrings

Marghyrningur er lokað tvívítt form sem flokkað er eftir fjölda beinna hliða. Mynd 10.63 sýnir dæmi með allt að átta hliðum, en gerðirnar eru mun fleiri.

Ef allar hliðar marghyrnings eru jafnlengar og öll hornin jafnstór kallast hann reglulegur marghyrningur. Sérhver lokuð mynd með hliðar sem eru línustrik telst þó marghyrningur. Fyrstu tvær myndirnar á mynd 10.64 og mynd 10.64 eru til dæmis báðar fimmhyrningar því þær hafa fimm hliðar og fimm hornpunkta. Þriðja myndin á mynd 10.64 er sexhyrningur því hún hefur sex hliðar og sex hornpunkta. Sexhyrningurinn á mynd 10.64 er íhvolfur en fyrstu tvær myndirnar eru kúptir fimmhyrningar. Íhvolfur marghyrningur hefur að minnsta kosti eitt innra horn stærra en ${180}^{\circ }$. Hann sveigist inn á við. Kúptur marghyrningur sveigist hins vegar út á við og öll innri horn hans eru minni en 180°.

Ferhyrningar hafa sérstaka undirflokka sem ráðast af hornum og fjölda para samsíða hliða. Sjá mynd 10.65.

Ummál er lengd ytri jaðars svæðis, mæld í lengdareiningum. Til að finna magn girðingar um bakgarð þarf til dæmis ummálið. Almennt er ummál summa lengda allra hliða lokaðs svæðis. Fyrir sum form, svo sem rétthyrninga og hringi, eru sérstakar formúlur; annars eru hliðarlengdirnar lagðar saman.

Rétthyrningur er ferhyrningur með tvö pör samsíða hliða og fjögur rétt horn. Ummál hans er reiknað með eftirfarandi formúlu:

Ummál reglulegs marghyrnings með $n$ hliðar er $P=n\cdot s$. Ummál jafnhliða þríhyrnings með þrjár jafnar hliðar sem hver er 7 cm er til dæmis $P=3(7)=21\text{cm}$.

Til að finna stærð hvers innra horns reglulegs marghyrnings með $n$ hliðar notum við eftirfarandi formúlu.

Finndu til dæmis innra horn reglulegs sjöhyrnings á mynd 10.69:

Ytra horn er ytra horn reglulegs marghyrnings sem myndast þegar ein hlið hans er framlengd út fyrir lokuðu myndina. Stærð ytra horns reglulegs marghyrnings með $n$ hliðar er fundin með eftirfarandi formúlu:

Á mynd 10.71 er reglulegur sexhyrningur $\mathit{ABCDEF}$. Þegar hver hlið er framlengd myndast ytra horn við hvern hornpunkt. Stærð hvers ytra horns er $b=\frac{{360}^{\circ }}{6}={60}^{\circ }$.

Mikilvægt er að summa ytri horna reglulegs marghyrnings með $n$ hliðar er ${360}^{\circ }.$ Þegar stærð eins ytra horns er margfölduð með fjölda hliða á summan því að verða ${360}^{\circ }.$ Í dæminu á mynd 10.71 margföldum við stærð hvers ytra horns, ${60}^{\circ }$, með hliðafjöldanum sex. Summa ytri hornanna er því $6({60}^{\circ })={360}^{\circ }.$

Ummál hrings kallast ummál hrings. Við finnum það með formúlunni $C=\pi d,$ þar sem $d$ er þvermálið, fjarlægðin þvert yfir miðju hringsins, eða $C=2\pi r,$ þar sem $r$ er geislinn.

Geislinn er helmingur þvermáls hrings. Táknið $\pi =3.141592654\dots$ er hlutfall ummáls og þvermáls. Þar sem þetta hlutfall er fast gildir formúlan fyrir hringi af hvaða stærð sem er. Sjá mynd 10.73.