10.4 Marghyrningar, ummál og ummál hrings – Stærðfræði í daglegu lífi (IS) | Námsgögn
1010 Rúmfræði
10.4 Marghyrningar, ummál og ummál hrings
10.4 Marghyrningar, ummál og ummál hrings
Mynd 10.62. Rúmfræðileg mynstur eru algeng í vefnaði vegna þess hve áhugaverð formin eru. (mynd: „Triangles“ eftir Brett Jordan/Flickr, CC BY 2.0)
Námsmarkmið
Að loknum þessum hluta átt þú að geta:
Greint marghyrninga eftir hliðum.
Greint marghyrninga eftir eiginleikum.
Reiknað ummál marghyrnings.
Reiknað summu innri horna marghyrnings.
Reiknað summu ytri horna marghyrnings.
Reiknað ummál hrings.
Leyst hagnýt verkefni um ummál marghyrninga og hringa.
Marghyrnd form eru alls staðar í umhverfi okkar og notkun þeirra nær til umferðarskilta, húsgagna, ljósa, klukkna, bóka, tölva, síma og ótal annarra hluta. Oft eru formin valin vegna þess að þau henta best tilganginum.
Rúmfræðileg mynstur í textílhönnun hafa orðið sífellt vinsælli vegna þeirrar fegurðar sem þau færa efnum, gluggatjöldum, fatnaði og áklæði. Tilgangurinn er fyrst og fremst sjónrænn og fagurfræðilegur.
Við textílhönnun þarf að huga að ummáli þríhyrninga, sexhyrninga og annarra marghyrninga í mynstrinu, ásamt ummáli hringlaga forma. Með því að kanna afstöðu forma og breyta ummáli eða hornum má finna heildarhönnun sem hentar efninu. Í þessum hluta skoðum við marghyrninga, ummál þeirra, innri og ytri horn og ummál hrings.
Greining marghyrninga
Marghyrningur er lokað tvívítt form sem flokkað er eftir fjölda beinna hliða. Mynd 10.63 sýnir dæmi með allt að átta hliðum, en gerðirnar eru mun fleiri.
Mynd 10.63. Gerðir marghyrninga
Ef allar hliðar marghyrnings eru jafnlengar og öll hornin jafnstór kallast hann reglulegur marghyrningur. Sérhver lokuð mynd með hliðar sem eru línustrik telst þó marghyrningur. Fyrstu tvær myndirnar á mynd 10.64 og mynd 10.64 eru til dæmis báðar fimmhyrningar því þær hafa fimm hliðar og fimm hornpunkta. Þriðja myndin á mynd 10.64 er sexhyrningur því hún hefur sex hliðar og sex hornpunkta. Sexhyrningurinn á mynd 10.64 er íhvolfur en fyrstu tvær myndirnar eru kúptir fimmhyrningar. Íhvolfur marghyrningur hefur að minnsta kosti eitt innra horn stærra en . Hann sveigist inn á við. Kúptur marghyrningur sveigist hins vegar út á við og öll innri horn hans eru minni en 180°.
Mynd 10.64. Marghyrningar
Ferhyrningar hafa sérstaka undirflokka sem ráðast af hornum og fjölda para samsíða hliða. Sjá mynd 10.65.
Form 1 og 5 eru sexhyrningar; 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 13, 14, 15 og 16 eru þríhyrningar; 8 og 17 eru samsíðungar; og 11 er trapisa.
Ummál
Ummál er lengd ytri jaðars svæðis, mæld í lengdareiningum. Til að finna magn girðingar um bakgarð þarf til dæmis ummálið. Almennt er ummál summa lengda allra hliða lokaðs svæðis. Fyrir sum form, svo sem rétthyrninga og hringi, eru sérstakar formúlur; annars eru hliðarlengdirnar lagðar saman.
Rétthyrningur er ferhyrningur með tvö pör samsíða hliða og fjögur rétt horn. Ummál hans er reiknað með eftirfarandi formúlu:
Til að finna lengd rétthyrnings með ummálið 24 tommur og breiddina 4 tommur notum við formúluna:
Lengdin er 8 einingar.
Ummál reglulegs marghyrnings með hliðar er . Ummál jafnhliða þríhyrnings með þrjár jafnar hliðar sem hver er 7 cm er til dæmis .
Dæmi 10.26
Ummál fimmhyrnings
Finndu ummál reglulegs fimmhyrnings með 7 cm hlið (mynd 10.67).
Lausn
Reglulegur fimmhyrningur hefur fimm jafnar hliðar. Ummálið er því .
Dæmi 10.27
Ummál átthyrnings
Finndu ummál reglulegs átthyrnings með 14 cm hlið (mynd 10.68).
Lausn
Reglulegur átthyrningur hefur átta jafnar hliðar. Ummál reglulegs átthyrnings með 12 cm hliðarlengd er því .
Summa innri og ytri horna
Eftirfarandi formúla gefur summu innri horna reglulegs marghyrnings.
Til að finna summu innri horna samsíðungs fæst til dæmis
Á sama hátt fæst summa innri horna reglulegs sjöhyrnings
Til að finna stærð hvers innra horns reglulegs marghyrnings með hliðar notum við eftirfarandi formúlu.
Finndu til dæmis innra horn reglulegs sjöhyrnings á mynd 10.69:
Mynd 10.69. Innri horn
Dæmi 10.28
Útreikningur summu innri horna
Notaðu formúluna til að finna stærð innra horns reglulegs átthyrnings og finndu síðan summu allra innri hornanna.
Lausn
Átthyrningur hefur átta hliðar, svo .
Skref 1: Notum formúluna :
Hvert innra horn reglulegs átthyrnings er því .
Skref 2: Notum summuformúluna til að finna summu hornanna í átthyrningnum:
Skref 3: Við getum sannreynt þetta þar sem við vitum að hvert horn er . Þá er .
Dæmi 10.29
Útreikningur innri horna
Notaðu algebru til að finna stærð hvers innra horns fimmhyrningsins á mynd 10.70.
Lausn
Skref 1: Finnum fyrst hver summa innri hornanna á að vera. Notum formúluna fyrir marghyrning með hliðar: . Þá er .
Skref 2: Leggjum hornin saman og leysum fyrir :
Skref 3: Þá má finna stærð hvers innra horns:
Ytra horn er ytra horn reglulegs marghyrnings sem myndast þegar ein hlið hans er framlengd út fyrir lokuðu myndina. Stærð ytra horns reglulegs marghyrnings með hliðar er fundin með eftirfarandi formúlu:
Á mynd 10.71 er reglulegur sexhyrningur . Þegar hver hlið er framlengd myndast ytra horn við hvern hornpunkt. Stærð hvers ytra horns er .
Mynd 10.71. Ytri horn
Mikilvægt er að summa ytri horna reglulegs marghyrnings með hliðar er Þegar stærð eins ytra horns er margfölduð með fjölda hliða á summan því að verða Í dæminu á mynd 10.71 margföldum við stærð hvers ytra horns, , með hliðafjöldanum sex. Summa ytri hornanna er því
Dæmi 10.30
Útreikningur summu ytri horna
Finndu summu ytri horna fimmhyrningsins á mynd 10.72.
Lausn
Hvert horn er Summa ytri hornanna er þá
Hringir og ummál hrings
Ummál hrings kallast ummál hrings. Við finnum það með formúlunni þar sem er þvermálið, fjarlægðin þvert yfir miðju hringsins, eða þar sem er geislinn.
Geislinn er helmingur þvermáls hrings. Táknið er hlutfall ummáls og þvermáls. Þar sem þetta hlutfall er fast gildir formúlan fyrir hringi af hvaða stærð sem er. Sjá mynd 10.73.
Mynd 10.73. Þvermál og geisli hrings
Látum geislann vera 3,5 tommur. Þá er ummálið
Dæmi 10.31
Ummál út frá þvermáli
Finndu ummál hrings með 10 cm þvermál.
Lausn
Ef þvermálið er 10 cm er ummálið
Dæmi 10.32
Geisli út frá ummáli
Finndu geisla hrings með ummálið 12 tommur.
Lausn
Ef ummálið er 12 tommur er geislinn
Dæmi 10.33
Hagnýtur útreikningur á ummáli hrings
Þú ætlar að setja lista kringum gluggann á mynd 10.74. Hve mörg fet af lista þarftu?
Lausn
Listinn nær yfir 6 feta botninn, tvær 12 feta hliðar og hálfhringinn efst. Ummál hrings með 6 feta þvermál er
Heildarummál gluggans er því Þú þarft að kaupa 39,4 fet af lista.
Athugaðu skilning þinn
Tilgreindu reglulegu marghyrningana í eftirfarandi æfingum.
Finndu ummál reglulegs fimmhyrnings með 6 cm hlið.
Finndu ummál reglulegs sexhyrnings með 12 cm hlið.
5.
Reglulegur ferhyrningur hefur ummálið 72 tommur. Finndu lengd hverrar hliðar.
6.
Ummál jafnhliða þríhyrnings er 72 cm. Finndu lengd hverrar hliðar.
7.
Finndu mál rétthyrnds svæðis með ummálið 34 m, þar sem styttri hliðin er 13 minna en tvöföld lengri hliðin. Látum . Þá er styttri hliðin
8.
Finndu ummál myndarinnar.
9.
Finndu ummál afgirts svæðis með lengdina 22 m og breiddina helming lengdarinnar að viðbættum 3 m.
10.
Þú hefur 140 fet af girðingu til að afmarka rétthyrnt svæði við á. Ekki þarf að girða árhliðina. Breiddin er og lengdin sexföld breiddin að frádregnum 10. Finndu mál svæðisins.
11.
Hve stórt er hvert innra horn reglulegs sexhyrnings?
12.
Hver er summa innri horna þríhyrnings?
13.
Notaðu algebru til að finna stærð hvers horns ferhyrningsins.
14.
Finndu óþekktar hliðar og horn samsíðungsins.
15.
Finndu summu innri og ytri horna reglulega fimmhyrningsins.
16.
Hve stórt er hvert ytra horn reglulegs sexhyrnings?
17.
Hver er summa ytri horna þríhyrnings?
18.
Hver er summa ytri horna átthyrnings?
19.
Finndu ummál hrings með geislann 5.
20.
Finndu ummál hrings með þvermálið 7.
21.
Finndu ummál gluggans á myndinni.
22.
Finndu ummál hrings með 1,25 cm geisla.
23.
Vísar klukku eru mislangir. Klukkustundavísirinn er 5 tommur og mínútuvísirinn 7 tommur. Hve langt fer hvor vísir á 12 klukkustundum?
24.
Hjólbarði hefur 12 tommu geisla. Hve marga hringi snýst hann þegar hjólið fer um 377 fet?
25.
Þegar Chicago setti upp aldarafmælisparísarhjólið við Navy Pier árið 1995 var rætt hve stórt það mætti vera. Hámarkshæðin var ákveðin 150 fet og neðsti hluti hjólsins 10 fet yfir jörðu. Hvert er ummál parísarhjólsins?
26.
Finndu ummál jafnhliða þríhyrnings með 21 cm hlið.