1010 Rúmfræði

10.6 Flatarmál

Teikning af hafnaboltavelli með málum. — **Mynd 10.102.** Flatarmál löglegs hafnaboltavallar verður að fylgja tilteknum málum. (mynd: „Diagram of Regulation Diamond“ eftir Ericu Fischer úr „Baseball“ í alfræðiritinu „World book“, 1920/Flickr, almenningseign, CC BY 2.0)

Námsmarkmið

Eftir að hafa lokið þessum hluta átt þú að geta:

Reiknað flatarmál þríhyrninga.
Reiknað flatarmál ferhyrninga.
Reiknað flatarmál annarra marghyrninga.
Reiknað flatarmál hringa.

Sum flatarmál skipta meira máli en önnur. Vissir þú að þegar hafnaboltaleikmaður slær boltann og hleypur að fyrstu höfn verður hann að halda sig á sex feta breiðri leið? Víki hann örlítið til hægri er hann úr leik. Nokkrar tommur geta því ráðið úrslitum um sigur eða tap. Annað dæmi er fasteignaverð. Einn ferfet fasteignar á Manhattaneyju er miklu verðmætari en víðast annars staðar í Bandaríkjunum. Við leggjum sem sagt verðgildi á flatarmál og það breytist eftir samhengi.

Flatarmál er stærð svæðis mæld í ferningseiningum, svo sem fermílum eða ferfetum. Til að kaupa flísar á eldhúsgólf þarf til dæmis að vita hve marga ferfeta þarf, því flísar eru seldar eftir ferfetum. Teppalögn er seld eftir ferjördum. Ummál er hins vegar línuleg mæling í lengdareiningum; girðing er til dæmis seld í fetum eða jördum. Línuleg mál lýsa útlínum eða mörkum en ferningseiningar flatarmálinu innan þeirra. Einingarnar geta verið ólíkar en ávallt þarf að þekkja línulegu málin til að reikna flatarmálið.

Til eru formúlur fyrir flatarmál margra rúmfræðilegra forma, til dæmis þríhyrninga, reglulegra marghyrninga og hringa. Stærðfræðigreining þarf oft til að reikna flatarmál óreglulegra ferla eða forma, en hér skoðum við aðeins form með þekktar flatarmálsformúlur. Flatarmál er gefið í ferningseiningum og rita má sq ″ eða sq cm, $″^{2}$ eða nota veldisvísi, svo sem ${cm}^{2} .$ Línulegar mælingar hafa engan sýnilegan veldisvísi við eininguna, eða veldisvísinn 1.

Flatarmál þríhyrninga

Flatarmál þríhyrnings er gefið með eftirfarandi formúlu.

Skoðum til dæmis þríhyrninginn á mynd 10.103.

Rétthyrndur þríhyrningur með skammhliðar merktar 5 cm og 4 cm. — **Mynd 10.103.** Þríhyrningur 1

Grunnlínan er 4 cm og hæðin 5 cm. Með formúlunni getum við reiknað flatarmálið:

A = \frac{1}{2} (4) (5) = \frac{1}{2} (20) = 10 {cm}^{2}

Á mynd 10.104 hefur þríhyrningurinn 7 cm grunnlínu og 3,5 cm hæð. Taktu eftir að hæðin fæst aðeins með því að draga hornrétta línu að grunnlínunni. Flatarmálið er þá

A = \frac{1}{2} (7) (3.5) = 12.25 {cm}^{2} .

Þríhyrningur með grunnlínu merkta b = 7 cm og hæð merkta h = 3,5 cm. — **Mynd 10.104.** Þríhyrningur 2

Dæmi 10.41

Að finna flatarmál þríhyrnings

Finndu flatarmál þríhyrningsins með 4 cm grunnlínu og 6 cm hæð (mynd 10.105).

Þríhyrningur með grunnlínu merkta b = 4 cm og hæð merkta h = 6 cm.

Lausn

Með formúlunni fæst

A = \frac{1}{2} (4) (6) = \frac{24}{2} = 12 {cm}^{2} .

Flatarmál ferhyrninga

Ferhyrningur er marghyrningur með fjórar hliðar og fjóra hornpunkta. Sumir ferhyrningar hafa eitt eða tvö pör samsíða hliða. Til ferhyrninga teljast ferningur, rétthyrningur, samsíðungur, trapisa og tígull. Algengastir eru ferningur og rétthyrningur.

Ferningur

Á mynd 10.106 er $12 ″ \times 12 ″$ net með tólf $1 ″ \times 1 ″$ ferningum í hverri röð og tólf $1 ″ \times 1 ″$ ferningum í hverjum dálki. Litlu ferningarnir eru alls 144. Ekki þarf þó að telja þá því til er formúla. Ef $s = lengd hliðar$ er $A = s \cdot s$ . Flatarmál ferningsins á mynd 10.106 er $A = 12 ″ \times 12 ″ = 144 ″^{2} .$

Ferninganet með hliðar merktar s = 12 tommur. — **Mynd 10.106.** Flatarmál fernings

Rétthyrningur

Flatarmál rétthyrnings fæst með því að margfalda lengd með breidd. Rétthyrningurinn á mynd 10.107 er 5 tommur á breidd og 12 tommur á lengd. Flatarmálið er $A = 5 (12) = 60 ″^{2} .$

Í mörgum hversdagslegum verkefnum þarf að nota formúlur fyrir ummál og flatarmál. Ef skipta á um gólfefni á heimili þarf að reikna flatarmál gólfsins til að kaupa rétt magn af flísum, parketi eða teppi. Ef mála á herbergi þarf að reikna flatarmál veggja og lofts til að vita hve mikla málningu á að kaupa. Hvaða aðrar aðstæður dettur þér í hug þar sem þarf að reikna flatarmál?

Dæmi 10.42

Að finna flatarmál rétthyrnings

Garður er 196 ferfet að flatarmáli. Hve breiður getur hann verið ef lengdin er 28 fet?

Lausn

Flatarmál rétthyrnds svæðis er $A = l w .$ Látum breiddina vera $w$ :

\begin{matrix} 196 & = & 28 w \\ \frac{196}{28} & = & w = 7 ft \end{matrix}

Dæmi 10.43

Að ákvarða kostnað við gólfflísar

Jennifer ætlar að leggja vínýlflísar á rétthyrndan kjallarann sinn sem er 29 fet á 16 fet. Hve marga flísakassa þarf hún að kaupa og hvað kosta þeir ef hver kassi kostar 50 dali og þekur $20 {ft}^{2} ?$

Lausn

Flatarmál kjallaragólfsins er $A = 29 (16) = 464 {ft}^{2} .$ Deilum þessu flatarmáli með $20 ft .$ Þá er $\frac{464}{20} = 23.2 .$ Jennifer þarf því að kaupa 24 flísakassa fyrir 1.200 dali.

Samsíðungur

Flatarmál samsíðungs má finna út frá formúlunni fyrir flatarmál þríhyrnings. Ef skálína er dregin milli gagnstæðra hornpunkta samsíðungsins á mynd 10.108 myndast tveir þríhyrningar. Tvöfalt flatarmál þríhyrningsins er flatarmál samsíðungsins:

\begin{matrix} A & = & 2 (\frac{1}{2} b h) \\ A & = & b h \end{matrix}

Samsíðungur með grunnlínu merkta b og hæð merkta h. — **Mynd 10.108.** Flatarmál samsíðungs

Ef samsíðungur hefur 10 tommu grunnlínu og 5 tommu hæð er flatarmálið $A = (10) (5) = 50 ″^{2} .$

Dæmi 10.44

Að finna flatarmál samsíðungs

Í samsíðungnum á mynd 10.109 er $F B = 10, A D = 15,$ . Finndu nákvæmt flatarmál samsíðungsins.

Samsíðungurinn ABCD. Lóðrétt strikalína liggur frá B að hliðinni AD í F. BF er 10 cm og FD er 15 cm.

Lausn

Með formúlunni $A = b h,$ fæst

A = 10 (15) = 150 {cm}^{2} .

Dæmi 10.45

Að finna flatarmál almenningsgarðs í lögun samsíðungs

Mörk almenningsgarðs mynda samsíðung (mynd 10.110). Garðurinn þekur eina húsalóð milli tveggja para samsíða gatna. Hver gata er 55 jardar að lengd og hornrétt fjarlægð milli gatna er 39 jardar. Hve mikið af torfi, sem er selt eftir ferfetum, þarf borgin að kaupa til að þekja allan garðinn og hvað kostar það? Torfið kostar 0,50 dali á ferfet, lagningin 1,50 dali á ferfet og tækjaleiga dagsins 100 dali.

Garður í lögun samsíðungs. Hliðarnar eru 55 jardar og hæðin 39 jardar.

Lausn

Skref 1: Þar sem torfið er selt eftir ferfetum þarf fyrst að breyta málum garðsins úr jördum í fet. Ein jardi er 3 fet, svo 55 jardar eru 165 fet og 39 jardar eru 117 fet.

Skref 2: Garðurinn er samsíðungur og flatarmálsformúlan er $A = b h$ :

A = 165 (117) = 19,305 {ft}^{2} .

Skref 3: Borgin þarf að kaupa $19, 305 {ft}^{2}$ af torfi. Torfið kostar 0,50 dali á ferfet, lagningin 1,50 dali á ferfet og tækjaleigan 100 dali:

\begin{matrix} 19,305 ($ 0.50) + 19,305 ($ 1.50) & = & $ 9,652.5 + $ 28,957.5 + $ 100.00 \\ = & $ 38,710.00 \end{matrix}

Trapisa

Trapisa er ferhyrningur með eitt par samsíða hliða eða grunnlína. Formúlan fyrir flatarmál trapisu með samsíðu grunnlínurnar $a$ og $b$ og hæðina $h$ er gefin hér.

Finndu til dæmis flatarmál trapisunnar á mynd 10.111 þar sem grunnlínan $a$ er 8 cm, grunnlínan $b$ er 6 cm og hæðin 6 cm.

Trapisa með neðri og efri grunnlínur merktar a og b og hæð merkta h. — **Mynd 10.111.** Flatarmál trapisu

Flatarmálið er $A = \frac{1}{2} (6) (6 + 8) = 42 {cm}^{2}$ .

Dæmi 10.46

Að finna flatarmál trapisu

$A B C D$ mynd 10.112 sýnir reglulega trapisu þar sem $\bar{A B} ‖ \bar{C D} .$ Finndu nákvæmt ummál $A B C D$ og síðan flatarmálið.

Trapisan ABCD. AB er 11 tommur, AD 13,5 tommur og DC 31 tomma. Tvær lóðréttar strikalínur liggja frá A og B að hliðinni DC og eru merktar h = 10 tommur.

Lausn

Ummál er lengd jaðars formsins og fæst með því að leggja saman hliðarlengdirnar. Þá er $P = 31 + 13.5 + 11 + 13.5 = 69 ″ .$ Með flatarmálsformúlu trapisu fæst síðan $A = \frac{1}{2} (10) (11 + 31) = 210 ″^{2}$ .

Tígull

Tígull hefur tvö pör samsíða hliða. Nota má tvær formúlur til að finna flatarmál hans. Önnur þeirra byggist á lengd hornalínanna.

Hér notum við formúluna með hornalínunum. Ef flatarmál tíguls er $220 {cm}^{2},$ og $d_{2} = 11,$ finnum við $d_{1} .$ með því að setja þekktu gildin inn í formúluna og leysa fyrir óþekktu stærðina. Sjá mynd 10.113.

Tígull með hornalínur merktar d₁ og d₂. Hornalínan d₂ er 11. — **Mynd 10.113.** Flatarmál tíguls

Þá fæst

\begin{matrix} 220 & = & \frac{11 d_{1}}{2} \\ 220 (2) & = & 11 d_{1} \\ \frac{440}{11} & = & d_{1} = 40 \end{matrix}

Dæmi 10.47

Að finna flatarmál tíguls

Finndu lengd hornalínunnar $d_{1}$ ef flatarmál tígulsins er $240 {cm}^{2},$ og $d_{2} = 24 cm .$

Lausn

Setjum þekktu gildin inn í formúluna:

\begin{matrix} 240 & = & \frac{d_{1} (24)}{2} \\ 240 (2) & = & d_{1} (24) \\ \frac{480}{24} & = & d_{1} = 20 \end{matrix}

Dæmi 10.48

Að finna flatarmál tíguls

Þú sérð barn fljúga tígullaga flugdreka á ströndinni. Þegar drekinn fellur lendir hann á handklæði sem er $36 ″$ á breidd og $72 ″ .$ á lengd. Önnur hornalína drekans er jafn löng og $36 ″$ breidd handklæðisins en hin 2 tommum lengri. Hvert er flatarmál drekans (mynd 10.114)?

Tígullaga flugdreki með tveimur hornalínum. Lárétta hornalínan er d₁ = 36 tommur og sú lóðrétta d₂ = 38 tommur.

Lausn

Með formúlunni fæst:

\begin{matrix} A & = & \frac{d_{1} d_{2}}{2} \\ = & \frac{36 (38)}{2} = 684 ″^{2} \end{matrix}

Flatarmál marghyrninga

Til að finna flatarmál reglulegs marghyrnings þurfum við nokkur hugtök til viðbótar. Inngeislinn $a$ er línustrik frá miðju marghyrningsins hornrétt á hlið. Umgeislinn $r$ er einnig línustrik frá miðjunni en nær að hornpunkti. Sjá mynd 10.115.

Sexhyrningur með umgeisla merktan r og inngeisla merktan a. — **Mynd 10.115.** Inn- og umgeisli marghyrnings

Skoðum reglulega sexhyrninginn á mynd 10.116 með 4 cm hliðarlengd og inngeislann $a = 2 \sqrt{3} .$

Sexhyrningur með miðju merkta C. Hver hlið er 4 cm og inngeislinn er a = 2√3. — **Mynd 10.116.** Flatarmál sexhyrnings

Ummálið er $p = 6 (4) = 24 cm .$ Inngeislinn er $a = 2 \sqrt{3} .$ Flatarmálið er þá:

\begin{matrix} A & = & \frac{1}{2} (2 \sqrt{3}) (24) \\ = & 24 \sqrt{3} = 41.57 {cm}^{2} \end{matrix}

Dæmi 10.49

Að finna flatarmál reglulegs átthyrnings

Finndu flatarmál reglulegs átthyrnings með 18 cm inngeisla og 13 cm hliðarlengd (mynd 10.117).

Átthyrningur. Hver hlið er 13 cm og inngeislinn a = 18 cm.

Lausn

Með formúlunni fæst ummálið $p = 8 (13) = 104 cm .$ Flatarmálið er síðan $A = \frac{1}{2} (10) (104) = 936 {cm}^{2} .$

Breyting eininga

Oft þarf að breyta einingum einnar eða fleiri stærða til að leysa dæmi. Ef herbergi er mælt í fetum en teppi selt í jördum þarf að breyta fetum í jardir til að kaupa rétt magn. Einnig gæti þurft að breyta sentímetrum í tommur eða fetum í metra. Í öllum tilvikum verður að nota rétt jafngildi.

Dæmi 10.50

Breyting eininga

Teppi er selt í ferjördum. Stofan þín er 21 fet á breidd og 24 fet á lengd. Hve mikið teppi þarftu?

Lausn

Breyta þarf fetum í jardir. Þar sem 1 jardi er 3 fet fæst $21 ft = 7 yds$ og $24 ft = 8 yds .$ Þá er $7 (8) = 56 {yd}^{2} .$

Flatarmál hringa

Rétt eins og í formúlunni fyrir ummál hrings kemur talan $π,$ fyrir í flatarmálsformúlunni. Mundu að $π$ er óendanlegt og ólotubundið tugabrot: $π = 3.14159 \dots$ . Talan er hlutfall ummáls hrings og þvermáls og er því lykilstærð við útreikning ummáls og flatarmáls.

Flatarmál hrings með 3 cm geisla á mynd 10.118 er fundið með formúlunni $A = π r^{2} .$

Hringur með geisla r merktan 3 cm. — **Mynd 10.118.** Hringur með geisla 3

Þá fæst

\begin{matrix} A & = & π r^{2} \\ = & π {(3)}^{2} \\ = & 9 π = 28.27 {cm}^{2} \end{matrix}

Dæmi 10.51

Að finna flatarmál hrings

Finndu flatarmál hrings með 16 cm þvermál.

Lausn

Formúlan fyrir flatarmál hrings er sett fram með geisla og því helmingum við þvermálið. Flatarmálið er þá

A = π {(8)}^{2} = 201.1 {cm}^{2} .

Dæmi 10.52

Að ákvarða hagstæðara verð á pítsu

Þú ætlar að panta pítsu og deila henni með vini þínum í kvöldmat. Pítsa með 8 tommu þvermál kostar 7,99 dali en pítsa með 16 tommu þvermál 13,99 dali. Hvor er hagstæðari?

Lausn

Flatarmál 8 tommu pítsunnar er $A = π {(4)}^{2} = 50.3 ″^{2} .$ Flatarmál 16 tommu pítsunnar er $A = π {(8)}^{2} = 201.1 ″^{2} .$ Deilum verði hvorrar pítsu með flatarmáli hennar. Þá kostar hver fertomma $\frac{13.99}{201.1} = $ 0.07$ í stærri pítsunni en $\frac{7.99}{50.3} = $ 0.16$ í þeirri minni. Pítsan með 16 tommu þvermál er því hagstæðari.

Dæmi 10.53

Notkun flatarmáls í raunverulegu verkefni

Þú ætlar að kaupa litaða filmu, selda eftir ferfetum, á gluggann á mynd 10.119. (Dæmið ætti að vera kunnuglegt því áður var ummál sama glugga reiknað.) Neðri hluti gluggans er rétthyrningur og efri hlutinn hálfhringur. Finndu flatarmálið og hve mikla filmu þarf að kaupa.

Hálfhringur ofan á rétthyrningi. Rétthyrningurinn er 10 fet á lengd og 5 fet á breidd og þvermál hálfhringsins er 5 fet.

Lausn

Flatarmál rétthyrnda hlutans er $A = 5 (10) = 50 {ft}^{2}$ . Efri hlutinn er hálfhringur með 5 feta þvermál og 2,5 feta geisla. Helmingur flatarmáls hrings með 2,5 feta geisla er $A = \frac{1}{2} π {(2.5)}^{2} = 9.8 {ft}^{2} .$ Leggjum flatarmál rétthyrningsins og hálfhringsins saman. Heildarflatarmálið sem filman á að þekja er $A = 50 + 9.8 = 59.8 {ft}^{2} .$

Flatarmál innan flatarmáls

Gerum ráð fyrir að þú viljir setja kringlóttan heitan pott á veröndina. Hvernig reiknarðu rýmið sem hann þarf? Eða þú vilt kaupa nýtt borðstofuborð en veist ekki hvort nægilegt pláss er fyrir það. Slík viðfangsefni eru algeng og við skulum skoða hvernig þau eru leyst.

Dæmi 10.54

Að finna flatarmál innan svæðis

Veröndin er 20 fet á 10 fet (mynd 10.120). Á öðrum helmingnum er borð með 4 feta þvermál og sex stólum sem tekur um 36 ferfet. Á hinum helmingnum á að setja heitan pott með 6 feta þvermál. Hve mikið rými taka borðið, stólarnir og potturinn? Hve mikið flatarmál verður eftir?

Verönd skiptist í tvo jafna hluta og er 20 fet á lengd og 10 fet á breidd. Á vinstri hlutanum er borð með sex stólum og á þeim hægri heitur pottur með 6 feta þvermál.

Lausn

Heiti potturinn hefur 3 feta geisla og flatarmálið er $A = π {(3)}^{2} = 9 π = 28.27 {ft}^{2} .$ Borðið, stólarnir og potturinn taka samtals $36 + 28.27 = 64.27 {ft}^{2} .$ Frá heildarflatarmáli verandarinnar, $200 {ft}^{2}$ , drögum við flatarmál húsgagnanna og pottsins. Eftir eru $200 - 64.27 = 135.7 {ft}^{2} .$

Dæmi 10.55

Að finna kostnað við áburð á svæði

Torfbóndi ætlar að bera á 150 feta breiðan og 240 feta langan rétthyrndan landskika. Áburðarpoki þekur $5,000 {ft}^{2}$ og kostar 200 dali. Hvað kostar að bera á allan skikann?

Lausn

Landskikinn er $36, 000 {ft}^{2} .$ Það þarf 7,2 áburðarpoka til að þekja hann og því verður bóndinn að kaupa 8 poka á 200 dali hvern, samtals 1.600 dali.

Fólk í stærðfræði

Heron frá Alexandríu

Mynd 10.121. Heron frá Alexandríu (mynd: „Heron of Alexandria“ úr þýskri þýðingu frá 1688 á *Pneumatics* eftir Heron/Wikimedia Commons, almenningseign)

Heron frá Alexandríu, fæddur um árið 20, var uppfinningamaður, vísindamaður og verkfræðingur. Honum er eignuð eólípílan, ein fyrsta gufuvélin, mörgum öldum fyrir iðnbyltinguna. Hann var einnig frumkvöðull sjálfsala og lýsti í bókinni Mechanics and Optics hvernig mynt gæti komið vél af stað. Framlag hans til stærðfræðinnar var umfangsmikið. Metrica, þrjár bækur, fjallaði um aðferðir til að finna flatarmál og rúmmál þrívíðra hluta á borð við pýramída, sívalninga, keilur og strendinga. Hann þróaði einnig aðferðir til að finna fernings- og teningsrætur. Þekktastur er hann þó fyrir formúlu Herons sem finnur flatarmál þríhyrnings út frá hliðarlengdum hans. Fyrir þríhyrninginn $A B C$ á mynd 10.122 gildir:

Mynd 10.122. Mynd 10.122

Formúla Herons er $A = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)},$ þar sem $s$ er hálfummálið $s = \frac{a + b + c}{2} .$

Athugaðu skilning þinn

Finndu flatarmál þríhyrnings með 3 cm grunnlínu og 5 cm hæð.

Flatarmál seglsins er

125\,{\text{f}}{{\text{t}}^2}.

Stysta hlið þess er 10 fet. Hver er hæð seglsins?

Seglbátur með stórsegl í lögun rétthyrnds þríhyrnings. Hæð seglsins er merkt h.

Finndu flatarmál samsíðungsins.

Samsíðungur með 14 cm grunnlínu og 12 cm hæð.

Finndu flatarmál reglulegs sexhyrnings með hliðarlengd 5 og inngeisla 4,3.

Sexhyrningur. Hver hlið er 5 cm og inngeislinn 4,3 cm.

Finndu flatarmál hrings með 16 tommu þvermál.

Finndu flatarmál skyggða svæðisins á myndinni.

Hringur inni í trapisu. Grunnlínur trapisunnar eru 18 og 22 tommur og geisli hringsins 4,5 tommur. Hringurinn snertir báðar grunnlínurnar og svæðið utan hans er skyggt.

Kringlóttur bakki stendur á borðstofuborði. Geisli bakkans er 15 tommur. Hve mikið flatarmál tekur hann?

Æfingar úr hluta 10.6

Finndu flatarmál myndarinnar með gefnum málum í eftirfarandi æfingum.

Flatarmál þríhyrnings með 10 cm grunnlínu og 15 cm hæð.

Flatarmál rétthyrnds þríhyrnings með 54 cm grunnlínu og 72 cm hæð.

Þríhyrningur hefur flatarmálið

22.5\,{\text{c}}{{\text{m}}^2}.

Finndu hæðina ef grunnlínan er 5 cm.

Finndu flatarmál þríhyrningsins á myndinni með 2,5 tommu grunnlínu og 0,7 tommu hæð.

Þríhyrningur með hliðar 2 tommur, 2,5 tommur og 1,5 tommur og hæð 0,7 tommur.

Finndu flatarmál trapisunnar þar sem

{b_1} = 30\,in,\,

{b_2} = 14\,in

h = 10\,in

eins og á myndinni.

Trapisa með 14 tommu efri grunnlínu, 30 tommu neðri grunnlínu og 10 tommu hæð.

Finndu flatarmál trapisunnar á myndinni.

Trapisa með 5 cm efri grunnlínu, 12 cm neðri grunnlínu og 12 cm hæð.

Finndu flatarmál samsíðungsins á myndinni með 50 cm grunnlínu og 35 cm hæð.

Samsíðungur með 50 cm grunnlínu og 35 cm hæð.

Finndu flatarmál samsíðungs með 20 tommu grunnlínu og 22 tommu hæð.

Finndu flatarmál tígulsins á myndinni.

Tígull með tveimur hornalínum sem eru 6 cm og 4,5 cm.

10.

Finndu flatarmál reglulega fimmhyrningsins á myndinni með 5,5 tommu inngeisla og 6 tommu hliðarlengd.

Fimmhyrningur. Hver hlið er 6 tommur og inngeislinn 5,5 tommur.

11.

Finndu flatarmál reglulega átthyrningsins á myndinni með 7 cm inngeisla og 3,5 cm hliðarlengd.

Átthyrningur. Hver hlið er 3,5 cm og inngeislinn 7 cm.

12.

Finndu flatarmál reglulega fimmhyrningsins á myndinni með 1,5 tommu inngeisla og 3 tommu hliðarlengd.

Fimmhyrningur. Hver hlið er 3 tommur og inngeislinn 1,5 tommur.

13.

Finndu flatarmál hringsins á myndinni með 3 cm geisla.

14.

Þú ætlar að setja borðplötu í lögun trapisu með kringlóttum vaski eins og á myndinni. Hve mikið flatarmál verður eftir á borðplötunni þegar vaskurinn hefur verið settur upp?

Hringur inni í trapisu. Grunnlínur trapisunnar eru 30 og 36 tommur og geisli hringsins 10 tommur. Hringurinn snertir báðar grunnlínur og svæðið utan hans er skyggt.

15.

Finndu flatarmál skyggða svæðisins á myndinni.

Ferningur er umritaður um hring með 3 feta geisla.

16.

Burðarstólpi er í horni eldhússins. Við hlið þess er fjölskylduherbergi og gegnsær glerveggur skilur herbergin að. Til að fela stólpann lætur þú smíða fimm hillur sem fylla hornið eins og á myndinni. Rétthyrndu hillurnar eru 26 tommur á breidd og 24 tommur á dýpt. Þvermál stólpans er 6 tommur. Hve mikið hilluflatarmál verður tiltækt eftir að hillurnar hafa verið smíðaðar umhverfis stólpann? Plastlagið á hillurnar kostar 25 dali á ferfet. Hvað kosta hillurnar?

Mynd af gegnsæjum glervegg, fimm hillum og skápum.

17.

Finndu flatarmál skyggða svæðisins á myndinni.

Tígull er innritaður í trapisu. Grunnlínur trapisunnar eru 16 og 10 tommur og hornalínur tígulsins 13 og 12 tommur.

18.

Finndu flatarmál skyggða svæðisins á myndinni.

Hringur er innritaður í þríhyrning. Geisli hringsins er 3 tommur og hliðar þríhyrningsins 15 tommur. Lína frá neðri vinstri hornpunkti að miðpunkti hægri hliðar liggur gegnum hringinn og er 10 tommur.

19.

Finndu flatarmál skyggða svæðisins á myndinni. Öll mál eru í sentímetrum.

Þríhyrningur er innritaður í hring með geisla r = 5. Lóðrétt strikalína liggur frá topppunkti þríhyrningsins að miðju grunnlínunnar. Hæðin er h = 8 og grunnlínan er 4 hvorum megin við strikalínuna.

20.

Lóðin þín er 2 mílur á breidd og 2,5 mílur á lengd. Garðyrkjumaður rukkar eftir ferfetum. Hve marga ferfeta þarf að landslagsmóta?

21.

Finndu flatarmál gluggans á myndinni.

Hálfhringur ofan á rétthyrningi. Rétthyrningurinn er 9 fet á lengd og 3,2 fet á breidd og þvermál hringsins 3,2 fet.

22.

Hvert er flatarmál hafnaboltavallar innan grunnlínanna ef hann myndar ferning með 90 fet milli hafna?