10.2 Horn

Á mynd 10.22, skal geislinn $\overrightarrow{AB}$ vera kyrr. Snúðu hinum geislanum $\overrightarrow{AC}$ rangsælis þar til hornið hefur þá stærð sem óskað er. Stærð hornsins ræðst af snúningi seinni geislans. Þegar geislinn $\overrightarrow{AC}$ heldur áfram rangsælis aftur í upphafsstöðu og fellur saman við geislann $\overrightarrow{AB},$ hefur hann farið heilan hring, ${360}^{\circ }.$ Geislarnir kallast armar hornsins.

Horn eru mæld í radíönum eða gráðum. Horn sem mælist $\pi$ radíanar, eða 3,14159 radíanar, er jafnstórt horninu ${180}^{\circ }.$ Horn sem mælist $\frac{\pi }{2}$ radíanar, eða 1,570796 radíanar, mælist ${90}^{\circ }.$ Til að breyta gráðum í radíana margföldum við gráðutöluna með $\frac{\pi }{180}.$ Til að skrifa ${45}^{\circ }$ í radíönum fæst til dæmis

Til að breyta radíönum í gráður margföldum við með $\frac{180}{\pi }.$ Til að skrifa $2\pi$ radíana í gráðum fæst til dæmis

Annað dæmi um breytingu milli radíana og gráða er $\frac{2\pi }{3}.$ Í gráðum fæst $\frac{2\pi }{3}\left(\frac{180}{\pi }\right)={120}^{\circ }.$ Til að skrifa ${30}^{\circ }$ í radíönum fæst ${30}^{\circ }\left(\frac{\pi }{180}\right)=\frac{\pi }{6}$. Í þessum kafla verða gráður þó notaðar.

Nokkrar hornagerðir koma svo oft fyrir að þær hafa sérstök heiti. Beint horn mælist ${180}^{\circ }$; rétt horn mælist ${90}^{\circ };$ hvasst horn mælist minna en ${90}^{\circ };$ og gleitt horn mælist milli ${90}^{\circ }$ og ${180}^{\circ }.$ Sjá mynd 10.23.

Auðvelt er að mæla horn með gráðuboga (mynd 10.24). Gráðubogi er handhægt lítið verkfæri, yfirleitt úr gagnsæju plasti, eins og hér sést.

Horn má nefna á fleiri en einn hátt. Nota má þrjá punkta, einn á hvorum armi og oddpunktinn í miðju, eða aðeins oddpunktinn. Einnig má setja táknið $\angle$ eða $\measuredangle$ á undan punktunum. Þegar vísað er til stærðar horns er táknið $m\measuredangle$notað. Sjá mynd 10.25.

Hornið má nefna $\measuredangle BAC$, eða $\measuredangle CAB$, eða $\measuredangle A.$

Tvö horn sem hafa sama oddpunkt og einn sameiginlegan arm kallast aðlæg horn. Á mynd 10.27 er hornið $\angle DBC$ aðlægt horninu $\angle CBA$. Horn er táknað með einum punkti á hvorum armi og oddpunktinum í miðju.

Tvö horn eru grannhorn ef summa þeirra er ${180}^{\circ }.$ Á mynd 10.28 er gefið að $m\measuredangle FBE={35}^{\circ },$ og finna skal $m\measuredangle ABE?$ Hornin eru grannhorn. Þar sem $m\measuredangle ABF={180}^{\circ }$ og ${180}^{\circ }-{35}^{\circ }={145}^{\circ },$ fæst $m\measuredangle ABE={145}^{\circ }.$

Tvö horn eru fyllihorn ef summa þeirra er ${90}^{\circ }.$ Á mynd 10.30 gildir $m\measuredangle ABC={30}^{\circ },$ en einnig $m\measuredangle ABD={90}^{\circ }.$ Hvert er $m\measuredangle CBD?$ Hornin eru fyllihorn. Þar sem ${90}^{\circ }-{30}^{\circ }={60}^{\circ },$ fæst $\measuredangle CBD={60}^{°}.$

Þegar tvær línur skerast kallast gagnstæð horn topphorn og þau eru jafnstór. Á mynd 10.32 skerast til dæmis tvær beinar línur. Annað par gagnstæðra horna er merkt og þau horn eru jafnstór. Hin tvö gagnstæðu hornin eru einnig jafnstór.

Þegar bein lína, eða þverlína, sker tvær samsíða línur myndast átta horn, meðal annars víxlhorn innan samsíða línanna, víxlhorn utan þeirra, einslæg horn, topphorn og grannhorn. Sjá mynd 10.34. Horn 1, 2, 7 og 8 kallast ytri horn en horn 3, 4, 5 og 6 innri horn.

Víxlhorn innan samsíða lína eru innri horn sitt hvorum megin við þverlínuna og eru jafnstór. Hornin $\measuredangle 3$ og $\measuredangle 6$ eru til dæmis slík víxlhorn og jafnstór; hið sama gildir um $\measuredangle 4$ og $\measuredangle 5$. Sjá mynd 10.35.

Víxlhorn utan samsíða lína eru ytri horn sitt hvorum megin við þverlínuna og eru jafnstór. Á mynd 10.36 eru $\measuredangle 2$ og $\measuredangle 7$ slík víxlhorn og jafnstór; hið sama gildir um $\measuredangle 1$ og $\measuredangle 8$.

Einslæg horn eru eitt ytra horn og eitt innra horn sömu megin við þverlínu og eru jafnstór. Á mynd 10.37 eru $\measuredangle 1$ og $\measuredangle 5$ einslæg; einnig $\measuredangle 3$ og $\measuredangle 7$, $\measuredangle 2$ og $\measuredangle 6$, og $\measuredangle 4$ og $\measuredangle 8$. Hornin í hverju pari eru jafnstór.