66 Rafeindaskipan og lotubundnir eiginleikar frumefna

6.2 Bohr-líkanið

Námsmarkmið

Að loknum þessum kafla munt þú geta:

lýsa Bohr-líkaninu af vetnisfrumeindinni
nota Rydberg-jöfnuna til að reikna út orku ljóss sem vetnisfrumeindir gefa frá sér eða gleypa

Í kjölfar rannsókna Ernest Rutherford og samstarfsmanna hans snemma á tuttugustu öld var sú mynd vel staðfest að frumeindir væru gerðar úr litlum, þéttum kjarna sem væri umkringdur léttari og enn smærri rafeindum sem hreyfðust stöðugt umhverfis hann. Þessi mynd kallaðist plánetulíkanið, þar sem hún sýndi frumeindina sem smækkað „sólkerfi“ þar sem rafeindirnar gengu á braut um kjarnann líkt og plánetur um sólina. Einfaldasta frumeindin er vetni, sem samanstendur af einni róteind sem kjarna og einni rafeind sem hreyfist umhverfis hann. Rafstöðukrafturinn sem dregur rafeindina að róteindinni er aðeins háður fjarlægðinni milli eindanna tveggja. Þessi lýsing sígildrar aflfræði á frumeindinni er þó ófullkomin. Rafeind sem hreyfist á sporöskjulaga braut væri í hröðun, þar sem hún breytir um stefnu, og samkvæmt sígildri rafsegulfræði ætti hún stöðugt að gefa frá sér rafsegulgeislun. Þetta tap á brautarorku ætti að leiða til þess að braut rafeindarinnar minnkaði stöðugt þar til hún félli í spíral inn í kjarnann, sem gefur til kynna að frumeindir séu í eðli sínu óstöðugar.

Árið 1913 reyndi Niels Bohr að leysa þessa þversögn frumeindarinnar með því að hunsa spá sígildrar rafsegulfræði um að rafeind á braut í vetni myndi stöðugt gefa frá sér ljós. Þess í stað fléttaði hann hugmyndum Plancks um skömmtun og uppgötvun Einsteins um að ljós væri samsett úr ljóseindum, sem hefðu orku í réttu hlutfalli við tíðni sína, inn í lýsingu sígildrar aflfræði á frumeindinni. Bohr gerði ráð fyrir að rafeindin á braut um kjarnann gæfi venjulega ekki frá sér neina geislun (tilgátan um kyrrstöðuástand), en hún gæfi frá sér eða gleypti ljóseind ef hún færðist yfir á aðra braut. Orkan sem gleyptist eða var gefin frá sér endurspeglaði muninn á brautarorkunni samkvæmt þessari jöfnu:

∣ Δ E ∣ = ∣ E_{f} - E_{i} ∣ = h ν = \frac{h c}{λ}

Í þessari jöfnu er h Planck-fastinn og Eᵢ og E_f eru upphafs- og lokabrautarorka. Algildi orkumunarins er notað þar sem tíðni og bylgjulengd eru alltaf jákvæðar stærðir. Í stað þess að leyfa samfelld orkugildi gerði Bohr ráð fyrir að orka þessara rafeindabrauta væri skömmtuð:

E_{n} = − \frac{k}{n^{2}}, n = 1, 2, 3, \dots

Í þessari stæðu er k fasti sem samanstendur af grunnföstum á borð við massa og hleðslu rafeindarinnar og Planck-fastann. Ef stæðan fyrir brautarorkuna er sett inn í jöfnuna fyrir ΔE fæst:

Δ E = k (\frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}}) = \frac{h c}{λ}

eða

\frac{1}{λ} = \frac{k}{h c} (\frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}})

sem er nákvæmlega eins og Rydberg-jafnan þar sem $R_{\infty} = \frac{k}{h c} .$ Þegar Bohr reiknaði fræðilegt gildi sitt fyrir Rydberg-fastann, $R_{\infty},$ og bar það saman við viðurkennt tilraunagildi fékk hann framúrskarandi samræmi. Þar sem Rydberg-fastinn var einn af nákvæmast mældu föstunum á þeim tíma var þetta samræmi undravert. Það leiddi til þess að líkan Bohrs var tekið alvarlega, þrátt fyrir þær mörgu forsendur sem Bohr þurfti að gefa sér til að leiða það út.

Lægstu orkuþrepin eru sýnd á mynd 6.14. Eitt af grundvallarlögmálum eðlisfræðinnar er að efni er stöðugast þegar orka þess er sem minnst. Því hreyfist rafeindin í vetnisfrumeind venjulega á brautinni n = 1, en á þeirri braut hefur hún minnsta orku. Þegar rafeindin er á þessari lægstu orkubraut er frumeindin sögð vera í grunnástandi. Ef frumeindin fær orku frá ytri gjafa getur rafeindin færst á braut með hærra n-gildi og frumeindin er þá komin í örvað ástand með meiri orku. Þegar rafeind færist úr örvuðu ástandi (orkumeiri braut) í minna örvað ástand, eða grunnástand, losnar orkumunurinn sem ljóseind. Á sama hátt, ef frumeind gleypir ljóseind, flytur orka ljóseindarinnar rafeind af orkuminni braut upp á meira örvaða braut. Við getum tengt orku rafeinda í frumeindum við það sem við lærðum áður um orku. Lögmálið um varðveislu orkunnar segir að við getum hvorki búið til né eytt orku. Því losnar sama orkumagn þegar rafeind snýr aftur í upphafsástand sitt og þurfti til að örva hana frá einu orkuþrepi til annars (mynd 6.15).

Þar sem líkan Bohrs gerði aðeins ráð fyrir einni rafeind var einnig hægt að beita því á einrafeindajónirnar He⁺, Li²⁺, Be³⁺ og svo framvegis. Þær eru aðeins frábrugðnar vetni hvað varðar kjarnahleðslu og því kallast einrafeindafrumeindir og -jónir einu nafni vetnislík kerfi. Orkuformúlan fyrir vetnislík kerfi er alhæfing á orku vetnisfrumeindarinnar, þar sem Z er kjarnahleðslan (+1 fyrir vetni, +2 fyrir He, +3 fyrir Li og svo framvegis) og k hefur gildið 2,179 $\times ⁠$ 10⁻¹⁸ J.

E_{n} = − \frac{k Z^{2}}{n^{2}}

Stærðir hringlaga brauta fyrir vetnislík kerfi eru gefnar upp með geisla þeirra í eftirfarandi jöfnu, þar sem $a_{0}$ er fasti sem kallast Bohr-geislinn og hefur gildið $5.292 \times 10^{−11}$ m:

r = \frac{n^{2}}{Z} a_{0}

Jafnan sýnir einnig að eftir því sem orka rafeindarinnar eykst (þegar n stækkar) finnst rafeindin í meiri fjarlægð frá kjarnanum. Þetta leiðir af því að rafstöðuaðdráttaraflið er í öfugu hlutfalli við fjarlægðina. Þegar rafeindin færist lengra frá kjarnanum minnkar rafstöðuaðdráttaraflið milli hennar og kjarnans og hún binst frumeindinni veikar. Taktu eftir að þegar n stækkar og brautirnar stækka nálgast orka þeirra núll. Því gefa mörkin $n ⟶ \infty$ og $r ⟶ \infty$ til kynna að E = 0 samsvari jónunarmörkunum, þar sem rafeindin er að fullu fjarlægð frá kjarnanum. Þannig væri jónunarorkan fyrir vetni í grunnástandi n = 1:

Δ E = E_{n ⟶ \infty} - E_{1} = 0 + k = k

Þegar þrjár afar torskildar þverstæður höfðu verið leystar (svarthlutsgeislun, ljósröfun og vetnisfrumeindin), og allar tengdust þær Planck-fastanum á grundvallarhátt, varð flestum eðlisfræðingum þess tíma ljóst að sígildu kenningarnar sem virkuðu svo vel í stórsæja heiminum voru í grundvallaratriðum gallaðar. Ekki var hægt að yfirfæra þær á hið smásæja svið frumeinda og sameinda. Þrátt fyrir ótrúlegan árangur Bohrs við að leiða út fræðilega jöfnu fyrir Rydberg-fastann tókst honum því miður ekki að útvíkka kenningu sína yfir á næsteinföldustu frumeindina, He, sem hefur aðeins tvær rafeindir. Líkan Bohrs var mjög gallað þar sem það byggðist enn á hugmyndum sígildrar aflfræði um nákvæmar brautir. Sú hugmynd reyndist síðar óhaldbær á hinu smásæja sviði þegar viðeigandi skammtafræðilíkan var þróað til að koma í stað sígildrar aflfræði.

Myndin inniheldur skýringarmynd sem sýnir hlutfallsleg orkuþrep skammtatalna vetnisfrumeindarinnar. Ör sem vísar upp á við vinstra megin á myndinni er merkt „E“. Grár, lóðréttur rétthyrningur er staðsettur rétt hægra megin við örina. Hæð rétthyrningsins er jöfn lengd örvarinnar. Lituð lárétt línustrik eru inni í rétthyrningnum og merkingar eru settar hægra megin við kassann og raðað í dálk með fyrirsögninni „Orka, n“. Neðst í rétthyrningnum er dregið fjólublátt lárétt línustrik. Svart línustrik nær til hægri að merkingunni „mínus 2,18 sinnum 10 í veldinu mínus 18 J, 1”. Í um það bil þriggja fjórðu fjarlægð frá botni að toppi rétthyrningsins er dregið blátt lárétt línustrik. Svart línustrik nær til hægri að merkingunni „mínus 5,45 sinnum 10 í veldinu mínus 19 J, 2”. Í um það bil sjö áttundu fjarlægð frá botni rétthyrningsins er dregið grænt lárétt línustrik. Svart línustrik nær til hægri að merkingunni „mínus 2,42 sinnum 10 í veldinu mínus 19 J, 3”. Stutt fyrir ofan þetta strik er dregið appelsínugult lárétt línustrik. Svart línustrik nær til hægri að merkingunni „mínus 1,36 sinnum 10 í veldinu mínus 19 J, 4”. Rétt fyrir ofan þetta strik er dregið rautt lárétt línustrik. Svart línustrik nær til hægri að merkingunni „mínus 8,72 sinnum 10 í veldinu mínus 20 J, 5”. Stutt fyrir ofan þetta strik er dregið brúnt lárétt línustrik. Svart línustrik nær til hægri að merkingunni „0,00 J, óendanlegt”. — **Mynd 6.14.** Skammtatölur og orkuþrep í vetnisfrumeind. Því neikvæðara sem reiknaða gildið er, því lægri er orkan.

Dæmi 6.4

Útreikningur á orku rafeindar á Bohr-braut

Fyrstu rannsakendurnir urðu mjög spenntir þegar þeir gátu spáð fyrir um orku rafeindar í ákveðinni fjarlægð frá kjarnanum í vetnisfrumeind. Ef neisti færir rafeindina í vetnisfrumeind á braut með n = 3, hver er þá reiknuð orka rafeindarinnar í joulum?

Lausn

Orka rafeindarinnar er gefin með þessari jöfnu:

E = \frac{- k Z^{2}}{n^{2}}

Sætistala vetnis, Z, er 1; k = $2.179 \times 10^{−18}$ J; og rafeindin einkennist af n-gildinu 3. Því gildir:

E = \frac{- (2,179 \times 10^{−18} J) \times {(1)}^{2}}{{(3)}^{2}} = −2,421 \times 10^{−19} J

Prófaðu þig

Rafeindin á mynd 6.15 er færð enn ofar á braut með n = 6. Hver er nýja orkan hennar?

Myndin inniheldur skýringarmynd sem sýnir hlutfallsleg orkustig skammtatalna vetnisfrumeindarinnar. Ör sem vísar upp á við vinstra megin á myndinni er merkt „E.“ Grár, lóðréttur rétthyrningur er staðsettur rétt hægra megin við örina. Hæð rétthyrningsins er jöfn lengd örvarinnar. Lituð, lárétt línustrik eru inni í rétthyrningnum og merkingar eru hægra megin við kassann, raðað í dálk með fyrirsögninni „Orka, n.“ Neðst í rétthyrningnum er fjólublátt lárétt línustrik. Svört lína liggur til hægri að merkingunni „1.“ Í um það bil þriggja fjórðu hæð rétthyrningsins er blátt lárétt línustrik. Svört lína liggur til hægri að merkingunni „2.“ Í um það bil sjö áttundu hæð frá botni rétthyrningsins er grænt lárétt línustrik. Svört lína liggur til hægri að merkingunni „3.“ Stutt fyrir ofan þetta strik er appelsínugult lárétt línustrik. Svört lína liggur til hægri að merkingunni „4.“ Rétt ofan við þetta strik er rautt lárétt línustrik. Svört lína liggur til hægri að merkingunni „5.“ Stutt fyrir ofan þetta strik er brúnt lárétt línustrik. Svört lína liggur til hægri að merkingunni „óendanleiki.“ Örvar eru teiknaðar til að sýna orku ljóseinda sem gleypast, eins og sýnt er með örvum sem vísa upp á við vinstra megin, eða losna, eins og sýnt er með örvum sem vísa niður á við hægra megin á myndinni á milli lituðu línustrikanna. Merkingin „Rafeind færist á hærra orkustig þegar ljós gleypist“ er staðsett neðan við örvarnar sem vísa upp. Á sama hátt er merkingin „Rafeind færist á lægra orkustig þegar ljós losnar“ neðan við örvarnar sem vísa niður. Þegar farið er frá vinstri til hægri yfir myndina liggja örvar frá einu lituðu línustriki til þess næsta í eftirfarandi röð: fjólubláu til blás, fjólubláu til græns, fjólubláu til appelsínuguls, fjólubláu til rauðs, fjólubláu til brúns, bláu til græns, bláu til appelsínuguls og bláu til rauðs. Örvarnar sem eiga uppruna sinn á sama lituðu striki eru flokkaðar saman með því að staðsetja þær nálægt hver annarri. Á sama hátt fylgja örvarnar sem vísa niður þessari röð: brúnu til fjólublás, rauðu til fjólublás, appelsínugulu til fjólublás, grænu til fjólublás, bláu til fjólublás, rauðu til blás, appelsínugulu til blás og grænu til blás. Örvar eru aftur flokkaðar saman eftir því á hvaða lit þær enda. — **Mynd 6.15.** Láréttu línurnar sýna hlutfallslega orku brauta í Bohr-líkani vetnisfrumeindarinnar og lóðréttu örvarnar sýna orku ljóseinda sem gleypast (til vinstri) eða losna (til hægri) þegar rafeindir færast á milli þessara brauta.

Dæmi 6.5

Útreikningur á orku og bylgjulengd rafeindafærslna í einrafeindakerfi (Bohr-kerfi)

Hver er orkan (í joulum) og bylgjulengdin (í metrum) fyrir línuna í litrófi vetnis sem táknar færslu rafeindar úr Bohr-braut með n = 4 yfir í brautina með n = 6? Í hvaða hluta rafsegulrófsins finnum við þessa geislun?

Lausn

Í þessu tilviki byrjar rafeindin með n = 4, þannig að n₁ = 4. Hún endar á n = 6 brautinni, þannig að n₂ = 6. Orkumunurinn milli ástandanna tveggja er gefinn með þessari jöfnu:

Δ E = E_{1} - E_{2} = 2,179 \times 10^{−18} (\frac{1}{n_{1}^{2}} - \frac{1}{n_{2}^{2}})

Δ E = 2,179 \times 10^{−18} (\frac{1}{4^{2}} - \frac{1}{6^{2}}) J

Δ E = 2,179 \times 10^{−18} (\frac{1}{16} - \frac{1}{36}) J

Δ E = 7,566 \times 10^{−20} J

Þessi orkumunur er jákvæður, sem gefur til kynna að ljóseind komi inn í kerfið (sé gleypt) til að örva rafeindina úr n = 4 brautinni upp í n = 6 brautina. Bylgjulengd ljóseindar með þessa orku fæst með jöfnunni $E = \frac{h c}{λ} .$ Umröðun gefur:

λ = \frac{h c}{E}

\begin{array}{l} = (6,626 \times 10^{−34} J s) \times \frac{2,998 \times 10^{8} m s^{−1}}{7,566 \times 10^{−20} J} \\ = 2,626 \times 10^{−6} m \end{array}

Af myndinni af rafsegulrófinu í kaflanum um rafsegulorku má sjá að þessi bylgjulengd er á innrauða hluta rafsegulrófsins.

Prófaðu þig

Hver er orkan í joulum og bylgjulengdin í metrum fyrir ljóseindina sem myndast þegar rafeind fellur úr n = 5 niður í n = 3 brautina í He⁺-jón (Z = 2 fyrir He⁺)?

Líkan Bohrs af vetnisfrumeindinni veitir innsýn í hegðun efnis á smásæja sviðinu, en það gerir ekki grein fyrir víxlverkunum milli rafeinda í frumeindum með fleiri en eina rafeind. Það kynnir þó til sögunnar nokkra mikilvæga eiginleika allra líkana sem notuð eru til að lýsa dreifingu rafeinda í frumeind. Þessir eiginleikar eru meðal annars eftirfarandi:

Orka rafeinda (orkuþrep) í frumeind er skömmtuð og lýst með skammtatölum: heiltölum sem taka aðeins ákveðin leyfileg gildi og eru notaðar til að lýsa uppröðun rafeinda í frumeind.
Orka rafeindar eykst með aukinni fjarlægð frá kjarnanum.
Stök orkugildi (línur) í litrófi frumefna stafa af skammtaðri orku rafeinda.

Af þessum eiginleikum er mikilvægust tilgátan um skömmtuð orkuþrep rafeindar í frumeind. Þar af leiðandi lagði líkanið grunninn að skammtafræðilegu líkani frumeindarinnar. Bohr hlaut Nóbelsverðlaunin í eðlisfræði fyrir framlag sitt til skilnings okkar á byggingu frumeinda og því hvernig hún tengist útgeislun línulitrófa.