6.2 Bohr-líkanið

Í kjölfar rannsókna Ernest Rutherford og samstarfsmanna hans snemma á tuttugustu öld var sú mynd vel staðfest að frumeindir væru gerðar úr litlum, þéttum kjarna sem væri umkringdur léttari og enn smærri rafeindum sem hreyfðust stöðugt umhverfis hann. Þessi mynd kallaðist plánetulíkanið, þar sem hún sýndi frumeindina sem smækkað „sólkerfi“ þar sem rafeindirnar gengu á braut um kjarnann líkt og plánetur um sólina. Einfaldasta frumeindin er vetni, sem samanstendur af einni róteind sem kjarna og einni rafeind sem hreyfist umhverfis hann. Rafstöðukrafturinn sem dregur rafeindina að róteindinni er aðeins háður fjarlægðinni milli eindanna tveggja. Þessi lýsing sígildrar aflfræði á frumeindinni er þó ófullkomin. Rafeind sem hreyfist á sporöskjulaga braut væri í hröðun, þar sem hún breytir um stefnu, og samkvæmt sígildri rafsegulfræði ætti hún stöðugt að gefa frá sér rafsegulgeislun. Þetta tap á brautarorku ætti að leiða til þess að braut rafeindarinnar minnkaði stöðugt þar til hún félli í spíral inn í kjarnann, sem gefur til kynna að frumeindir séu í eðli sínu óstöðugar.

Árið 1913 reyndi Niels Bohr að leysa þessa þversögn frumeindarinnar með því að hunsa spá sígildrar rafsegulfræði um að rafeind á braut í vetni myndi stöðugt gefa frá sér ljós. Þess í stað fléttaði hann hugmyndum Plancks um skömmtun og uppgötvun Einsteins um að ljós væri samsett úr ljóseindum, sem hefðu orku í réttu hlutfalli við tíðni sína, inn í lýsingu sígildrar aflfræði á frumeindinni. Bohr gerði ráð fyrir að rafeindin á braut um kjarnann gæfi venjulega ekki frá sér neina geislun (tilgátan um kyrrstöðuástand), en hún gæfi frá sér eða gleypti ljóseind ef hún færðist yfir á aðra braut. Orkan sem gleyptist eða var gefin frá sér endurspeglaði muninn á brautarorkunni samkvæmt þessari jöfnu:

Í þessari jöfnu er h Planck-fastinn og Eᵢ og E_f eru upphafs- og lokabrautarorka. Algildi orkumunarins er notað þar sem tíðni og bylgjulengd eru alltaf jákvæðar stærðir. Í stað þess að leyfa samfelld orkugildi gerði Bohr ráð fyrir að orka þessara rafeindabrauta væri skömmtuð:

Í þessari stæðu er k fasti sem samanstendur af grunnföstum á borð við massa og hleðslu rafeindarinnar og Planck-fastann. Ef stæðan fyrir brautarorkuna er sett inn í jöfnuna fyrir ΔE fæst:

eða

Lægstu orkuþrepin eru sýnd á mynd 6.14. Eitt af grundvallarlögmálum eðlisfræðinnar er að efni er stöðugast þegar orka þess er sem minnst. Því hreyfist rafeindin í vetnisfrumeind venjulega á brautinni n = 1, en á þeirri braut hefur hún minnsta orku. Þegar rafeindin er á þessari lægstu orkubraut er frumeindin sögð vera í grunnástandi. Ef frumeindin fær orku frá ytri gjafa getur rafeindin færst á braut með hærra n-gildi og frumeindin er þá komin í örvað ástand með meiri orku. Þegar rafeind færist úr örvuðu ástandi (orkumeiri braut) í minna örvað ástand, eða grunnástand, losnar orkumunurinn sem ljóseind. Á sama hátt, ef frumeind gleypir ljóseind, flytur orka ljóseindarinnar rafeind af orkuminni braut upp á meira örvaða braut. Við getum tengt orku rafeinda í frumeindum við það sem við lærðum áður um orku. Lögmálið um varðveislu orkunnar segir að við getum hvorki búið til né eytt orku. Því losnar sama orkumagn þegar rafeind snýr aftur í upphafsástand sitt og þurfti til að örva hana frá einu orkuþrepi til annars (mynd 6.15).

Þar sem líkan Bohrs gerði aðeins ráð fyrir einni rafeind var einnig hægt að beita því á einrafeindajónirnar He⁺, Li²⁺, Be³⁺ og svo framvegis. Þær eru aðeins frábrugðnar vetni hvað varðar kjarnahleðslu og því kallast einrafeindafrumeindir og -jónir einu nafni vetnislík kerfi. Orkuformúlan fyrir vetnislík kerfi er alhæfing á orku vetnisfrumeindarinnar, þar sem Z er kjarnahleðslan (+1 fyrir vetni, +2 fyrir He, +3 fyrir Li og svo framvegis) og k hefur gildið 2,179 × 10⁻¹⁸ J.

Stærðir hringlaga brauta fyrir vetnislík kerfi eru gefnar upp með geisla þeirra í eftirfarandi jöfnu, þar sem a₀ er fasti sem kallast Bohr-geislinn og hefur gildið 5,292 × 10⁻¹¹ m:

Þegar þrjár afar torskildar þverstæður höfðu verið leystar (svarthlutsgeislun, ljósröfun og vetnisfrumeindin), og allar tengdust þær Planck-fastanum á grundvallarhátt, varð flestum eðlisfræðingum þess tíma ljóst að sígildu kenningarnar sem virkuðu svo vel í stórsæja heiminum voru í grundvallaratriðum gallaðar. Ekki var hægt að yfirfæra þær á hið smásæja svið frumeinda og sameinda. Þrátt fyrir ótrúlegan árangur Bohrs við að leiða út fræðilega jöfnu fyrir Rydberg-fastann tókst honum því miður ekki að útvíkka kenningu sína yfir á næsteinföldustu frumeindina, He, sem hefur aðeins tvær rafeindir. Líkan Bohrs var mjög gallað þar sem það byggðist enn á hugmyndum sígildrar aflfræði um nákvæmar brautir. Sú hugmynd reyndist síðar óhaldbær á hinu smásæja sviði þegar viðeigandi skammtafræðilíkan var þróað til að koma í stað sígildrar aflfræði.

Líkan Bohrs af vetnisfrumeindinni veitir innsýn í hegðun efnis á smásæja sviðinu, en það gerir ekki grein fyrir víxlverkunum milli rafeinda í frumeindum með fleiri en eina rafeind. Það kynnir þó til sögunnar nokkra mikilvæga eiginleika allra líkana sem notuð eru til að lýsa dreifingu rafeinda í frumeind. Þessir eiginleikar eru meðal annars eftirfarandi:

• Orka rafeinda (orkuþrep) í frumeind er skömmtuð og lýst með skammtatölum: heiltölum sem taka aðeins ákveðin leyfileg gildi og eru notaðar til að lýsa uppröðun rafeinda í frumeind.
• Orka rafeindar eykst með aukinni fjarlægð frá kjarnanum.
• Stök orkugildi (línur) í litrófi frumefna stafa af skammtaðri orku rafeinda.

Af þessum eiginleikum er mikilvægust tilgátan um skömmtuð orkuþrep rafeindar í frumeind. Þar af leiðandi lagði líkanið grunninn að skammtafræðilegu líkani frumeindarinnar. Bohr hlaut Nóbelsverðlaunin í eðlisfræði fyrir framlag sitt til skilnings okkar á byggingu frumeinda og því hvernig hún tengist útgeislun línulitrófa.