B | Nauðsynleg stærðfræði

Veldaútreikningar

Veldaritun er notuð til að tákna mjög stórar og mjög litlar tölur sem margfeldi tveggja talna. Fyrri talan í margfeldinu, talnahlutinn, er venjulega tala sem er ekki minni en 1 og hvorki jöfn né stærri en 10. Seinni talan í margfeldinu, veldahlutinn, er skrifuð sem 10 í veldi. Nokkur dæmi um veldaritun eru:

\begin{matrix} 1000 & = & 1 \times 10^{3} \\ 100 & = & 1 \times 10^{2} \\ 10 & = & 1 \times 10^{1} \\ 1 & = & 1 \times 10^{0} \\ 0.1 & = & 1 \times 10^{−1} \\ 0.001 & = & 1 \times 10^{−3} \\ 2386 & = & 2.386 \times 1000 = 2.386 \times 10^{3} \\ 0.123 & = & 1.23 \times 0.1 = 1.23 \times 10^{−1} \end{matrix}

Veldisvísirinn fyrir 10 er jafn fjölda þeirra sæta sem komman er færð til að gefa talnahlutann. Veldaritun er sérstaklega gagnleg aðferð til að tákna mjög stórar og mjög litlar tölur. Til dæmis er 1,230,000,000 = 1.23 × 10⁹og 0.00000000036 = 3.6 × 10⁻¹⁰.

Samlagning velda

Breytið öllum tölum í sama veldi af 10, leggið saman talnahluta talnanna og, ef við á, breytið talnahlutanum aftur í tölu á milli 1 og 10 með því að stilla veldahlutann.

Dæmi B1

Samlagning velda

Leggðu saman 5.00 × × 10 −5 og 3.00 × × 10 −3.

Lausn

\begin{matrix} 3.00 \times 10^{−3} & = & 300 \times 10^{−5} \\ (5.00 \times 10^{−5}) + (300 \times 10^{−5}) & = & 305 \times 10^{−5} = 3.05 \times 10^{−3} \end{matrix}

Frádráttur velda

Breytið öllum tölum í sama veldi af 10, finnið mismun talnahlutanna og, ef við á, breytið talnahlutanum aftur í tölu á milli 1 og 10 með því að stilla veldahlutann.

Dæmi B2

Frádráttur velda

Dragðu 4.0 × × 10 −7 frá 5.0 × × 10 −6.

Lausn

\begin{array}{l} 4.0 \times 10^{−7} = 0.40 \times 10^{−6} \\ (5.0 \times 10^{−6}) - (0.40 \times 10^{−6}) = 4.6 \times 10^{−6} \end{array}

Margföldun velda

Margfaldið töluhlutana á venjulegan hátt og leggið saman veldisvísa veldishlutanna.

Dæmi B3

Margföldun velda

Margfaldaðu 4.2 × × 10 −8 með 2.0 × × 10 3.

Lausn

(4.2 \times 10^{−8}) \times (2.0 \times 10^{3}) = (4.2 \times 2.0) \times 10^{(−8) + (+3)} = 8.4 \times 10^{−5}

Deiling velda

Deilið töluhluta teljarans með töluhluta nefnarans og dragið veldisvísa veldishlutanna frá.

Dæmi B4

Deiling velda

Deilið 3.6 × × 10 –5 með 6.0 × × 10 −4.

Lausn

\frac{3.6 \times 10^{−5}}{6.0 \times 10^{−4}} = (\frac{3.6}{6.0}) \times 10^{(−5) - (−4)} = 0.60 \times 10^{−1} = 6.0 \times 10^{−2}

Að hefja veldisvísistölur í annað veldi

Hefjið töluhlutann í annað veldi á venjubundinn hátt og margfaldið veldisvísi veldishlutans með 2.

Dæmi B5

Að hefja veldisvísistölur í annað veldi

Hefjið töluna 4.0 í annað veldi × × 10 −6.

Lausn

{(4.0 \times 10^{−6})}^{2} = 4 \times 4 \times 10^{2 \times (−6)} = 16 \times 10^{−12} = 1.6 \times 10^{−11}

Veldistölur hafðar í þriðja veldi

Hefjið töluhlutann í þriðja veldi á venjulegan hátt og margfaldið veldisvísi veldishlutans með 3.

Dæmi B6

Veldistölur hafðar í þriðja veldi

Hefjið töluna 2 í þriðja veldi × × 10 4.

Lausn

{(2 \times 10^{4})}^{3} = 2 \times 2 \times 2 \times 10^{3 \times 4} = 8 \times 10^{12}

Kvaðratrót dregin af veldistölum

Ef nauðsyn krefur skal minnka eða stækka veldishlutann þannig að veldið á 10 sé deilanlegt með 2. Dragið kvaðratrótina af töluhlutanum og deilið veldishlutanum með 2.

Dæmi B7

Að finna kvaðratrót veldistalna

Finndu kvaðratrótina af 1.6 × × 10 −7.

Lausn

\begin{matrix} 1.6 \times 10^{−7} & = & 16 \times 10^{−8} \\ \sqrt{16 \times 10^{−8}} = \sqrt{16} \times \sqrt{10^{−8}} & = & \sqrt{16} \times 10^{- \frac{8}{2}} = 4.0 \times 10^{−4} \end{matrix}

Markverðir stafir

Býflugnabóndi segist eiga 525,341 býflugur. Síðustu þrír tölustafirnir eru augljóslega ónákvæmir, því á meðan bóndinn taldi flugurnar dóu sumar og aðrar klöktust út. Þetta gerir það mjög erfitt að ákvarða nákvæman fjölda býflugna. Það hefði verið skynsamlegra ef bóndinn hefði gefið upp töluna 525,000. Með öðrum orðum eru síðustu þrír tölustafirnir ekki markverðir, nema til að ákvarða staðsetningu tugakommunnar. Nákvæm gildi þeirra hafa enga gagnlega merkingu í þessum aðstæðum. Þegar magn er gefið upp skal aðeins nota jafn marga markverða stafi og nákvæmni mælingarinnar gefur tilefni til.

Mikilvægi markverðra stafa felst í notkun þeirra í grunnreikningum. Í samlagningu og frádrætti ætti summan eða mismunurinn að innihalda jafn marga tölustafi hægra megin við tugakommuna og sú tala sem hefur minnsta nákvæmni í útreikningnum (sýnt með undirstrikun í eftirfarandi dæmi).

Dæmi B8

Samlagning og frádráttur með markverðum stöfum

Leggðu saman 4.383 g og 0.0023 g.

Lausn

\frac{\begin{array}{l} 4.38 3_g \\ 0.002 3_g \end{array}}{4.38 5_g}

Í margföldun og deilingu ætti margfeldið eða kvótinn ekki að innihalda fleiri tölustafi en sá þáttur sem hefur fæsta markverða stafi.

Dæmi B9

Margföldun og deiling með markverðum stöfum

Margfaldaðu 0.6238 með 6.6.

Lausn

0.623 8_\times 6. 6_= 4. 1_

Þegar tölur eru námundaðar skal hækka síðasta tölustafinn sem haldið er eftir um 1 ef á eftir honum kemur tala sem er stærri en 5 („námunda upp“). Ekki breyta tölustafnum ef tölustafirnir á eftir eru minni en 5 („námunda niður“). Ef á eftir tölustafnum kemur 5 skal námunda upp ef stafurinn er oddatala, en námunda niður ef hann er slétt tala (eftir námundun verður stafurinn því alltaf slétt tala).

Notkun logra og veldistalna

Tugalogri tölu (log) er það veldi sem hefja þarf 10 í til að fá þá tölu. Til dæmis er tugalogrinn af 100 jafn 2, vegna þess að hefja þarf 10 í annað veldi til að fá 100. Fleiri dæmi fylgja hér á eftir.

Tala	Tala sett fram sem veldistala	Tugalogri
1000	10 3	3
10	10 1	1
1	10 0	0
0.1	10 −1	−1
0.001	10 −3	−3

Hver er tugalogrinn af 60? Þar sem 60 liggur á milli 10 og 100, sem hafa lograna 1 og 2, er logrinn af 60 jafn 1.7782; það er að segja,

60 = 10^{1 .7782}

Tugalogri tölu sem er minni en 1 hefur neikvætt gildi. Logrinn af 0.03918 er −1.4069, eða

0.03918 = 10^{- 1.4069} = \frac{1}{10^{1.4069}}

Til að finna tugalogra tölu skal nota log-hnappinn á reiknivélinni. Til að reikna tölu út frá logra hennar skal taka andhverfan logra af logranum, eða reikna 10^x(þar sem x er logri tölunnar).

Náttúrlegur logri tölu (ln) er það veldi sem hefja þarf e í til að fá töluna; e er fastinn 2.7182818. Til dæmis er náttúrlegi logrinn af 10 jafn 2.303; það er að segja,

10 = e^{2 .303} = 2 {.7182818}^{2 .303}

Til að finna náttúrlegan logra tölu skal nota ln-hnappinn á reiknivélinni. Til að reikna tölu út frá náttúrlegum logra hennar skal slá inn logrinn og taka andhverfa ln af logranum, eða reikna e x (þar sem x er náttúrlegi logri tölunnar).

Lograr eru veldisvísar; því fylgja aðgerðir með logrum sömu reglum og aðgerðir með veldisvísum.

Logri af margfeldi tveggja talna er summa af logrum talnanna tveggja. log x y = log x + log y , og ln x y = ln x + ln y log x y = log x + log y , og ln x y = ln x + ln y
$log x y = log x + log y, and ln x y = ln x + ln y$
Logri af deilingu tveggja talna er mismunurinn á logrum talnanna tveggja. log x y = log x − log y , og ln x y = ln x − ln y log x y = log x − log y , og ln x y = ln x − ln y
$log \frac{x}{y} = log x - log y, and ln \frac{x}{y} = ln x - ln y$
Logri af tölu í veldi er margfeldi veldisvísisins og logra tölunnar. log x n = n log x og ln x n = n ln x log x n = n log x og ln x n = n ln x
$log x^{n} = n log x and ln x^{n} = n ln x$

Lausn annars stigs jafna

Stærðfræðileg föll af þessari gerð kallast annars stigs margliður eða, oftar, annars stigs föll.

a x^{2} + b x + c = 0

Lausn eða rætur fyrir hvaða annars stigs jöfnu sem er má reikna með eftirfarandi formúlu:

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Dæmi B10

Að leysa annars stigs jöfnur

Leysið annars stigs jöfnuna 3 x 2 + 13 x − 10 = 0.

Lausn

Með því að setja inn gildin a = 3, b = 13, c = −10 í jöfnuna fáum við

x = \frac{- 13 \pm \sqrt{{(13)}^{2} - 4 \times 3 \times (−10)}}{2 \times 3}

x = \frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{6} = \frac{- 13 \pm \sqrt{289}}{6} = \frac{- 13 \pm 17}{6}

Ræturnar tvær eru því

x = \frac{- 13 + 17}{6} = \frac{2}{3} and x = \frac{- 13 - 17}{6} = −5

Annars stigs jöfnur sem byggjast á raunverulegum gögnum hafa alltaf rauntölurætur. Af þessum rauntölurótum eru það oft aðeins þær sem hafa jákvæð gildi sem skipta máli.

Tvívítt ( x - y ) línurit

Tengsl milli tveggja eiginleika kerfis má sýna myndrænt með tvívíðu línuriti. Slíkt línurit hefur tvo ása: láréttan ás sem samsvarar óháðu breytunni, eða þeirri breytu sem stjórnað er ( x ), og lóðréttan ás sem samsvarar háðu breytunni, eða þeirri breytu sem er mæld eða fylgst með ( y ).

Þegar gildi y breytist sem fall af x (þ.e. mismunandi gildi x svara til mismunandi gilda y) er hægt að teikna eða rissa upp línurit af þessari breytingu. Línuritið má búa til með því að nota ákveðin gildi fyrir ( x , y ) gagnapör.

Dæmi B11 Línurit af því hvernig y er háð x

Að teikna graf af því hvernig y er háð x

x	y
1	5
2	10
3	7
4	14

Þessi tafla hefur að geyma eftirfarandi punkta: (1,5), (2,10), (3,7) og (4,14). Hægt er að merkja hvern þessara punkta inn á graf og tengja þá saman til að fá grafíska mynd af því hvernig y er háð x.

A graph is titled “Dependency of Y on X.” The x-axis ranges from 0 to 4.5. The y-axis ranges from 0 to 16. Four points are plotted as a line graph; the points are 1 and 5, 2 and 10, 3 and 7, and 4 and 14.

Sé fallið sem lýsir því hvernig y er háð x þekkt, má nota það til að reikna út x,y gagnapör sem síðan er hægt að merkja inn á graf.

Dæmi B12

Að merkja gagnapör inn á graf

Ef við vitum að y = x 2 + 2, getum við gert töflu yfir nokkur ( x, y ) gildi og síðan teiknað línuna út frá þeim gögnum sem hér sjást.

x	y = x² + 2
1	3
2	6
3	11
4	18

A graph is titled “Y equals x superscript 2 plus 2.” The x-axis ranges from 0 to 4.5. The y-axis ranges from 0 to 20. Four points are plotted as a line graph; the points are 1 and 3, 2 and 6, 3 and 11, and 4 and 18.

Tala

Tala sett fram sem veldistala

Tugalogri

1000

10 3

10 1

10 0

0.1

10 −1

−1

0.001

10 −3

−3

Dæmi B10

Að leysa annars stigs jöfnur

Leysið annars stigs jöfnuna 3 x 2 + 13 x − 10 = 0.

Lausn

Með því að setja inn gildin a = 3, b = 13, c = −10 í jöfnuna fáum við

x = \frac{- 13 \pm \sqrt{{(13)}^{2} - 4 \times 3 \times (−10)}}{2 \times 3}

x = \frac{- 13 \pm \sqrt{169 + 120}}{6} = \frac{- 13 \pm \sqrt{289}}{6} = \frac{- 13 \pm 17}{6}

Ræturnar tvær eru því

x = \frac{- 13 + 17}{6} = \frac{2}{3} and x = \frac{- 13 - 17}{6} = −5

y = x² + 2