11 Heildun

Lykiljöfnur

Eiginleikar summutákns	∑ i = 1 n c = n c ∑ i = 1 n c a i = c ∑ i = 1 n a i ∑ i = 1 n ( a i + b i ) = ∑ i = 1 n a i + ∑ i = 1 n b i ∑ i = 1 n ( a i − b i ) = ∑ i = 1 n a i − ∑ i = 1 n b i ∑ i = 1 n a i = ∑ i = 1 m a i + ∑ i = m + 1 n a i
Summur og veldi heiltalna	$\frac{∑ i = 1 n i = 1 + 2 + ⋯ + n = n ( n + 1 )}{2 ∑ i} = \frac{1 n i 2 = 1 2 + 2 2 + ⋯ + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6 ∑ i = 0 n i 3 = 1 3 + 2 3 + ⋯ + n 3 = n 2 ( n + 1 ) 2/4}$
Nálgun með vinstri endapunktum	A ≈ L n = f ( x 0 ) Δ x + f ( x 1 ) Δ x + ⋯ + f ( x n − 1 ) Δ x = ∑ i = 1 n f ( x i − 1 ) Δ x
Nálgun með hægri endapunktum	A ≈ R n = f ( x 1 ) Δ x + f ( x 2 ) Δ x + ⋯ + f ( x n ) Δ x = ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x

Ákveðið heildi	$∫ a b f (x) d x = lim n \to ∞ ∑ i = 1 n f (x i *) Δ x$
Reiknireglur fyrir ákveðin heildi	∫ a a f ( x ) d x = 0 ∫ b a f ( x ) d x = − ∫ a b f ( x ) d x ∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x − ∫ a b g ( x ) d x ∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) þar sem fastinn er c ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x

Meðalgildissetningin fyrir heildi	Ef f ( x ) er samfellt á bili [ a , b ] , þá er til að minnsta kosti einn punktur c ∈ [ a , b ] þannig að f ( c ) = 1/b − a ∫ a b f ( x ) d x .
Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar, 1. hluti	Ef f ( x ) er samfellt á bili [ a , b ] , og fallið F ( x ) er skilgreint með F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t , þá er F ′ ( x ) = f ( x ) .
Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar, 2. hluti	Ef f er samfellt á bilinu [ a , b ] og F ( x ) er eitthvert stofnfall fyrir f ( x ) , þá er ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) .

Setningin um heildarbreytingu

F ( b ) = F ( a ) + ∫ a b F ' ( x ) d x eða ∫ a b F ' ( x ) d x = F ( b ) − F ( a )

Innsetning í óákveðnum heildum	∫ f [ g ( x ) ] g ′ ( x ) d x = ∫ f ( u ) d u = F ( u ) + $C = F$ ( g ( x ) ) + C
Innsetning í ákveðnum heildum	∫ a b f ( g ( x ) ) g ' ( x ) d x = ∫ g ( a ) g ( b ) f ( u ) d u

Heildi vísisfalla	∫ e x d x = e x + C ∫ a x d x = a x/ln a + C
Heildunarreglur fyrir lograföll	∫ x −1 d x = ln \| x \| + C ∫ ln x d x = x ln x − x + C = x ( ln x − 1 ) + C ∫ log a x d x = x/ln a ( ln x − 1 ) + C

Heildi sem skila andhverfum hornaföllum

\frac{∫ d u}{a 2 − u 2} = \frac{sin −1 ( u}{a ) + C ∫ d u/a 2 + u 2 = 1/a tan −1 ( u/a ) + C ∫ d u/u u 2 − a 2 = 1/a sec −1 ( u/a ) + C}

11 Heildun

Eiginleikar summutákns	∑ i = 1 n c = n c ∑ i = 1 n c a i = c ∑ i = 1 n a i ∑ i = 1 n ( a i + b i ) = ∑ i = 1 n a i + ∑ i = 1 n b i ∑ i = 1 n ( a i − b i ) = ∑ i = 1 n a i − ∑ i = 1 n b i ∑ i = 1 n a i = ∑ i = 1 m a i + ∑ i = m + 1 n a i
Summur og veldi heiltalna	$\frac{∑ i = 1 n i = 1 + 2 + ⋯ + n = n ( n + 1 )}{2 ∑ i} = \frac{1 n i 2 = 1 2 + 2 2 + ⋯ + n 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6 ∑ i = 0 n i 3 = 1 3 + 2 3 + ⋯ + n 3 = n 2 ( n + 1 ) 2/4}$
Nálgun með vinstri endapunktum	A ≈ L n = f ( x 0 ) Δ x + f ( x 1 ) Δ x + ⋯ + f ( x n − 1 ) Δ x = ∑ i = 1 n f ( x i − 1 ) Δ x
Nálgun með hægri endapunktum	A ≈ R n = f ( x 1 ) Δ x + f ( x 2 ) Δ x + ⋯ + f ( x n ) Δ x = ∑ i = 1 n f ( x i ) Δ x

Ákveðið heildi	$∫ a b f (x) d x = lim n \to ∞ ∑ i = 1 n f (x i *) Δ x$
Reiknireglur fyrir ákveðin heildi	∫ a a f ( x ) d x = 0 ∫ b a f ( x ) d x = − ∫ a b f ( x ) d x ∫ a b [ f ( x ) + g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x ∫ a b [ f ( x ) − g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x − ∫ a b g ( x ) d x ∫ a b c f ( x ) d x = c ∫ a b f ( x ) þar sem fastinn er c ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x

Meðalgildissetningin fyrir heildi	Ef f ( x ) er samfellt á bili [ a , b ] , þá er til að minnsta kosti einn punktur c ∈ [ a , b ] þannig að f ( c ) = 1/b − a ∫ a b f ( x ) d x .
Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar, 1. hluti	Ef f ( x ) er samfellt á bili [ a , b ] , og fallið F ( x ) er skilgreint með F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t , þá er F ′ ( x ) = f ( x ) .
Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar, 2. hluti	Ef f er samfellt á bilinu [ a , b ] og F ( x ) er eitthvert stofnfall fyrir f ( x ) , þá er ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) .

Setningin um heildarbreytingu

F ( b ) = F ( a ) + ∫ a b F ' ( x ) d x eða ∫ a b F ' ( x ) d x = F ( b ) − F ( a )

Innsetning í óákveðnum heildum	∫ f [ g ( x ) ] g ′ ( x ) d x = ∫ f ( u ) d u = F ( u ) + $C = F$ ( g ( x ) ) + C
Innsetning í ákveðnum heildum	∫ a b f ( g ( x ) ) g ' ( x ) d x = ∫ g ( a ) g ( b ) f ( u ) d u

Heildi vísisfalla	∫ e x d x = e x + C ∫ a x d x = a x/ln a + C
Heildunarreglur fyrir lograföll	∫ x −1 d x = ln \| x \| + C ∫ ln x d x = x ln x − x + C = x ( ln x − 1 ) + C ∫ log a x d x = x/ln a ( ln x − 1 ) + C

Heildi sem skila andhverfum hornaföllum

\frac{∫ d u}{a 2 − u 2} = \frac{sin −1 ( u}{a ) + C ∫ d u/a 2 + u 2 = 1/a tan −1 ( u/a ) + C ∫ d u/u u 2 − a 2 = 1/a sec −1 ( u/a ) + C}