11 Heildun

1.7 Heildi sem skila andhverfum hornaföllum

Námsmarkmið

1.7.1 Heilda föll sem skila andhverfum hornaföllum

Í þessum hluta beinum við sjónum að heildum sem skila andhverfum hornaföllum. Við höfum áður unnið með þessi föll. Rifjum upp úr kaflanum Föll og gröf að hornaföll eru ekki eintæk nema skilgreiningarmengi þeirra sé takmarkað. Þegar unnið er með andhverfur hornafallanna þarf ávallt að taka tillit til þessara takmarkana. Í kaflanum Afleiður leiddum við einnig út formúlur fyrir afleiður andhverfra hornafalla. Þessar formúlur leiða beint til heildunarreglna sem fela í sér andhverf hornaföll.

Heildi sem skila andhverfu sínusfalli

Hefjum þennan síðasta hluta kaflans á formúlunum þremur. Við notum þessar formúlur ásamt innsetningu til að reikna heildin. Við sönnum formúluna fyrir heildi sem skilar andhverfu sínusfalli.

Sönnun

Látum $y = {sin}^{−1} \frac{x}{a} .$ Þá er $a sin y = x .$ Notum nú fólgin deildun. Þá fæst

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (a sin y) & = & \frac{d}{d x} (x) \\ a cos y \frac{d y}{d x} & = & 1 \\ \frac{d y}{d x} & = & \frac{1}{a cos y} . \end{matrix}

Fyrir $- \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}, cos y \geq 0 .$ Með því að beita Pýþagórasarsamsemdinni ${sin}^{2} y + {cos}^{2} y = 1,$ fæst því $cos y = \sqrt{1 - {sin}^{2} y} .$ Þetta gefur

\begin{matrix} \frac{1}{a cos y} & = \frac{1}{a \sqrt{1 - {sin}^{2} y}} \\ = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - a^{2} {sin}^{2} y}} \\ = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} . \end{matrix}

Fyrir $− a \leq x \leq a,$ og með því að alhæfa niðurstöðuna fyrir u fæst því

\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} - u^{2}}} d u = {sin}^{−1} (\frac{u}{a}) + C .

□

Dæmi 1.49

Ákveðið heildi reiknað með andhverfum hornaföllum

Reiknið ákveðna heildið $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}} .$

Lausn

Við getum notað formúluna fyrir stofnfallið í reglunni um heildi sem skila andhverfum hornaföllum beint og síðan reiknað ákveðna heildið. Þá fæst

\begin{matrix} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}} & = {sin}^{−1} x |_{0}^{\frac{1}{2}} \\ = {sin}^{−1} \frac{1}{2} - {sin}^{−1} 0 \\ = \frac{π}{6} - 0 \\ = \frac{π}{6} . \end{matrix}

Dæmi 1.50

Stofnfall sem felur í sér andhverft hornafall

Reiknið heildið $\int \frac{d x}{\sqrt{4 - 9 x^{2}}} .$

Lausn

Notum innsetninguna $u = 3 x .$ Þá er $d u = 3 d x$ og því fæst

\int \frac{d x}{\sqrt{4 - 9 x^{2}}} = \frac{1}{3} \int \frac{d u}{\sqrt{4 - u^{2}}} .

Með því að beita formúlunni með $a = 2,$ fæst

\begin{matrix} \int \frac{d x}{\sqrt{4 - 9 x^{2}}} & = \frac{1}{3} \int \frac{d u}{\sqrt{4 - u^{2}}} \\ = \frac{1}{3} {sin}^{−1} (\frac{u}{2}) + C \\ = \frac{1}{3} {sin}^{−1} (\frac{3 x}{2}) + C . \end{matrix}

Dæmi 1.51

Ákveðið heildi reiknað

Reiknið ákveðna heildið $\int_{0}^{\sqrt{3} / 2} \frac{d u}{\sqrt{1 - u^{2}}} .$

Lausn

Framsetning verkefnisins fellur að formúlunni fyrir andhverft sínusfall. Því fæst

\begin{matrix} \int_{0}^{\sqrt{3} / 2} \frac{d u}{\sqrt{1 - u^{2}}} & = {sin}^{−1} u |_{0}^{\sqrt{3} / 2} \\ = [{sin}^{−1} (\frac{\sqrt{3}}{2})] - [{sin}^{−1} (0)] \\ = \frac{π}{3} . \end{matrix}

Heildi sem skila öðrum andhverfum hornaföllum

Andhverfu hornaföllin eru sex. Í reglunni um heildi sem skila andhverfum hornaföllum eru þó aðeins þrjár heildunarreglur taldar upp, því hinar þrjár eru neikvæðar gerðir reglnanna þriggja. Eini munurinn er hvort heildisstofninn er jákvæður eða neikvæður. Í stað þess að leggja þrjár formúlur til viðbótar á minnið má einfaldlega taka −1 út fyrir heildið þegar heildisstofninn er neikvæður og reikna heildið með einni af formúlunum sem þegar hafa verið gefnar. Að lokum skoðum við eina formúlu enn: heildið sem skilar andhverfu tangensfalli.

Dæmi 1.52

Stofnfall sem felur í sér andhverft tangensfall

Reiknið heildið $\int \frac{1}{1 + 4 x^{2}} d x .$

Lausn

Þegar þetta verkefni er borið saman við formúlurnar í reglunni um heildi sem skila andhverfum hornaföllum sést að heildisstofninn er á sama formi og í formúlunni sem gefur ${tan}^{−1} u + C .$ Við beitum því innsetningu og látum $u = 2 x,$ þá er $d u = 2 d x$ og $1 / 2 d u = d x .$ Þá fæst

\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + u^{2}} d u = \frac{1}{2} {tan}^{−1} u + C = \frac{1}{2} {tan}^{−1} (2 x) + C .

Dæmi 1.53

Heildunarreglunum beitt

Reiknið heildið $\int \frac{1}{9 + x^{2}} d x .$

Lausn

Beitum formúlunni með $a = 3 .$ Þá fæst

\int \frac{d x}{9 + x^{2}} = \frac{1}{3} {tan}^{−1} (\frac{x}{3}) + C .

Dæmi 1.54

Ákveðið heildi reiknað

Reiknið ákveðna heildið $\int_{\sqrt{3} / 3}^{\sqrt{3}} \frac{d x}{1 + x^{2}} .$

Lausn

Notum formúluna fyrir andhverft tangensfall. Þá fæst

\begin{matrix} \int_{\sqrt{3} / 3}^{\sqrt{3}} \frac{d x}{1 + x^{2}} & = {tan}^{−1} x |_{\sqrt{3} / 3}^{\sqrt{3}} \\ = [{tan}^{−1} (\sqrt{3})] - [{tan}^{−1} (\frac{\sqrt{3}}{3})] \\ = \frac{π}{6} . \end{matrix}

Æfingar í hluta 1.7

Í eftirfarandi æfingum skal reikna hvert heildi og gefa svarið með andhverfu hornafalli.

391.

$\int_{0}^{\sqrt{3} / 2} \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

392.

$\int_{−1 / 2}^{1 / 2} \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

393.

$\int_{\sqrt{3}}^{1} \frac{d x}{1 + x^{2}}$

394.

$\int_{1 / \sqrt{3}}^{\sqrt{3}} \frac{d x}{1 + x^{2}}$

395.

$\int_{\frac{2}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{2}} \frac{d x}{| x | \sqrt{x^{2} - 1}}$

396.

$\int_{\sqrt{2}}^{2} \frac{d x}{| x | \sqrt{x^{2} - 1}}$

Í eftirfarandi æfingum skal finna hvert óákveðið heildi með viðeigandi innsetningu.

397.

$\int \frac{d x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$

398.

$\int \frac{d x}{\sqrt{1 - 16 x^{2}}}$

399.

$\int \frac{d x}{9 + x^{2}}$

400.

$\int \frac{d x}{25 + 16 x^{2}}$

401.

$\int \frac{d x}{| x | \sqrt{x^{2} - 9}}$

402.

$\int \frac{d x}{| x | \sqrt{4 x^{2} - 16}}$

403.

Útskýrið sambandið $− {cos}^{−1} t + C = \int \frac{d t}{\sqrt{1 - t^{2}}} = {sin}^{−1} t + C .$ Gildir almennt að ${cos}^{−1} t = − {sin}^{−1} t ?$

404.

Útskýrið sambandið ${sec}^{−1} t + C = \int \frac{d t}{| t | \sqrt{t^{2} - 1}} = − {csc}^{−1} t + C .$ Gildir almennt að ${sec}^{−1} t = − {csc}^{−1} t ?$

405.

Útskýrið hvað er rangt við eftirfarandi heildi: $\int_{1}^{2} \frac{d t}{\sqrt{1 - t^{2}}} .$

406.

Útskýrið hvað er rangt við eftirfarandi heildi: $\int_{−1}^{1} \frac{d t}{| t | \sqrt{t^{2} - 1}} .$

Í eftirfarandi æfingum skal finna stofnfallið $\int f$ fyrir fallið f þegar $C = 0,$ og notið síðan reiknivél til að teikna gröf f og stofnfallsins á gefna bilinu $[a, b] .$ Finnið gildi C þannig að þegar C er lagt við stofnfallið fáist fallið $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t .$

407.

[T] $\int \frac{1}{\sqrt{9 - x^{2}}} d x$ á bilinu $[−3, 3]$

408.

[T] $\int \frac{9}{9 + x^{2}} d x$ á bilinu $[−6, 6]$

409.

[T] $\int \frac{cos x}{4 + {sin}^{2} x} d x$ á bilinu $[−6, 6]$

410.

[T] $\int \frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}} d x$ á bilinu $[−6, 6]$

Í eftirfarandi æfingum skal reikna stofnfallið með viðeigandi innsetningu.

411.

$\int \frac{{sin}^{−1} t d t}{\sqrt{1 - t^{2}}}$

412.

$\int \frac{d t}{{sin}^{−1} t \sqrt{1 - t^{2}}}$

413.

$\int \frac{{tan}^{−1} (2 t)}{1 + 4 t^{2}} d t$

414.

$\int \frac{t {tan}^{−1} (t^{2})}{1 + t^{4}} d t$

415.

$\int \frac{{sec}^{−1} (\frac{t}{2})}{| t | \sqrt{t^{2} - 4}} d t$

416.

$\int \frac{t {sec}^{−1} (t^{2})}{t^{2} \sqrt{t^{4} - 1}} d t$

Í eftirfarandi æfingum skal nota reiknivél til að teikna graf stofnfallsins sem fæst með því að reikna $\int f$ þegar $C = 0$ á gefna bilinu $[a, b] .$ Nálgið, ef unnt er, gildi C þannig að þegar C er lagt við stofnfallið fáist sama fall og $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t .$

417.

[T] $\int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 4}} d x$ á bilinu $[2, 6]$

418.

[T] $\int \frac{1}{(2 x + 2) \sqrt{x}} d x$ á bilinu $[0, 6]$

419.

[T] $\int \frac{(sin x + x cos x)}{1 + x^{2} {sin}^{2} x} d x$ á bilinu $[−6, 6]$

420.

[T] $\int \frac{2 e^{−2 x}}{\sqrt{1 - e^{−4 x}}} d x$ á bilinu $[0, 2]$

421.

[T] $\int \frac{1}{x + x {ln}^{2} x} d x$ á bilinu $[0, 2]$

422.

[T] $\int \frac{{sin}^{−1} x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$ á bilinu $[−1, 1]$

Í eftirfarandi æfingum skal reikna hvert heildi með viðeigandi innsetningu.

423.

$\int \frac{e^{t}}{\sqrt{1 - e^{2 t}}} d t$

424.

$\int \frac{e^{t}}{1 + e^{2 t}} d t$

425.

$\int \frac{d t}{t \sqrt{1 - {ln}^{2} t}}$

426.

$\int \frac{d t}{t (1 + {ln}^{2} t)}$

427.

$\int \frac{{cos}^{−1} (2 t)}{\sqrt{1 - 4 t^{2}}} d t$

428.

$\int \frac{e^{t} {cos}^{−1} (e^{t})}{\sqrt{1 - e^{2 t}}} d t$

Í eftirfarandi æfingum skal reikna hvert ákveðið heildi.

429.

$\int_{0}^{1 / 2} \frac{tan ({sin}^{−1} t)}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

430.

$\int_{1 / 4}^{1 / 2} \frac{tan ({cos}^{−1} t)}{\sqrt{1 - t^{2}}} d t$

431.

$\int_{0}^{1 / 2} \frac{sin ({tan}^{−1} t)}{1 + t^{2}} d t$

432.

$\int_{0}^{1 / 2} \frac{cos ({tan}^{−1} t)}{1 + t^{2}} d t$

433.

Ef $A > 0,$ skal reikna $I (A) = \int_{− A}^{A} \frac{d t}{1 + t^{2}}$ og ákvarða markgildið $lim_{A \to \infty} I (A),$ sem gefur flatarmálið undir grafi $\frac{1}{1 + t^{2}}$ á $[− \infty, \infty] .$

434.

Ef $1 < B < \infty,$ skal reikna $I (B) = \int_{1}^{B} \frac{d t}{t \sqrt{t^{2} - 1}}$ og ákvarða markgildið $lim_{B \to \infty} I (B),$ sem gefur flatarmálið undir grafi $\frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1}}$ á $[1, \infty) .$

435.

Notið innsetninguna $u = \sqrt{2} cot x$ og samsemdina $1 + {cot}^{2} x = {csc}^{2} x$ til að reikna $\int \frac{d x}{1 + {cos}^{2} x} .$ (Ábending: Margfaldið teljara og nefnara heildisstofnsins með ${csc}^{2} x .)$

436.

[T] Nálgið skurðpunkta grafa $f (x) = 2 x^{2} - 1$ og $g (x) = {(1 + 4 x^{2})}^{−3 / 2}$ með fjórum aukastöfum og flatarmálið milli grafanna með þremur aukastöfum.

437.

[T] Nálgið skurðpunkta grafa $f (x) = x^{2} - 1$ og ${g (x) = (x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ með fjórum aukastöfum og flatarmálið milli grafanna með þremur aukastöfum.

438.

Notið eftirfarandi graf til að sanna að $\int_{0}^{x} \sqrt{1 - t^{2}} d t = \frac{1}{2} x \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{1}{2} {sin}^{−1} x .$