1.1 Nálgun á flatarmáli

Arkímedes hafði mikinn áhuga á að reikna flatarmál ýmissa forma — með öðrum orðum stærð svæðisins sem formið afmarkar. Hann notaði ferli sem síðar hefur verið nefnt tæmingaraðferðin. Þar eru sífellt smærri form, sem unnt er að reikna flatarmál nákvæmlega, notuð til að fylla óreglulegt svæði og fá þannig æ nákvæmari nálgun á heildarflatarmálið. Í þessu ferli er svæði sem afmarkast af ferlum fyllt með rétthyrningum, þríhyrningum og öðrum formum sem hafa nákvæmar flatarmálsformúlur. Flatarmál þeirra eru síðan lögð saman til að nálga flatarmál svæðisins með bognum jaðri.

Í þessum hluta þróum við aðferðir til að nálga flatarmálið milli ferilsins sem samsvarar fallinu $f\left(x\right),$ annars vegar og x-ásnum hins vegar á lokaða bilinu $\left[a,b\right].$ Líkt og Arkímedes nálgum við fyrst flatarmálið undir ferlinum með formum sem hafa þekkt flatarmál, nánar tiltekið rétthyrningum. Með því að nota sífellt smærri rétthyrninga fáum við æ nákvæmari nálgun á flatarmálið. Með markgildi getum við síðan reiknað nákvæmt flatarmál undir ferlinum.

Byrjum á að kynna rithátt sem einfaldar útreikningana. Síðan skoðum við það tilvik að $f\left(x\right)$ sé samfellt og óneikvætt. Síðar í kaflanum slökum við á sumum þessara skilyrða og þróum aðferðir sem gilda í almennari tilvikum.

Eins og áður segir notum við form með þekkt flatarmál til að nálga flatarmál óreglulegs svæðis sem afmarkast af ferlum. Við það þarf oft að leggja saman langar talnarunur. Til að auðvelda ritun slíkra langra summa kynnum við hér nýtt tákn, summutákn (einnig nefnt sigma-tákn). Gríski hástafurinn $\Sigma ,$ sigma, er notaður til að rita langar summur gilda á knöppu formi. Ef við viljum til dæmis leggja saman allar heiltölur frá 1 til 20 án summutákns þurfum við að skrifa

þar sem $a_i$ lýsir liðunum sem á að leggja saman og i kallast vísir. Gildi hvers liðar er reiknað og gildin síðan lögð saman, frá gildinu þegar $i=1$ til gildisins þegar $i=n.$ Til dæmis er segðin ${\displaystyle \sum _{i=2}^7{s}_i}$ túlkuð sem $s_2+s_3+s_4+s_5+s_6+s_7.$ Athugið að vísirinn er aðeins notaður til að halda utan um liðina sem leggja á saman; hann kemur ekki sjálfur inn í útreikning summunnar. Vísirinn er því gervibreyta. Hægt er að nota hvaða staf sem er sem vísi. Stærðfræðingar nota yfirleitt i, j, k, m og n sem vísa.

Nú þegar við höfum nauðsynlegan rithátt snúum við aftur að viðfangsefninu: að nálga flatarmál undir ferli. Látum $f\left(x\right)$ vera samfellt, óneikvætt fall sem skilgreint er á lokaða bilinu $\left[a,b\right].$ Við viljum nálga flatarmálið A sem afmarkast að ofan af $f\left(x\right)$ , að neðan af x-ásnum, til vinstri af línunni $x=a$ og til hægri af línunni $x=b$ (mynd 1.2).

Hvernig nálgum við flatarmálið undir ferlinum? Aðferðin er rúmfræðileg. Með því að skipta svæðinu í mörg lítil form sem hafa þekktar flatarmálsformúlur getum við lagt flatarmál þeirra saman og fengið hæfilegt mat á raunverulegu flatarmáli svæðisins. Við byrjum á að skipta bilinu $\left[a,b\right]$ í n jafnbreið hlutbil, $\frac{b-a}{n}.$ Til þess veljum við jafnt dreifða punkta $x_0,x_1,x_2\text{,…,}{x}_n$ , þar sem $x_0=a,x_n=b,$ og

fyrir $i=1,2,3\text{,…,}n.$

Við táknum breidd hvers hlutbils með Δx, þannig að $\text{Δ}x=\frac{b-a}{n}$ og

fyrir $i=1,2,3\text{,…,}n.$ Þessi hugmynd um að skipta bili $\left[a,b\right]$ í hlutbil með því að velja punkta innan þess er oft notuð til að nálga flatarmál undir ferli. Því skulum við skilgreina nokkur hugtök sem tengjast henni.

Gröfin á mynd 1.5 sýna ferilinn $f\left(x\right)=\frac{x^2}{2}.$ Á grafi (a) skiptum við bilinu $\left[0,3\right]$ í sex hlutbil, hvert með breiddina 0.5. Því er $\text{Δ}x=0.5.$ Síðan myndum við sex rétthyrninga með því að draga lóðréttar línur í punktinum $x_{i-1},$ sem er vinstri endapunktur hvers hlutbils. Við ákvarðum hæð hvers rétthyrnings með því að reikna $f\left(x_{i-1}\right)$ fyrir $i=1,2,3,4,5,6.$ Hlutbilin eru $\left[0,0.5\right],\left[0.5,1\right],\left[1,1.5\right],\left[1.5,2\right],\left[2,2.5\right],\left[2.5,3\right].$ Flatarmál hvers rétthyrnings fæst með því að margfalda hæðina með breiddinni. Summa flatarmála rétthyrninganna nálgar þá flatarmálið milli $f\left(x\right)$ og x-ássins. Þegar vinstri endapunktarnir eru notaðir til að reikna hæðirnar fáum við nálgun með vinstri endapunktum. Því er

Á mynd 1.5(b) drögum við lóðréttar línur hornrétt á $x_i$ þannig að $x_i$ sé hægri endapunktur hvers hlutbils og reiknum $f\left(x_i\right)$ fyrir $i=1,2,3,4,5,6.$ Við margföldum hvert fallgildi $f\left(x_i\right)$ með Δx til að finna flatarmál rétthyrninganna og leggjum þau síðan saman. Þetta er nálgun með hægri endapunktum á flatarmálinu undir $f\left(x\right).$ Því er

Af mynd 1.5 og gröfunum í Dæmi 1.4 sjáum við að þegar fá hlutbil eru notuð gefur hvorki nálgun með vinstri endapunktum né nálgun með hægri endapunktum sérlega nákvæmt mat á flatarmálinu undir ferlinum. Rökrétt virðist þó að mat okkar á A batni ef við fjölgum punktunum í skiptingunni. Þá verða rétthyrningarnir fleiri en mjórri og falla því betur að ferlinum.

Með dæmi getum við sýnt hvernig nálgunin batnar þegar hlutbilin verða mjórri. Skoðum fyrst hvernig n er aukið í nálgun með vinstri endapunktum, fyrst með fjórum rétthyrningum, síðan átta og loks 32 rétthyrningum. Gerum síðan það sama með nálgun með hægri endapunktum og notum sömu hlutbil á sama ferilsvæði. Mynd 1.8 sýnir flatarmál svæðisins undir ferlinum $f\left(x\right)={\left(x-1\right)}^3+4$ á bilinu $\left[0,2\right]$ , nálgað með vinstri endapunktum þar sem $n=4.$ Breidd hvers rétthyrnings er

Mynd 1.9 sýnir sama feril skiptan í átta hlutbil. Þegar grafið með fjórum rétthyrningum á mynd 1.8 er borið saman við þetta graf með átta rétthyrningum sést að minna autt svæði virðist vera undir ferlinum þegar $n=8.$ Þetta auða svæði er sá hluti flatarmálsins undir ferlinum sem nálgunin nær ekki yfir. Flatarmál rétthyrninganna er

Grafið á mynd 1.10 sýnir sama fall með 32 rétthyrningum innrituðum undir ferilinn. Lítið autt svæði virðist vera eftir. Flatarmálið sem rétthyrningarnir þekja er

Við getum beitt sams konar ferli við nálgun með hægri endapunktum. Nálgun á sama ferli með hægri endapunktum og fjórum rétthyrningum (mynd 1.11) gefur flatarmálið

Ef svæðinu yfir bilinu $\left[0,2\right]$ er skipt í átta rétthyrninga fæst $\text{Δ}x=\frac{2-0}{8}=0.25.$ Grafið er sýnt á mynd 1.12. Flatarmálið er

Að lokum er nálgunin með hægri endapunktum þegar $n=32$ er nálægt raunverulega flatarmálinu (mynd 1.13). Flatarmálið er um það bil

Af þessum myndum og útreikningum virðumst við vera á réttri leið; rétthyrningarnir virðast nálga flatarmálið undir ferlinum betur eftir því sem n stækkar. Þegar n stækkar virðast enn fremur bæði nálgunin með vinstri endapunktum og nálgunin með hægri endapunktum stefna að flatarmáli sem nemur 8 ferningseiningum. Tafla 1.1 sýnir tölulegan samanburð á aðferðunum tveimur. Sú hugmynd að nálgunin á flatarmálinu undir ferlinum batni eftir því sem n stækkar er mjög mikilvæg og nú skoðum við hana nánar.

Hingað til höfum við notað rétthyrninga til að nálga flatarmál undir ferli. Hæðir rétthyrninganna hafa ráðist af fallgildum annaðhvort í hægri eða vinstri endapunktum hlutbilanna $\left[x_{i-1},x_i\right].$ Í raun er engin ástæða til að einskorða útreikning fallsins við þessa tvo punkta. Við getum reiknað fallgildið í hvaða punkti $x_i^{*}$ sem er á hlutbilinu $\left[x_{i-1},x_i\right],$ og notað $f\left(x_i^{*}\right)$ sem hæð rétthyrningsins. Þá fæst mat á flatarmálinu á forminu

Munum að við nálgun með vinstri og hægri endapunktum virtist matið batna eftir því sem n stækkar. Hið sama á við um Riemann-summur. Þær gefa nákvæmari nálganir fyrir stærri gildi n. Nú getum við skilgreint flatarmál undir ferli með Riemann-summum.

Hér eru nokkur fínleg atriði sem vert er að ræða. Í fyrsta lagi er nokkur munur á því að taka markgildi summu og að taka markgildi falls $f\left(x\right)$ þegar x stefnir á óendanlegt. Fjallað er ítarlega um markgildi summa í kaflanum Runur og raðir. Að sinni getum við þó gert ráð fyrir að nota megi sömu reikniaðferðir við markgildi summa og við markgildi falla.

Í öðru lagi þurfum við að athuga hvað gera skuli ef segðin stefnir á ólík markgildi eftir vali á $\left\{x_i^{*}\right\}.$ Sem betur fer gerist það ekki. Þótt sönnunin sé utan við efni þessarar bókar má sýna að ef $f\left(x\right)$ er samfellt á lokaða bilinu $\left[a,b\right],$ þá er $\underset{n\to \infty }{\text{lim}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f\left(x_i^{*}\right)\text{Δ}x}$ til og er ótvírætt (það er að segja óháð vali á $\left\{x_i^{*}\right\}\text{).}$

Brátt skoðum við nokkur dæmi. Áður en að því kemur skulum við þó ræða nokkur tiltekin val á $\left\{x_i^{*}\right\}.$ Þótt hvert val á $\left\{x_i^{*}\right\}$ gefi mat á flatarmálinu undir ferlinum vitum við ekki endilega hvort matið er of hátt, það er ofmat, eða of lágt, það er vanmat. Ef máli skiptir að vita hvort matið er of hátt eða of lágt getum við valið $\left\{x_i^{*}\right\}$ þannig að önnur hvor niðurstaðan sé tryggð.

Ef við viljum til dæmis fá ofmat getum við valið $\left\{x_i^{*}\right\}$ þannig að fyrir $i=1,2,3\text{,…,}n,f\left(x_i^{*}\right)\ge f\left(x\right)$ fyrir öll $x\in \left[x_{i-1},x_i\right].$ Með öðrum orðum veljum við $\left\{x_i^{*}\right\}$ þannig að fyrir $i=1,2,3\text{,…,}n,f\left(x_i^{*}\right)$ sé hágildi fallsins á bilinu $\left[x_{i-1},x_i\right].$ Ef $\left\{x_i^{*}\right\}$ eru valin þannig er Riemann-summan ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f\left(x_i^{*}\right)\text{Δ}x}$ efri summa. Á sama hátt getum við, ef við viljum fá vanmat, valið $\left\{x_i^{*}\right\}$ þannig að fyrir $i=1,2,3\text{,…,}n,f\left(x_i^{*}\right)$ sé lággildi fallsins á bilinu $\left[x_{i-1},x_i\right].$ Samsvarandi Riemann-summa kallast þá neðri summa. Athugið að ef $f\left(x\right)$ er annaðhvort vaxandi eða minnkandi á öllu bilinu $\left[a,b\right],$ eru hágildi og lággildi fallsins í endapunktum hlutbilanna. Þá eru efri og neðri summurnar einfaldlega þær sömu og nálganirnar með vinstri og hægri endapunktum.