1.4 Heildunarreglur og setningin um heildarbreytingu

${\displaystyle \int \left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx}$

${\displaystyle \int \left(e^{2x}-\frac{1}{2}{e}^{x\text{/}2}\right)dx}$

${\displaystyle \int \frac{dx}{2x}}$

${\displaystyle \int \frac{x-1}{x^2}dx}$

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }\left(\text{sin}x-\text{cos}x\right)dx}$

${\displaystyle {\int }_0^{\pi \text{/}2}\left(x-\text{sin}x\right)dx}$

Skrifið heildi sem lýsir aukningunni á ummáli $P\left(s\right)$ fernings þegar hliðarlengdin s vex úr 2 einingum í 4 einingar og reiknið heildið.

Skrifið heildi sem lýsir breytingunni á flatarmáli $A\left(s\right)=s^2$ fernings þegar hliðarlengdin tvöfaldast úr S einingum í 2 S einingar og reiknið heildið.

Reglulegur N-hyrningur (N-hliða marghyrningur með jafnlangar hliðar s, svo sem fimmhyrningur eða sexhyrningur) hefur ummálið Ns. Skrifið heildi sem lýsir aukningunni á ummáli reglulegs N-hyrnings þegar lengd hverrar hliðar vex úr 1 einingu í 2 einingar og reiknið heildið.

Flatarmál reglulegs fimmhyrnings með hliðarlengdina $a>0$ er pa² þar sem $p=\frac{1}{4}\sqrt{5\left(5+2\sqrt{5}\right)}.$ Pentagon-byggingin í Washington, DC, hefur innri hliðar sem eru 360 fet að lengd og ytri hliðar sem eru 920 fet að lengd. Skrifið heildi sem lýsir flatarmáli þaks Pentagon-byggingarinnar samkvæmt þessum málum og reiknið flatarmálið.

Tólfflötungur er reglulegur margflötungur en yfirborð hans er samsett úr 12 fimmhyrningum, hverjum með sama flatarmál. Hve mikið vex yfirborðsflatarmál tólfflötungs þegar hliðarlengd hvers fimmhyrnings tvöfaldast úr 1 einingu í 2 einingar?

Tuttuguflötungur er reglulegur margflötungur en yfirborð hans er samsett úr 20 jafnhliða þríhyrningum. Hve mikið vex yfirborðsflatarmál tuttuguflötungs þegar hliðarlengd hvers þríhyrnings tvöfaldast úr a einingu í 2 a einingar?

Skrifið heildi sem lýsir breytingunni á yfirborðsflatarmáli tenings þegar hliðarlengd hans tvöfaldast úr s einingu í 2 s einingar og reiknið heildið.

Skrifið heildi sem lýsir aukningunni á rúmmáli tenings þegar hliðarlengdin tvöfaldast úr s einingu í 2 s einingar og reiknið heildið.

Skrifið heildi sem lýsir aukningunni á yfirborðsflatarmáli kúlu þegar geisli hennar tvöfaldast úr R einingu í 2 R einingar og reiknið heildið.

Skrifið heildi sem lýsir aukningunni á rúmmáli kúlu þegar geisli hennar tvöfaldast úr R einingu í 2 R einingar og reiknið heildið.

Gerum ráð fyrir að ögn hreyfist eftir beinni línu með hraðann $v\left(t\right)=4-2t,$ þar sem $0\le t\le 2$ (í metrum á sekúndu). Finnið færslu agnarinnar á tímanum t og heildarvegalengdina sem hún hefur farið fram að $t=2.$

Gerum ráð fyrir að ögn hreyfist eftir beinni línu með hraða sem er skilgreindur með $v\left(t\right)=t^2-3t-18,$ þar sem $0\le t\le 6$ (í metrum á sekúndu). Finnið færslu agnarinnar á tímanum t og heildarvegalengdina sem hún hefur farið fram að $t=6.$

Gerum ráð fyrir að ögn hreyfist eftir beinni línu með hraða sem er skilgreindur með $v\left(t\right)=\left|2t-6\right|,$ þar sem $0\le t\le 6$ (í metrum á sekúndu). Finnið færslu agnarinnar á tímanum t og heildarvegalengdina sem hún hefur farið fram að $t=6.$

Gerum ráð fyrir að ögn hreyfist eftir beinni línu með hröðun sem er skilgreind með $a\left(t\right)=t-3,$ þar sem $0\le t\le 6$ (í metrum á sekúndu). Finnið hraðann og færsluna á tímanum t og heildarvegalengdina sem ögnin hefur farið fram að $t=6$ ef $v\left(0\right)=3$ og $d\left(0\right)=0.$

Kúlu er kastað upp frá 1.5 m hæð með upphafshraðann 40 m/sek. Hröðun vegna þyngdarafls er −9.8 m/sek. ². Ef loftmótstaða er hunsuð, finnið hraða kúlunnar $v\left(t\right)$ og hæð hennar $h\left(t\right)$ t sekúndum eftir að henni er kastað og áður en hún lendir á jörðinni.

Kúlu er kastað upp frá 3 m hæð með upphafshraðann 60 m/sek. Hröðun vegna þyngdarafls er −9.8 m/sek. ². Ef loftmótstaða er hunsuð, finnið hraða kúlunnar $v\left(t\right)$ og hæð hennar $h\left(t\right)$ t sekúndum eftir að henni er kastað og áður en hún lendir á jörðinni.

Flatarmálið $A\left(t\right)$ á hringlaga svæði vex með jöfnum hraða. Ef flatarmálið vex úr 4 π einingum í 9 π einingar milli tímanna $t=2$ og $t=3,$ finnið heildarbreytinguna á geislanum á því tímabili.

Kúlulaga blaðra er blásin upp með jöfnum hraða. Ef rúmmál blöðrunnar breytist úr 36 π tommum ³ í 288 π tommur ³ milli tímanna $t=30$ og $t=60$ sekúndur, finnið heildarbreytinguna á geisla blöðrunnar á því tímabili.

Vatn rennur í keilulaga tank með þversniðsflatarmálið πx² í hæðinni x og rúmmálið $\frac{\pi x^3}{3}$ upp að hæðinni x. Ef vatn rennur í tankinn með hraðanum 1 m ³ /mín., finnið hæð vatnsins í tankinum eftir 5 mín. Finnið breytinguna á hæðinni milli 5 mín. og 10 mín.

Láréttur sívalningslaga tankur hefur þversniðsflatarmálið $A\left(x\right)=4\left(6x-x^2\right)m^2$ í x metra hæð yfir botninum þegar $x\le 3.$

1. Rúmmálið V milli hæðanna a og b er ${\displaystyle {\int }_a^{b}A\left(x\right)dx}.$ Finnið rúmmálið milli hæðanna 2 m og 3 m.
2. Gerum ráð fyrir að olíu sé dælt í tankinn með hraðanum 50 L/min. Notið keðjuregluna, $\frac{dx}{dt}=\frac{dx}{dV}\frac{dV}{dt},$ og finnið, sem fall af x, um hve marga metra á mínútu hæð olíunnar í tankinum breytist þegar hún er x metrar.
3. Hve lengi tekur að fylla tankinn upp að 3 m ef upphafleg fyllingarhæð er 2 m?

Eftirfarandi tafla sýnir rafaflið í gígavöttum — það er að segja hraði orkunotkunarinnar — í tiltekinni borg á mismunandi tímum dags á dæmigerðu 24 klukkustunda tímabili, þar sem klukkustund 1 samsvarar tímanum frá miðnætti til 1 að morgni.

Finnið heildarorkuna í gígavattstundum (GWst.) sem borgin notar á dæmigerðu 24 klukkustunda tímabili.

Meðalrafaflsnotkun heimilis (í hundruðum watta) á hverri klukkustund er sýnd í eftirfarandi töflu.

1. Reiknið meðalheildarorkuna sem er notuð á einum degi í kílóvattstundum (kWst.).
2. Ef eitt tonn af kolum gefur 1842 kWst., hve lengi er meðalheimili að brenna einu tonni af kolum?
3. Útskýrið hvers vegna gögnin gætu fallið að grafi af gerðinni $p\left(t\right)=11.5-7.5\text{sin}\left(\frac{\pi t}{12}\right).$

Gögnin í eftirfarandi töflu eru notuð til að meta meðalafl Peter Sagan á hverri af síðustu 18 sekúndunum í 1. áfanga Tour de France árið 2012.

Athugið að 1 W = 1 J/s og metið heildarorkuna sem var notuð í kílójúlum (kJ) og meðalafl Sagan á þessu tímabili.

Gögnin í eftirfarandi töflu eru notuð til að meta meðalafl Peter Sagan á hverju 15 mínútna tímabili í 1. áfanga Tour de France árið 2012.

Metið heildarorkuna sem var notuð í kílójúlum, með hliðsjón af því að 1 W = 1 J/s.

Dreifing tekna í Bandaríkjunum árið 2012 í þrepum upp á $5000 er sýnd í eftirfarandi töflu. Röð k sýnir hlutfall heimila með tekjur á bilinu $\mathrm{\$5000}xk$ til $5000xk+4999.$ Röðin $k=40$ nær til allra heimila með tekjur á bilinu $200,000 til $250,000.

1. Metið hlutfall bandarískra heimila árið 2012 með tekjur undir $55,000.
2. Hve hátt hlutfall heimila var með tekjur yfir $85,000?
3. Teiknið gögnin og reynið að fella lögun þeirra að grafi af gerðinni $a\left(x+c\right)e^{\text{−}b\left(x+e\right)}$ fyrir hentug $a,b,c.$

Þyngdarlögmál Newtons segir að þyngdarkrafturinn milli hlutar með massa M og hlutar með massa m, þegar fjarlægðin milli miðja þeirra er r, sé $F=G\frac{mM}{r^2},$ þar sem G er fasti sem ákvarðaður er með tilraunum $G=6.67x{10}^{\mathrm{-11}}{m}^3\text{/}\left(kg·s^2\right).$ Vinnan sem breytilegur kraftur vinnur á bili $\left[a,b\right]$ er skilgreind sem $W={\displaystyle {\int }_a^{b}F\left(x\right)dx}.$ Ef massi jarðar er $5.97219\times {10}^{24}$ og geisli hennar er 6371 km, reiknið vinnuna sem þarf til að lyfta 1400 kg veðurgervihnetti á pólbraut í 850 km hæð yfir jörðu.

Fyrir tiltekið vélknúið ökutæki er mesta mögulega hraðaminnkun við hemlun um það bil 7 m/sek. ² á þurrri steinsteypu. Á blautu malbiki er hún um það bil 2.5 m/sek. ². Þar sem 1 míla á klukkustund samsvarar 0.447 m/sek., finnið heildarvegalengdina í metrum sem bíll fer á þurrri steinsteypu frá því að hemlum er beitt þar til hann stöðvast alveg ef upphafshraðinn er 67 mílur á klukkustund (30 m/sek.) eða ef hraðinn þegar hemlun hefst er 56 mílur á klukkustund (25 m/sek.). Finnið samsvarandi vegalengdir ef yfirborðið er hált, blautt malbik.

John er 25 ára gamall maður sem vegur 160 pund. Hann brennir $500-50t$ hitaeiningar/klst. þegar hann hjólar í t klukkustundir. Ef hafrakaka inniheldur 55 hitaeiningar og John innbyrðir hitaeiningar úr kökum með hraðanum 4 t á t-tu klukkustundinni, hve margar hitaeiningar hefur hann brennt umfram inntöku eftir að hafa hjólað í 3 klukkustundir?

Sandra er 25 ára gömul kona sem vegur 120 pund. Hún brennir $300-50t$ hitaeiningar/klst. þegar hún gengur á hlaupabretti. Hitaeiningainntaka hennar úr Gatorade-drykk er 100 t hitaeiningar/klst. á t-tu klukkustundinni. Hve mörgum fleiri hitaeiningum hefur hún brennt en hún hefur innbyrt eftir að hafa gengið í 3 klukkustundir?

Vélknúið ökutæki nær mestri eldsneytisnýtingu, 33 mílum á gallon, á jöfnum hraða sem er 40 mílur á klukkustund. Eldsneytisnýtingin minnkar með hraðanum 0.1 mpg/mph milli 40 og 50 mílna á klukkustund og með hraðanum 0.4 mpg/mph milli 50 og 80 mílna á klukkustund. Hver er eldsneytisnýtingin í mílum á gallon ef bílnum er ekið á 50 mílna hraða á klukkustund? Hver er eldsneytisnýtingin í mílum á gallon ef bílnum er ekið á 80 mílna hraða á klukkustund? Ef bensín kostar $3.50/gal, hver er eldsneytiskostnaðurinn við að aka 50 mílur á 40, 50 og 80 mílna hraða á klukkustund?

Þótt sumar vélar séu eldsneytisnýtnari við tiltekið hestafl en aðrar minnkar eldsneytisnýting að meðaltali með auknu hestafli með hraðanum $1\text{/}25$ mpg/horsepower. Ef dæmigerð 50 hestafla vél hefur meðaleldsneytisnýtinguna 32 mílur á gallon, hver er meðaleldsneytisnýting vélar með eftirfarandi hestafl: 150, 300, 450?

[T] Eftirfarandi tafla sýnir skattþrep alríkistekjuskatts árið 2013 eftir skattskyldum tekjum.

Gerum ráð fyrir að Steve hafi nýlega fengið $10,000 launahækkun. Hve mikið af hækkuninni er eftir að alríkisskattur hefur verið greiddur ef laun Steve fyrir hækkunina voru $40,000? En ef þau voru $90,000? En ef þau voru $385,000?

[T] Eftirfarandi tafla sýnir ímynduð gögn um þjónustustig tiltekinnar hraðbrautar.

1. Teiknið fjölda ökutækja á klukkustund á hverri akrein á x-ásinn og hraðann á hraðbrautinni á y-ásinn.
2. Reiknið meðallækkun hraða (í mílum á klukkustund) fyrir hverja einingaraukningu á umferðarþunga (ökutæki á klukkustund á hverri akrein) þegar umferðarþunginn vex úr 600 í 1000, úr 1000 í 1500 og úr 1500 í 2100. Er lækkunin í mílum á klukkustund línulega háð aukningunni á fjölda ökutækja á klukkustund á hverri akrein?
3. Teiknið mínútur á hverja mílu (60 sinnum margföldunarandhverfa mílna á klukkustund) sem fall af fjölda ökutækja á klukkustund á hverri akrein. Er þetta fall línulegt?

[T] Grafið hér að neðan sýnir annars stigs fallið $p\left(t\right)=6.48t^2-80.31t+585.69$ ásamt gögnunum í töflunni á undan, staðlað þannig að $t=0$ samsvari 1963. Metið meðalfjölda skallaarna á ári á 37 ára tímabilinu með því að reikna meðalgildi p á $\left[0,37\right].$

[T] Grafið hér að neðan sýnir þriðja stigs fallið $p\left(t\right)=0.07t^3+2.42t^2-25.63t+521.23$ ásamt gögnunum í töflunni á undan, staðlað þannig að $t=0$ samsvari 1963. Metið meðalfjölda skallaarna á ári á 37 ára tímabilinu með því að reikna meðalgildi p á $\left[0,37\right].$

[T] Gerum ráð fyrir að þið farið í bílferð og skráið hraðann á hálftíma fresti eins og sýnt er í eftirfarandi töflu. Besta annars stigs nálgunin að gögnunum er $q\left(t\right)=5x^2-11x+49\text{,}$ og er sýnd á meðfylgjandi grafi. Heildið q til að meta heildarvegalengdina sem ekin er á 3 klukkustundunum.

[T] Meðfylgjandi graf sýnir bestu annars stigs nálgunina, $a\left(t\right)=\mathrm{-0.70}{t}^2+1.44t+10.44,$ að gögnunum í töflunni á undan. Reiknið meðalgildi $a\left(t\right)$ til að meta meðalhröðunina milli $t=0$ og $t=5.$

[T] Notið hröðunarjöfnuna úr æfingunni á undan til að finna samsvarandi jöfnu hraðans. Gerið ráð fyrir að upphafshraðinn sé 65 mílur á klukkustund og finnið hraðann á tímanum $t=0.$

[T] Notið hraðajöfnuna úr æfingunni á undan til að finna samsvarandi vegalengdarjöfnu og gerið ráð fyrir að upphafleg vegalengd sé 0 mílur. Hve langt ókuð þið meðan bíllinn jók hraðann? (Ábending: Umreikna þarf tímaeiningarnar.)

[T] Fjöldi hamborgara sem seldir eru á veitingastað yfir daginn er sýndur í eftirfarandi töflu. Meðfylgjandi graf sýnir bestu þriðja stigs nálgunina að gögnunum, $b\left(t\right)=0.12t^3-2.13t^2+12.13t+3.91,$ þar sem $t=0$ samsvarar klukkan 9 að morgni og $t=12$ samsvarar klukkan 9 síðdegis. Reiknið meðalgildi $b\left(t\right)$ til að meta meðalfjölda hamborgara sem seldir eru á klukkustund.

[T] Íþróttakona hleypur fram hjá hreyfiskynjara sem skráir hraða hennar eins og sýnt er í eftirfarandi töflu. Besta línulega nálgunin að gögnunum, $\ell \left(t\right)=\mathrm{-0.068}t+5.14\text{,}$ er sýnd á meðfylgjandi grafi. Notið meðalgildi $\ell (t)$ milli $t=0$ og $t=40$ til að meta meðalhraða hlauparans.