11 Heildun

1.2 Ákveðna heildið

Námsmarkmið

1.2.1 Setja fram skilgreiningu ákveðna heildisins.
1.2.2 Útskýra hugtökin heildisstofn, heildismörk og heildunarbreyta.
1.2.3 Útskýra hvenær fall er heildanlegt.
1.2.4 Lýsa sambandinu milli ákveðna heildisins og formerkts flatarmáls.
1.2.5 Nota rúmfræði og eiginleika ákveðinna heilda til að reikna þau.
1.2.6 Reikna meðalgildi falls.

Í fyrri hlutanum skilgreindum við flatarmál undir ferli með Riemann-summum:

A = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x .

Þessi skilgreining hafði þó takmarkanir. Við kröfðumst þess að $f (x)$ væri samfellt og óneikvætt. Raunveruleg viðfangsefni uppfylla því miður ekki alltaf þessar kröfur. Í þessum hluta skoðum við hvernig nota má hugmyndina um flatarmál undir ferli fyrir víðari flokk falla með ákveðna heildinu.

Skilgreining og ritháttur

Ákveðna heildið alhæfir hugmyndina um flatarmál undir ferli. Við fellum niður kröfurnar um að $f (x)$ sé samfellt og óneikvætt og skilgreinum ákveðna heildið á eftirfarandi hátt.

Heildistáknið í skilgreiningunni hér á undan ætti að vera kunnuglegt. Við sáum svipaðan rithátt í kaflanum um notkun afleiða, þar sem óákveðna heildistáknið, án a og b fyrir ofan og neðan, táknaði stofnfall. Þótt ritháttur óákveðinna heilda líkist rithætti ákveðins heildis eru þetta ekki sömu fyrirbæri. Ákveðið heildi er tala en óákveðið heildi er fjölskylda falla. Síðar í þessum kafla skoðum við hvernig hugtökin tengjast. Alltaf þarf þó að gæta vel að rithættinum svo ljóst sé hvort unnið er með ákveðið eða óákveðið heildi.

Heildisrithátturinn á rætur að rekja til loka sautjándu aldar og er eitt af framlögum Gottfrieds Wilhelms Leibniz, sem ásamt Isaac Newton er oft talinn annar tveggja upphafsmanna stærðfræðigreiningarinnar. Heildistáknið ∫ er ílangt S sem vísar til summu. Við ákveðið heildi standa mörk bilsins ofan og neðan við heildistáknið, $[a, b] .$ Tölurnar a og b eru x-gildi og kallast heildismörk; a er neðra heildismarkið og b er efra heildismarkið. Til skýringar er orðið mark notað í tvenns konar merkingu í samhengi við ákveðið heildi. Annars vegar tölum við um markgildi summu þegar $n \to \infty .$ Hins vegar kallast jaðrar svæðisins heildismörk.

Fallið $f (x)$ kallast heildisstofn og dx gefur til kynna að $f (x)$ sé fall af x; x kallast heildunarbreyta. Líkt og vísir í summu er heildunarbreytan gervibreyta og hefur engin áhrif á útreikning heildisins. Hægt væri að nota hvaða breytu sem er sem heildunarbreytu:

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (t) d t = \int_{a}^{b} f (u) d u

Áður kom fram að ef $f (x)$ er samfellt á $[a, b],$ þá er markgildið $lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x$ til og ótvírætt. Af því leiðir eftirfarandi setning, sem við setjum fram án sönnunar.

Föll sem eru ekki samfelld á $[a, b]$ geta samt verið heildanleg, eftir eðli ósamfellnanna. Til dæmis eru föll sem eru samfelld á lokuðu bili, að undanskildum endanlegum fjölda stökkósamfella, heildanleg.

Einnig er vert að taka fram að við höfum áfram notað reglulega skiptingu í Riemann-summunum. Sú takmörkun er í raun óþörf. Nota má hvaða skiptingu sem er til að mynda Riemann-summu. Ef óregluleg skipting er notuð til að skilgreina ákveðna heildið nægir þó ekki að láta fjölda hlutbila stefna á óendanlegt. Í staðinn þarf að taka markgildið þegar breidd stærsta hlutbilsins stefnir á núll. Þá verður ritháttur markgildanna nokkru flóknari og útreikningarnir erfiðari án þess að mikill viðbótarskilningur fáist. Því höldum við okkur við reglulegar skiptingar í Riemann-summum.

Dæmi 1.7

Heildi reiknað út frá skilgreiningunni

Notið skilgreiningu ákveðna heildisins til að reikna $\int_{0}^{2} x^{2} d x .$ Myndið Riemann-summuna með nálgun með hægri endapunktum.

Lausn

Fyrst setjum við fram Riemann-summu. Af heildismörkunum fæst $a = 0$ og $b = 2 .$ Fyrir $i = 0, 1, 2,…, n,$ látum við $P = {x_{i}}$ vera reglulega skiptingu á $[0, 2] .$ Þá er

Δ x = \frac{b - a}{n} = \frac{2}{n} .

Þar sem við myndum Riemann-summuna með nálgun með hægri endapunktum þurfum við, fyrir hvert i, að reikna fallgildið í hægri endapunkti hlutbilsins $[x_{i - 1}, x_{i}] .$ Hægri endapunktur hlutbilsins er $x_{i},$ og þar sem P er regluleg skipting er

x_{i} = x_{0} + i Δ x = 0 + i [\frac{2}{n}] = \frac{2 i}{n} .

Fallgildið í hægri endapunkti hlutbilsins er því

f (x_{i}) = x_{i}^{2} = {(\frac{2 i}{n})}^{2} = \frac{4 i^{2}}{n^{2}} .

Riemann-summan verður þá á forminu

\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) Δ x = \sum_{i = 1}^{n} (\frac{4 i^{2}}{n^{2}}) \frac{2}{n} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{8 i^{2}}{n^{3}} = \frac{8}{n^{3}} \sum_{i = 1}^{n} i^{2} .

Með summuformúlunni fyrir $\sum_{i = 1}^{n} i^{2},$ fæst

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) Δ x & = \frac{8}{n^{3}} \sum_{i = 1}^{n} i^{2} \\ = \frac{8}{n^{3}} [\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}] \\ = \frac{8}{n^{3}} [\frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6}] \\ = \frac{16 n^{3} + 24 n^{2} + 8 n}{6 n^{3}} \\ = \frac{8}{3} + \frac{4}{n} + \frac{8}{6 n^{2}} . \end{matrix}

Til að reikna ákveðna heildið þurfum við nú að taka markgildið þegar $n \to \infty .$ Þá fæst

\begin{matrix} \int_{0}^{2} x^{2} d x & = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) Δ x \\ = lim_{n \to \infty} (\frac{8}{3} + \frac{4}{n} + \frac{8}{6 n^{2}}) \\ = lim_{n \to \infty} (\frac{8}{3}) + lim_{n \to \infty} (\frac{4}{n}) + lim_{n \to \infty} (\frac{8}{6 n^{2}}) \\ = \frac{8}{3} + 0 + 0 = \frac{8}{3} . \end{matrix}

Útreikningur ákveðinna heilda

Það getur verið nokkuð fyrirhafnarsamt að reikna ákveðin heildi á þennan hátt vegna þess hve útreikningarnir eru flóknir. Síðar í kaflanum þróum við aðferðir til að reikna ákveðin heildi án þess að taka markgildi Riemann-summa. Í bili getum við hins vegar nýtt þá staðreynd að ákveðin heildi tákna flatarmál undir ferli og reiknað þau með rúmfræðiformúlum fyrir flatarmál. Þannig staðfestum við að ákveðin heildi tákna í raun flatarmál og getum síðan rætt hvað gera skuli þegar ferill falls liggur neðan við x-ásinn.

Dæmi 1.8

Rúmfræðiformúlur notaðar til að reikna ákveðin heildi

Notið formúluna fyrir flatarmál hrings til að reikna $\int_{3}^{6} \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}} d x .$

Lausn

Fallið lýsir hálfhring með geisla 3. Til að finna

\int_{3}^{6} \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}} d x,

viljum við finna flatarmálið undir ferlinum á bilinu $[3, 6] .$ Formúlan fyrir flatarmál hrings er $A = π r^{2} .$ Flatarmál hálfhrings er helmingur flatarmáls hrings, eða $A = (\frac{1}{2}) π r^{2} .$ Skyggða svæðið á mynd 1.16 er helmingur hálfhringsins, eða $A = (\frac{1}{4}) π r^{2} .$ Því er

\begin{matrix} \int_{3}^{6} \sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}} & = \frac{1}{4} π {(3)}^{2} \\ = \frac{9}{4} π \\ \approx 7.069. \end{matrix}

Graf af hálfhring í fyrsta fjórðungi á bilinu [0,6] með miðju í (3,0). Svæðið undir ferlinum á bilinu [3,6] er skyggt blátt. — **Mynd 1.16.** Gildi heildis fallsins f ( x ) á bilinu [ 3 , 6 ] er flatarmál skyggða svæðisins.

Flatarmál og ákveðna heildið

Þegar við skilgreindum ákveðna heildið féllum við frá kröfunni um að $f (x)$ væri óneikvætt. En hvernig túlkum við „flatarmál undir ferlinum“ þegar $f (x)$ er neikvætt?

Formerkt flatarmál

Snúum aftur að Riemann-summunni. Skoðum til dæmis fallið $f (x) = 2 - 2 x^{2}$ (sýnt á mynd 1.17) á bilinu $[0, 2] .$ Notum $n = 8$ og veljum ${x_{i}^{*}}$ sem vinstri endapunkt hvers hlutbils. Á hverju hlutbili teiknum við rétthyrning með hæðina $f (x_{i}^{*})$ og breiddina Δx. Þegar $f (x_{i}^{*})$ er jákvætt táknar margfeldið $f (x_{i}^{*}) Δ x$ flatarmál rétthyrningsins eins og áður. Þegar $f (x_{i}^{*})$ er neikvætt táknar margfeldið $f (x_{i}^{*}) Δ x$ hins vegar neikvætt flatarmál rétthyrningsins. Riemann-summan verður þá

\sum_{i = 1}^{8} f (x_{i}^{*}) Δ x = (Flatarmál rétthyrninga ofan x -ássins) - (Flatarmál rétthyrninga neðan x -ássins)

Graf af fleygboga sem opnast niður á bilinu [-1, 2], með topppunkt í (0,2) og skurðpunkta við x-ás í (-1,0) og (1,0). Átta jafnbreiðir rétthyrningar eru teiknaðir á [0,2] og hæð þeirra ræðst af fallgildinu í vinstri endapunkti hvers hlutbils. — **Mynd 1.17.** Fyrir fall sem er neikvætt á hluta bilsins er Riemann-summan flatarmál rétthyrninganna ofan x-ássins að frádregnu flatarmáli rétthyrninganna neðan x-ássins.

Þegar markgildið er tekið og $n \to \infty,$ stefnir Riemann-summan á flatarmálið milli ferilsins ofan x-ássins og x-ássins að frádregnu flatarmálinu milli ferilsins neðan x-ássins og x-ássins, eins og sýnt er á mynd 1.18. Þá er

\begin{matrix} \int_{0}^{2} f (x) d x & = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (c_{i}) Δ x \\ = A_{1} - A_{2} . \end{matrix}

Stærðin $A_{1} - A_{2}$ kallast formerkt flatarmál.

Graf af fleygboga sem opnast niður á bilinu [-2, 2], með topppunkt í (0,2) og skurðpunkta við x-ás í (-1,0) og (1,0). Svæðið undir ferlinum í fyrsta fjórðungi er skyggt blátt og merkt A1. Svæðið ofan ferilsins í fjórða fjórðungi og vinstra megin við x=2 er skyggt blátt og merkt A2. — **Mynd 1.18.** Á markgildinu er ákveðna heildið jafnt flatarmáli A1 að frádregnu flatarmáli A2, það er formerkta flatarmálinu.

Athugið að formerkt flatarmál getur verið jákvætt, neikvætt eða núll. Ef flatarmálið ofan x-ássins er stærra er formerkta flatarmálið jákvætt. Ef flatarmálið neðan x-ássins er stærra er formerkta flatarmálið neikvætt. Ef flatarmálin ofan og neðan x-ássins eru jöfn er formerkta flatarmálið núll.

Dæmi 1.9

Formerkt flatarmál fundið

Finnið formerkta flatarmálið milli grafs fallsins $f (x) = 2 x$ og x-ássins á bilinu $[−3, 3] .$

Lausn

Graf fallsins er bein lína sem myndar tvo þríhyrninga, annan frá $x = −3$ til $x = 0$ og hinn frá $x = 0$ til $x = 3$ (mynd 1.19). Með rúmfræðiformúlunni fyrir flatarmál þríhyrnings, $A = \frac{1}{2} b h,$ er flatarmál þríhyrnings A₁ ofan ássins

A_{1} = \frac{1}{2} 3 (6) = 9,

þar sem 3 er grunnlínan og $2 (3) = 6$ er hæðin. Flatarmál þríhyrnings A₂ neðan ássins er

A_{2} = \frac{1}{2} (3) (6) = 9,

þar sem 3 er grunnlínan og 6 hæðin. Formerka flatarmálið er því

\int_{−3}^{3} 2 x d x = A_{1} - A_{2} = 9 - 9 = 0 .

Graf af vaxandi beinni línu á [-6, 6] sem liggur í gegnum upphafspunktinn og punktana (-3, -6) og (3,6). Svæðið undir línunni í fyrsta fjórðungi á [0,3] er skyggt blátt og merkt A1. Svæðið ofan línunnar í þriðja fjórðungi á [-3,0] er skyggt blátt og merkt A2. — **Mynd 1.19.** Flatarmálið ofan ferilsins og neðan x-ássins er jafnt flatarmálinu neðan ferilsins og ofan x-ássins.

Greining

Ef A₁ er flatarmálið ofan x-ássins og A₂ er flatarmálið neðan x-ássins er formerkta flatarmálið $A_{1} - A_{2} .$ Þar sem flatarmál þríhyrninganna tveggja eru jöfn er formerka flatarmálið núll.

Heildarflatarmál

Ein notkun ákveðna heildisins er að finna færslu þegar hraðafall er gefið. Ef $v (t)$ táknar hraða hlutar sem fall af tíma gefur formerkta flatarmálið milli grafsins og t-ássins færslu hlutarins frá upphafsstöðu. Þetta er mjög mikilvæg notkun ákveðna heildisins og við skoðum hana nánar síðar í kaflanum. Í bili kynnumst við grunnatriðunum með því að skoða fastan hraða.

Þegar hraðinn er fasti er flatarmálið undir ferlinum einfaldlega margfeldi hraða og tíma. Þessi hugmynd er vel kunnug. Ef bíll ekur í beinni línu frá upphafsstað sínum á 70 mílna hraða á klukkustund í 2 klukkustundir er hann 140 mílur frá upphafsstaðnum (mynd 1.20). Með heildisrithætti fæst

\int_{0}^{2} 70 d t = 140 .

Graf í fjórðungi 1 þar sem x-ásinn er merktur t (klukkustundir) og y-ásinn v (mílur/klst.). Svæðið undir línunni v(t) = 70 á [0,2] er skyggt blátt. — **Mynd 1.20.** Flatarmálið undir ferlinum $v (t) = 70$ segir til um fjarlægð bílsins frá upphafsstaðnum á hverjum tíma.

Í samhengi við færslu gerir formerkt flatarmál okkur kleift að taka tillit til stefnu. Ef bíll ekur beint í norður á 60 mílna hraða á klukkustund í 2 klukkustundir er hann 120 mílur norðan við upphafsstað sinn. Ef bíllinn snýr þá við og ekur í suður á 40 mílna hraða á klukkustund í 3 klukkustundir er hann aftur kominn á upphafsstaðinn (mynd 1.21). Með heildisrithætti fæst aftur

\begin{matrix} \int_{0}^{2} 60 d t + \int_{2}^{5} −40 d t & = 120 - 120 \\ = 0. \end{matrix}

Í þessu tilviki er færslan núll.

Graf í fyrsta og fjórða fjórðungi þar sem x-ásinn er merktur t (klukkustundir) og y-ásinn v (mílur/klst.). Fyrri hluti grafsins er línan v(t) = 60 á [0,2] og svæðið undir línunni í fyrsta fjórðungi er skyggt. Seinni hluti grafsins er línan v(t) = -40 á [2,5] og svæðið ofan línunnar í fjórða fjórðungi er skyggt. — **Mynd 1.21.** Flatarmálið ofan ássins og flatarmálið neðan hans eru jöfn og því er formerkta flatarmálið núll.

Gerum nú ráð fyrir að við viljum vita hversu langt bíllinn ekur alls, óháð stefnu. Þá viljum við finna flatarmálið milli ferilsins og x-ássins, hvort sem svæðið er ofan eða neðan ássins. Þetta kallast heildarflatarmál.

Á myndinni er einfaldast að hugsa sér heildarflatarmálið sem summu flatarmálanna ofan og neðan ássins, í stað þess að draga flatarmálin neðan ássins frá eins og við gerðum fyrir formerkt flatarmál. Stærðfræðilega gerum við þetta með tölugildisfallinu. Heildarvegalengd bílsins er því

\begin{matrix} \int_{0}^{2} | 60 | d t + \int_{2}^{5} | −40 | d t & = \int_{0}^{2} 60 d t + \int_{2}^{5} 40 d t \\ = 120 + 120 \\ = 240. \end{matrix}

Við tökum þessar hugmyndir formlega saman í eftirfarandi skilgreiningum.

Dæmi 1.10

Heildarflatarmál fundið

Finnið heildarflatarmálið milli $f (x) = x - 2$ og x-ássins á bilinu $[0, 6] .$

Lausn

Skurðpunkturinn við x-ás er $(2, 0)$ . Hann fæst þegar sett er $y = 0,$ og síðan er x einangrað. Til að finna heildarflatarmálið tökum við flatarmálið neðan x-ássins á hlutbilinu $[0, 2]$ og leggjum það við flatarmálið ofan x-ássins á hlutbilinu $[2, 6]$ (mynd 1.22).

Graf af vaxandi línunni f(x) = x-2 sem liggur í gegnum punktana (-2,-4), (0,2), (2,0), (4,2) og (6,4). Svæðið undir línunni í fyrsta fjórðungi og vinstra megin við línuna x=6 er skyggt og merkt A1. Svæðið ofan línunnar í fjórða fjórðungi er skyggt og merkt A2. — **Mynd 1.22.** Heildarflatarmálið milli línunnar og x-ássins á [ 0 , 6 ] er A2 að viðbættu A1.

Við höfum

\int_{0}^{6} | (x - 2) | d x = A_{2} + A_{1} .

Með formúlunni fyrir flatarmál þríhyrnings fæst þá

A_{2} = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2

A_{1} = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8 .

Heildarflatarmálið er því

A_{1} + A_{2} = 8 + 2 = 10 .

Eiginleikar ákveðna heildisins

Eiginleikar óákveðinna heilda gilda einnig um ákveðin heildi. Ákveðin heildi hafa auk þess eiginleika sem tengjast heildismörkunum. Þessir eiginleikar, ásamt heildunarreglunum sem við skoðum síðar í kaflanum, gera okkur kleift að umrita segðir til að reikna ákveðin heildi.

Dæmi 1.11

Eiginleikar ákveðna heildisins notaðir

Notið eiginleika ákveðna heildisins til að rita ákveðna heildið $f (x) = −3 x^{3} + 2 x + 2$ á bilinu $[−2, 1]$ sem summu þriggja ákveðinna heilda.

Lausn

Með heildisrithætti höfum við $\int_{−2}^{1} (−3 x^{3} + 2 x + 2) d x .$ Beitum eiginleikum 3 og 5 til að fá

\begin{matrix} \int_{−2}^{1} (−3 x^{3} + 2 x + 2) d x & = \int_{−2}^{1} −3 x^{3} d x + \int_{−2}^{1} 2 x d x + \int_{−2}^{1} 2 d x \\ = −3 \int_{−2}^{1} x^{3} d x + 2 \int_{−2}^{1} x d x + \int_{−2}^{1} 2 d x . \end{matrix}

Dæmi 1.12

Eiginleikar ákveðna heildisins notaðir

Ef vitað er að $\int_{0}^{8} f (x) d x = 10$ og $\int_{0}^{5} f (x) d x = 5,$ finnið gildi $\int_{5}^{8} f (x) d x .$

Lausn

Samkvæmt eiginleika 6,

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x .

Því er

\begin{matrix} \int_{0}^{8} f (x) d x & = & \int_{0}^{5} f (x) d x + \int_{5}^{8} f (x) d x \\ 10 & = & 5 + \int_{5}^{8} f (x) d x \\ 5 & = & \int_{5}^{8} f (x) d x . \end{matrix}

Samanburðareiginleikar heilda

Mynd getur stundum sagt okkur meira um fall en niðurstöður útreikninga. Samanburður falla, bæði út frá gröfum þeirra og algebrulegum segðum, getur oft aukið skilning á heildun. Við gætum ályktað að ef fall $f (x)$ liggur ofan við annað fall $g (x),$ þá sé flatarmálið milli $f (x)$ og x-ássins stærra en flatarmálið milli $g (x)$ og x-ássins. Þetta er rétt ef tekið er tillit til bilsins sem samanburðurinn nær yfir. Eiginleikar ákveðinna heilda gilda hvort sem $a < b, a = b,$ eða $a > b .$ Eftirfarandi eiginleikar taka hins vegar aðeins til tilviksins $a \leq b,$ og eru notaðir til að bera saman stærð heilda.

Dæmi 1.13

Samanburður tveggja falla á tilteknu bili

Berið saman $f (x) = \sqrt{1 + x^{2}}$ og $g (x) = \sqrt{1 + x}$ á bilinu $[0, 1] .$

Lausn

Nauðsynlegt er að teikna gröf fallanna til að skilja samanburð þeirra á bilinu $[0, 1] .$ Þegar þau eru fyrst teiknuð með grafreikni virðist $f (x)$ liggja alls staðar ofan við $g (x)$ . Á bilinu $[0, 1],$ virðast gröfin hins vegar falla saman. Við þurfum að stækka myndina til að sjá að á bilinu $[0, 1], g (x)$ liggi ofan við $f (x) .$ Föllin skerast í $x = 0$ og $x = 1$ (mynd 1.23).

Graf fallsins f(x) = sqrt(1 + x^2) með rauðum lit og g(x) = sqrt(1 + x) með bláum lit á [-2, 3]. Fallið f(x) liggur ofan við g(x) nema á bilinu [0,1]. Annað innstækkað graf sýnir bilið skýrar. — **Mynd 1.23.** (a) Fallið f ( x ) virðist liggja ofan við fallið g ( x ) nema á bilinu [ 0 , 1 ]. (b) Sama graf stækkað sýnir þetta skýrar.

Af grafinu sést að á bilinu $[0, 1], g (x) \geq f (x) .$ Þegar heildin eru borin saman á tiltekna bilinu $[0, 1],$ sést einnig að $\int_{0}^{1} g (x) d x \geq \int_{0}^{1} f (x) d x$ (mynd 1.24). Mjóa rauðskyggða svæðið sýnir nákvæmlega mismun þessara tveggja heilda á bilinu $[0, 1] .$

Graf sem sýnir föllin f(x) = sqrt(1 + x^2) og g(x) = sqrt(1 + x) á [-3, 3]. Flatarmálið undir g(x) í fyrsta fjórðungi á [0,1] er skyggt. Flatarmálið undir g(x) og f(x) er hluti af skyggða svæðinu. Annað innstækkað graf sýnir betur að föllin eru aðeins jöfn í endapunktunum. — **Mynd 1.24.** (a) Grafið sýnir að á bilinu [ 0 , 1 ] , g ( x ) ≥ f ( x ) , og jafnaðarmerki gildir aðeins í endapunktum bilsins. (b) Sama graf stækkað sýnir þetta skýrar.

Meðalgildi falls

Oft þarf að finna meðaltal talnamengis, til dæmis meðalprófeinkunn. Gerum ráð fyrir að þið hafið fengið eftirfarandi einkunnir í algebruprófum: 89, 90, 56, 78, 100 og 69. Annareinkunnin er meðaltal prófeinkunnanna og þið viljið vita við hvaða einkunn megi búast. Meðaltalið fæst með því að leggja allar einkunnirnar saman og deila með fjölda þeirra. Hér eru prófeinkunnirnar sex. Því er

\frac{89 + 90 + 56 + 78 + 100 + 69}{6} = \frac{482}{6} \approx 80.33 .

Meðalprófeinkunnin er því um það bil 80.33, sem samsvarar B− í flestum skólum.

Gerum nú ráð fyrir að fallið $v (t)$ gefi hraða hlutar á sérhverjum tíma t og við viljum finna meðalhraða hlutarins. Fallið $v (t)$ tekur óendanlega mörg gildi og því getum við ekki notað aðferðina hér á undan. Sem betur fer má nota ákveðið heildi til að finna meðalgildi slíks falls.

Látum $f (x)$ vera samfellt á bilinu $[a, b]$ og skiptum $[a, b]$ í n hlutbil með breiddina $Δ x = (b - a) / n .$ Veljum fulltrúa $x_{i}^{*}$ í hverju hlutbili og reiknum $f (x_{i}^{*})$ fyrir $i = 1, 2,…, n .$ Með öðrum orðum lítum við á hvert $f (x_{i}^{*})$ sem sýnigildi fallsins á viðkomandi hlutbili. Þá má nálga meðalgildi fallsins með

\frac{f (x_{1}^{*}) + f (x_{2}^{*}) + ⋯ + f (x_{n}^{*})}{n},

sem er í meginatriðum sama segð og notuð er til að reikna meðaltal strjálla gilda.

En við vitum að $Δ x = \frac{b - a}{n},$ þannig að $n = \frac{b - a}{Δ x},$ og fáum

\frac{f (x_{1}^{*}) + f (x_{2}^{*}) + ⋯ + f (x_{n}^{*})}{n} = \frac{f (x_{1}^{*}) + f (x_{2}^{*}) + ⋯ + f (x_{n}^{*})}{\frac{(b - a)}{Δ x}} .

Með frekari algebrulegri umritun sést að teljarinn er summa sem rituð er $\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}),$ og deilt er með broti. Til að deila með broti snúum við nefnaranum við og margföldum. Nálgun á meðalgildi fallsins er því gefin með

\begin{matrix} \frac{\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*})}{\frac{(b - a)}{Δ x}} & = (\frac{Δ x}{b - a}) \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) \\ = (\frac{1}{b - a}) \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x . \end{matrix}

Þetta er Riemann-summa. Til að fá nákvæmt meðalgildi tökum við markgildið þegar n stefnir á óendanlegt. Meðalgildi falls er því gefið með

\frac{1}{b - a} lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}) Δ x = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x .

Dæmi 1.14

Meðalgildi línulegs falls fundið

Finnið meðalgildi $f (x) = x + 1$ á bilinu $[0, 5] .$

Lausn

Teiknið fyrst graf fallsins á tilgreinda bilinu eins og sýnt er á mynd 1.25.

Graf í fyrsta fjórðungi sem sýnir skyggða svæðið undir fallinu f(x) = x + 1 á [0,5]. — **Mynd 1.25.** Grafið sýnir flatarmálið undir fallinu f ( x ) = x + 1 á [ 0 , 5 ] .

Svæðið er trapisa sem liggur á hlið og því má nota flatarmálsformúluna fyrir trapisu $A = \frac{1}{2} h (a + b),$ þar sem h táknar hæðina og a og b tákna samsíða hliðarnar tvær. Þá er

\begin{matrix} \int_{0}^{5} x + 1 d x & = \frac{1}{2} h (a + b) \\ = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot (1 + 6) \\ = \frac{35}{2} . \end{matrix}

Meðalgildi fallsins er því

\frac{1}{5 - 0} \int_{0}^{5} x + 1 d x = \frac{1}{5} \cdot \frac{35}{2} = \frac{7}{2} .

Æfingar hluta 1.2

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið rita markgildin sem heildi.

60.

$lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i}^{*}) Δ x$ á $[1, 3]$

61.

$lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} (5 {(x_{i}^{*})}^{2} - 3 {(x_{i}^{*})}^{3}) Δ x$ á $[0, 2]$

62.

$lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} {sin}^{2} (2 π x_{i}^{*}) Δ x$ á $[0, 1]$

63.

$lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} {cos}^{2} (2 π x_{i}^{*}) Δ x$ á $[0, 1]$

Í eftirfarandi æfingum er annaðhvort L_n eða R_n gefið eins og tilgreint er. Ritið markgildi þeirra þegar $n \to \infty$ sem ákveðin heildi og tilgreinið rétt bil.

64.

$L_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{i - 1}{n}$

65.

$R_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{i}{n}$

66.

$L_{n} = \frac{2}{n} \sum_{i = 1}^{n} (1 + 2 \frac{i - 1}{n})$

67.

$R_{n} = \frac{3}{n} \sum_{i = 1}^{n} (3 + 3 \frac{i}{n})$

68.

$L_{n} = \frac{2 π}{n} \sum_{i = 1}^{n} 2 π \frac{i - 1}{n} cos (2 π \frac{i - 1}{n})$

69.

$R_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (1 + \frac{i}{n}) log ({(1 + \frac{i}{n})}^{2})$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið reikna heildi þeirra falla sem sýnd eru á gröfunum með flatarmálsformúlum þríhyrninga og hringa og draga frá flatarmál neðan x-ássins.

70.

Graf með þremur hálfhringjum ofan x-ássins. Fyrsti hringurinn hefur miðju í (1,0) og geislann einn. Hann samsvarar fallinu sqrt(2x – x^2) á [0,2]. Annar hringurinn hefur miðju í (4,0) og geislann tvo. Hann samsvarar fallinu sqrt(-12 + 8x – x^2) á [2,6]. Síðasti hringurinn hefur miðju í (9,0) og geislann þrjá. Hann samsvarar fallinu sqrt(-72 + 18x – x^2) á [6,12]. Allir hálfhringirnir þrír eru skyggðir, það er svæðið undir ferlinum og ofan x-ássins.

71.

Graf af þremur jafnarma þríhyrningum sem samsvara föllunum 1 - |x-1| á [0,2], 2 - |x-4| á [2,4] og 3 - |x-9| á [6,12]. Fyrsti þríhyrningurinn hefur hornpunkta í (0,0), (2,0) og (1,1). Annar þríhyrningurinn hefur hornpunkta í (2,0), (6,0) og (4,2). Sá síðasti hefur hornpunkta í (6,0), (12,0) og (9,3). Allir þrír eru skyggðir.

72.

Graf í þremur hlutum. Fyrsti hlutinn er efri helmingur hrings með miðju í (1, 0) og geislann 1, sem samsvarar fallinu sqrt(2x – x^2) á [0,2]. Annar hlutinn er þríhyrningur með hornpunkta í (2, 0), (6, 0) og (4, -2), sem samsvarar fallinu |x-4| - 2 á [2, 6]. Síðasti hlutinn er efri helmingur hrings með miðju í (9, 0) og geislann 3, sem samsvarar fallinu sqrt(-72 + 18x – x^2) á [6,12]. Allir hlutarnir þrír eru skyggðir.

73.

Graf af þremur skyggðum þríhyrningum. Sá fyrsti hefur hornpunkta í (0, 0), (2, 0) og (1, 1) og samsvarar fallinu 1 - |x-1| á [0, 2]. Annar þríhyrningurinn hefur hornpunkta í (2, 0), (6, 0) og (4, -2) og samsvarar fallinu |x-4| - 2 á [2, 6]. Þriðji þríhyrningurinn hefur hornpunkta í (6, 0), (12, 0) og (9, 3) og samsvarar fallinu 3 - |x-9| á [6, 12].

74.

Graf með þremur skyggðum hlutum. Fyrsti hlutinn er efri helmingur hrings með miðju í (1, 0) og geislann einn. Hann samsvarar fallinu sqrt(2x – x^2) á [0, 2]. Annar hlutinn er neðri helmingur hrings með miðju í (4, 0) og geislann tvo, sem samsvarar fallinu -sqrt(-12 + 8x – x^2) á [2, 6]. Síðasti hlutinn er efri helmingur hrings með miðju í (9, 0) og geislann þrjá. Hann samsvarar fallinu sqrt(-72 + 18x – x^2) á [6, 12].

75.

Graf með þremur skyggðum hlutum. Fyrsti hlutinn er þríhyrningur með hornpunkta í (0, 0), (2, 0) og (1, 1), sem samsvarar fallinu 1 - |x-1| á [0, 2] í fjórðungi 1. Annar hlutinn er neðri helmingur hrings með miðju í (4, 0) og geislann tvo, sem samsvarar fallinu –sqrt(-12 + 8x – x^2) á [2, 6]. Síðasti hlutinn er þríhyrningur með hornpunkta í (6, 0), (12, 0) og (9, 3), sem samsvarar fallinu 3 - |x-9| á [6, 12].

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið reikna heildið með flatarmálsformúlum.

76.

$\int_{0}^{3} (3 - x) d x$

77.

$\int_{2}^{3} (3 - x) d x$

78.

$\int_{−3}^{3} (3 - | x |) d x$

79.

$\int_{0}^{6} (3 - | x - 3 |) d x$

80.

$\int_{−2}^{2} \sqrt{4 - x^{2}} d x$

81.

$\int_{1}^{5} \sqrt{4 - {(x - 3)}^{2}} d x$

82.

$\int_{0}^{12} \sqrt{36 - {(x - 6)}^{2}} d x$

83.

$\int_{−2}^{3} (3 - | x |) d x$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota meðaltöl gilda í vinstri (L) og hægri (R) endapunktum til að reikna heildi bútavísu línulegu fallanna. Gröf þeirra liggja í gegnum gefna punktalistann á tilgreindum bilum.

84.

${(0, 0), (2, 1), (4, 3), (5, 0), (6, 0), (8, 3)}$ á $[0, 8]$

85.

${(0, 2), (1, 0), (3, 5), (5, 5), (6, 2), (8, 0)}$ á $[0, 8]$

86.

${(−4, −4), (−2, 0), (0, −2), (3, 3), (4, 3)}$ á $[−4, 4]$

87.

${(−4, 0), (−2, 2), (0, 0), (1, 2), (3, 2), (4, 0)}$ á $[−4, 4]$

Gerum ráð fyrir að $\int_{0}^{4} f (x) d x = 5$ og $\int_{0}^{2} f (x) d x = −3,$ og $\int_{0}^{4} g (x) d x = −1$ og $\int_{0}^{2} g (x) d x = 2 .$ Í eftirfarandi æfingum skuluð þið reikna heildin.

88.

$\int_{0}^{4} (f (x) + g (x)) d x$

89.

$\int_{2}^{4} (f (x) + g (x)) d x$

90.

$\int_{0}^{2} (f (x) - g (x)) d x$

91.

$\int_{2}^{4} (f (x) - g (x)) d x$

92.

$\int_{0}^{2} (3 f (x) - 4 g (x)) d x$

93.

$\int_{2}^{4} (4 f (x) - 3 g (x)) d x$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota samsemdina $\int_{− A}^{A} f (x) d x = \int_{− A}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{A} f (x) d x$ til að reikna heildin.

94.

$\int_{− π}^{π} \frac{sin t}{1 + t^{2}} d t$ $(Ábending : sin (− t) = − sin (t))$

95.

$\int_{− \sqrt{π}}^{\sqrt{π}} \frac{t}{1 + cos t} d t$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna formerkta flatarmálið milli $f (x)$ og x-ássins.

96.

$\int_{1}^{3} (2 - x) d x$ (Vísbending: Skoðið graf f.)

97.

$\int_{2}^{4} {(x - 3)}^{3} d x$ (Vísbending: Skoðið graf f.)

Í eftirfarandi æfingum er gefið að $\int_{0}^{1} x d x = \frac{1}{2}, \int_{0}^{1} x^{2} d x = \frac{1}{3},$ og $\int_{0}^{1} x^{3} d x = \frac{1}{4},$ og reiknið síðan heildin.

98.

$\int_{0}^{1} (1 + x + x^{2} + x^{3}) d x$

99.

$\int_{0}^{1} (1 - x + x^{2} - x^{3}) d x$

100.

$\int_{0}^{1} {(1 - x)}^{2} d x$

101.

$\int_{0}^{1} {(1 - 2 x)}^{3} d x$

102.

$\int_{0}^{1} (6 x - \frac{4}{3} x^{2}) d x$

103.

$\int_{0}^{1} (7 - 5 x^{3}) d x$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nota samanburðarsetninguna.

104.

Sýnið að $\int_{0}^{3} (x^{2} - 6 x + 9) d x \geq 0 .$

105.

Sýnið að $\int_{−2}^{3} (x - 3) (x + 2) d x \leq 0 .$

106.

Sýnið að $\int_{0}^{1} \sqrt{1 + x^{3}} d x \leq \int_{0}^{1} \sqrt{1 + x^{2}} d x .$

107.

Sýnið að $\int_{1}^{2} \sqrt{1 + x} d x \leq \int_{1}^{2} \sqrt{1 + x^{2}} d x .$

108.

Sýnið að $\int_{0}^{π / 2} sin t d t \geq \frac{π}{4} .$ $(Ábending : sin t \geq \frac{2 t}{π}$ á $[0, \frac{π}{2}])$

109.

Sýnið að $\int_{− π / 4}^{π / 4} cos t d t \geq π \sqrt{2} / 4 .$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna meðalgildið f_ave fyrir fallið f á bilinu frá a til b og finna punkt c þar sem $f (c) = f_{ave} .$

110.

$f (x) = x^{2}, a = −1, b = 1$

111.

$f (x) = x^{5}, a = −1, b = 1$

112.

$f (x) = \sqrt{4 - x^{2}}, a = 0, b = 2$

113.

$f (x) = (3 - | x |), a = −3, b = 3$

114.

$f (x) = sin x, a = 0, b = 2 π$

115.

$f (x) = cos x, a = 0, b = 2 π$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið nálga meðalgildið með Riemann-summunum L₁₀₀ og R₁₀₀. Hvernig ber svarið saman við gefið nákvæmt gildi?

116.

[T] $y = ln (x)$ á bilinu $[1, 4];$ nákvæma lausnin er $\frac{ln (256)}{3} - 3 .$

117.

[T] $y = e^{x / 2}$ á bilinu $[0, 1];$ nákvæma lausnin er $2 (\sqrt{e} - 1) .$

118.

[T] $y = tan x$ á bilinu $[0, \frac{π}{4}];$ nákvæma lausnin er $\frac{2 ln (2)}{π} .$

119.

[T] $y = \frac{x + 1}{\sqrt{4 - x^{2}}}$ á bilinu $[−1, 1];$ nákvæma lausnin er $\frac{π}{6} .$

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið reikna meðalgildið með vinstri Riemann-summunum L_N fyrir $N = 1, 10, 100 .$ Hvernig er nákvæmnin í samanburði við gefið nákvæmt gildi?

120.

[T] $y = x^{2} - 4$ á bilinu $[0, 2];$ nákvæma lausnin er $- \frac{8}{3} .$

121.

[T] $y = x e^{x^{2}}$ á bilinu $[0, 2];$ nákvæma lausnin er $\frac{1}{4} (e^{4} - 1) .$

122.

[T] $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ á bilinu $[0, 4];$ nákvæma lausnin er $\frac{15}{64 ln (2)} .$

123.

[T] $y = x sin (x^{2})$ á bilinu $[− π, 0];$ nákvæma lausnin er $\frac{cos (π^{2}) - 1}{2 π} .$

124.

Gerum ráð fyrir að $A = \int_{0}^{2 π} {sin}^{2} t d t$ og $B = \int_{0}^{2 π} {cos}^{2} t d t .$ Sýnið að $A + B = 2 π$ og $A = B .$

125.

Gerum ráð fyrir að $A = \int_{− π / 4}^{π / 4} {sec}^{2} t d t = π$ og $B = \int_{− π / 4}^{π / 4} {tan}^{2} t d t .$ Sýnið að $A - B = \frac{π}{2} .$

126.

Sýnið að meðalgildi ${sin}^{2} t$ á $[0, 2 π]$ sé jafnt 1/2. Án frekari útreikninga skuluð þið ákvarða hvort meðalgildi ${sin}^{2} t$ á $[0, π]$ sé einnig jafnt 1/2.

127.

Sýnið að meðalgildi ${cos}^{2} t$ á $[0, 2 π]$ sé jafnt $1 / 2 .$ Án frekari útreikninga skuluð þið ákvarða hvort meðalgildi ${cos}^{2} (t)$ á $[0, π]$ sé einnig jafnt $1 / 2 .$

128.

Útskýrið hvers vegna graf annars stigs fallsins, fleygbogans $p (x)$ , og graf línulega fallsins $ℓ (x)$ geta haft í mesta lagi tvo skurðpunkta. Gerum ráð fyrir að $p (a) = ℓ (a)$ og $p (b) = ℓ (b),$ og að $\int_{a}^{b} p (t) d t > \int_{a}^{b} ℓ (t) d t .$ Útskýrið hvers vegna $\int_{c}^{d} p (t) > \int_{c}^{d} ℓ (t) d t$ þegar $a \leq c < d \leq b .$

129.

Gerum ráð fyrir að fleygboginn $p (x) = a x^{2} + b x + c$ opnist niður $(a < 0)$ og hafi topppunktinn $y = \frac{− b}{2 a} > 0 .$ Fyrir hvaða bil $[A, B]$ er $\int_{A}^{B} (a x^{2} + b x + c) d x$ stærst?

130.

Gerum ráð fyrir að skipta megi $[a, b]$ í hlutbil $a = a_{0} < a_{1} < a_{2} < ⋯ < a_{N} = b$ þannig að annaðhvort $f \geq 0$ á $[a_{i - 1}, a_{i}]$ eða $f \leq 0$ á $[a_{i - 1}, a_{i}] .$ Setjum $A_{i} = \int_{a_{i - 1}}^{a_{i}} f (t) d t .$

Útskýrið hvers vegna $\int_{a}^{b} f (t) d t = A_{1} + A_{2} + ⋯ + A_{N} .$
Útskýrið síðan hvers vegna $| \int_{a}^{b} f (t) d t | \leq \int_{a}^{b} | f (t) | d t .$

131.

Gerum ráð fyrir að f og g séu samfelld föll þannig að $\int_{c}^{d} f (t) d t \leq \int_{c}^{d} g (t) d t$ fyrir hvert hlutbil $[c, d]$ í $[a, b] .$ Útskýrið hvers vegna $f (x) \leq g (x)$ fyrir öll gildi x.

132.

Gerum ráð fyrir að meðalgildi f á $[a, b]$ sé 1 og meðalgildi f á $[b, c]$ sé 1 þar sem $a < c < b .$ Sýnið að meðalgildi f á $[a, c]$ sé einnig 1.

133.

Gerum ráð fyrir að skipta megi bilinu $[a, b]$ með skiptipunktunum $a = a_{0} < a_{1} < ⋯ < a_{N} = b$ þannig að meðalgildi f á hverju hlutbili $[a_{i - 1}, a_{i}] = 1$ sé jafnt 1 fyrir hvert $i = 1,…, N .$ Útskýrið hvers vegna meðalgildi f á $[a, b]$ sé einnig jafnt 1.

134.

Gerum ráð fyrir að fyrir hvert i þannig að $1 \leq i \leq N$ gildi $\int_{i - 1}^{i} f (t) d t = i .$ Sýnið að $\int_{0}^{N} f (t) d t = \frac{N (N + 1)}{2} .$

135.

Gerum ráð fyrir að fyrir hvert i þannig að $1 \leq i \leq N$ gildi $\int_{i - 1}^{i} f (t) d t = i^{2} .$ Sýnið að $\int_{0}^{N} f (t) d t = \frac{N (N + 1) (2 N + 1)}{6} .$

136.

[T] Reiknið vinstri og hægri Riemann-summurnar L₁₀ og R₁₀ og meðaltal þeirra $\frac{L_{10} + R_{10}}{2}$ fyrir $f (t) = t^{2}$ á $[0, 1] .$ Gefið er að $\int_{0}^{1} t^{2} d t = 0. \bar{33},$ og ákvarðið að hve mörgum aukastöfum $\frac{L_{10} + R_{10}}{2}$ nákvæmt?

137.

[T] Reiknið vinstri og hægri Riemann-summurnar L₁₀ og R₁₀ og meðaltal þeirra $\frac{L_{10} + R_{10}}{2}$ fyrir $f (t) = (4 - t^{2})$ á $[1, 2] .$ Gefið er að $\int_{1}^{2} (4 - t^{2}) d t = 1. \bar{66},$ og ákvarðið að hve mörgum aukastöfum $\frac{L_{10} + R_{10}}{2}$ nákvæmt?

138.

Ef $\int_{1}^{5} \sqrt{1 + t^{4}} d t = 41.7133.. .,$ hvert er þá $\int_{1}^{5} \sqrt{1 + u^{4}} d u ?$

139.

Metið $\int_{0}^{1} t d t$ með summu með vinstri endapunktum og summu með hægri endapunktum, hvorri með einum rétthyrningi. Hvernig ber meðaltal þessara summa saman við nákvæma gildið $\int_{0}^{1} t d t ?$

140.

Metið $\int_{0}^{1} t d t$ með samanburði við flatarmál eins rétthyrnings sem hefur hæð jafna gildi t í miðpunktinum $t = \frac{1}{2} .$ Hvernig ber þetta miðpunktsmat saman við nákvæma gildið $\int_{0}^{1} t d t ?$

141.

Skoðið graf $sin (2 π x)$ :

Útskýrið hvers vegna $\int_{0}^{1} sin (2 π t) d t = 0 .$
Útskýrið hvers vegna almennt gildir að $\int_{a}^{a + 1} sin (2 π t) d t = 0$ fyrir sérhvert gildi a.

142.

Ef f er 1-lotubundið $(f (t + 1) = f (t)),$ oddstætt og heildanlegt á $[0, 1],$ er þá alltaf satt að $\int_{0}^{1} f (t) d t = 0 ?$

143.

Ef f er 1-lotubundið og $\int_{0}^{1} f (t) d t = A,$ er þá nauðsynlega satt að $\int_{a}^{1 + a} f (t) d t = A$ fyrir öll A?