11 Heildun

1.6 Heildi sem innihalda vísis- og lograföll

Námsmarkmið

1.6.1 Heilda föll sem innihalda vísisföll.
1.6.2 Heilda föll sem innihalda lograföll.

Vísis- og lograföll eru meðal annars notuð til að lýsa fólksfjölgun, frumuvexti og fjárhagslegum vexti, svo og afskriftum, geislavirkri hrörnun og auðlindanotkun. Í þessum hluta skoðum við heildun falla sem innihalda vísis- og lograföll.

Heildi vísisfalla

Vísisfallið er ef til vill það fall sem þægilegast er að vinna með í stærðfræðigreiningu. Vísisfallið $y = e^{x},$ er sín eigin afleiða og sitt eigið heildi.

Dæmi 1.37

Stofnfall vísisfalls fundið

Finnið stofnfall vísisfallsins e^−x.

Lausn

Beitið innsetningu og látið $u = − x,$ og síðan $d u = −1 d x .$ Margfaldið jöfnuna fyrir du með −1 þannig að nú sé $− d u = d x .$ Þá er

\begin{matrix} \int e^{− x} d x & = − \int e^{u} d u \\ = − e^{u} + C \\ = − e^{− x} + C . \end{matrix}

Algeng mistök við meðferð vísissegða eru að fara með veldisvísi e eins og veldisvísi í margliðusegð. Ekki má beita veldareglunni á veldisvísi e. Þetta getur valdið sérstökum ruglingi þegar sama segð inniheldur bæði vísisfall og margliðu, eins og í sjálfsprófinu hér á undan. Í slíkum tilvikum ætti alltaf að ganga úr skugga um að réttri reglu sé beitt á hvert fall sem á að heilda.

Dæmi 1.38

Kvaðratrót vísisfalls

Finnið stofnfall vísisfallsins $e^{x} \sqrt{1 + e^{x}} .$

Lausn

Umritið verkefnið fyrst með ræðum veldisvísi:

\int e^{x} \sqrt{1 + e^{x}} d x = \int e^{x} {(1 + e^{x})}^{1 / 2} d x .

Veljið við innsetningu $u = 1 + e^{x} .$ þá er $d u = e^{x} d x .$ Við fáum (mynd 1.37)

\int e^{x} {(1 + e^{x})}^{1 / 2} d x = \int u^{1 / 2} d u .

Þá er

\int u^{1 / 2} d u = \frac{u^{3 / 2}}{3 / 2} + C = \frac{2}{3} u^{3 / 2} + C = \frac{2}{3} {(1 + e^{x})}^{3 / 2} + C .

Graf fallsins f(x) = e^x · √(1 + e^x) á bilinu [−3, 1]. Grafið er vaxandi og hvelft upp. Það hefst nærri x-ásnum í öðrum fjórðungi, sker y-ásinn í (0, √2) og vex síðan ört. — **Mynd 1.37.** Grafið sýnir margfeldi vísisfalls og kvaðratrótar vísisfalls.

Dæmi 1.39

Innsetning notuð með vísisfalli

Notið innsetningu til að reikna óákveðna heildið $\int 3 x^{2} e^{2 x^{3}} d x .$

Lausn

Hér látum við u vera segðina í veldisvísi e. Látum $u = 2 x^{3}$ og $d u = 6 x^{2} d x . .$ Enn vantar fastan margföldunarþátt í du: upphaflega fallið inniheldur þáttinn 3x² en ekki 6x². Margföldum báðar hliðar jöfnunnar með $\frac{1}{2}$ svo heildisstofninn með tilliti til u verði jafn heildisstofninum með tilliti til x. Því er

\int 3 x^{2} e^{2 x^{3}} d x = \frac{1}{2} \int e^{u} d u .

Heildið segðina með tilliti til u og setjið síðan upphaflegu segðina í x aftur inn fyrir u:

\frac{1}{2} \int e^{u} d u = \frac{1}{2} e^{u} + C = \frac{1}{2} e^{2 x^{3}} + C .

Eins og fram kom í upphafi þessa hluta eru vísisföll notuð í mörgum raunverulegum verkefnum. Talan e tengist oft samsettum eða sífellt hraðari vexti, eins og við höfum séð í fyrri hlutum um afleiður. Afleiða táknar breytingar- eða vaxtarhraða en heildi táknar heildarbreytingu eða heildarvöxt. Skoðum dæmi þar sem heildun vísisfalls leysir algengt viðskiptaverkefni.

Verð–eftirspurnarfall lýsir sambandi eftirspurðs magns vöru og verðs hennar. Almennt lækkar verðið þegar eftirspurt magn eykst. Jaðarverð–eftirspurnarfallið er afleiða verð–eftirspurnarfallsins og sýnir hve hratt verðið breytist við tiltekið framleiðslustig. Slík föll eru notuð í viðskiptum til að ákvarða verðteygni eftirspurnar og meta hvort breyting á framleiðslustigi yrði arðbær.

Dæmi 1.40

Verð–eftirspurnarjafna fundin

Finnið verð–eftirspurnarjöfnuna fyrir tiltekna tannkremstegund hjá stórmarkaðskeðju þegar eftirspurnin er 50 túbur á viku við verðið $2.35 fyrir túbuna, að því gefnu að jaðarverð–eftirspurnarfallið $p^{'} (x),$ fyrir x túbur á viku sé

p' (x) = −0.015 e^{−0.01 x} .

Hvaða verð ætti stórmarkaðskeðjan að setja ef hún selur 100 túbur á viku?

Lausn

Heildum jaðarverð–eftirspurnarfallið til að finna verð–eftirspurnarjöfnuna. Finnum fyrst stofnfallið og beitum síðan gefnu skilyrðunum. Því er

\begin{matrix} p (x) & = \int −0.015 e^{−0.01 x} d x \\ = −0.015 \int e^{−0.01 x} d x . \end{matrix}

Notum innsetningu og látum $u = −0.01 x$ og $d u = −0.01 d x .$ Deilum síðan báðum hliðum jöfnunnar fyrir du með −0.01. Þá fæst

\begin{matrix} \frac{−0.015}{−0.01} \int e^{u} d u & = 1.5 \int e^{u} d u \\ = 1.5 e^{u} + C \\ = 1.5 e^{−0.01 x} + C . \end{matrix}

Næsta skref er að einangra C. Við vitum að þegar verðið er $2.35 fyrir hverja túbu er eftirspurnin 50 túbur á viku. Það merkir að

\begin{matrix} p (50) & = 1.5 e^{−0.01 (50)} + C \\ = 2.35 . \end{matrix}

Nú er aðeins eftir að finna C:

\begin{matrix} C & = 2.35 - 1.5 e^{−0.5} \\ = 2.35 - 0.91 \\ = 1.44 . \end{matrix}

Því er

p (x) = 1.5 e^{−0.01 x} + 1.44 .

Ef stórmarkaðurinn selur 100 tannkremstúbur á viku verður verðið

p (100) = 1.5 e^{−0.01 (100)} + 1.44 = 1.5 e^{−1} + 1.44 \approx 1.99 .

Stórmarkaðurinn ætti að taka $1.99 fyrir hverja túbu ef hann selur 100 túbur á viku.

Dæmi 1.41

Ákveðið heildi með vísisfalli reiknað

Reiknið ákveðna heildið $\int_{1}^{2} e^{1 - x} d x .$

Lausn

Aftur á að nota innsetningu. Látum $u = 1 - x,$ og þá er $d u = −1 d x$ eða $− d u = d x .$ þá er $\int e^{1 - x} d x = − \int e^{u} d u .$ Breytum næst heildismörkunum. Samkvæmt jöfnunni $u = 1 - x,$ er

\begin{matrix} u = 1 - (1) = 0 \\ u = 1 - (2) = −1 . \end{matrix}

Heildið verður þá

\begin{matrix} \int_{1}^{2} e^{1 - x} d x & = − \int_{0}^{−1} e^{u} d u \\ = \int_{−1}^{0} e^{u} d u \\ = {e^{u} |}_{−1}^{0} \\ = e^{0} - (e^{−1}) \\ = − e^{−1} + 1. \end{matrix}

Sjá mynd 1.38.

Graf fallsins f(x) = e^(1−x) á bilinu [0, 3]. Það sker y-ásinn í (0, e), er minnkandi og hvelft upp og stefnir á 0 þegar x stefnir á óendanlegt. — **Mynd 1.38.** Reikna má sýnda flatarmálið með því að reikna ákveðið heildi með innsetningu.

Dæmi 1.42

Vöxtur bakteríuræktar

Gerum ráð fyrir að vaxtarhraði bakteríuræktar í petrískál sé $q (t) = 3^{t},$ þar sem t er mælt í klukkustundum og $q (t)$ í þúsundum baktería á klukkustund. Ef ræktunin inniheldur 10,000 bakteríur í upphafi, finnið fall $Q (t)$ sem gefur fjölda baktería í petrískálinni á hverjum tíma t. Hve margar bakteríur eru í skálinni eftir 2 klukkustundir?

Lausn

Við höfum

Q (t) = \int 3^{t} d t = \frac{3^{t}}{ln 3} + C .

Þegar $t = 0$ er $Q (0) = 10 = \frac{1}{ln 3} + C,$ og því $C \approx 9.090$ Þá fæst

Q (t) = \frac{3^{t}}{ln 3} + 9.090 .

Þegar $t = 2,$ er

Q (2) = \frac{3^{2}}{ln 3} + 9.090

= 17.282 .

Eftir 2 klukkustundir eru 17,282 bakteríur í skálinni.

Dæmi 1.43

Stofnvöxtur ávaxtaflugna

Gerum ráð fyrir að stofn ávaxtaflugna vaxi með hraðanum $g (t) = 2 e^{0.02 t},$ flugur á dag. Ef stofninn er 100 flugur í upphafi, hve margar flugur eru í honum eftir 10 daga?

Lausn

Látum $G (t)$ tákna fjölda flugna í stofninum á tímanum t. Með setningunni um heildarbreytingu fæst

\begin{matrix} G (10) & = G (0) + \int_{0}^{10} 2 e^{0.02 t} d t \\ = 100 + {[\frac{2}{0.02} e^{0.02 t}] |}_{0}^{10} \\ = 100 + {[100 e^{0.02 t}] |}_{0}^{10} \\ = 100 + 100 e^{0.2} - 100 \\ \approx 122 . \end{matrix}

Í stofninum eru 122 flugur eftir 10 daga.

Dæmi 1.44

Ákveðið heildi reiknað með innsetningu

Reiknið ákveðna heildið með innsetningu: $\int_{1}^{2} \frac{e^{1 / x}}{x^{2}} d x .$

Lausn

Umrita þarf dæmið nokkuð svo auðveldara sé að beita eiginleikunum. Fyrst umritum við veldisvísinn á e sem veldi af x og færum síðan x² úr nefnaranum upp í teljarann með neikvæðum veldisvísi. Þá fæst

\int_{1}^{2} \frac{e^{1 / x}}{x^{2}} d x = \int_{1}^{2} e^{x^{−1}} x^{−2} d x .

Látum $u = x^{−1},$ vera veldisvísinn á e. Þá er

\begin{matrix} d u & = − x^{−2} d x \\ - d u & = x^{−2} d x . \end{matrix}

Þegar mínusmerkið er tekið út fyrir heildismerkið verður dæmið

− \int e^{u} d u .

Næst breytum við heildunarmörkunum:

\begin{array}{l} u = {(1)}^{−1} = 1 \\ u = {(2)}^{−1} = \frac{1}{2} . \end{array}

Takið eftir að neðri mörkin eru nú hærri talan. Því þurfum við að margfalda með −1 og víxla mörkunum. Þannig fæst

\begin{array}{l} − \int_{1}^{1 / 2} e^{u} d u & = \int_{1 / 2}^{1} e^{u} d u \\ = e^{u} |_{1 / 2}^{1} \\ = e - e^{1 / 2} \\ = e - \sqrt{e} . \end{array}

Heildi sem innihalda lograföll

Heildun falla af gerðinni $f (x) = x^{−1}$ gefur algildi náttúrulega lografallsins, eins og sýnt er í eftirfarandi reglu. Reglan inniheldur einnig heildunarformúlur fyrir önnur lograföll, svo sem $f (x) = ln x$ og $f (x) = {log}_{a} x,$

Dæmi 1.45

Stofnfall fundið fyrir fall sem inniheldur ln x

Finnið stofnfall fallsins $\frac{3}{x - 10} .$

Lausn

Takið fyrst 3 út fyrir heildismerkið. Notið síðan u⁻¹-regluna. Þá fæst

\begin{array}{l} \int \frac{3}{x - 10} d x & = 3 \int \frac{1}{x - 10} d x \\ = 3 \int \frac{d u}{u} \\ = 3 ln | u | + C \\ = 3 ln | x - 10 | + C, x \neq 10 . \end{array}

Sjá Mynd 1.39

Graf fallsins f(x) = 3 / (x – 10). Aðfella er við x=10. Fyrri grein grafsins er minnkandi og hvelfd niður; hún stefnir á 0 þegar x stefnir á mínus óendanlegt og á mínus óendanlegt þegar x stefnir á 10. Síðari greinin er minnkandi og hvelfd upp; hún stefnir á óendanlegt þegar x stefnir á 10 og á 0 þegar x stefnir á óendanlegt. — **Mynd 1.39.** Skilgreiningarmengi fallsins er x ≠ 10 .

Dæmi 1.46

Stofnfall ræðs falls fundið

Finnið stofnfall $\frac{2 x^{3} + 3 x}{x^{4} + 3 x^{2}} .$

Lausn

Umrita má þetta sem $\int (2 x^{3} + 3 x) {(x^{4} + 3 x^{2})}^{−1} d x .$ Notum innsetningu. Látum $u = x^{4} + 3 x^{2},$ þá er $d u = 4 x^{3} + 6 x .$ Breytum du með því að taka 2 út fyrir sviga. Þá fæst

\begin{matrix} d u & = & (4 x^{3} + 6 x) d x \\ = & 2 (2 x^{3} + 3 x) d x \\ \frac{1}{2} d u & = & (2 x^{3} + 3 x) d x . \end{matrix}

Umritum heildisstofninn með u:

\int (2 x^{3} + 3 x) {(x^{4} + 3 x^{2})}^{−1} d x = \frac{1}{2} \int u^{−1} d u .

Þá fæst

\begin{array}{l} \frac{1}{2} \int u^{−1} d u & = \frac{1}{2} ln | u | + C \\ = \frac{1}{2} ln | x^{4} + 3 x^{2} | + C . \end{array}

Dæmi 1.47

Stofnfall lografalls fundið

Finnið stofnfall lografallsins ${log}_{2} x .$

Lausn

Fylgjum sniðinu í formúlunni sem gefin er í reglunni um heildunarformúlur fyrir lograföll. Samkvæmt því fæst

\int {log}_{2} x d x = \frac{x}{ln 2} (ln x - 1) + C .

Dæmi 1.48 er ákveðið heildi hornafalls. Þegar unnið er með hornaföll þarf oft að beita eiginleika eða hornafallasamsemd áður en lengra er haldið. Að koma heildisstofninum á rétta mynd er yfirleitt lykillinn að greiðri heildun.

Dæmi 1.48

Ákveðið heildi reiknað

Reiknið ákveðna heildið $\int_{0}^{π / 2} \frac{sin x}{1 + cos x} d x .$

Lausn

Við þurfum innsetningu til að reikna heildið. Látum $u = 1 + cos x,,$ þannig að $d u = − sin x d x .$ Umritum heildið með u og breytum jafnframt heildunarmörkunum. Þá fæst

\begin{matrix} u = 1 + cos (0) = 2 \\ u = 1 + cos (\frac{π}{2}) = 1 . \end{matrix}

Þá er

\begin{matrix} \int_{0}^{π / 2} \frac{sin x}{1 + cos x} & = − \int_{2}^{1} u^{−1} d u \\ = \int_{1}^{2} u^{−1} d u \\ = {ln | u | |}_{1}^{2} \\ = [ln 2 - ln 1] \\ = ln 2. \end{matrix}

Æfingar í hluta 1.6

Reiknið hvert óákveðið heildi í eftirfarandi æfingum.

320.

$\int e^{2 x} d x$

321.

$\int e^{−3 x} d x$

322.

$\int 2^{x} d x$

323.

$\int 3^{− x} d x$

324.

$\int \frac{1}{2 x} d x$

325.

$\int \frac{2}{x} d x$

326.

$\int \frac{1}{x^{2}} d x$

327.

$\int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Finnið hvert óákveðið heildi í eftirfarandi æfingum með viðeigandi innsetningu.

328.

$\int \frac{ln x}{x} d x$

329.

$\int \frac{d x}{x {(ln x)}^{2}}$

330.

$\int \frac{d x}{x ln x} (x > 1)$

331.

$\int \frac{d x}{x ln x ln (ln x)}$

332.

$\int tan θ d θ$

333.

$\int \frac{cos x - x sin x}{x cos x} d x$

334.

$\int \frac{ln (sin x)}{tan x} d x$

335.

$\int ln (cos x) tan x d x$

336.

$\int x e^{− x^{2}} d x$

337.

$\int x^{2} e^{− x^{3}} d x$

338.

$\int e^{sin x} cos x d x$

339.

$\int e^{tan x} {sec}^{2} x d x$

340.

$\int e^{ln x} \frac{d x}{x}$

341.

$\int \frac{e^{ln (1 - t)}}{1 - t} d t$

Sannreynið í eftirfarandi æfingum með deildun að $\int ln x d x = x (ln x - 1) + C,$ og reiknið síðan heildið með viðeigandi breytuskiptum.

342.

$\int x ln x d x$ $(Ábending : \int x ln x d x = \frac{1}{2} \int x ln (x^{2}) d x)$

343.

$\int x^{2} ln(x^{2}) d x$

344.

$\int \frac{ln x}{x^{2}} d x$ $(Ábending : Látum u = \frac{1}{x} .)$

345.

$\int \frac{ln x}{\sqrt{x}} d x$ $(Ábending : Látum u = \sqrt{x} .)$

346.

Skrifið heildi sem lýsir flatarmálinu undir grafi $y = \frac{1}{t}$ frá $t = 1$ til e^x og reiknið heildið.

347.

Skrifið heildi sem lýsir flatarmálinu undir grafi $y = e^{t}$ milli $t = 0$ og $t = ln x,$ og reiknið heildið.

Notið viðeigandi innsetningar í eftirfarandi æfingum til að setja hornafallsheildin fram sem samskeytingar með lograföllum.

348.

$\int tan (2 x) d x$

349.

$\int \frac{sin (3 x) - cos (3 x)}{sin (3 x) + cos (3 x)} d x$

350.

$\int \frac{x sin (x^{2})}{cos (x^{2})} d x$

351.

$\int x csc (x^{2}) d x$

352.

$\int ln (cos x) tan x d x$

353.

$\int ln (csc x) cot x d x$

354.

$\int \frac{e^{x} - e^{− x}}{e^{x} + e^{− x}} d x$

Reiknið ákveðna heildið í eftirfarandi æfingum.

355.

$\int_{1}^{2} \frac{1 + 2 x + x^{2}}{3 x + 3 x^{2} + x^{3}} d x$

356.

$\int_{0}^{π / 4} tan x d x$

357.

$\int_{0}^{π / 3} \frac{sin x - cos x}{sin x + cos x} d x$

358.

$\int_{π / 6}^{π / 2} csc x d x$

359.

$\int_{π / 4}^{π / 3} cot x d x$

Heildið í eftirfarandi æfingum með tilgreindri innsetningu.

360.

$\int \frac{x}{x - 100} d x; u = x - 100$

361.

$\int \frac{y - 1}{y + 1} d y; u = y + 1$

362.

$\int \frac{1 - x^{2}}{3 x - x^{3}} d x; u = 3 x - x^{3}$

363.

$\int \frac{sin x + cos x}{sin x - cos x} d x; u = sin x - cos x$

364.

$\int e^{2 x} \sqrt{1 - e^{2 x}} d x; u = e^{2 x}$

365.

$\int ln (x) \frac{\sqrt{1 - {(ln x)}^{2}}}{x} d x; u = ln x$

Er nálgunin með hægri endapunktum í eftirfarandi æfingum ofmat eða vanmat á nákvæma flatarmálinu? Reiknið matið með hægri endapunktum, R₅₀, og finnið nákvæma flatarmálið.

366.

[T] $y = e^{x}$ á $[0, 1]$

367.

[T] $y = e^{− x}$ á $[0, 1]$

368.

[T] $y = ln (x)$ á $[1, 2]$

369.

[T] $y = \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x + 6}$ á $[0, 1]$

370.

[T] $y = 2^{x}$ á $[−1, 0]$

371.

[T] $y = − 2^{− x}$ á $[0, 1]$

Í eftirfarandi æfingum er $f (x) \geq 0$ fyrir $a \leq x \leq b .$ Finnið flatarmálið undir grafi $f (x)$ milli gefinna gilda a og b með heildun.

372.

$f (x) = \frac{{log}_{10} (x)}{x}; a = 10, b = 100$

373.

$f (x) = \frac{{log}_{2} (x)}{x}; a = 32, b = 64$

374.

$f (x) = 2^{− x}; a = 1, b = 2$

375.

$f (x) = 2^{− x}; a = 3, b = 4$

376.

Finnið flatarmálið undir grafi fallsins $f (x) = x e^{− x^{2}}$ milli $x = 0$ og $x = 5 .$

377.

Reiknið heildi $f (x) = x e^{− x^{2}}$ og finnið minnsta gildi N þannig að flatarmálið undir grafi $f (x) = x e^{− x^{2}}$ milli $x = N$ og $x = N + 1$ sé í mesta lagi 0.01.

378.

Finnið, þegar N stefnir á óendanlegt, markgildi flatarmálsins undir grafi $f (x) = x e^{− x^{2}}$ milli $x = 0$ og $x = N .$

379.

Sýnið að $\int_{a}^{b} \frac{d t}{t} = \int_{1 / b}^{1 / a} \frac{d t}{t}$ þegar $0 < a \leq b .$

380.

Gerum ráð fyrir að $f (x) > 0$ fyrir öll x og að f og g séu deildanleg. Notið samsemdina $f^{g} = e^{g ln f}$ og keðjuregluna til að finna afleiðu $f^{g} .$

381.

Notið fyrri æfingu til að finna stofnfall $h (x) = x^{x} (1 + ln x)$ og reiknið $\int_{2}^{3} x^{x} (1 + ln x) d x .$

382.

Sýnið að ef $c > 0,$ þá sé heildið af $1 / x$ frá ac til bc $(0 < a < b)$ jafnt heildinu af $1 / x$ frá a til b.

Markmið eftirfarandi æfinga er að leiða út grundvallareiginleika náttúrulega lograns út frá skilgreiningunni $ln (x) = \int_{1}^{x} \frac{d t}{t},$ með því að nota eiginleika ákveðna heildisins án frekari forsendna.

383.

Notið samsemdina $ln (x) = \int_{1}^{x} \frac{d t}{t}$ til að leiða út samsemdina $ln (\frac{1}{x}) = − ln x .$

384.

Notið breytuskipti í heildinu $\int_{1}^{x y} \frac{1}{t} d t$ til að sýna að $ln x y = ln x + ln y for x, y > 0 .$

385.

Notið samsemdina $ln x = \int_{1}^{x} \frac{d t}{t}$ til að sýna að $ln (x)$ sé vaxandi fall af x á $[0, \infty),$ og notið fyrri æfingar til að sýna að myndmengi $ln (x)$ sé $(− \infty, \infty) .$ Ályktið, án frekari forsendna, að $ln (x)$ hafi andhverft fall sem er skilgreint á $(− \infty, \infty) .$

386.

Gerum um stund ráð fyrir að við vitum ekki að $e^{x}$ sé andhverft fall $ln (x),$ en höfum í huga að $ln (x)$ hefur andhverft fall sem er skilgreint á $(− \infty, \infty) .$ Köllum það E. Notið samsemdina $ln x y = ln x + ln y$ til að leiða út að $E (a + b) = E (a) E (b)$ fyrir sérhverjar rauntölur a og b.

387.

Gerum um stund ráð fyrir að við vitum ekki að $e^{x}$ sé andhverft fall $ln x,$ en höfum í huga að $ln x$ hefur andhverft fall sem er skilgreint á $(− \infty, \infty) .$ Köllum það E. Sýnið að $E' (t) = E (t) .$

388.

Sínusheildið, sem er skilgreint sem $S (x) = \int_{0}^{x} \frac{sin t}{t} d t$ er mikilvæg stærð í verkfræði. Þótt ekki sé til einföld lokuð formúla fyrir það er hægt að meta hegðun þess fyrir stór x. Sýnið að fyrir $k \geq 1, | S (2 π k) - S (2 π (k + 1)) | \leq \frac{1}{k (2 k + 1) π} .$ $(Ábending : sin (t + π) = − sin t)$

389.

[T] Normaldreifing í líkindafræði er gefin með $p (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{− {(x - μ)}^{2} / 2 σ^{2}},$ þar sem σ er staðalfrávikið og μ meðaltalið. Stöðluð normaldreifing í líkindafræði, $p_{s},$ samsvarar $μ = 0 og σ = 1 .$ Reiknið hægri endapunktsmötin $R_{10} og R_{100}$ á $\int_{−1}^{1} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{− \frac{x^{2}}{2}} d x .$

390.

[T] Reiknið hægri endapunktsmötin $R_{50} og R_{100}$ á $\int_{−3}^{5} \frac{1}{2 \sqrt{2 π}} e^{− {(x - 1)}^{2} / 8} .$