11 Heildun

1.5 Innsetning

Námsmarkmið

1.5.1 Nota innsetningu til að reikna óákveðin heildi.
1.5.2 Nota innsetningu til að reikna ákveðin heildi.

Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar gaf okkur aðferð til að reikna heildi án þess að nota Riemann-summur. Ókostur þessarar aðferðar er þó sá að við verðum að geta fundið stofnfall, sem er ekki alltaf auðvelt. Í þessum hluta skoðum við aðferð sem nefnist heildun með innsetningu og auðveldar okkur að finna stofnföll. Nánar tiltekið nýtist aðferðin þegar heildisstofninn er niðurstaða deildunar með keðjureglunni.

Í fyrstu er ekki víst að auðséð sé hvernig innsetningaraðferðinni skuli beitt. Hér er þó fyrst og fremst um sjónræna greiningu að ræða: heildisstofninn gefur vísbendingu um hvað gera skal og verkefnið felst í að þekkja form fallsins. Að hverju leitum við þá? Við leitum að heildisstofni af gerðinni $f [g (x)] g^{'} (x) d x .$ Tökum sem dæmi heildið $\int {(x^{2} - 3)}^{3} 2 x d x,$ þar sem $f (x) = x^{3}, g (x) = x^{2} - 3,$ og $g' (x) = 2 x .$ Þá er

f [g (x)] g^{'} (x) = {(x^{2} - 3)}^{3} (2 x),

og heildisstofninn er því á réttu formi.

Aðferðin nefnist innsetning vegna þess að hluta heildisstofnsins er skipt út fyrir breytuna u og öðrum hluta hans fyrir du. Hún er einnig nefnd breytuskipti, enda skiptum við um breytu til að fá segð sem auðveldara er að vinna með þegar heildunarreglunum er beitt.

Sönnun

Látum f, g, u og F vera eins og tilgreint er í setningunni. Þá er

\begin{matrix} \frac{d}{d x} F (g (x)) & = F^{'} (g (x)) g^{'} (x) \\ = f [g (x)] g^{'} (x) . \end{matrix}

Með því að heilda báðar hliðar með tilliti til x fæst

\int f [g (x)] g^{'} (x) d x = F (g (x)) + C .

Ef við setjum nú $u = g (x),$ og $d u = g' (x) d x,$ inn fæst

\begin{matrix} \int f [g (x)] g^{'} (x) d x & = \int f (u) d u \\ = F (u) + C \\ = F (g (x)) + C . \end{matrix}

□

Snúum aftur að verkefninu sem við skoðuðum í upphafi. Látum $u = x^{2} - 3$ og þá er $d u = 2 x d x .$ Umritum heildið með tilliti til u:

\int {\underset{u}{\underset{⏟}{(x^{2} - 3)}}}^{3} \underset{d u}{\underset{⏟}{(2 x d x)}} = \int u^{3} d u .

Samkvæmt veldareglunni fyrir heildi er

\int u^{3} d u = \frac{u^{4}}{4} + C .

Setjum upphaflegu segðina, sem rituð er með x, aftur inn í lausnina:

\frac{u^{4}}{4} + C = \frac{{(x^{2} - 3)}^{4}}{4} + C .

Við getum alhæft aðferðina með eftirfarandi lausnarleið.

Dæmi 1.30

Innsetning notuð til að finna stofnfall

Notið innsetningu til að finna stofnfallið $\int 6 x {(3 x^{2} + 4)}^{4} d x .$

Lausn

Fyrsta skrefið er að velja segð fyrir u. Við veljum $u = 3 x^{2} + 4$ því þá er $d u = 6 x d x,$ og du er þegar í heildisstofninum. Skrifum heildið með tilliti til u:

\int 6 x {(3 x^{2} + 4)}^{4} d x = \int u^{4} d u .

Munið að du er afleiða segðarinnar sem valin er fyrir u, óháð því hvað annað er í heildisstofninum. Nú getum við reiknað heildið með tilliti til u:

\begin{array}{l} \int u^{4} d u & = \frac{u^{5}}{5} + C \\ = \frac{{(3 x^{2} + 4)}^{5}}{5} + C . \end{array}

Greining

Við getum sannreynt svarið með því að finna afleiðu niðurstöðu heildunarinnar. Þá ættum við að fá heildisstofninn. Veljum 1 sem gildi fyrir C og látum $y = \frac{1}{5} {(3 x^{2} + 4)}^{5} + 1 .$ Þá er

y = \frac{1}{5} {(3 x^{2} + 4)}^{5} + 1,

og því

\begin{matrix} y^{'} & = (\frac{1}{5}) 5 {(3 x^{2} + 4)}^{4} 6 x \\ = 6 x {(3 x^{2} + 4)}^{4} . \end{matrix}

Þetta er nákvæmlega segðin sem var í heildisstofninum í upphafi.

Stundum þarf að laga fastana í heildinu þegar þeir samsvara ekki nákvæmlega segðunum sem settar eru inn.

Dæmi 1.31

Innsetning með aðlögun

Notið innsetningu til að finna $\int z \sqrt{z^{2} - 5} d z .$

Lausn

Umritum heildið sem $\int z {(z^{2} - 5)}^{1 / 2} d z .$ Látum $u = z^{2} - 5$ og $d u = 2 z d z .$ Nú kemur upp vandi því $d u = 2 z d z$ en upphaflega segðin inniheldur aðeins $z d z .$ Við verðum að laga segðina fyrir du, annars verður heildið með tilliti til u tvöfalt stærra en það á að vera. Vandinn leysist ef báðar hliðar jöfnunnar fyrir du eru margfaldaðar með $\frac{1}{2} .$ Því er

\begin{matrix} u & = z^{2} - 5 \\ d u & = 2 z d z \\ \frac{1}{2} d u & = \frac{1}{2} (2 z) d z = z d z . \end{matrix}

Skrifum heildið með tilliti til u en tökum $\frac{1}{2}$ út fyrir heildistáknið:

\int z {(z^{2} - 5)}^{1 / 2} d z = \frac{1}{2} \int u^{1 / 2} d u .

Heildum segðina með tilliti til u:

\begin{matrix} \frac{1}{2} \int u^{1 / 2} d u & = (\frac{1}{2}) \frac{u^{3 / 2}}{\frac{3}{2}} + C \\ = (\frac{1}{2}) (\frac{2}{3}) u^{3 / 2} + C \\ = \frac{1}{3} u^{3 / 2} + C \\ = \frac{1}{3} {(z^{2} - 5)}^{3 / 2} + C . \end{matrix}

Dæmi 1.32

Innsetning í heildum hornafalla

Notið innsetningu til að reikna heildið $\int \frac{sin t}{{cos}^{3} t} d t .$

Lausn

Við vitum að deildi $cos t$ er $− sin t,$ og látum því $u = cos t .$ Þá er $d u = − sin t d t .$ Þegar þetta er sett inn í heildið fæst

\int \frac{sin t}{{cos}^{3} t} d t = − \int \frac{d u}{u^{3}} .

Þegar heildið er reiknað fæst

\begin{matrix} − \int \frac{d u}{u^{3}} & = − \int u^{−3} d u \\ = − (- \frac{1}{2}) u^{−2} + C . \end{matrix}

Þegar svarið er aftur sett fram með tilliti til t fæst

\begin{matrix} \int \frac{sin t}{{cos}^{3} t} d t & = \frac{1}{2 u^{2}} + C \\ = \frac{1}{2 {cos}^{2} t} + C . \end{matrix}

Stundum þarf að umrita heildi á flóknari hátt en með því einu að margfalda eða deila með fasta. Fjarlægja þarf allar segðir í heildisstofninum sem eru settar fram með upphaflegu breytunni. Að því loknu á u að vera eina breytan í heildisstofninum. Í sumum tilvikum þarf því að einangra upphaflegu breytuna og rita hana með u. Næsta dæmi skýrir þessa aðferð.

Dæmi 1.33

Stofnfall fundið með u-innsetningu

Notið innsetningu til að finna stofnfallið $\int \frac{x}{\sqrt{x - 1}} d x .$

Lausn

Ef við látum $u = x - 1,$ þá er $d u = d x .$ Þá er þó ekki tekið tillit til x í teljara heildisstofnsins. Við þurfum að rita x með u. Ef $u = x - 1,$ þá er $x = u + 1 .$ Nú getum við umritað heildið með tilliti til u:

\begin{array}{l} \int \frac{x}{\sqrt{x - 1}} d x & = \int \frac{u + 1}{\sqrt{u}} d u \\ = \int \sqrt{u} + \frac{1}{\sqrt{u}} d u \\ = \int (u^{1 / 2} + u^{−1 / 2}) d u . \end{array}

Síðan heildum við á venjulegan hátt, setjum upphaflegu segðina í stað u og þáttum og einföldum niðurstöðuna. Því fæst

\begin{matrix} \int (u^{1 / 2} + u^{−1 / 2}) d u & = \frac{2}{3} u^{3 / 2} + 2 u^{1 / 2} + C \\ = \frac{2}{3} {(x - 1)}^{3 / 2} + 2 {(x - 1)}^{1 / 2} + C \\ = {(x - 1)}^{1 / 2} [\frac{2}{3} (x - 1) + 2] + C \\ = {(x - 1)}^{1 / 2} (\frac{2}{3} x - \frac{2}{3} + \frac{6}{3}) + C \\ = {(x - 1)}^{1 / 2} (\frac{2}{3} x + \frac{4}{3}) + C \\ = \frac{2}{3} {(x - 1)}^{1 / 2} (x + 2) + C . \end{matrix}

Innsetning í ákveðnum heildum

Einnig má nota innsetningu í ákveðnum heildum. Þegar ákveðið heildi er reiknað með innsetningu þarf þó að breyta heildismörkunum. Ef skipt er um breytu í heildisstofninum breytast heildismörkin jafnframt.

Þótt við sönnum setninguna ekki formlega, má rökstyðja hana með eftirfarandi útreikningum. Ef $F (x)$ er stofnfall $f (x),$ fæst samkvæmt innsetningarreglunni fyrir óákveðin heildi að

\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = F (g (x)) + C .

Þá er

\begin{matrix} \int_{a}^{b} f [g (x)] g^{'} (x) d x & = {F (g (x)) |}_{x = a}^{x = b} \\ = F (g (b)) - F (g (a)) \\ = {F (u) |}_{u = g (a)}^{u = g (b)} \\ = \int_{g (a)}^{g (b)} f (u) d u, \end{matrix}

(1.20)

og þar með fæst niðurstaðan sem sýna átti.

Dæmi 1.34

Ákveðið heildi reiknað með innsetningu

Notið innsetningu til að reikna $\int_{0}^{1} x^{2} {(1 + 2 x^{3})}^{5} d x .$

Lausn

Látum $u = 1 + 2 x^{3},$ og þá er $d u = 6 x^{2} d x .$ Þar sem upphaflegi heildisstofninn inniheldur aðeins þáttinn x² og $d u = 6 x^{2} d x,$ margföldum við báðar hliðar jöfnunnar fyrir du með $1 / 6 .$ Þá er

\begin{matrix} d u & = & 6 x^{2} d x \\ \frac{1}{6} d u & = & x^{2} d x . \end{matrix}

Til að laga heildismörkin tökum við eftir því að þegar $x = 0, u = 1 + 2 (0) = 1,$ og þegar $x = 1, u = 1 + 2 (1) = 3 .$ Þá er

\int_{0}^{1} x^{2} {(1 + 2 x^{3})}^{5} d x = \frac{1}{6} \int_{1}^{3} u^{5} d u .

Þegar segðin er reiknuð fæst

\begin{matrix} \frac{1}{6} \int_{1}^{3} u^{5} d u & = (\frac{1}{6}) (\frac{u^{6}}{6}) |_{1}^{3} \\ = \frac{1}{36} [{(3)}^{6} - {(1)}^{6}] \\ = \frac{182}{9} . \end{matrix}

Dæmi 1.35

Innsetning með veldisfalli

Notið innsetningu til að reikna $\int_{0}^{1} x e^{4 x^{2} + 3} d x .$

Lausn

Látum $u = 4 x^{2} + 3 .$ Þá er $d u = 8 x d x .$ Til að laga heildismörkin tökum við eftir því að þegar $x = 0, u = 3,$ og þegar $x = 1, u = 7 .$ Innsetningin gefur því

\begin{matrix} \int_{0}^{1} x e^{4 x^{2} + 3} d x & = \frac{1}{8} \int_{3}^{7} e^{u} d u \\ = \frac{1}{8} e^{u} |_{3}^{7} \\ = \frac{e^{7} - e^{3}}{8} \\ \approx 134.568. \end{matrix}

Innsetning getur verið ein af nokkrum aðferðum sem þarf til að reikna ákveðið heildi. Allir eiginleikar og allar reglur heildunar gilda sjálfstætt og stundum þarf að umrita hornaföll með hornafallasamsemd áður en hægt er að beita innsetningu. Einnig má setja upphaflegu segðina í stað u eftir að stofnfallið hefur verið fundið og þá þarf ekki að breyta heildismörkunum. Þessar tvær leiðir eru sýndar í dæmi 1.36.

Dæmi 1.36

Hornafallsheildi reiknað með innsetningu

Notið innsetningu til að reikna $\int_{0}^{π / 2} {cos}^{2} θ d θ .$

Lausn

Notum fyrst hornafallasamsemd til að umrita heildið. Hornafallasamsemdin ${cos}^{2} θ = \frac{1 + cos 2 θ}{2}$ gerir okkur kleift að umrita heildið sem

\int_{0}^{π / 2} {cos}^{2} θ d θ = \int_{0}^{π / 2} \frac{1 + cos 2 θ}{2} d θ .

Þá er

\begin{matrix} \int_{0}^{π / 2} (\frac{1 + cos 2 θ}{2}) d θ & = \int_{0}^{π / 2} (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} cos 2 θ) d θ \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{π / 2} d θ + \frac{1}{2} \int_{0}^{π / 2} cos 2 θ d θ . \end{matrix}

Fyrra heildið má reikna eins og það stendur, en beita þarf innsetningu til að reikna hið síðara. Látum $u = 2 θ .$ Þá er $d u = 2 d θ,$ eða $\frac{1}{2} d u = d θ .$ Auk þess gildir að þegar $θ = 0, u = 0,$ og þegar $θ = π / 2, u = π .$ Þegar síðara heildið er sett fram með tilliti til u fæst

\begin{matrix} \frac{1}{2} \int_{0}^{π / 2} d θ + \frac{1}{2} \int_{0}^{π / 2} cos 2 θ d θ & = \frac{1}{2} \int_{0}^{π / 2} d θ + \frac{1}{2} (\frac{1}{2}) \int_{0}^{π} cos u d u \\ = \frac{θ}{2} |_{θ = 0}^{θ = π / 2} + \frac{1}{4} sin u |_{u = 0}^{u = π} \\ = (\frac{π}{4} - 0) + (0 - 0) = \frac{π}{4} . \end{matrix}

Æfingar í hluta 1.5

254.

Hvers vegna er u-innsetning einnig nefnd breytuskipti?

255.

2. Þegar $f = g \circ h,$ er keðjureglunni beitt í öfuga átt samkvæmt $\frac{d}{d x} (g \circ h) (x) = g^{'} (h (x)) h^{'} (x),$ á þá að velja $u = g (x)$ eða $u = h (x) ?$

Sannreynið í eftirfarandi æfingum hverja jöfnu með deildun. Notið síðan tilgreinda u-innsetningu og ákvarðið f þannig að heildið verði af gerðinni $\int f (u) d u .$

256.

$\int x \sqrt{x + 1} d x = \frac{2}{15} {(x + 1)}^{3 / 2} (3 x - 2) + C; u = x + 1$

257.

Fyrir $x > 1 : \int \frac{x^{2}}{\sqrt{x - 1}} d x = \frac{2}{15} \sqrt{x - 1} (3 x^{2} + 4 x + 8) + C; u = x - 1$

258.

$\int x \sqrt{4 x^{2} + 9} d x = \frac{1}{12} {(4 x^{2} + 9)}^{3 / 2} + C; u = 4 x^{2} + 9$

259.

$\int \frac{x}{\sqrt{4 x^{2} + 9}} d x = \frac{1}{4} \sqrt{4 x^{2} + 9} + C; u = 4 x^{2} + 9$

260.

$\int \frac{x}{{(4 x^{2} + 9)}^{2}} d x = - \frac{1}{8 (4 x^{2} + 9)}; u = 4 x^{2} + 9$

Finnið stofnfallið í eftirfarandi æfingum með tilgreindri innsetningu.

261.

$\int {(x + 1)}^{4} d x; u = x + 1$

262.

$\int {(x - 1)}^{5} d x; u = x - 1$

263.

$\int {(2 x - 3)}^{−7} d x; u = 2 x - 3$

264.

$\int {(3 x - 2)}^{−11} d x; u = 3 x - 2$

265.

$\int \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x; u = x^{2} + 1$

266.

$\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x; u = 1 - x^{2}$

267.

$\int (x - 1) {(x^{2} - 2 x)}^{3} d x; u = x^{2} - 2 x$

268.

$\int (x^{2} - 2 x) {(x^{3} - 3 x^{2})}^{2} d x; u = x^{3} - 3 x^{2}$

269.

$\int {cos}^{3} θ d θ; u = sin θ$ $(H i n t : {cos}^{2} θ = 1 - {sin}^{2} θ)$

270.

$\int {sin}^{3} θ d θ; u = cos θ$ $(H i n t : {sin}^{2} θ = 1 - {cos}^{2} θ)$

Notið viðeigandi breytuskipti í eftirfarandi æfingum til að reikna óákveðna heildið.

271.

$\int x {(1 - x)}^{99} d x$

272.

$\int t {(1 - t^{2})}^{10} d t$

273.

$\int {(11 x - 7)}^{−3} d x$

274.

$\int {(7 x - 11)}^{4} d x$

275.

$\int {cos}^{3} θ sin θ d θ$

276.

$\int {sin}^{7} θ cos θ d θ$

277.

$\int {cos}^{2} (π t) sin (π t) d t$

278.

$\int {sin}^{2} x {cos}^{3} x d x$ $(H i n t : {sin}^{2} x + {cos}^{2} x = 1)$

279.

$\int t sin (t^{2}) cos (t^{2}) d t$

280.

$\int t^{2} {cos}^{2} (t^{3}) sin (t^{3}) d t$

281.

$\int \frac{x^{2}}{{(x^{3} - 3)}^{2}} d x$

282.

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

283.

$\int \frac{y^{5}}{{(1 - y^{3})}^{3 / 2}} d y$

284.

${\int cos θ (1 - cos θ)}^{99} sin θ d θ$

285.

${\int (1 - {cos}^{3} θ)}^{10} {cos}^{2} θ sin θ d θ$

286.

$\int (cos θ - 1) {({cos}^{2} θ - 2 cos θ)}^{3} sin θ d θ$

287.

$\int ({sin}^{2} θ - 2 sin θ) {({sin}^{3} θ - 3 {sin}^{2} θ)}^{3} cos θ d θ$

Notið reiknivél í eftirfarandi æfingum til að áætla flatarmálið undir ferlinum með vinstri Riemann-summum með 50 liðum. Notið síðan innsetningu til að finna nákvæmt svar.

288.

[T] $y = 3 {(1 - x)}^{2}$ á bilinu $[0, 2]$

289.

[T] $y = x {(1 - x^{2})}^{3}$ á bilinu $[−1, 2]$

290.

[T] $y = sin x {(1 - cos x)}^{2}$ á bilinu $[0, π]$

291.

[T] $y = \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ á bilinu $[−1, 1]$

Notið breytuskipti í eftirfarandi æfingum til að reikna ákveðna heildið.

292.

$\int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x^{2}} d x$

293.

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

294.

$\int_{0}^{2} \frac{t}{\sqrt{5 + t^{2}}} d t$

295.

$\int_{0}^{1} \frac{t^{2}}{\sqrt{1 + t^{3}}} d t$

296.

$\int_{0}^{π / 4} {sec}^{2} θ tan θ d θ$

297.

$\int_{0}^{π / 4} \frac{sin θ}{{cos}^{4} θ} d θ$

Reiknið í eftirfarandi æfingum óákveðna heildið $\int f (x) d x$ þar sem fastinn er $C = 0$ og beitið u-innsetningu. Teiknið síðan gröf fallsins og stofnfallsins á tilgreinda bilinu. Áætlið, ef unnt er, gildi C sem þyrfti að bæta við stofnfallið svo það yrði jafnt ákveðna heildinu $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t,$ þar sem a er vinstri endapunktur gefna bilsins.

298.

[T] $\int (2 x + 1) e^{x^{2} + x - 6} d x$ á bilinu $[−3, 2]$

299.

[T] $\int \frac{cos (ln (2 x))}{x} d x$ á bilinu $[0, 2]$

300.

[T] $\int \frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{\sqrt{x^{3} + x^{2} + x + 4}} d x$ á bilinu $[−1, 2]$

301.

[T] $\int \frac{sin x}{{cos}^{3} x} d x$ á bilinu $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{3}]$

302.

[T] $\int (x + 2) e^{− x^{2} - 4 x + 3} d x$ á bilinu $[−5, 1]$

303.

[T] $\int 3 x^{2} \sqrt{2 x^{3} + 1} d x$ á bilinu $[0, 1]$

304.

Ef $h (a) = h (b)$ í $\int_{a}^{b} g' (h (x)) h' (x) d x,$ hvað má þá segja um gildi heildisins?

305.

Er innsetningin $u = 1 - x^{2}$ í ákveðna heildinu $\int_{0}^{2} \frac{x}{1 - x^{2}} d x$ gild? Ef ekki, hvers vegna?

Notið breytuskipti í eftirfarandi æfingum til að sýna að hvert ákveðið heildi sé núll.

306.

$\int_{0}^{π} {cos}^{2} (2 θ) sin (2 θ) d θ$

307.

$\int_{0}^{\sqrt{π}} t cos (t^{2}) sin (t^{2}) d t$

308.

$\int_{0}^{1} (1 - 2 t) d t$

309.

$\int_{0}^{1} \frac{1 - 2 t}{(1 + {(t - \frac{1}{2})}^{2})} d t$

310.

$\int_{0}^{π} sin ({(t - \frac{π}{2})}^{3}) cos (t - \frac{π}{2}) d t$

311.

$\int_{0}^{2} (1 - t) cos (π t) d t$

312.

$\int_{π / 4}^{3 π / 4} {sin}^{2} t cos t d t$

313.

Sýnið að meðalgildi $f (x)$ á bilinu $[a, b]$ sé það sama og meðalgildi $f (c x)$ á bilinu $[\frac{a}{c}, \frac{b}{c}]$ þegar $c > 0 .$

314.

Finnið flatarmálið undir grafi $f (t) = \frac{t}{{(1 + t^{2})}^{a}}$ milli $t = 0$ og $t = x$ þar sem a er fasti sem uppfyllir $a > 0$ og $a \neq 1$ . Reiknið síðan markgildið þegar $x \to \infty .$

315.

Finnið flatarmálið undir grafi $g (t) = \frac{t}{{(1 - t^{2})}^{a}}$ milli $t = 0$ og $t = x,$ þar sem $0 < x < 1$ og a er fasti sem uppfyllir $a > 0$ . Reiknið markgildið þegar $x \to 1 .$

316.

Flatarmál hálfhrings með geisla 1 má setja fram sem $\int_{−1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x .$ Notið innsetninguna $x = cos t$ til að setja flatarmál hálfhringsins fram sem heildi hornafalls. Ekki þarf að reikna heildið.

317.

Flatarmál efri helmings sporbaugs, þar sem langásinn er x-ásinn frá $x = - a$ til $x = a$ og skammásinn er y-ásinn frá $y = − b$ til $y = b$ , má skrifa sem $\int_{− a}^{a} b \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}} d x .$ Notið innsetninguna $x = a cos t$ til að setja flatarmálið fram sem heildi hornafalls. Ekki þarf að reikna heildið.

318.

[T] Eftirfarandi graf sýnir fall af gerðinni $f (t) = a sin (n t) + b sin (m t) .$ Áætlið stuðlana a og b og tíðnistikana n og m. Notið áætlanirnar til að nálga $\int_{0}^{π} f (t) d t .$

Graf falls af gefinni gerð á bilinu [0, 2pi] hefur sex vendipunkta. Þeir eru rétt á undan pi/4, rétt á eftir pi/2, milli 3pi/4 og pi, milli pi og 5pi/4, rétt á undan 3pi/2 og rétt á eftir 7pi/4; fallgildin eru um það bil 3, -2, 1, -1, 2 og -3. Grafið hefst í upphafspunktinum og endar í (2pi, 0). Það sker x-ásinn milli pi/4 og pi/2, rétt á undan 3pi/4, í pi, rétt á eftir 5pi/4 og milli 3pi/2 og 4pi/4.

319.

[T] Eftirfarandi graf sýnir fall af gerðinni $f (x) = a cos (n t) + b cos (m t) .$ Áætlið stuðlana a og b og tíðnistikana n og m. Notið áætlanirnar til að nálga $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (t) d t .$