11 Heildun

Meginatriði

1.1 Nálgun á flatarmáli

Summutákn á forminu $\sum_{i = 1}^{n} a_{i}$ má nota til að tákna langar summur gilda á knöppu formi.
Fyrir samfellt fall sem er skilgreint á bili $[a, b],$ fæst nálgun á flatarmáli svæðisins með því að skipta bilinu í n jafnlöng hlutbil, reisa rétthyrning á hverju hlutbili þannig að hann nái upp að grafi fallsins, reikna flatarmál rétthyrninganna og leggja þau saman.
Breidd hvers rétthyrnings er $Δ x = \frac{b - a}{n} .$
Riemann-summur eru segðir á forminu $\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x,$ og má nota þær til að nálga flatarmálið undir ferlinum $y = f (x) .$ Nálganir með vinstri og hægri endapunktum eru sérstakar gerðir Riemann-summa þar sem gildin ${x_{i}^{*}}$ eru valin sem vinstri eða hægri endapunktar hlutbilanna, eftir því sem við á.
Riemann-summur veita mikið svigrúm til að velja punktamengið ${x_{i}^{*}}$ sem fallgildin eru reiknuð í, oft með það að markmiði að fá neðri eða efri summu.

1.2 Ákveðna heildið

Ákveðið heildi má nota til að reikna formerkt flatarmál, það er flatarmálið ofan við x-ásinn að frádregnu flatarmálinu neðan við x-ásinn. Formerkt flatarmál getur verið jákvætt, neikvætt eða núll.
Hlutar ákveðins heildis eru heildisstofninn, heildunarbreytan og heildismörkin.
Samfelld föll á lokuðu bili eru heildanleg. Ósamfelld föll geta þó einnig verið heildanleg, eftir eðli ósamfellnanna.
Nota má reiknireglur ákveðinna heilda til að reikna heildi.
Reikna má flatarmálið undir gröfum margra falla með rúmfræðilegum formúlum.
Reikna má meðalgildi falls með ákveðnum heildum.

1.3 Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar

Meðalgildissetningin fyrir heildi segir að fyrir samfellt fall á lokuðu bili sé til gildi c þannig að $f (c)$ sé jafnt meðalgildi fallsins. Sjá: Meðalgildissetningin fyrir heildi.
Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar, 1. hluti, sýnir tengsl afleiðu og heildis. Sjá: Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar, 1. hluti.
Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar, 2. hluti, gefur formúlu til að reikna ákveðið heildi út frá stofnfalli heildisstofnsins. Heildarflatarmálið undir grafi má finna með þessari formúlu. Sjá: Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar, 2. hluti.

1.4 Heildunarreglur og setningin um heildarbreytingu

Setningin um heildarbreytingu segir að þegar stærð breytist sé lokagildi hennar jafnt upphafsgildinu að viðbættu heildi breytingarhraðans. Heildarbreytingin getur verið jákvæð tala, neikvæð tala eða núll.
Flatarmálið undir jöfnu falli á samhverfu bili má reikna með því að tvöfalda flatarmálið á jákvæða hluta x-ássins. Fyrir oddstætt fall er heildið yfir samhverfu bili núll, því helmingur svæðisins gefur neikvætt formerkt flatarmál.

1.5 Innsetning

Innsetning er aðferð sem einfaldar heildun falla sem fást með beitingu keðjureglunnar við deildun. Hugtakið „innsetning“ vísar til þess að skipta um breytu eða setja breytuna u og deildið du í stað viðeigandi segða í heildisstofninum.
Þegar innsetning er notuð í ákveðnu heildi þarf einnig að breyta heildismörkunum.

1.6 Heildi sem innihalda vísis- og lograföll

Vísis- og lograföll koma fyrir í margvíslegum hagnýtum viðfangsefnum, einkum þeim sem snúa að vexti og hrörnun.
Innsetning er oft notuð til að reikna heildi sem innihalda vísisföll eða logra.

1.7 Heildi sem skila andhverfum hornaföllum

Formúlur fyrir afleiður andhverfra hornafalla sem leiddar voru út í kaflanum Afleiður vísis- og lografalla leiða beint af sér heildunarreglur fyrir andhverf hornaföll.
Notið formúlurnar í reglunni um heildi sem skila andhverfum hornaföllum til að finna rétta formið og gerið nauðsynlegar breytingar til að leysa verkefnið.
Oft þarf að nota innsetningu til að koma heildisstofninum á rétt form.

11 Heildun

Meginatriði

1.1 Nálgun á flatarmáli

Summutákn á forminu $\sum_{i = 1}^{n} a_{i}$ má nota til að tákna langar summur gilda á knöppu formi.
Fyrir samfellt fall sem er skilgreint á bili $[a, b],$ fæst nálgun á flatarmáli svæðisins með því að skipta bilinu í n jafnlöng hlutbil, reisa rétthyrning á hverju hlutbili þannig að hann nái upp að grafi fallsins, reikna flatarmál rétthyrninganna og leggja þau saman.
Breidd hvers rétthyrnings er $Δ x = \frac{b - a}{n} .$
Riemann-summur eru segðir á forminu $\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x,$ og má nota þær til að nálga flatarmálið undir ferlinum $y = f (x) .$ Nálganir með vinstri og hægri endapunktum eru sérstakar gerðir Riemann-summa þar sem gildin ${x_{i}^{*}}$ eru valin sem vinstri eða hægri endapunktar hlutbilanna, eftir því sem við á.
Riemann-summur veita mikið svigrúm til að velja punktamengið ${x_{i}^{*}}$ sem fallgildin eru reiknuð í, oft með það að markmiði að fá neðri eða efri summu.

1.2 Ákveðna heildið

Ákveðið heildi má nota til að reikna formerkt flatarmál, það er flatarmálið ofan við x-ásinn að frádregnu flatarmálinu neðan við x-ásinn. Formerkt flatarmál getur verið jákvætt, neikvætt eða núll.
Hlutar ákveðins heildis eru heildisstofninn, heildunarbreytan og heildismörkin.
Samfelld föll á lokuðu bili eru heildanleg. Ósamfelld föll geta þó einnig verið heildanleg, eftir eðli ósamfellnanna.
Nota má reiknireglur ákveðinna heilda til að reikna heildi.
Reikna má flatarmálið undir gröfum margra falla með rúmfræðilegum formúlum.
Reikna má meðalgildi falls með ákveðnum heildum.

1.3 Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar

Meðalgildissetningin fyrir heildi segir að fyrir samfellt fall á lokuðu bili sé til gildi c þannig að $f (c)$ sé jafnt meðalgildi fallsins. Sjá: Meðalgildissetningin fyrir heildi.
Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar, 1. hluti, sýnir tengsl afleiðu og heildis. Sjá: Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar, 1. hluti.
Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar, 2. hluti, gefur formúlu til að reikna ákveðið heildi út frá stofnfalli heildisstofnsins. Heildarflatarmálið undir grafi má finna með þessari formúlu. Sjá: Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar, 2. hluti.

1.4 Heildunarreglur og setningin um heildarbreytingu

Setningin um heildarbreytingu segir að þegar stærð breytist sé lokagildi hennar jafnt upphafsgildinu að viðbættu heildi breytingarhraðans. Heildarbreytingin getur verið jákvæð tala, neikvæð tala eða núll.
Flatarmálið undir jöfnu falli á samhverfu bili má reikna með því að tvöfalda flatarmálið á jákvæða hluta x-ássins. Fyrir oddstætt fall er heildið yfir samhverfu bili núll, því helmingur svæðisins gefur neikvætt formerkt flatarmál.

1.5 Innsetning

Innsetning er aðferð sem einfaldar heildun falla sem fást með beitingu keðjureglunnar við deildun. Hugtakið „innsetning“ vísar til þess að skipta um breytu eða setja breytuna u og deildið du í stað viðeigandi segða í heildisstofninum.
Þegar innsetning er notuð í ákveðnu heildi þarf einnig að breyta heildismörkunum.

1.6 Heildi sem innihalda vísis- og lograföll

Vísis- og lograföll koma fyrir í margvíslegum hagnýtum viðfangsefnum, einkum þeim sem snúa að vexti og hrörnun.
Innsetning er oft notuð til að reikna heildi sem innihalda vísisföll eða logra.

1.7 Heildi sem skila andhverfum hornaföllum

Formúlur fyrir afleiður andhverfra hornafalla sem leiddar voru út í kaflanum Afleiður vísis- og lografalla leiða beint af sér heildunarreglur fyrir andhverf hornaföll.
Notið formúlurnar í reglunni um heildi sem skila andhverfum hornaföllum til að finna rétta formið og gerið nauðsynlegar breytingar til að leysa verkefnið.
Oft þarf að nota innsetningu til að koma heildisstofninum á rétt form.