1.3 Undirstöðusetning stærðfræðigreiningarinnar

Skoðið tvo íþróttamenn sem hlaupa með breytilegum hröðum $v_1\left(t\right)$ og $v_2\left(t\right).$ Hlaupararnir hefja og ljúka keppni nákvæmlega á sama tíma. Útskýrið hvers vegna þeir hljóta einhvern tímann að hlaupa með sama hraða.

Tveir fjallgöngumenn hefja göngu sína í grunnbúðum, fara tvær ólíkar leiðir, aðra brattari en hina, og koma nákvæmlega samtímis á tindinn. Er víst að til sé tímapunktur þegar báðir hækka sig með sama hraða?

Til að aka inn á tiltekinn veggjaldaveg þarf ökumaður að taka kort sem tilgreinir mílumerkið við innkeyrsluna. Kortið er einnig tímastimplað. Þegar ökumaðurinn greiðir veggjaldið við útkeyrsluna verður hann hissa þegar hann fær hraðasekt með reikningnum. Útskýrið hvernig þetta getur gerst.

Setjið $F\left(x\right)={\displaystyle {\int }_1^x\left(1-t\right)dt}.$ Finnið $F^{\prime }\text{(}2)$ og meðalgildi $F^{\text{′}}$ á $\left[1,2\right].$

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_1^x{e}^{\text{−}{t}^2}dt}$

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_1^x{e}^{\text{cos}t}dt}$

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_3^x\sqrt{9-y^2}dy}$

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_3^x\frac{ds}{\sqrt{16-s^2}}}$

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_x^{2x}tdt}$

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_0^{\sqrt{x}}tdt}$

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_0^{\text{sin}x}\sqrt{1-t^2}dt}$

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_{\text{cos}x}^1\sqrt{1-t^2}dt}$

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_1^{\sqrt{x}}\frac{t^2}{1+t^4}dt}$

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_1^{x^2}\frac{\sqrt{t}}{1+t}dt}$

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_0^{\text{ln}x}{e}^{t}dt}$

$\frac{d}{dx}{\displaystyle {\int }_1^{e^x}\text{ln}{u}^{2}du}$

Hér er sýnt graf $y={\displaystyle {\int }_0^{x}f(t)dt,}$ þar sem f er hlutskilgreint fastafall.

1. Á hvaða bilum er f jákvætt? Á hvaða bilum er það neikvætt? Á hvaða bilum, ef einhverjum, er það jafnt núlli?
2. Hver eru hágildi og lágildi f?
3. Hvert er meðalgildi f?

Hér er sýnt graf $y={\displaystyle {\int }_0^{x}f(t)dt,}$ þar sem f er hlutskilgreint fastafall.

1. Á hvaða bilum er f jákvætt? Á hvaða bilum er það neikvætt? Á hvaða bilum, ef einhverjum, er það jafnt núlli?
2. Hver eru hágildi og lágildi f?
3. Hvert er meðalgildi f?

Hér er sýnt graf $y={\displaystyle {\int }_0^x\ell (t)dt,}$ þar sem ℓ er hlutskilgreint línulegt fall.

1. Á hvaða bilum er ℓ jákvætt? Á hvaða bilum er það neikvætt? Á hvaða bilum, ef einhverjum, er það jafnt núlli?
2. Á hvaða bilum er ℓ vaxandi? Á hvaða bilum er það minnkandi? Á hvaða bilum, ef einhverjum, er það fast?
3. Hvert er meðalgildi ℓ?

Hér er sýnt graf $y={\displaystyle {\int }_0^x\ell (t)dt,}$ þar sem ℓ er hlutskilgreint línulegt fall.

1. Á hvaða bilum er ℓ jákvætt? Á hvaða bilum er það neikvætt? Á hvaða bilum, ef einhverjum, er það jafnt núlli?
2. Á hvaða bilum er ℓ vaxandi? Á hvaða bilum er það minnkandi? Á hvaða bilum, ef einhverjum, er það fast?
3. Hvert er meðalgildi ℓ?

[T] $y=x^2$ á $\left[0,4\right]$

[T] $y=x^3+6x^2+x-5$ á $\left[\mathrm{-4},2\right]$

[T] $y=\sqrt{x^3}$ á $\left[0,6\right]$

[T] $y=\sqrt{x}+x^2$ á $\left[1,9\right]$

[T] ${\displaystyle \int (\text{cos}x-\text{sin}x)dx}$ á $\left[0,\pi \right]$

[T] ${\displaystyle \int \frac{4}{x^2}dx}$ á $\left[1,4\right]$

${\displaystyle {\int }_{\mathrm{-1}}^2\left(x^2-3x\right)dx}$

${\displaystyle {\int }_{\mathrm{-2}}^3\left(x^2+3x-5\right)dx}$

${\displaystyle {\int }_{\mathrm{-2}}^3\left(t+2\right)\left(t-3\right)dt}$

${\displaystyle {\int }_2^3\left(t^2-9\right)\left(4-t^2\right)dt}$

${\displaystyle {\int }_1^2{x}^{9}dx}$

${\displaystyle {\int }_0^1{x}^{99}dx}$

${\displaystyle {\int }_4^8\left(4t^{5\text{/}2}-3t^{3\text{/}2}\right)dt}$

${\displaystyle {\int }_{1\text{/}4}^4\left(x^2-\frac{1}{x^2}\right)dx}$

${\displaystyle {\int }_1^2\frac{2}{x^3}dx}$

${\displaystyle {\int }_1^4\frac{1}{2\sqrt{x}}dx}$

${\displaystyle {\int }_1^4\frac{2-\sqrt{t}}{t^2}dt}$

${\displaystyle {\int }_1^{16}\frac{dt}{t^{1\text{/}4}}}$

${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }\text{cos}\theta d\theta }$

${\displaystyle {\int }_0^{\pi \text{/}2}\text{sin}\theta d\theta }$

${\displaystyle {\int }_0^{\pi \text{/}4}{\text{sec}}^2\theta d\theta }$

${\int }_0^{\pi \text{/}4}\text{sec}\theta \text{tan}\theta d\theta$

${\displaystyle {\int }_{\pi \text{/}3}^{\pi \text{/}4}\text{csc}\theta \text{cot}\theta d\theta }$

${\displaystyle {\int }_{\pi \text{/}4}^{\pi \text{/}2}{\text{csc}}^2\theta d\theta }$

${\displaystyle {\int }_1^2\left(\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t^3}\right)dt}$

${\displaystyle {\int }_{\mathrm{-2}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t^3}\right)dt}$

${\displaystyle {\int }_a^x{t}^{2}dt}$

${\displaystyle {\int }_1^x{e}^{t}dt}$

${\displaystyle {\int }_0^x\text{cos}tdt}$

${\displaystyle {\int }_{\text{−}x}^x\text{sin}tdt}$

${\displaystyle {\int }_{\mathrm{-2}}^3\left|x\right|dx}$

${\displaystyle {\int }_{\mathrm{-2}}^4\left|t^2-2t-3\right|dt}$

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }\left|\text{cos}t\right|dt}$

${\displaystyle {\int }_{\text{−}\pi \text{/}2}^{\pi \text{/}2}\left|\text{sin}t\right|dt}$

Gerum ráð fyrir að fjöldi birtustunda tiltekinn dag í Seattle sé líknaður með fallinu $\mathrm{-3.75}\text{cos}\left(\frac{\pi t}{6}\right)+12.25,$ þar sem t er gefið í mánuðum og $t=0$ samsvarar vetrarsólstöðum.

1. Hver er meðalfjöldi birtustunda á sólarhring yfir eitt ár?
2. Á hvaða tímum t₁ og t₂, þar sem $0\le t_1<t_2<12,$ er fjöldi birtustunda jafn meðalfjöldanum?
3. Ritið heildi sem táknar heildarfjölda birtustunda í Seattle milli $t_1$ og $t_2.$
4. Reiknið meðalfjölda birtustunda í Seattle milli $t_1$ og $t_2,$ þar sem $0\le t_1<t_2<12,$ og síðan milli $t_2$ og $t_1,$ og sýnið að meðaltal þessara tveggja gilda sé jafnt meðallengd dags.

Gerum ráð fyrir að líkna megi notkunarhraða bensíns yfir heilt ár í Bandaríkjunum með sínuslaga falli á forminu $\left(11.21-\text{cos}\left(\frac{\pi t}{6}\right)\right)\times {10}^9$ gallon/mánuði.

1. Hver er meðalnotkunin á mánuði og fyrir hvaða gildi t er notkunarhraðinn á tíma t jafn meðalhraðanum?
2. Hve mörg gallon af bensíni eru notuð í Bandaríkjunum á einu ári?
3. Ritið heildi sem táknar meðalnotkun bensíns á mánuði í Bandaríkjunum á þeim hluta ársins sem liggur milli byrjunar apríl $(t=3)$ og loka september $(t=9\text{).}$

Útskýrið hvers vegna, ef f er samfellt á $\left[a,b\right],$ útskýrið hvers vegna til er að minnsta kosti einn punktur $c\in \left[a,b\right]$ þannig að $f\left(c\right)=\frac{1}{b-a}{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(t\right)dt}.$

Útskýrið hvers vegna, ef f er samfellt á $\left[a,b\right]$ og er ekki fastafall, útskýrið hvers vegna til er að minnsta kosti einn punktur $M\in \left[a,b\right]$ þannig að $f\left(M\right)>\frac{1}{b-a}{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(t\right)dt}$ og að minnsta kosti einn punktur $m\in \left[a,b\right]$ þannig að $f\left(m\right)<\frac{1}{b-a}{\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(t\right)dt}.$

Fyrsta lögmál Keplers segir að reikistjörnur gangi um sólu á sporbaugsbrautum og að sólin sé í öðrum brennipunkti hverrar brautar. Sá punktur brautar reikistjörnu sem er næstur sólu kallast sólnánd. Jörðin er nú í sólnánd um 3. janúar. Fjarlægasti punkturinn kallast sólfirrð en Jörðin er nú í sólfirrð um 4. júlí. Annað lögmál Keplers segir að reikistjörnur sópi yfir jafnstór svæði á sporbaugsbraut sinni á jafnlöngum tíma. Það tekur því jafnlángan tíma að fara eftir hvorum boganna tveggja sem merktir eru á eftirfarandi mynd. Á hvaða árstíma fer Jörðin hraðast eftir braut sinni? Hvenær fer hún hægast?

Punktur á sporbaug með lengd stóráss 2a og lengd skammáss 2b hefur hnitin $\left(a\text{cos}\theta ,b\text{sin}\theta \right),0\le \theta \le 2\pi .$

1. Sýnið að fjarlægðin frá þessum punkti til brennipunktsins $\left(\text{−}c,0\right)$ sé $d\left(\theta \right)=a+c\text{cos}\theta ,$ þar sem $c=\sqrt{a^2-b^2}.$
2. Notið þessi hnit til að sýna að meðalfjarlægðin $\bar{d}$ frá punkti á sporbaugnum til brennipunktsins $\left(\text{−}c,0\right),$ reiknuð með tilliti til hornsins θ sé a.

Eins og áður kom fram er braut Jarðar samkvæmt lögmálum Keplers sporbaugur með sólina í öðrum brennipunktinum. Í sólnánd er fjarlægð Jarðar frá sólu 147,098,290 km og í sólfirrð er hún 152,098,232 km.

1. Leggið stórásinn eftir x-ásnum og finnið meðalfjarlægð Jarðar frá sólu.
2. Samkvæmt hefðbundinni skilgreiningu er stjarnfræðieining (SE) fjarlægðin frá Jörðu til sólar og gildi hennar var skilgreint sem meðaltal fjarlægðanna við sólnánd og sólfirrð. Er þessi skilgreining réttlætanleg?

Þyngdaraðdráttarkrafturinn milli sólar og reikistjörnu er $F\left(\theta \right)=\frac{GmM}{r^2\left(\theta \right)},$ þar sem m er massi reikistjörnunnar, M er massi sólar, G er algildur fasti og $r\left(\theta \right)$ er fjarlægðin milli sólar og reikistjörnunnar þegar reikistjarnan myndar hornið θ við stórás brautar sinnar. Gerið ráð fyrir að M, m og sporbaugsstærðirnar a og b (hálflengdir stóráss og skammáss) séu gefnar. Setjið fram, en reiknið ekki, heildi sem gefur meðalþyngdaraðdráttarkraftinn milli sólar og reikistjörnunnar sem fall af $G,m,M,a,b$.

Frávik frá jafnvægisstöðu massa sem festur er við gorm uppfyllir jöfnu einfaldrar sveifluhreyfingar $x\left(t\right)=A\text{cos}\left(\omega t-\varphi \right),$ þar sem $\varphi$ er fasafasti, ω er horntíðnin og A er útslagið. Finnið meðalhraða, meðalferð, meðalfrávik og meðalfjarlægð frá jafnvægisstöðu massans. Ferð er stærð hraða og fjarlægð er stærð fráviks.