33 Margliðu- og ræð föll

Meginatriði

3.1 Tvinntölur

Rita má kvaðratrót sérhverrar neikvæðrar tölu sem margfeldi af $i .$ Sjá dæmi 1.
Til að merkja tvinntölu í hnitakerfi notum við tvo talnaása sem skerast og mynda tvinntalnaplanið. Lárétti ásinn er raunásinn og lóðrétti ásinn þverásinn. Sjá dæmi 2.
Leggja má saman tvinntölur og draga aðra frá annarri með því að sameina raunhlutana annars vegar og þverhlutana hins vegar. Sjá dæmi 3.
Margfalda má og deila tvinntölum.
Þegar tvinntölur eru margfaldaðar er margfaldað inn í sviga eins og þegar margliður eru margfaldaðar. Sjá dæmi 4, dæmi 5 og dæmi 8.
Þegar tvinntölum er deilt eru bæði teljari og nefnari margfaldaðir með samoku nefnarans til að fá rauntölu í nefnarann. Sjá dæmi 6, dæmi 7 og dæmi 9.
Veldi $i$ endurtaka sig í lotu sem er fjögur veldi að lengd. Sjá dæmi 10.

3.2 Annars stigs föll

Margliðufall af öðru stigi kallast annars stigs fall.
Graf annars stigs falls er fleygbogi. Fleygbogi er U-laga ferill sem getur opnast upp eða niður.
Samhverfuásinn er lóðrétta línan sem liggur í gegnum hvirfilpunktinn. Núllstöðvar fallsins eru x-hnit punktanna þar sem fleygboginn mætir x-ásnum. Skurðpunkturinn við y-ásinn er punkturinn þar sem fleygboginn sker y-ásinn. Sjá dæmi 1, dæmi 7 og dæmi 8.
Annars stigs föll eru oft rituð á almennu formi. Staðlað form, eða hvirfilpunktsform, auðveldar að finna hvirfilpunkt fleygbogans. Rita má hvort formið sem er út frá grafi. Sjá dæmi 2.
Finna má hvirfilpunkt út frá jöfnu annars stigs falls. Sjá dæmi 3.
Skilgreiningarmengi annars stigs falls er mengi allra rauntalna. Myndmengið ræðst af fallinu. Sjá dæmi 4.
Lággildi eða hágildi annars stigs falls er $y -$ hnit hvirfilpunktsins.
Nota má lággildi eða hágildi annars stigs falls til að ákvarða myndmengi fallsins og leysa margs konar raunhæf verkefni, meðal annars um flatarmál og tekjur. Sjá dæmi 5 og dæmi 6.
Nota má lausnarformúluna til að leysa annars stigs jöfnur, einnig þegar ekki er auðvelt að þátta þær. Sjá dæmi 9.
Greina má hvirfilpunkt og skurðpunkta og túlka þá til að leysa raunhæf verkefni. Sjá dæmi 10.

3.3 Veldisföll og margliðuföll

Veldisfall er fall á forminu f(x) = kx^p, þar sem k er fasti sem er ekki núll og p er fastur veldisvísir. Sjá dæmi 1.
Hegðun grafs þegar inntakið minnkar eða eykst án takmarka kallast endahegðun.
Endahegðun veldisfalls með jákvæðum heiltöluveldisvísi ræðst bæði af því hvort veldisvísirinn er slétt tala eða oddatala og af formerki stuðulsins. Sjá dæmi 2 og dæmi 3.
Margliðufall er summa endanlega margra liða. Hver liður er margfeldi rauntölustuðuls og breytu í heiltöluveldi sem er núll eða stærra. Sjá dæmi 4.
Stig margliðufalls sem er ekki núllfallið er hæsti veldisvísir breytunnar sem kemur fyrir með stuðli öðrum en núlli. Liðurinn með þennan veldisvísi kallast forystuliður og stuðull hans kallast forystustuðull. Sjá dæmi 5.
Endahegðun margliðufalls er sú sama og endahegðun veldisfallsins sem forystuliður fallsins lýsir. Sjá dæmi 6 og dæmi 7.
Graf margliðufalls af stigi n, þar sem n ≥ 1, hefur í mesta lagi n skurðpunkta við x-ásinn og í mesta lagi n − 1 snúningspunkta. Sjá dæmi 8, dæmi 9, dæmi 10, dæmi 11 og dæmi 12.

3.4 Gröf margliðufalla

Margliðuföll af stigi 2 eða hærra eru slétt og samfelld. Sjá dæmi 1.
Ef þátta má margliðufall finnast núllstöðvar þess með því að þátta fallið og setja hvern þátt jafnan núlli. Sjá dæmi 2, dæmi 3, og dæmi 4.
Önnur leið til að finna skurðpunkta grafs margliðufalls við x-ásinn er að teikna grafið og finna punktana þar sem það mætir ásnum. Sjá dæmi 5.
Margfeldni núllstöðvar ákvarðar hegðun grafsins við samsvarandi punkt á x-ásnum. Sjá dæmi 6.
Graf margliðu sker lárétta ásinn í núllstöð þar sem margfeldnin er oddatala.
Graf margliðu snertir lárétta ásinn í núllstöð þar sem margfeldnin er slétt tala.
Endahegðun margliðufalls ræðst af forystuliðnum.
Graf margliðufalls breytir um stefnu í snúningspunktum sínum.
Graf margliðufalls af stigi n, þar sem n ≥ 1, hefur í mesta lagi n − 1 snúningspunkta. Sjá dæmi 7.
Til að teikna graf margliðufalls eru núllstöðvar og margfeldni þeirra fundnar, endahegðunin ákvörðuð og tryggt að lokagrafið hafi í mesta lagi $n - 1$ snúningspunkta. Sjá dæmi 8 og dæmi 10.
Með grafi margliðufalls má nálga staðbundin og algild útgildi. Sjá dæmi 11.
Milligildissetningin tryggir að ef fallið f er samfellt á lokaða bilinu [a, b] og f(a) og f(b) hafa gagnstæð formerki, þá er til að minnsta kosti ein tala c milli a og b þannig að f(c) = 0. Sjá dæmi 9.

3.5 Deiling margliða

Nota má langdeilingu til að deila margliðu með margliðu af sama eða lægra stigi, að því gefnu að deilirinn sé ekki núllmargliðan. Sjá dæmi 1 og dæmi 2.
Samkvæmt deilingarreikniritinu má rita margliðuna sem deilt er í sem margfeldi deilis og deilingarútkomu að viðbættum afgangi.
Deiling með reikniriti Horners er stytt aðferð til að deila margliðu með tvíliðu á forminu $x - k .$ Sjá dæmi 3, dæmi 4, og dæmi 5.
Nota má deilingu margliða til að leysa hagnýt verkefni, meðal annars um flatarmál og rúmmál. Sjá dæmi 6.

3.6 Núllstöðvar margliðufalla

Til að finna $f (k),$ finnið afganginn þegar margliðunni $f (x)$ er deilt með $x - k .$ Sjá dæmi 1.
$k$ er núllstöð $f (x)$ þá og því aðeins að $(x - k)$ sé þáttur í $f (x) .$ Sjá dæmi 2.
Sérhverja ræða núllstöð margliðufalls með heiltölustuðla má rita sem brot þar sem teljarinn er heiltöluþáttur fastaliðarins og nefnarinn er heiltöluþáttur forystustuðulsins. Sjá dæmi 3 og dæmi 4.
Ef stuðlar margliðunnar eru heiltölur og forystustuðullinn er 1, eru allar ræðar núllstöðvar hennar heiltölur sem ganga upp í fastaliðinn.
Nota má deilingu með reikniriti Horners til að finna núllstöðvar margliðufalls. Sjá dæmi 5.
Samkvæmt undirstöðusetningu algebrunnar hefur sérhvert margliðufall af jákvæðu stigi að minnsta kosti eina núllstöð sem er tvinntala. Sjá dæmi 6.
Sérhvert margliðufall af stigi stærra en 0 hefur að minnsta kosti eina núllstöð sem er tvinntala.
Sérhvert margliðufall af jákvæðu stigi má rita sem margfeldi forystustuðulsins og jafnmargra línulegra þátta og stig þess segir til um, að teknu tilliti til margfeldni. Hver línulegur þáttur er á forminu (x − c), þar sem c er tvinntala. Sjá dæmi 7.
Fjöldi jákvæðra núllstöðva margliðufalls sem eru rauntölur, talinn með margfeldni, er jafn fjölda formerkjaskipta í stuðlaröðinni eða lægri um slétta heiltölu. Stuðlarnir eru skoðaðir í lækkandi veldaröð og núllstuðlum sleppt.
Fjöldi neikvæðra núllstöðva margliðufalls sem eru rauntölur, talinn með margfeldni, er jafn fjölda formerkjaskipta í stuðlaröð margliðunnar f(−x) eða lægri um slétta heiltölu. Stuðlarnir eru skoðaðir í lækkandi veldaröð og núllstuðlum sleppt. Sjá dæmi 8.
Margliðujöfnur lýsa mörgum raunhæfum aðstæðum. Reiknirit Horners getur auðveldað lausn þeirra. Sjá dæmi 9.

3.7 Ræð föll

Nota má örvarithátt til að lýsa staðbundinni hegðun og endahegðun grunnfallanna $f (x) = \frac{1}{x}$ og $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ . Sjá dæmi 1.
Ef gildi falls nálgast fasta tölu þegar inntakið stefnir á jákvætt eða neikvætt óendanlegt, hefur graf þess láfellu. Fall getur haft fleiri en eina lóðfellu. Sjá dæmi 2.
Hagnýt verkefni um hraða og styrk fela oft í sér ræð föll. Sjá dæmi 3.
Skilgreiningarmengi ræðs falls inniheldur allar rauntölur nema þær sem gera nefnarann jafnan núlli. Sjá dæmi 4.
Til að finna lóðfellur ræðs falls eru sameiginlegir þættir teljara og nefnara fyrst styttir út. Lóðfellurnar eru við núllstöðvar nefnarans í fullstyttu brotinu. Sjá dæmi 5.
Afmáanlegur sérstöðupunktur getur komið fram á grafi ræðs falls ef inntak gerir bæði teljara og nefnara jafna núlli. Sjá dæmi 6.
Endahegðun ræðs falls fylgir endahegðun hlutfalls forystuliða teljara- og nefnarafallanna. Sjá dæmi 7, dæmi 8, dæmi 9 og dæmi 10.
Til að teikna graf ræðs falls eru skurðpunktar við hnitása og fellur fundin. Síðan er hegðun grafsins við skurðpunktana og fellurnar skoðuð ásamt endahegðun þess. Sjá dæmi 11.
Ef teljari og nefnari ræðs falls í fullstyttu formi þáttast að fullu í línulega þætti með rauntölustuðlum, má rita fallið á forminu hér að neðan. Tölurnar x₁, …, x_n eru núllstöðvar fallsins og lóðfellurnar eru við x = v₁, …, v_m. Engin núllstöð er jöfn neinu þessara v-gilda. Stuðullinn a er ekki núll. Veldisvísarnir eru jákvæðar heiltölur og tákna margfeldni viðkomandi þátta.
Sjá dæmi 12.
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} f (x) = a \frac{{(x - x_{1})}^{p_{1}} {(x - x_{2})}^{p_{2}} \dots {(x - x_{n})}^{p_{n}}}{{(x - v_{1})}^{q_{1}} {(x - v_{2})}^{q_{2}} \dots {(x - v_{m})}^{q_{m}}} \end{array} \end{array}$

3.8 Andhverf föll og rótaföll

Þegar skilgreiningarmengi annars stigs falls er takmarkað við aðra hlið hvirfilpunktsins, að honum meðtöldum, er andhverfa þess kvaðratrótarfall.
Ef $f^{- 1}$ er andhverfa falls $f,$ þá er $f$ andhverfa fallsins $f^{- 1}$ . Sjá dæmi 1.
Margliðufall hefur andhverft fall á skilgreiningarmengi sínu ef það er eintækt þar. Fyrir sum einföld margliðuföll má finna skýra formúlu fyrir andhverfuna. Sjá dæmi 2.
Til að finna andhverfu tiltekinna falla verður að takmarka fallið við skilgreiningarmengi þar sem það er eintækt. Sjá dæmi 3 og dæmi 4.
Skilgreiningarmengi andhverfs falls er myndmengi upprunalega fallsins. Þessa takmörkun þarf að varðveita þegar formúla fyrir andhverfu rótarfalls er fundin. Sjá dæmi 5 og dæmi 7.
Nota má andhverf föll og rótaföll til að leysa hagnýt verkefni. Sjá dæmi 6 og dæmi 8.

3.9 Líkön gerð með hlutföllum

Tengsl þar sem ein stærð fæst með því að margfalda fasta með annarri stærð kallast beint hlutfall. Sjá dæmi 1.
Tvær breytur sem eru í beinu hlutfalli hvor við aðra hafa fast hlutfall.
Tengsl þar sem ein stærð fæst með því að deila fasta með annarri stærð kallast öfugt hlutfall. Sjá dæmi 2.
Tvær breytur sem eru í öfugu hlutfalli hvor við aðra hafa fast margfeldi. Sjá dæmi 3.
Í mörgum verkefnum er breyta í beinu eða öfugu hlutfalli við fleiri en eina breytu. Slík tengsl kallast sameiginlegt hlutfall. Sjá dæmi 4.

33 Margliðu- og ræð föll

Meginatriði

3.1 Tvinntölur

Rita má kvaðratrót sérhverrar neikvæðrar tölu sem margfeldi af $i .$ Sjá dæmi 1.
Til að merkja tvinntölu í hnitakerfi notum við tvo talnaása sem skerast og mynda tvinntalnaplanið. Lárétti ásinn er raunásinn og lóðrétti ásinn þverásinn. Sjá dæmi 2.
Leggja má saman tvinntölur og draga aðra frá annarri með því að sameina raunhlutana annars vegar og þverhlutana hins vegar. Sjá dæmi 3.
Margfalda má og deila tvinntölum.
Þegar tvinntölur eru margfaldaðar er margfaldað inn í sviga eins og þegar margliður eru margfaldaðar. Sjá dæmi 4, dæmi 5 og dæmi 8.
Þegar tvinntölum er deilt eru bæði teljari og nefnari margfaldaðir með samoku nefnarans til að fá rauntölu í nefnarann. Sjá dæmi 6, dæmi 7 og dæmi 9.
Veldi $i$ endurtaka sig í lotu sem er fjögur veldi að lengd. Sjá dæmi 10.

3.2 Annars stigs föll

Margliðufall af öðru stigi kallast annars stigs fall.
Graf annars stigs falls er fleygbogi. Fleygbogi er U-laga ferill sem getur opnast upp eða niður.
Samhverfuásinn er lóðrétta línan sem liggur í gegnum hvirfilpunktinn. Núllstöðvar fallsins eru x-hnit punktanna þar sem fleygboginn mætir x-ásnum. Skurðpunkturinn við y-ásinn er punkturinn þar sem fleygboginn sker y-ásinn. Sjá dæmi 1, dæmi 7 og dæmi 8.
Annars stigs föll eru oft rituð á almennu formi. Staðlað form, eða hvirfilpunktsform, auðveldar að finna hvirfilpunkt fleygbogans. Rita má hvort formið sem er út frá grafi. Sjá dæmi 2.
Finna má hvirfilpunkt út frá jöfnu annars stigs falls. Sjá dæmi 3.
Skilgreiningarmengi annars stigs falls er mengi allra rauntalna. Myndmengið ræðst af fallinu. Sjá dæmi 4.
Lággildi eða hágildi annars stigs falls er $y -$ hnit hvirfilpunktsins.
Nota má lággildi eða hágildi annars stigs falls til að ákvarða myndmengi fallsins og leysa margs konar raunhæf verkefni, meðal annars um flatarmál og tekjur. Sjá dæmi 5 og dæmi 6.
Nota má lausnarformúluna til að leysa annars stigs jöfnur, einnig þegar ekki er auðvelt að þátta þær. Sjá dæmi 9.
Greina má hvirfilpunkt og skurðpunkta og túlka þá til að leysa raunhæf verkefni. Sjá dæmi 10.

3.3 Veldisföll og margliðuföll

Veldisfall er fall á forminu f(x) = kx^p, þar sem k er fasti sem er ekki núll og p er fastur veldisvísir. Sjá dæmi 1.
Hegðun grafs þegar inntakið minnkar eða eykst án takmarka kallast endahegðun.
Endahegðun veldisfalls með jákvæðum heiltöluveldisvísi ræðst bæði af því hvort veldisvísirinn er slétt tala eða oddatala og af formerki stuðulsins. Sjá dæmi 2 og dæmi 3.
Margliðufall er summa endanlega margra liða. Hver liður er margfeldi rauntölustuðuls og breytu í heiltöluveldi sem er núll eða stærra. Sjá dæmi 4.
Stig margliðufalls sem er ekki núllfallið er hæsti veldisvísir breytunnar sem kemur fyrir með stuðli öðrum en núlli. Liðurinn með þennan veldisvísi kallast forystuliður og stuðull hans kallast forystustuðull. Sjá dæmi 5.
Endahegðun margliðufalls er sú sama og endahegðun veldisfallsins sem forystuliður fallsins lýsir. Sjá dæmi 6 og dæmi 7.
Graf margliðufalls af stigi n, þar sem n ≥ 1, hefur í mesta lagi n skurðpunkta við x-ásinn og í mesta lagi n − 1 snúningspunkta. Sjá dæmi 8, dæmi 9, dæmi 10, dæmi 11 og dæmi 12.

3.4 Gröf margliðufalla

Margliðuföll af stigi 2 eða hærra eru slétt og samfelld. Sjá dæmi 1.
Ef þátta má margliðufall finnast núllstöðvar þess með því að þátta fallið og setja hvern þátt jafnan núlli. Sjá dæmi 2, dæmi 3, og dæmi 4.
Önnur leið til að finna skurðpunkta grafs margliðufalls við x-ásinn er að teikna grafið og finna punktana þar sem það mætir ásnum. Sjá dæmi 5.
Margfeldni núllstöðvar ákvarðar hegðun grafsins við samsvarandi punkt á x-ásnum. Sjá dæmi 6.
Graf margliðu sker lárétta ásinn í núllstöð þar sem margfeldnin er oddatala.
Graf margliðu snertir lárétta ásinn í núllstöð þar sem margfeldnin er slétt tala.
Endahegðun margliðufalls ræðst af forystuliðnum.
Graf margliðufalls breytir um stefnu í snúningspunktum sínum.
Graf margliðufalls af stigi n, þar sem n ≥ 1, hefur í mesta lagi n − 1 snúningspunkta. Sjá dæmi 7.
Til að teikna graf margliðufalls eru núllstöðvar og margfeldni þeirra fundnar, endahegðunin ákvörðuð og tryggt að lokagrafið hafi í mesta lagi $n - 1$ snúningspunkta. Sjá dæmi 8 og dæmi 10.
Með grafi margliðufalls má nálga staðbundin og algild útgildi. Sjá dæmi 11.
Milligildissetningin tryggir að ef fallið f er samfellt á lokaða bilinu [a, b] og f(a) og f(b) hafa gagnstæð formerki, þá er til að minnsta kosti ein tala c milli a og b þannig að f(c) = 0. Sjá dæmi 9.

3.5 Deiling margliða

Nota má langdeilingu til að deila margliðu með margliðu af sama eða lægra stigi, að því gefnu að deilirinn sé ekki núllmargliðan. Sjá dæmi 1 og dæmi 2.
Samkvæmt deilingarreikniritinu má rita margliðuna sem deilt er í sem margfeldi deilis og deilingarútkomu að viðbættum afgangi.
Deiling með reikniriti Horners er stytt aðferð til að deila margliðu með tvíliðu á forminu $x - k .$ Sjá dæmi 3, dæmi 4, og dæmi 5.
Nota má deilingu margliða til að leysa hagnýt verkefni, meðal annars um flatarmál og rúmmál. Sjá dæmi 6.

3.6 Núllstöðvar margliðufalla

Til að finna $f (k),$ finnið afganginn þegar margliðunni $f (x)$ er deilt með $x - k .$ Sjá dæmi 1.
$k$ er núllstöð $f (x)$ þá og því aðeins að $(x - k)$ sé þáttur í $f (x) .$ Sjá dæmi 2.
Sérhverja ræða núllstöð margliðufalls með heiltölustuðla má rita sem brot þar sem teljarinn er heiltöluþáttur fastaliðarins og nefnarinn er heiltöluþáttur forystustuðulsins. Sjá dæmi 3 og dæmi 4.
Ef stuðlar margliðunnar eru heiltölur og forystustuðullinn er 1, eru allar ræðar núllstöðvar hennar heiltölur sem ganga upp í fastaliðinn.
Nota má deilingu með reikniriti Horners til að finna núllstöðvar margliðufalls. Sjá dæmi 5.
Samkvæmt undirstöðusetningu algebrunnar hefur sérhvert margliðufall af jákvæðu stigi að minnsta kosti eina núllstöð sem er tvinntala. Sjá dæmi 6.
Sérhvert margliðufall af stigi stærra en 0 hefur að minnsta kosti eina núllstöð sem er tvinntala.
Sérhvert margliðufall af jákvæðu stigi má rita sem margfeldi forystustuðulsins og jafnmargra línulegra þátta og stig þess segir til um, að teknu tilliti til margfeldni. Hver línulegur þáttur er á forminu (x − c), þar sem c er tvinntala. Sjá dæmi 7.
Fjöldi jákvæðra núllstöðva margliðufalls sem eru rauntölur, talinn með margfeldni, er jafn fjölda formerkjaskipta í stuðlaröðinni eða lægri um slétta heiltölu. Stuðlarnir eru skoðaðir í lækkandi veldaröð og núllstuðlum sleppt.
Fjöldi neikvæðra núllstöðva margliðufalls sem eru rauntölur, talinn með margfeldni, er jafn fjölda formerkjaskipta í stuðlaröð margliðunnar f(−x) eða lægri um slétta heiltölu. Stuðlarnir eru skoðaðir í lækkandi veldaröð og núllstuðlum sleppt. Sjá dæmi 8.
Margliðujöfnur lýsa mörgum raunhæfum aðstæðum. Reiknirit Horners getur auðveldað lausn þeirra. Sjá dæmi 9.

3.7 Ræð föll

Nota má örvarithátt til að lýsa staðbundinni hegðun og endahegðun grunnfallanna $f (x) = \frac{1}{x}$ og $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ . Sjá dæmi 1.
Ef gildi falls nálgast fasta tölu þegar inntakið stefnir á jákvætt eða neikvætt óendanlegt, hefur graf þess láfellu. Fall getur haft fleiri en eina lóðfellu. Sjá dæmi 2.
Hagnýt verkefni um hraða og styrk fela oft í sér ræð föll. Sjá dæmi 3.
Skilgreiningarmengi ræðs falls inniheldur allar rauntölur nema þær sem gera nefnarann jafnan núlli. Sjá dæmi 4.
Til að finna lóðfellur ræðs falls eru sameiginlegir þættir teljara og nefnara fyrst styttir út. Lóðfellurnar eru við núllstöðvar nefnarans í fullstyttu brotinu. Sjá dæmi 5.
Afmáanlegur sérstöðupunktur getur komið fram á grafi ræðs falls ef inntak gerir bæði teljara og nefnara jafna núlli. Sjá dæmi 6.
Endahegðun ræðs falls fylgir endahegðun hlutfalls forystuliða teljara- og nefnarafallanna. Sjá dæmi 7, dæmi 8, dæmi 9 og dæmi 10.
Til að teikna graf ræðs falls eru skurðpunktar við hnitása og fellur fundin. Síðan er hegðun grafsins við skurðpunktana og fellurnar skoðuð ásamt endahegðun þess. Sjá dæmi 11.
Ef teljari og nefnari ræðs falls í fullstyttu formi þáttast að fullu í línulega þætti með rauntölustuðlum, má rita fallið á forminu hér að neðan. Tölurnar x₁, …, x_n eru núllstöðvar fallsins og lóðfellurnar eru við x = v₁, …, v_m. Engin núllstöð er jöfn neinu þessara v-gilda. Stuðullinn a er ekki núll. Veldisvísarnir eru jákvæðar heiltölur og tákna margfeldni viðkomandi þátta.
Sjá dæmi 12.
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} f (x) = a \frac{{(x - x_{1})}^{p_{1}} {(x - x_{2})}^{p_{2}} \dots {(x - x_{n})}^{p_{n}}}{{(x - v_{1})}^{q_{1}} {(x - v_{2})}^{q_{2}} \dots {(x - v_{m})}^{q_{m}}} \end{array} \end{array}$

3.8 Andhverf föll og rótaföll

Þegar skilgreiningarmengi annars stigs falls er takmarkað við aðra hlið hvirfilpunktsins, að honum meðtöldum, er andhverfa þess kvaðratrótarfall.
Ef $f^{- 1}$ er andhverfa falls $f,$ þá er $f$ andhverfa fallsins $f^{- 1}$ . Sjá dæmi 1.
Margliðufall hefur andhverft fall á skilgreiningarmengi sínu ef það er eintækt þar. Fyrir sum einföld margliðuföll má finna skýra formúlu fyrir andhverfuna. Sjá dæmi 2.
Til að finna andhverfu tiltekinna falla verður að takmarka fallið við skilgreiningarmengi þar sem það er eintækt. Sjá dæmi 3 og dæmi 4.
Skilgreiningarmengi andhverfs falls er myndmengi upprunalega fallsins. Þessa takmörkun þarf að varðveita þegar formúla fyrir andhverfu rótarfalls er fundin. Sjá dæmi 5 og dæmi 7.
Nota má andhverf föll og rótaföll til að leysa hagnýt verkefni. Sjá dæmi 6 og dæmi 8.

3.9 Líkön gerð með hlutföllum

Tengsl þar sem ein stærð fæst með því að margfalda fasta með annarri stærð kallast beint hlutfall. Sjá dæmi 1.
Tvær breytur sem eru í beinu hlutfalli hvor við aðra hafa fast hlutfall.
Tengsl þar sem ein stærð fæst með því að deila fasta með annarri stærð kallast öfugt hlutfall. Sjá dæmi 2.
Tvær breytur sem eru í öfugu hlutfalli hvor við aðra hafa fast margfeldi. Sjá dæmi 3.
Í mörgum verkefnum er breyta í beinu eða öfugu hlutfalli við fleiri en eina breytu. Slík tengsl kallast sameiginlegt hlutfall. Sjá dæmi 4.