Gerum ráð fyrir að kostnaður við framleiðslu vöru fari eftir fjölda framleiddra eininga, Hann er gefinn með jöfnunni Til að finna meðalkostnað við framleiðslu eininga deilum við kostnaðarfallinu með fjölda eininga,
Meðalkostnaðarfallið, sem gefur meðalkostnað á hverja einingu þegar einingar eru framleiddar, er
Í mörgum öðrum hagnýtum verkefnum þarf að finna meðalgildi á sambærilegan hátt og þá birtast breytur í nefnara. Ef fallið er ritað án breytu í nefnara inniheldur það neikvætt heiltöluveldi.
Í síðustu hlutum höfum við unnið með margliðuföll, þar sem veldisvísarnir eru óneikvæðar heiltölur. Í þessum hluta skoðum við ræð föll, þar sem breytur geta komið fyrir í nefnara.
Örvaritháttur notaður
Við höfum þegar séð gröf grunnfallanna umhverfufalls og annars veldis umhverfufalls. Skoðið gröfin á mynd 1 og takið eftir nokkrum eiginleikum þeirra.
Ýmislegt kemur í ljós þegar graf fallsins er skoðað.
Á vinstri grein grafsins nálgast ferillinn x-ásinn
Þegar grafið nálgast frá vinstri fellur ferillinn, en þegar núll er nálgast frá hægri rís ferillinn.
Að lokum nálgast ferillinn á hægri grein grafsins x-ásinn
Í stuttu máli notum við örvarithátt til að sýna að eða stefni á tiltekið gildi. Sjá töflu 1.
Tákn
Merking
stefnir á frá vinstri ( en er nálægt )
stefnir á frá hægri ( en er nálægt )
stefnir á óendanlegt gildi ( vex án takmarka)
stefnir á mínus óendanlegt ( minnkar án takmarka)
fallgildið stefnir á óendanlegt gildi (fallgildið vex án takmarka)
fallgildið stefnir á mínus óendanlegt (fallgildið minnkar án takmarka)
fallgildið stefnir á
Staðbundin hegðun f ( x ) = (1)/(x)
Byrjum á að skoða umhverfufallið, Ekki má deila með núlli og því er fallið óskilgreint þegar núll er því ekki í skilgreiningarmenginu. Þegar inntaksgildin stefna á núll frá vinstri og eru neikvæð með sífellt minna tölugildi minnka fallgildin án takmarka, það er stefna á mínus óendanlegt. Þessi hegðun sést í töflu 2.
–0.1
–0.01
–0.001
–0.0001
–10
–100
–1000
–10,000
Með örvarithætti ritum við
Þegar inntaksgildin stefna á núll frá hægri og verða mjög litlar jákvæðar tölur vaxa fallgildin án takmarka, það er stefna á óendanlegt gildi. Þessi hegðun sést í töflu 3.
Þessi hegðun myndar lóðrétta aðfellu, eða lóðfellu, sem er lóðrétt lína sem grafið nálgast en fer aldrei yfir. Hér nálgast grafið lóðréttu línuna þegar inntakið nálgast núll. Sjá mynd 3.
Endahegðun f ( x ) = (1)/(x)
Þegar gildi stefna á óendanlegt gildi stefna fallgildin á 0. Þegar gildi stefna á mínus óendanlegt stefna fallgildin á 0. Sjá mynd 4. Með örvarithætti er þetta ritað
Af heildarhegðuninni og grafinu sést að fallið nálgast 0 en nær gildinu aldrei; grafið virðist fletjast út þegar inntaksgildin verða stór. Þessi hegðun myndar lárétta aðfellu, eða láfellu, sem er lárétt lína sem grafið nálgast þegar inntakið vex eða minnkar án takmarka. Hér nálgast grafið láréttu línuna Sjá mynd 5.
Dæmi 1
Örvaritháttur notaður
Notið örvarithátt til að lýsa endahegðun og staðbundinni hegðun fallsins sem sýnt er á mynd 6.
Mynd 6. Mynd 6
Lausn
Takið eftir að grafið sýnir lóðfellu við sem segir okkur að fallið sé óskilgreint þegar
Þegar inntaksgildin minnka án takmarka virðist grafið fletjast út við fallgildið 4, sem sýnir láfellu við Þegar inntaksgildin vaxa án takmarka fletst grafið einnig út við 4.
Dæmi 2
Rætt fall teiknað með ummyndunum
Teiknið skissu af grafi umhverfufallsins sem hefur verið hliðrað um tvær einingar til vinstri og þrjár einingar upp. Finnið láfellu og lóðfellu grafsins, ef þær eru til.
Lausn
Hliðrun grafsins um 2 til vinstri og 3 upp gefur fallið
Takið eftir að fallið er óskilgreint þegar og grafið sýnir einnig lóðfellu við
Þegar inntaksgildin vaxa eða minnka án takmarka virðist grafið fletjast út við fallgildið 3, sem sýnir láfellu við
Greining
Takið eftir að láfellunni og lóðfellunni er hliðrað um 2 til vinstri og 3 upp ásamt fallinu.
Hagnýt verkefni með ræðum föllum leyst
Í dæmi 2 hliðruðum við grunnfalli þannig að fallið fékkst. Þetta er dæmi um rætt fall. Rætt fall er fall sem má rita sem kvóta tveggja margliðufalla. Í mörgum raunhæfum verkefnum þarf að finna hlutfall tveggja margliðufalla. Verkefni um hraða og styrk fela oft í sér ræð föll.
Dæmi 3
Hagnýtt verkefni með ræðu falli leyst
Þegar birgðir af tilbúnum lausnum þrýtur þarf hjúkrunarfræðingur í flóttamannabúðum að útbúa sykurlausn í æð fyrir sjúklinga á sjúkrahúsi búðanna. Stór blöndunartankur inniheldur nú 100 gallon af vatni sem 5 pundum af sykri hefur verið blandað í. Skrúfað verður frá krana sem hleypir 10 gallonum af eimuðu vatni á mínútu í tankinn og samtímis er sykri hellt í hann með hraðanum 1 pund á mínútu. Finnið styrk sykurs í tankinum, í pundum á gallon, eftir 12 mínútur. Er styrkurinn þá meiri en í upphafi?
Lausn
Látum tákna fjölda mínútna frá því að skrúfað var frá krananum. Vatnsmagnið vex um 10 gallon á mínútu og sykurmagnið um 1 pund á mínútu; þetta eru fastir breytingarhraðar. Því breytist vatnsmagnið í tankinum línulega og það sama gildir um sykurmagnið. Við getum sett fram sérstaka jöfnu fyrir hvort magn:
Styrkurinn, er hlutfall punda af sykri og gallona af vatni
Styrkurinn eftir 12 mínútur fæst með því að reikna gildi fyrir
Þetta merkir að styrkurinn er 17 pund af sykri á 220 gallon af vatni.
Í upphafi er styrkurinn
Þar sem er styrkurinn meiri eftir 12 mínútur en í upphafi.
Greining
Til að finna láfelluna deilum við forystustuðli teljarans með forystustuðli nefnarans:
Takið eftir að láfellan er Það þýðir að þegar til lengri tíma er litið stefnir styrkurinn, það er hlutfall punda af sykri og gallona af vatni, á 0,1.
Skilgreiningarmengi ræðra falla fundin
Lóðfella samsvarar gildi þar sem rætt fall er óskilgreint og því er gildið ekki í skilgreiningarmengi fallsins. Skilgreiningarmengi umhverfufalls getur ekki innihaldið gildi sem gera nefnarann jafnan núlli. Almennt þarf að ákvarða hvaða inntaksgildi valda deilingu með núlli til að finna skilgreiningarmengi ræðs falls.
Dæmi 4
Skilgreiningarmengi ræðs falls fundið
Finnið skilgreiningarmengi
Lausn
Byrjið á að setja nefnarann jafnan núlli og leysa jöfnuna.
Nefnarinn er jafn núlli þegar Skilgreiningarmengi fallsins er mengi allra rauntalna nema
Greining
Graf fallsins á mynd 8 staðfestir að fallið er ekki skilgreint þegar
Mynd 8. Mynd 8
Lóðfella er við og gat í grafinu við Fjallað verður nánar um slík göt síðar í þessum hluta.
Lóðfellur ræðra falla fundnar
Með því að skoða graf ræðs falls getum við rannsakað staðbundna hegðun þess og auðveldlega séð hvort aðfellur séu til. Jafnvel má vera unnt að nálga staðsetningu þeirra. Án grafs getum við þó einnig ákvarðað hvort gefið rætt fall hafi aðfellur og reiknað staðsetningu þeirra.
Lóðfellur
Til að finna lóðfellur ræðs falls styttum við alla sameiginlega þætti teljara og nefnara út. Lóðfellurnar eru við rauntölunúllstöðvar nefnarans sem eftir stendur.
Dæmi 5
Lóðfellur fundnar
Finnið lóðfellur grafsins fyrir
Lausn
Þáttið fyrst teljarann og nefnarann.
Til að finna lóðfellurnar ákvarðum við hvar fallið er óskilgreint með því að setja nefnarann jafnan núlli:
Hvorki né eru núllstöðvar teljarans og því sýna gildin tvær lóðfellur. Grafið á mynd 9 staðfestir staðsetningu lóðfellanna tveggja.
Mynd 9. Mynd 9
Afmáanlegir sérstöðupunktar
Stundum er gat í grafi, einn punktur þar sem grafið er ekki skilgreint og sem er sýndur með opnum hring. Slíkt gat nefnist afmáanlegur sérstöðupunktur.
Fallið má til dæmis umrita með því að þátta teljarann og nefnarann.
Takið eftir að er sameiginlegur þáttur teljarans og nefnarans. Núllstöð þáttarins, er staðsetning afmáanlega sérstöðupunktsins. Takið einnig eftir að er þáttur í nefnaranum en ekki teljaranum. Núllstöð þess þáttar, gefur staðsetningu lóðfellunnar. Sjá mynd 10.
Dæmi 6
Lóðfellur og afmáanlegir sérstöðupunktar grafs fundin
Finnið lóðfellur og afmáanlega sérstöðupunkta grafsins fyrir
Lausn
Þáttið teljarann og nefnarann.
Takið eftir sameiginlega þættinum í teljaranum og nefnaranum. Núllstöð þáttarins er Þar er afmáanlegi sérstöðupunkturinn.
Takið eftir að þátturinn er í nefnaranum en ekki teljaranum. Núllstöð þáttarins er Lóðfellan er Sjá mynd 11.
Mynd 11. Mynd 11
Graf fallsins hefur lóðfellu við en gat við .
Láfellur ræðra falla fundnar
Lóðfellur lýsa hegðun grafs þegar fallgildin vaxa eða minnka án takmarka, en láfellur hjálpa okkur að lýsa hegðun þess þegar inntaksgildin vaxa eða minnka án takmarka. Munið að endahegðun margliðu endurspeglar endahegðun forystuliðarins. Á sama hátt endurspeglar endahegðun ræðs falls hlutfall forystuliða teljarans og nefnarans.
Þrjár ólíkar niðurstöður geta fengist þegar leitað er að láfellum:
Tilvik 1: Ef stig nefnarans > stig teljarans er láfella við
Í þessu tilviki er endahegðunin Það segir okkur að þegar inntaksgildin vaxa eða minnka án takmarka hagar fallið sér svipað og fallið og fallgildin stefna á núll. Því er láfella við Sjá mynd 12. Takið eftir að grafið fer yfir láfelluna.
Mynd 12. Láfella þegar
Tilvik 2: Ef stig nefnarans er einu lægra en stig teljarans fæst skáfella.
Í þessu tilviki er endahegðunin Það segir okkur að þegar inntaksgildin vaxa eða minnka án takmarka hagar fallið sér svipað og fallið Þegar inntaksgildin verða stór vaxa fallgildin og fletjast ekki út og því hefur grafið enga láfellu. Graf er hins vegar skálína og þar sem hagar sér svipað og nálgast það línu nálægt Þetta bendir til þess að grafið hafi skáfellu; jöfnu hennar finnum við með deilingu.
Til að finna jöfnu skáfellunnar deilum við Kvótinn er og afgangurinn er 2. Skáfellan er graf línunnar Sjá mynd 13.
Mynd 13. Skáfella þegar þar sem stig
Tilvik 3: Ef stig nefnarans = stig teljarans er láfella við þar sem og eru forystustuðlar og fyrir
Í þessu tilviki er endahegðunin Það segir okkur að þegar inntaksgildin verða stór hagar fallið sér eins og fallið sem er lárétt lína. Þegar er því láfella við Sjá mynd 14. Takið eftir að grafið fer yfir láfelluna.
Mynd 14. Láfella þegar
Takið eftir að graf ræðs falls fer aldrei yfir lóðfellu en getur farið yfir láfellu eða skáfellu. Grafið getur haft margar lóðfellur en í mesta lagi eina láfellu eða skáfellu.
Ef stig teljarans er meira en einu hærra en stig nefnarans líkir endahegðun grafsins eftir hegðun hlutfalls forystuliða teljarans og nefnarans. Gerum til dæmis ráð fyrir fallinu
með endahegðunina
Endahegðun grafsins svipar þá til endahegðunar margliðu af sléttu stigi með jákvæðan forystustuðul.
Dæmi 7
Láfellur og skáfellur fundnar
Finnið láfellu eða skáfellu fallanna hér að neðan.
ⓐ
ⓑ
ⓒ
Lausn
Í lausnunum notum við
ⓐ Stig og því má finna láfelluna með því að reikna hlutfall forystustuðlanna. Láfella er við eða
ⓑ Stig og stig Þar sem um 1 er skáfellan fundin með
Kvótinn er og afgangurinn er 13. Skáfella er við
ⓒ Stig stig og því er láfella við
Dæmi 8
Láfellur fundnar
Í fyrra verkefninu um sykurstyrk settum við fram jöfnuna
Finnið láfelluna og túlkið hana í samhengi við verkefnið.
Lausn
Bæði teljarinn og nefnarinn eru línulegir, það er af stigi 1. Þar sem stigin eru jöfn er láfellan við hlutfall forystustuðlanna. Forystuliður teljarans er með stuðulinn 1. Forystuliður nefnarans er með stuðulinn 10. Láfellan er við hlutfall þessara gilda:
Fallið hefur láfellu við
Það segir okkur að þegar gildi t vaxa stefna gildi á Í samhengi verkefnisins merkir það að eftir því sem tíminn líður stefnir sykurstyrkurinn í tankinum á einn tíunda hluta punds af sykri á hvert gallon af vatni, það er pund á gallon.
Dæmi 9
Láfellur og lóðfellur fundnar
Finnið láfellur og lóðfellur fallsins
Lausn
Takið fyrst eftir að teljarinn og nefnarinn hafa enga sameiginlega þætti og því eru engir mögulegir afmáanlegir sérstöðupunktar.
Fallið hefur lóðfellur þar sem nefnarinn er núll og fallið því óskilgreint. Nefnarinn er núll þegar og því eru lóðfellur við þessi gildi.
Teljarinn er af stigi 2 en nefnarinn af stigi 3. Þar sem stig nefnarans er hærra en stig teljarans vex nefnarinn hraðar en teljarinn og fallgildin stefna á núll þegar inntaksgildin verða stór. Því gildir: Fallið hefur láfellu við Sjá mynd 15.
Mynd 15. Mynd 15
Dæmi 10
Skurðpunktar ræðs falls við ása fundnir
Finnið skurðpunkta fallsins við ásana.
Lausn
Skurðpunktinn við y-ás má finna með því að reikna gildi fallsins fyrir núll
Skurðpunktar við x-ás koma fram þegar fallið er jafnt núlli:
Skurðpunkturinn við y-ás er og skurðpunktarnir við x-ás eru og Sjá mynd 16.
Mynd 16. Mynd 16
Gröf ræðra falla teiknuð
Í dæmi 9 sáum við hvernig þátta má teljara og nefnara ræðs falls. Núllstöðvar teljarans innan skilgreiningarmengisins gefa skurðpunkta grafsins við x-ás en núllstöðvar nefnarans eftir fulla styttingu gefa lóðfellur þess. Eins og í margliðum geta þættir teljarans verið í öðru eða hærra heiltöluveldi. Sem betur fer eru áhrifin á lögun grafsins við skurðpunktana þau sömu og við sáum hjá margliðum.
Hegðun við lóðfellur sem samsvara þáttum nefnarans líkist öðru hvoru grunnfallanna umhverfufalli og öðru veldi þess. Þegar margfeldni viðkomandi núllstöðvar nefnarans eftir fulla styttingu er oddatala stefnir grafið á jákvætt óendanlegt gildi öðrum megin við lóðfelluna en á neikvætt óendanlegt gildi hinum megin. Sjá mynd 17.
Þegar margfeldni viðkomandi núllstöðvar nefnarans eftir fulla styttingu er slétt tala stefnir grafið annaðhvort á jákvætt óendanlegt gildi báðum megin við lóðfelluna eða á neikvætt óendanlegt gildi báðum megin. Sjá mynd 18.
Við skurðpunktinn við x-ás, , sem samsvarar þættinum í teljaranum, snertir grafið ásinn og snýr við, í samræmi við að þátturinn er annars stigs.
Við skurðpunktinn við x-ás, , sem samsvarar þættinum í teljaranum, fer grafið í gegnum ásinn eins og búast má við af línulegum þætti.
Við lóðfelluna , sem samsvarar þættinum í nefnaranum, stefnir grafið á jákvætt óendanlegt gildi báðum megin við aðfelluna, í samræmi við hegðun fallsins
Við lóðfelluna sem samsvarar þættinum í nefnaranum, stefnir grafið á jákvætt óendanlegt gildi vinstra megin við aðfelluna og neikvætt óendanlegt gildi hægra megin.
Dæmi 11
Graf ræðs falls teiknað
Teiknið skissu af grafi
Lausn
Við getum byrjað á að taka eftir að fallið er þegar þáttað og sleppum því einu skrefi.
Næst finnum við skurðpunktana. Með því að reikna gildi fallsins fyrir núll fæst skurðpunkturinn við y-ás:
Til að finna skurðpunktana við x-ás ákvarðum við hvenær teljari fallsins er núll. Með því að setja hvern þátt jafnan núlli finnum við skurðpunkta við x-ás við og Við báða punktana er hegðunin línuleg, með margfeldnina 1, og grafið fer í gegnum ásinn.
Skurðpunkturinn við y-ás er og skurðpunktarnir við x-ás eru og
Til að finna lóðfellurnar ákvarðum við hvenær nefnarinn er núll. Það gerist þegar og þegar sem gefur lóðfellur við og
Teljarinn og nefnarinn hafa enga sameiginlega þætti og því eru engir afmáanlegir sérstöðupunktar.
Að lokum er stig nefnarans hærra en stig teljarans og því hefur grafið láfellu við
Til að teikna skissu af grafinu má byrja á að merkja skurðpunktana þrjá. Þar sem grafið hefur enga skurðpunkta við x-ás milli lóðfellanna og skurðpunkturinn við y-ás er ofan við x-ás vitum við að fallið er jákvætt milli aðfellanna. Þá getum við fyllt inn miðhluta grafsins eins og sýnt er á mynd 20.
Mynd 20. Mynd 20
Þátturinn sem samsvarar lóðfellunni við er í öðru veldi og því er hegðunin sú sama báðum megin við aðfelluna. Grafið stefnir á jákvætt óendanlegt gildi þegar inntaksgildin nálgast aðfelluna frá hægri og það stefnir því einnig á jákvætt óendanlegt gildi frá vinstri.
Þátturinn sem samsvarar lóðfellunni við er í fyrsta veldi og því er hegðunin gagnstæð sitt hvorum megin við aðfelluna. Sjá mynd 21. Eftir að grafið fer í gegnum skurðpunktana við x-ás fletst það út og stefnir á fallgildið núll, eins og láfellan sýnir.
Mynd 21. Mynd 21
Ræð föll sett fram
Nú höfum við greint jöfnur ræðra falla og tengsl þeirra við gröfin og getum því notað upplýsingar á grafi til að setja fallið fram. Rætt fall á þáttuðu formi hefur skurðpunkt við x-ás þar sem hver þáttur teljarans er núll, að því gefnu að gildið tilheyri upphaflega skilgreiningarmenginu. Því getum við myndað teljara falls sem fer í gegnum tiltekna skurðpunkta við x-ás með samsvarandi þáttum. Á sama hátt hefur fallið lóðfellu við núllstöðvar nefnarans eftir fulla styttingu og því getum við myndað nefnara sem gefur tilteknar lóðfellur með samsvarandi þáttum.
Dæmi 12
Rætt fall sett fram út frá skurðpunktum og aðfellum
Setjið fram jöfnu ræða fallsins sem sýnt er á mynd 22.
Mynd 22. Mynd 22
Lausn
Grafið virðist hafa skurðpunkta við x-ás þegar og Við báða punktana fer grafið í gegnum ásinn, sem bendir til línulegra þátta. Grafið hefur tvær lóðfellur. Við er hegðunin svipuð og hjá grunnfallinu þar sem grafið stefnir á jákvætt óendanlegt gildi öðrum megin og neikvætt óendanlegt gildi hinum megin. Við aðfelluna er hegðunin svipuð og hjá speglun um x-ás á grafi fallsins þar sem grafið stefnir á neikvætt óendanlegt gildi báðum megin við aðfelluna. Sjá mynd 23.
Mynd 23. Mynd 23
Með þessum upplýsingum getum við ritað fall á forminu
Til að finna teygjustuðulinn má nota annan skýran punkt á grafinu, svo sem skurðpunktinn við y-ás,
Lokafallið er því
3.7 Æfingar kaflans
Orðleg verkefni
1.
Hver er grundvallarmunurinn á algebruframsetningu margliðufalls og ræðs falls?
2.
Hver er grundvallarmunurinn á gröfum margliðufalla og ræðra falla?
3.
Hvað hlýtur að gilda um fallregluna ef graf ræðs falls hefur afmáanlegan sérstöðupunkt?
4.
Getur graf ræðs falls verið án lóðfellu? Ef svo er, hvernig?
5.
Getur graf ræðs falls verið án skurðpunkta við x-ás? Ef svo er, hvernig?
Algebruverkefni
Finnið skilgreiningarmengi ræðu fallanna í eftirfarandi æfingum.
6.
7.
8.
9.
Finnið skilgreiningarmengi, lóðfellur og láfellur fallanna í eftirfarandi æfingum.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Finnið skurðpunkta fallanna við x- og y-ás í eftirfarandi æfingum.
20.
21.
22.
23.
24.
Lýsið staðbundinni hegðun og endahegðun fallanna í eftirfarandi æfingum.
25.
26.
27.
28.
29.
Finnið skáfellu fallanna í eftirfarandi æfingum.
30.
31.
32.
33.
34.
Myndræn verkefni
Notið gefna færslu í eftirfarandi æfingum til að teikna graf fallsins. Merkið lóðfelluna og láfelluna.
35.
Umhverfufallið fært upp um tvær einingar.
36.
Umhverfufallið fært niður um eina einingu og til vinstri um þrjár einingar.
37.
Annað veldi umhverfufallsins fært til hægri um 2 einingar.
38.
Annað veldi umhverfufallsins fært niður um 2 einingar og til hægri um 1 einingu.
Finnið skurðpunkta við x- og y-ás, lóðfellur og láfellu eða skáfellu fallanna í eftirfarandi æfingum. Notið upplýsingarnar til að skissa graf.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
Ritið jöfnu ræðs falls með tilgreinda eiginleika í eftirfarandi æfingum.
51.
Lóðfellur við og skurðpunktar við x-ás í og skurðpunktur við y-ás í
52.
Lóðfellur við og skurðpunktar við x-ás í og skurðpunktur við y-ás í
53.
Lóðfellur við og skurðpunktar við x-ás í og láfella við
54.
Lóðfellur við og skurðpunktar við x-ás í og láfella við
55.
Lóðfella við tvöföld núllstöð þegar skurðpunktur við y-ás í
56.
Lóðfella við tvöföld núllstöð þegar skurðpunktur við y-ás í
Notið gröfin í eftirfarandi æfingum til að rita jöfnu fallsins.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
Notið sem viðbótarpunkt.
Töluleg verkefni
Gerið töflur í eftirfarandi æfingum sem sýna hegðun fallsins nálægt lóðfellunni og endahegðun þess þegar það nálgast láfelluna.
65.
66.
67.
68.
69.
Tækniverkefni
Notið reiknivél í eftirfarandi æfingum til að teikna graf Notið grafið til að leysa
70.
71.
72.
73.
74.
Viðbótarverkefni
Finnið afmáanlega sérstöðupunktinn í eftirfarandi æfingum.
75.
76.
77.
78.
79.
Hagnýtingar
Setjið fram rætt fall sem lýsir aðstæðunum í eftirfarandi æfingum.
80.
Á sjúkrahúsi í flóttamannabúðum eru nú 200 gallon af vatni í stórum blöndunartanki og 10 pundum af sykri hefur verið blandað út í. Skrúfað verður frá krana sem hleypir 10 gallonum af vatni á mínútu í tankinn, um leið og sykri er hellt í hann með hraðanum 3 pund á mínútu. Finnið styrk sykursins í tankinum (í pundum á gallon) eftir mínútur.
81.
Á sjúkrahúsi í flóttamannabúðum eru nú 300 gallon af vatni í stórum blöndunartanki og 8 pundum af sykri hefur verið blandað út í. Skrúfað verður frá krana sem hleypir 20 gallonum af vatni á mínútu í tankinn, um leið og sykri er hellt í hann með hraðanum 2 pund á mínútu. Finnið styrk sykursins í tankinum (í pundum á gallon) eftir mínútur.
Notið gefna ræða fallið í eftirfarandi æfingum til að svara spurningunni.
82.
Styrkur lyfs í blóðrás sjúklings klukkustundum eftir inndælingu er gefinn með Hvað verður um styrk lyfsins þegar vex?
83.
Styrkur lyfs í blóðrás sjúklingsklukkustundum eftir inndælingu er gefinn með Notið reiknivél til að nálga hvenær styrkurinn er mestur.
Setjið fram rætt fall í eftirfarandi æfingum sem auðveldar lausn verkefnisins. Notið síðan reiknivél til að svara spurningunni.
84.
Opinn kassi með ferningslaga botn á að hafa rúmmálið 108 rúmtommur. Finnið stærðir kassans sem lágmarka yfirborðsflatarmál hans. Látum = lengd hliðar botnsins.
85.
Rétthyrndur kassi með ferningslaga botn á að hafa rúmmálið 20 rúmfet. Efnið í botninn kostar 30 sent á ferfet, efnið í hliðarnar 10 sent á ferfet og efnið í lokið 20 sent á ferfet. Ákvarðið þær stærðir sem lágmarka kostnaðinn. Látum = lengd hliðar botnsins.
86.
Sívalningur með hringlaga grunnflöt og ás hornréttan á hann hefur rúmmálið 100 rúmtommur. Finnið geisla og hæð sem lágmarka yfirborðsflatarmálið. Látum tákna geislann.
87.
Loklaus sívalningur með hringlaga grunnflöt og ás hornréttan á hann hefur rúmmálið 50 rúmmetra. Finnið geislann sem lágmarkar yfirborðsflatarmálið. Látum tákna geislann.
88.
Sívalningur með hringlaga grunnflöt og ás hornréttan á hann á að hafa rúmmálið 40 rúmtommur. Það kostar 4 sent á fertommu að smíða toppinn og botninn og 1 sent á fertommu að smíða hliðaryfirborð sívalningsins. Finnið geislann sem lágmarkar kostnaðinn. Látum tákna geislann.
