33 Margliðu- og ræð föll

3.5 Deiling margliða

Námsmarkmið

Í þessum hluta lærið þið að:

Nota langdeilingu til að deila margliðum.
Nota deilingu með reikniriti Horners til að deila margliðum.

Lincoln-minnisvarðinn. — **Mynd 1.** Lincoln-minnisvarðinn í Washington, D.C. (ljósmynd: Ron Cogswell, Flickr)

Ytra byrði Lincoln-minnisvarðans í Washington, D.C., er stór réttstrendingur sem er 61,5 metrar (m) á lengd, 40 m á breidd og 30 m á hæð.¹ Rúmmálið má auðveldlega finna með einfaldri rúmfræði.

\begin{array}{l} V = l \cdot w \cdot h \\ = 61.5 \cdot 40 \cdot 30 \\ = 73,800 \end{array}

Rúmmálið er því 73.800 rúmmetrar $(m 3) .$ Gerum nú ráð fyrir að rúmmál, lengd og breidd séu þekkt. Þá má finna hæðina með deilingu.

\begin{array}{l} h = \frac{V}{l \cdot w} \\ = \frac{73, 800}{61.5 \cdot 40} \\ = 30 \end{array}

Eins og staðfesta má með málunum hér að ofan er hæðin 30 m. Með sambærilegum aðferðum má finna hvert það mál sem vantar. Sömu aðferð má einnig nota þegar sum eða öll málin innihalda stæður með breytum. Gerum til dæmis ráð fyrir að rúmmál réttstrendings sé gefið með margliðunni $3 x^{4} - 3 x^{3} - 33 x^{2} + 54 x .$ Lengd hans er $3 x$ og breiddin $x - 2.$ Til að finna hæð réttstrendingsins má nota deilingu margliða, sem er viðfangsefni þessa hluta.

Langdeiling notuð til að deila margliðum

Við þekkjum reiknirit langdeilingar úr venjulegum talnareikningi. Byrjað er á að deila í þá tölustafi deilistofnsins sem hafa hæsta sætisgildið. Við deilum, margföldum, drögum frá, færum niður tölustafinn í næsta sæti og endurtökum ferlið. Deilum til dæmis 178 með 3 með langdeilingu.

Einnig má líta á lausnina sem summu hluta. Þetta ætti að vera kunnuglegt því sama aðferð er notuð til að sannreyna deilingu í einföldum talnareikningi.

\begin{array}{l} deilistofn = (deilir \cdot kvóti) + afgangur \\ 178 = (3 \cdot 59) + 1 \\ = 177 + 1 \\ = 178 \end{array}

Þetta nefnist deilingarreikniritið og við skilgreinum það með formlegri hætti eftir að hafa skoðað dæmi.

Deiling margliða með fleiri en einum lið svipar til langdeilingar heiltalna. Rita má deilistofninn sem margfeldi deilis og kvóta að viðbættum afgangi. Liðirnir í deilingu margliða samsvara tölustöfum og sætisgildum í deilingu heiltalna. Með þessari aðferð má deila einni margliðu með annarri. Ef $2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 5$ er til dæmis deilt með $x + 2$ með langdeilingu lítur uppsetningin svona út:

Við höfum fundið

\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 5}{x + 2} = 2 x^{2} - 7 x + 18 - \frac{31}{x + 2}

eða

2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 5 = (x + 2) (2 x^{2} - 7 x + 18) - 31

Við getum greint deilistofninn, deilinn, kvótann og afganginn.

Deilistofn, deilir, kvóti og afgangur greind í deilingu margliðunnar 2x^3-3x^2+4x+5, sem er deilistofninn.

Þegar niðurstaðan er rituð á þennan hátt sést deilingarreikniritið skýrt.

Dæmi 1

Langdeiling notuð til að deila annars stigs margliðu

Deilið $5 x^{2} + 3 x - 2$ með $x + 1.$

Lausn

Kvótinn er $5 x - 2.$ Afgangurinn er 0. Niðurstaðan er rituð sem

\frac{5 x^{2} + 3 x - 2}{x + 1} = 5 x - 2

eða

5 x^{2} + 3 x - 2 = (x + 1) (5 x - 2)

Greining

Afgangurinn í þessu deilingardæmi var 0. Það sýnir að deilistofninn deilist með deilinum án afgangs og að deilirinn er þáttur í deilistofninum.

Dæmi 2

Langdeiling notuð til að deila þriðja stigs margliðu

Deilið $6 x^{3} + 11 x^{2} - 31 x + 15$ með $3 x - 2.$

Lausn

Afgangurinn er 1. Niðurstöðuna má rita sem:

\frac{6 x^{3} + 11 x^{2} - 31 x + 15}{3 x - 2} = 2 x^{2} + 5 x - 7 + \frac{1}{3 x - 2}

Greining

Við getum sannreynt útreikningana með því að umrita lausnina samkvæmt deilingarreikniritinu og margfalda síðan.

(3 x - 2) (2 x^{2} + 5 x - 7) + 1 = 6 x^{3} + 11 x^{2} - 31 x + 15

Takið eftir því hvernig niðurstaðan er rituð:

deilistofninn er $6 x^{3} + 11 x^{2} - 31 x + 15$
deilirinn er $3 x - 2$
kvótinn er $2 x^{2} + 5 x - 7$
afgangurinn er $1$

Deiling með reikniriti Horners

Eins og við höfum séð getur langdeiling margliða verið margþrepa og fyrirhafnarmikil. Reiknirit Horners er stytt aðferð til að deila margliðum í því sértilviki þegar deilt er með línulegum þætti sem hefur forystustuðulinn 1.

Til að sýna ferlið skulum við rifja upp dæmið í upphafi hlutans.

Deilið $2 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x + 5$ með $x + 2$ með langdeilingu.

Lokaform ferlisins leit svona út:

Langdeiling margliðunnar 2x^3-3x^2+4x+5 með x+2; kvótinn er 2x^2-7x+18 og afgangurinn -31.

Margt er endurtekið í töflunni. Ef breyturnar eru ekki ritaðar heldur stuðlunum raðað í dálka undir deilingarmerkinu og óþörfum milliliðum margföldunarinnar sleppt fæst þegar einfaldari útgáfa af öllu dæminu.

Langdeilingin sett upp með stuðlum einum. Röðin 2, −3, 4, 5 er notuð og niðurstaðan er kvótastuðlarnir 2, −7, 18 og afgangurinn −31.

Reiknirit Horners einfaldar ferlið enn frekar. Þjappið töflunni með því að færa hverja röð upp svo eyðurnar fyllist. Við notum gagnstæða tölu við fastalið deilisins, það er −2 í stað 2. Með því getum við margfaldað og lagt saman í stað þess að draga margfeldin frá eins og í langdeilingunni. Ferlið hefst á að færa forystustuðulinn niður.

Þjöppuð uppsetning reiknirits Horners með tölunni −2. Efsta röðin er 2, −3, 4, 5 og neðsta röðin 2, −7, 18, −31.

Síðan margföldum við hann með tölunni −2 og leggjum saman. Þetta er endurtekið dálk fyrir dálk þar til engar tölur eru eftir. Neðsta röðin sýnir stuðla kvótans og síðasta talan í henni er afgangurinn. Hér er kvótinn $2 x 2 - 7 x + 18$ og afgangurinn $–31.$ Ferlið skýrist nánar í dæmi 3.

Dæmi 3

Reiknirit Horners notað til að deila annars stigs margliðu

Notið reiknirit Horners til að deila $5 x^{2} - 3 x - 36$ með $x - 3.$

Lausn

Byrjið á að setja deilinguna með reikniriti Horners upp. Ritið $k$ og stuðlana.

Færið forystustuðulinn niður. Margfaldið forystustuðulinn með $k .$

Forystustuðullinn 5 er færður niður. Margfeldið 3 · 5 = 15 er ritað í öðrum dálki.

Haldið áfram með því að leggja saman tölurnar í öðrum dálki. Margfaldið niðurstöðuna með $k .$ Ritið margfeldið í næsta dálk. Leggið síðan saman tölurnar í þriðja dálki.

Lokaskref reiknirits Horners: −3 + 15 = 12, síðan 3 · 12 = 36 og −36 + 36 = 0. Neðsta röðin er 5, 12 og 0, svo kvótinn er 5x + 12 og afgangurinn 0.

Niðurstaðan er $5 x + 12.$ Afgangurinn er 0. Tvíliðan $x - 3$ er því þáttur í upphaflegu margliðunni.

Greining

Eins og við langdeilingu getum við sannreynt útreikningana með því að margfalda kvótann með deilinum og leggja afganginn við.

$(x - 3) (5 x + 12) + 0 = 5 x^{2} - 3 x - 36$

Dæmi 4

Reiknirit Horners notað til að deila þriðja stigs margliðu

Notið reiknirit Horners til að deila $4 x^{3} + 10 x^{2} - 6 x - 20$ með $x + 2.$

Lausn

Tvíliðudeilirinn er $x + 2$ og því er $k = - 2.$ Leggið saman í hverjum dálki, margfaldið niðurstöðuna með −2 og endurtakið þar til komið er að síðasta dálkinum.

Deiling 4x³ + 10x² − 6x − 20 með x + 2 samkvæmt reikniriti Horners. Talan −2 er notuð og neðsta röðin er 4, 2, −10 og 0.

Niðurstaðan er $4 x^{2} + 2 x - 10.$ Afgangurinn er 0. Tvíliðan $x + 2$ er því þáttur í $4 x^{3} + 10 x^{2} - 6 x - 20.$

Greining

Graf margliðufallsins $f (x) = 4 x^{3} + 10 x^{2} - 6 x - 20$ á mynd 2 sýnir núllstöð þegar $x = k = −2.$ Það staðfestir að $x + 2$ er þáttur í $4 x^{3} + 10 x^{2} - 6 x - 20.$

Graf f(x) = 4x³ + 10x² − 6x − 20 með stækkuðum hluta nálægt núllstöðinni x = −2. — Mynd 2

Dæmi 5

Reiknirit Horners notað til að deila fjórða stigs margliðu

Notið reiknirit Horners til að deila $- 9 x^{4} + 10 x^{3} + 7 x^{2} - 6$ með $x - 1.$

Lausn

Takið eftir að enginn x-liður er í margliðunni. Við notum núll sem stuðul þess liðar.

Deiling með reikniriti Horners þar sem margliðu með stuðlana −9, 10, 7, 0 og −6 er deilt með þætti sem samsvarar x=1. Stuðlar niðurstöðunnar eru −9, 1, 8 og 8 og afgangurinn er 2.

Niðurstaðan er $- 9 x^{3} + x^{2} + 8 x + 8 + \frac{2}{x - 1} .$

Deiling margliða notuð í hagnýtum verkefnum

Nota má deilingu margliða til að leysa margvísleg hagnýt verkefni sem fela í sér stæður fyrir flatarmál og rúmmál. Við skoðuðum slíkt verkefni í upphafi hlutans og leysum það nú í næsta dæmi.

Dæmi 6

Deiling margliða notuð í hagnýtu verkefni

Rúmmál réttstrendings er gefið með margliðunni $3 x^{4} - 3 x^{3} - 33 x^{2} + 54 x .$ Lengd hans er $3 x$ og breiddin $x - 2.$ Finnið hæð réttstrendingsins.

Lausn

Nálgast má verkefnið á nokkra vegu. Deila þarf stæðunni fyrir rúmmál réttstrendingsins með stæðunum fyrir lengd hans og breidd. Teiknum skissu eins og á mynd 3.

Réttstrendingur með lengdina 3x, breiddina x − 2 og óþekkta hæð. — Mynd 3

Nú getum við sett fram jöfnu með því að setja þekktu gildin inn í formúluna fyrir rúmmál réttstrendings.

\begin{matrix} V = l \cdot w \cdot h \\ 3 x^{4} - 3 x^{3} - 33 x^{2} + 54 x = 3 x \cdot (x - 2) \cdot h \end{matrix}

Til að einangra $h$ deilum við fyrst báðum hliðum með $3 x .$

\begin{matrix} \frac{3 x \cdot (x - 2) \cdot h}{3 x} = \frac{3 x^{4} - 3 x^{3} - 33 x^{2} + 54 x}{3 x} \\ (x - 2) h = x^{3} - x^{2} - 11 x + 18 \end{matrix}

Finnið nú $h$ með reikniriti Horners.

h = \frac{x^{3} - x^{2} - 11 x + 18}{x - 2}

\begin{array}{l} 2 \begin{array}{r} 1 & - 1 & - 11 & 18 \\ 2 & 2 & - 18 \end{array} \\ \begin{array}{l} 1 & 1 & - 9 & 0 \end{array} \end{array}

Kvótinn er $x^{2} + x - 9$ og afgangurinn 0. Hæð réttstrendingsins er $x^{2} + x - 9.$

Æfingar úr kafla 3.5

Orðleg verkefni

Hvað má álykta ef afgangurinn er núll þegar margliðu er deilt með tvíliðu?

Hvert er stig kvótans ef margliðu af jákvæðu stigi $n$ er deilt með tvíliðu af stigi 1?

Algebruverkefni

Notið langdeilingu í eftirfarandi verkefnum. Tilgreinið kvótann og afganginn.

$(x^{2} + 5 x - 1) \div (x - 1)$

$(2 x^{2} - 9 x - 5) \div (x - 5)$

$(3 x^{2} + 23 x + 14) \div (x + 7)$

$(4 x^{2} - 10 x + 6) \div (4 x + 2)$

$(6 x^{2} - 25 x - 25) \div (6 x + 5)$

$(- x^{2} - 1) \div (x + 1)$

$(2 x^{2} - 3 x + 2) \div (x + 2)$

10.

$(x^{3} - 126) \div (x - 5)$

11.

$(3 x^{2} - 5 x + 4) \div (3 x + 1)$

12.

$(x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 6) \div (x - 2)$

13.

$(2 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 15) \div (x + 3)$

Notið reiknirit Horners í eftirfarandi verkefnum til að finna kvótann. Ef forystustuðull deilisins er ekki 1 skal fyrst taka hann út fyrir sviga. Deilið með tvíliðunni sem þá stendur eftir og deilið síðan kvótanum með forystustuðlinum.

14.

$(3 x^{3} - 2 x^{2} + x - 4) \div (x + 3)$

15.

$(2 x^{3} - 6 x^{2} - 7 x + 6) \div (x - 4)$

16.

$(6 x^{3} - 10 x^{2} - 7 x - 15) \div (x + 1)$

17.

$(4 x^{3} - 12 x^{2} - 5 x - 1) \div (2 x + 1)$

18.

$(9 x^{3} - 9 x^{2} + 18 x + 5) \div (3 x - 1)$

19.

$(3 x^{3} - 2 x^{2} + x - 4) \div (x + 3)$

20.

$(- 6 x^{3} + x^{2} - 4) \div (2 x - 3)$

21.

$(2 x^{3} + 7 x^{2} - 13 x - 3) \div (2 x - 3)$

22.

$(3 x^{3} - 5 x^{2} + 2 x + 3) \div (x + 2)$

23.

$(4 x^{3} - 5 x^{2} + 13) \div (x + 4)$

24.

$(x^{3} - 3 x + 2) \div (x + 2)$

25.

$(x^{3} - 21 x^{2} + 147 x - 343) \div (x - 7)$

26.

$(x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125) \div (x - 5)$

27.

$(9 x^{3} - x + 2) \div (3 x - 1)$

28.

$(6 x^{3} - x^{2} + 5 x + 2) \div (3 x + 1)$

29.

$(x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1) \div (x + 1)$

30.

$(x^{4} - 3 x^{2} + 1) \div (x - 1)$

31.

$(x^{4} + 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 6) \div (x + 3)$

32.

$(x^{4} - 10 x^{3} + 37 x^{2} - 60 x + 36) \div (x - 2)$

33.

$(x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16) \div (x - 2)$

34.

$(x^{4} + 5 x^{3} - 3 x^{2} - 13 x + 10) \div (x + 5)$

35.

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) \div (x - 3)$

36.

$(4 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 2) \div (2 x - 1)$

37.

$(4 x^{4} + 2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 2) \div (2 x + 1)$

Notið reiknirit Horners í eftirfarandi verkefnum til að ákvarða hvort fyrri stæðan sé þáttur í þeirri síðari. Ef svo er skuluð þið tilgreina þáttunina.

38.

$x - 2, 4 x^{3} - 3 x^{2} - 8 x + 4$

39.

$x - 2, 3 x^{4} - 6 x^{3} - 5 x + 10$

40.

$x + 3, - 4 x^{3} + 5 x^{2} + 8$

41.

$x - 2, 4 x^{4} - 15 x^{2} - 4$

42.

$x - \frac{1}{2}, 2 x^{4} - x^{3} + 2 x - 1$

43.

$x + \frac{1}{3}, 3 x^{4} + x^{3} - 3 x + 1$

Grafísk verkefni

Notið graf þriðja stigs margliðunnar og einn gefinn þátt í eftirfarandi verkefnum til að setja fram þáttað form margliðunnar sem grafið gefur til kynna. Forystustuðullinn er 1.

44.

Þátturinn er $x^{2} - x + 3$

Graf margliðu með skurðpunkt við x-ás þegar x=-1.

45.

Þátturinn er $x^{2} + 2 x + 4$

46.

Þátturinn er $x^{2} + 2 x + 5$

Graf margliðu með skurðpunkt við x-ás þegar x=2.

47.

Þátturinn er $x^{2} + x + 1$

Graf margliðu með skurðpunkt við x-ás þegar x=5.

48.

Þátturinn er $x^{2} + 2 x + 2$

Graf margliðu með skurðpunkt við x-ás þegar x=-3.

Notið reiknirit Horners í eftirfarandi verkefnum til að finna kvótann og afganginn.

49.

$\frac{4 x^{3} - 33}{x - 2}$

50.

$\frac{2 x^{3} + 25}{x + 3}$

51.

$\frac{3 x^{3} + 2 x - 5}{x - 1}$

52.

$\frac{- 4 x^{3} - x^{2} - 12}{x + 4}$

53.

$\frac{x^{4} - 22}{x + 2}$

Tæknibúnaður

Notið reiknivél með tölvualgebrukerfi (CAS) til að svara spurningunum í eftirfarandi verkefnum.

54.

Skoðið $\frac{x^{k} - 1}{x - 1}$ fyrir $k = 1$ , $2$ , $3.$ Hver haldið þið að niðurstaðan verði þegar $k = 4 ?$

55.

Skoðið $\frac{x^{k} + 1}{x + 1}$ fyrir $k = 1$ , $3$ , $5.$ Hver haldið þið að niðurstaðan verði þegar $k = 7 ?$

56.

Skoðið $\frac{x^{4} - k^{4}}{x - k}$ fyrir $k = 1$ , $2$ , $3.$ Hver haldið þið að niðurstaðan verði þegar $k = 4 ?$

57.

Skoðið $\frac{x^{k}}{x + 1}$ fyrir $k = 1$ , $2$ , $3.$ Hver haldið þið að niðurstaðan verði þegar $k = 4 ?$

58.

Skoðið $\frac{x^{k}}{x - 1}$ fyrir $k = 1$ , $2$ , $3.$ Hver haldið þið að niðurstaðan verði þegar $k = 4 ?$

Viðbótarverkefni

Notið reiknirit Horners í eftirfarandi verkefnum til að finna kvóta sem inniheldur tvinntölu.

59.

$\frac{x + 1}{x - i}$

60.

$\frac{x^{2} + 1}{x - i}$

61.

$\frac{x + 1}{x + i}$

62.

$\frac{x^{2} + 1}{x + i}$

63.

$\frac{x^{3} + 1}{x - i}$

Hagnýt verkefni

Notið gefna lengd og flatarmál rétthyrnings í eftirfarandi verkefnum til að setja breidd hans fram með algebrustæðu.

64.

Lengdin er $x + 5$ og flatarmálið $2 x^{2} + 9 x - 5.$

65.

Lengdin er $2 x + 5$ og flatarmálið $4 x^{3} + 10 x^{2} + 6 x + 15$

66.

Lengdin er $3 x - 4$ og flatarmálið $6 x^{4} - 8 x^{3} + 9 x^{2} - 9 x - 4$

Notið gefið rúmmál kassa og lengd hans og breidd í eftirfarandi verkefnum til að setja hæð kassans fram með algebrustæðu.

67.

Rúmmálið er $12 x^{3} + 20 x^{2} - 21 x - 36,$ lengdin $2 x + 3$ og breiddin $3 x - 4.$

68.

Rúmmálið er $18 x^{3} - 21 x^{2} - 40 x + 48,$ lengdin $3 x - 4$ og breiddin $3 x - 4.$

69.

Rúmmálið er $10 x^{3} + 27 x^{2} + 2 x - 24,$ lengdin $5 x - 4$ og breiddin $2 x + 3.$

70.

Rúmmálið er $10 x^{3} + 30 x^{2} - 8 x - 24,$ lengdin $2$ og breiddin $x + 3.$

Notið gefið rúmmál og radíus sívalnings í eftirfarandi verkefnum til að setja hæð hans fram með algebrustæðu.

71.

Rúmmálið er $π (25 x^{3} - 65 x^{2} - 29 x - 3)$ og radíusinn $5 x + 1.$

72.

Rúmmálið er $π (4 x^{3} + 12 x^{2} - 15 x - 50)$ og radíusinn $2 x + 5.$

73.

Rúmmálið er $π (3 x^{4} + 24 x^{3} + 46 x^{2} - 16 x - 32)$ og radíusinn $x + 4.$

Neðanmálsgreinar

1National Park Service. „Byggingartölur Lincoln-minnisvarðans.“ http://www.nps.gov/linc/historyculture/lincoln-memorial-building-statistics.htm. Skoðað 3. apríl 2014.