3.3 Veldisföll og margliðuföll

Gerum ráð fyrir að tiltekin fuglategund dafni á lítilli eyju. Stofnstærð hennar undanfarin ár er sýnd í töflu 1.

Áætla má stofnstærðina með fallinu $P(t)=-\mathrm{0,3}{t}^3+97t+800,$ þar sem $P(t)$ táknar fuglastofninn á eyjunni $t$ árum eftir 2009. Með líkaninu getum við áætlað mestu stofnstærðina og hvenær henni verður náð. Við getum einnig spáð fyrir um hvenær fuglastofninn hverfur af eyjunni. Í þessum hluta skoðum við föll sem nota má til að áætla og spá fyrir um breytingar af þessu tagi.

Til að skilja fugladæmið betur þurfum við að kynnast tiltekinni gerð falla. Veldisfall er fall með einum lið sem er margfeldi rauntölu, stuðuls, og breytu í föstu raunveldi. (Tala sem margfaldar breytu í veldi nefnist stuðull.)

Skoðum til dæmis föll fyrir flatarmál og rúmmál. Flatarmál hrings með geisla $r$ er gefið með fallinu

og rúmmál kúlu með geisla $r$ er gefið með fallinu

Bæði eru dæmi um veldisföll því þau eru mynduð úr stuðli, $\pi$ eða $\frac{4}{3}\pi ,$ sem margfaldaður er með breytu $r$ í veldi.

Mynd 2 sýnir gröf fallanna $h(x)=x^2,g(x)=x^4$ $\text{og}f(x)=x^6,$ sem eru öll veldisföll með jákvæða, slétta heiltöluveldisvísa. Takið eftir að gröfin hafa svipaða lögun og annars stigs grunnfallið. Eftir því sem veldisvísirinn hækkar fletjast gröfin þó nokkuð út nærri upphafspunktinum og verða brattari fjær honum.

Til að lýsa hegðun þegar tölur verða sífellt stærri notum við hugtakið óendanleiki. Táknið $\infty$ stendur fyrir jákvætt óendanlegt gildi og $-\infty$ fyrir neikvætt óendanlegt gildi. Þegar sagt er að „ $x$ stefni á óendanlegt gildi“, sem rita má $x\to \infty ,$ er verið að lýsa hegðun: $x$ vex án efri marka.

Fyrir fall með sléttum veldisvísi verða úttaksgildin stórar jákvæðar tölur þegar inntakið vex eða minnkar án takmarka. Með öðrum orðum: Þegar $x$ stefnir á jákvætt eða neikvætt óendanlegt gildi vaxa gildi $f\left(x\right)$ án efri marka. Með táknum má rita

Mynd 3 sýnir gröf fallanna $f(x)=x^3,g(x)=x^5\text{og}h(x)=x^7,$ sem eru öll veldisföll með jákvæða oddatöluveldisvísa. Takið eftir að gröfin líkjast þriðja stigs grunnfallinu. Eftir því sem veldisvísirinn hækkar fletjast þau aftur út nærri upphafspunktinum og verða brattari fjær honum.

Dæmin sýna að föll á forminu $f\left(x\right)=x^n$ hafa samhverfu af einhverju tagi. Á mynd 2 sést fyrst að jafnstæð föll á forminu $f\left(x\right)=x^n\text{, }n\text{slétt tala,}$ eru samhverf um $y\text{-}$ás. Á mynd 3 sést að oddstæð föll á forminu $f\left(x\right)=x^n\text{, }n\text{oddatala,}$ eru samhverf um upphafspunktinn.

Fyrir þessi oddstæðu veldisföll gildir að þegar $x$ stefnir á neikvætt óendanlegt gildi minnkar $f\left(x\right)$ án neðri marka. Þegar $x$ stefnir á jákvætt óendanlegt gildi vex $f\left(x\right)$ án efri marka. Með táknum ritum við

Hegðun grafs falls þegar inntaksgildin verða mjög neikvæð ( $x\to -\infty$ ) eða mjög stór ( $x\to \infty$ ) nefnist endahegðun fallsins. Endahegðun má lýsa með orðum eða táknum.

Mynd 4 sýnir endahegðun veldisfalla á forminu $f(x)=k{x}^n$ þar sem $n$ er jákvæð heiltala og stuðullinn er ekki núll. Hegðunin ræðst af veldisvísinum og formerki stuðulsins.

Olíuleiðsla rofnar í Mexíkóflóa og myndar nær hringlaga olíuflekk. Geisli flekksins er nú 24 mílur en stækkar um 8 mílur á viku. Við viljum setja fram formúlu fyrir flatarmálið sem flekkurinn þekur með því að setja saman tvö föll. Geisli $r$ flekksins ræðst af fjölda vikna $w$ sem liðnar eru. Sambandið er línulegt.

Við getum sett þetta saman við formúluna fyrir flatarmál $A$ hrings.

Þessi formúla er dæmi um margliðufall. Margliðufall er annaðhvort núll eða summa endanlegs fjölda liða sem eru ekki núll. Hver liður er margfeldi tölu, sem nefnist stuðull liðarins, og breytu í heiltöluveldi sem er ekki neikvætt.

Stig margliðufalls hjálpar okkur að spá fyrir um endahegðun þess. Til að ákvarða endahegðunina skoðum við forystulið margliðufallsins. Þar sem veldi forystuliðarins er hæst vex hann mun hraðar en hinir liðirnir þegar $x$ verður mjög stórt eða mjög neikvætt og hegðun hans verður því ráðandi á grafinu. Endahegðun sérhverrar margliðu samsvarar endahegðun liðarins af hæsta stigi. Sjá töflu 3.

Auk endahegðunar margliðufalls höfum við áhuga á því sem gerist á „miðju“ grafsins. Sérstaklega skoðum við staðina þar sem hegðun grafsins breytist. Snúningspunktur er punktur þar sem fallgildin hætta að vaxa og taka að minnka eða hætta að minnka og taka að vaxa.

Við skoðum einnig skurðpunkta. Eins og hjá öllum föllum er skurðpunkturinn við y-ás sá punktur þar sem grafið sker lóðrétta ásinn. Hann samsvarar hnitaparinu þar sem inntaksgildið er núll. Þar sem margliðufall er fall samsvarar aðeins eitt úttaksgildi hverju inntaksgildi og því getur aðeins verið einn skurðpunktur við y-ás, $(0,a_0).$ Skurðpunktar við x-ás koma fyrir við þau inntaksgildi sem gefa úttaksgildið núll. Skurðpunktarnir við x-ás geta verið fleiri en einn. Sjá mynd 9.

Stig margliðufalls hjálpar okkur að ákvarða fjölda skurðpunkta við $x\text{-}$ás og snúningspunkta. Margliðufall af $n\text{-ta}$ stigi, þar sem stigið er jákvætt, er margfeldi $n$ línulegra þátta yfir tvinntölunum og getur því haft í mesta lagi $n$ núllstöðvar í rauntölum, sem samsvara skurðpunktum við $x\text{-}$ás. Graf margliðufalls af stigi $n$ getur haft í mesta lagi $n–1$ snúningspunkta. Grafið hefur því í mesta lagi einum færri snúningspunkta en stig margliðunnar segir til um, eða einum færri en fjöldi þáttanna.