Skrifa kvaðratrætur neikvæðra talna sem margfeldi af i.
Merkja tvinntölur inn á tvinntalnaplanið.
Leggja saman og draga frá tvinntölur.
Margfalda og deila tvinntölum.
Stærðfræðin byggist sífellt ofan á sjálfa sig. Neikvæðar heiltölur fylla til dæmis upp í eyðu sem mengi jákvæðra heiltalna skilur eftir. Mengi ræðra talna fyllir á sama hátt upp í eyðu sem mengi heiltalna skilur eftir. Mengi rauntalna fyllir síðan upp í eyðu sem mengi ræðra talna skilur eftir. Það kemur því ekki á óvart að einnig séu eyður í mengi rauntalna. Við höfum til dæmis enn enga lausn á jöfnum á borð við
Fyrstu ágiskanir okkar gætu verið +2 eða −2. En ef við prófum +2 í jöfnunni gengur það ekki, og −2 gengur ekki heldur. Ef við viljum finna lausn á jöfnunni verðum við að ganga lengra en hingað til. Fram að þessu höfum við enda sagt kvaðratrót neikvæðrar tölu óskilgreinda. Sem betur fer er til annað talnakerfi sem gefur lausnir á verkefnum af þessu tagi. Í þessum hluta könnum við þetta talnakerfi og hvernig reikna má innan þess.
Kvaðratrætur neikvæðra talna skrifaðar sem margfeldi af i
Við kunnum að finna kvaðratrót sérhverrar jákvæðrar rauntölu. Á svipaðan hátt getum við fundið kvaðratrót neikvæðrar tölu. Munurinn er sá að rótin er ekki rauntala. Ef rótarstofninn er neikvæður nefnist rótin þvertala. Þvertalan er skilgreind sem kvaðratrótin af −1.
Með reglum um rætur fæst því
Við getum skrifað kvaðratrót sérhverrar neikvæðrar tölu sem margfeldi af Skoðum kvaðratrótina af −25.
Við notum en ekki
vegna þess að aðalkvaðratrótin af er jákvæða rótin.
Tvinntala er summa rauntölu og þvertölu. Tvinntala er á stöðluðu formi þegar hún er skrifuð , þar sem er raunhlutinn og er liðurinn sem inniheldur i. Stuðullinn b er þverhluti tölunnar. Til dæmis er tvinntala. Einnig er
Þvertölur eru frábrugðnar rauntölum vegna þess að þegar þvertala er sett í annað veldi fæst neikvæð rauntala. Rifjið upp að þegar jákvæð rauntala er sett í annað veldi fæst jákvæð rauntala og þegar neikvæð rauntala er sett í annað veldi fæst einnig jákvæð rauntala. Tvinntölur sameina rauntölur og þvertölur.
Dæmi 1
Þvertala skrifuð á stöðluðu formi
Skrifið á stöðluðu formi.
Lausn
Á stöðluðu formi er þetta
Tvinntala merkt inn á tvinntalnaplanið
Við getum ekki merkt tvinntölur inn á talnalínu eins og rauntölur. Við getum þó táknað þær myndrænt. Til að tákna tvinntölu þurfum við að taka tillit til beggja hluta hennar. Við notum tvinntalnaplanið, sem er hnitakerfi þar sem lárétti ásinn táknar raunhlutann og lóðrétti ásinn þverhlutann. Tvinntölur eru punktar á planinu og eru skrifaðar sem röðuð pör þar sem er hnit á lárétta ásnum og hnit á lóðrétta ásnum.
Skoðum töluna Raunhluti tvinntölunnar er og liðurinn sem inniheldur i er Við merkjum raðaða parið inn til að tákna tvinntöluna , eins og sýnt er á mynd 1.
Mynd 1. Tvinntalan −2 + 3i í tvinntalnaplaninu.
Dæmi 2
Tvinntala merkt inn á tvinntalnaplanið
Merkið tvinntöluna inn á tvinntalnaplanið.
Lausn
Raunhluti tvinntölunnar er og liðurinn sem inniheldur i er Við merkjum raðaða parið inn eins og sýnt er á mynd 3.
Mynd 3
Samlagning og frádráttur tvinntalna
Eins og með rauntölur getum við beitt reikniaðgerðum á tvinntölur. Til að leggja saman eða draga frá tvinntölur sameinum við raunhlutana annars vegar og þverhlutana hins vegar.
Dæmi 3
Samlagning tvinntalna
Leggið saman og
Lausn
Við leggjum raunhlutana saman og þverhlutana saman.
Margföldun tvinntalna
Margföldun tvinntalna er mjög lík margföldun tvíliða. Helsti munurinn er sá að við reiknum með raunhlutunum og þverhlutunum sitt í hvoru lagi.
Tvinntala margfölduð með rauntölu
Byrjum á að margfalda tvinntölu með rauntölu. Við dreifum rauntölunni eins og þegar um tvíliðu er að ræða. Til dæmis fæst
Dæmi 4
Tvinntala margfölduð með rauntölu
Finnið margfeldið
Lausn
Dreifið 4 yfir svigann.
Tvinntölur margfaldaðar saman
Margföldum nú saman tvær tvinntölur. Við getum annaðhvort beitt dreifireglunni eða FOIL-aðferðinni. Rifjið upp að FOIL er ensk skammstöfun fyrir margföldun fremstu, ytri, innri og öftustu liðanna. Með annarri hvorri aðferðinni fæst
Þar sem fæst
Til að einfalda sameinum við raunhlutana annars vegar og þverhlutana hins vegar.
Dæmi 5
Tvinntala margfölduð með tvinntölu
Margfaldið
Lausn
Notið
Deiling tvinntalna
Við deilingu tvinntalna viljum við skrifa kvótann á stöðluðu formi. Til þess gerum við nefnarann að rauntölu. Við þurfum að finna lið sem má margfalda bæði teljara og nefnara með þannig að þverhluti nefnarans hverfi og rauntala verði eftir í nefnaranum. Þessi liður nefnist samoka tvinntala nefnarans og fæst með því að skipta um formerki á þverhluta tvinntölunnar. Samoka tvinntala tölunnar er með öðrum orðum
Athugið að þetta samband er gagnkvæmt: Samoka tvinntala tölunnar er og samoka tvinntala tölunnar er Þegar annars stigs jafna með rauntölustuðlum hefur lausnir sem eru ekki rauntölur eru lausnirnar auk þess alltaf samoka tvinntölur.
Gerum ráð fyrir að við viljum deila með þar sem hvorki né er núll. Fyrst skrifum við deilinguna sem brot, finnum síðan samoka tvinntölu nefnarans og margföldum.
Margfaldið teljara og nefnara með samoka tvinntölu nefnarans.
Beitið dreifireglunni.
Einfaldið og munið að
Dæmi 6
Samoka tvinntölur fundnar
Finnið samoka tvinntölu hverrar tölu.
ⓐ
ⓑ
Lausn
ⓐ Talan er þegar á forminu Samoka tvinntalan er eða
ⓑ Við getum skrifað töluna á forminu sem Samoka tvinntalan er eða Þetta má einfaldlega skrifa sem
Greining
Þótt við höfum séð að unnt sé að finna samoka tölu við þvertölu finnum við í reynd yfirleitt aðeins samoka tvinntölur talna sem hafa bæði raunhluta og þverhluta. Til að fá rauntölu út frá þvertölu getum við einfaldlega margfaldað með
Dæmi 7
Deiling tvinntalna
Deilið með
Lausn
Við byrjum á að skrifa dæmið sem brot.
Síðan margföldum við teljara og nefnara með samoka tvinntölu nefnarans.
Til að margfalda tvær tvinntölur margföldum við upp úr svigunum eins og þegar margliður eru margfaldaðar (aðferðin er almennt kölluð FOIL).
Athugið að þannig er kvótinn settur fram á stöðluðu formi.
Dæmi 8
Tvinntala sett inn í margliðufall
Látum Reiknið
Lausn
Setjið inn í fallið og einfaldið.
Greining
Við skrifum Athugið að inntakið er og úttakið er
Dæmi 9
Þvertala sett inn í rætt fall
Látum Reiknið
Lausn
Setjið inn og einfaldið.
Veldi af i einfölduð
Veldin af mynda lotu. Skoðum hvað gerist þegar er hafið upp í sífellt hærri veldi.
Við sjáum að fimmta veldi er jafnt fyrsta veldinu. Þegar við höldum áfram að margfalda með sjálfu sér til að fá hærri veldi kemur fram fjögurra liða lota. Skoðum næstu fjögur veldi
Dæmi 10
Veldi af i einfölduð
Reiknið
Lausn
Þar sem getum við einfaldað dæmið með því að þátta út eins marga þætti af og unnt er. Fyrst deilum við 35 með 4 og finnum heiltölukvótann og afganginn:
3.1 Æfingar
Munnleg verkefni
1.
Útskýrið hvernig tvinntölur eru lagðar saman.
2.
Hver er grundvallarreglan við margföldun tvinntalna?
3.
Gefið dæmi sem sýnir að margfeldi tveggja þvertalna er ekki alltaf þvertala.
4.
Hvað einkennir staðsetningu rauntölu á tvinntalnaplaninu?
Algebruverkefni
Reiknið algebrustæðurnar í eftirfarandi verkefnum.
5.
reiknið
6.
reiknið
7.
reiknið
8.
reiknið
9.
reiknið
10.
reiknið
Myndræn verkefni
Ákvarðið fjölda rauntölulausna og lausna sem eru ekki rauntölur fyrir hvert annars stigs fall sem sýnt er í eftirfarandi verkefnum.
11.
12.
Merkið tvinntölurnar inn á tvinntalnaplanið í eftirfarandi verkefnum.
13.
14.
15.
16.
Töluleg verkefni
Framkvæmið tilgreinda reikniaðgerð í eftirfarandi verkefnum og setjið niðurstöðuna fram sem einfaldaða tvinntölu.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
Tækniverkefni
Notið reiknivél til að leysa eftirfarandi verkefni.
44.
Reiknið fyrir Spáið fyrir um gildið þegar
45.
Reiknið fyrir Spáið fyrir um gildið þegar
46.
Reiknið fyrir . Spáið fyrir um gildið þegar
47.
Sýnið að ein lausn jöfnunnar er
48.
Sýnið að ein lausn jöfnunnar er
Viðbótarverkefni
Reiknið stæðurnar í eftirfarandi verkefnum og setjið niðurstöðuna fram sem einfaldaða tvinntölu.
