3.8 Andhverf föll og rótaföll
3.8 Andhverf föll og rótaföll
Námsmarkmið
Í þessum hluta lærið þið að:
- Finna andhverfu margliðufalls.
- Takmarka skilgreiningarmengið til að finna andhverfu margliðufalls.
Landverðir og aðrir umsjónarmenn gönguleiða hlaða stundum grjóthrúgur, vörður eða önnur merki til að auðkenna leiðir og kennileiti. (Landverðir og umhverfisfræðingar ráða göngufólki frá því að gera slíkt hið sama, til að koma í veg fyrir rugling og vernda búsvæði plantna og dýra.) Varða úr möl hefur lögun keilu þar sem hæðin er tvöfaldur geislinn.
Rúmmálið er fundið með formúlu úr grunnrúmfræði.
Við höfum ritað rúmmálið sem fall af geislanum Í sumum tilvikum þekkjum við hins vegar rúmmálið í upphafi og viljum finna geislann. Til dæmis kaupir viðskiptavinur 100 rúmfet af möl til að mynda keilulaga hrúgu þar sem hæðin er tvöfaldur geislinn. Hver er geisli nýju keilunnar og hæð hennar? Til að svara spurningunni notum við formúluna
Þetta fall er andhverfa formúlunnar fyrir sem fall af
Í þessum hluta skoðum við andhverfur margliðufalla og ræðra falla og sérstaklega rótaföllin sem koma fram í ferlinu.
Andhverfa margliðufalls fundin
Tvö föll og eru andhverf föll ef fyrir sérhvert hnitapar í er samsvarandi hnitapar í andhverfa fallinu, Með öðrum orðum hefur inntaki og úttaki verið víxlað í hnitapörum andhverfu fallanna.
Til að fall eigi sér andhverfu verður það að vera eintækt.
Gerum til dæmis ráð fyrir að sjálfbærniklúbburinn smíði vatnssafnara í lögun fleygbogalaga rennu eins og sýnt er á mynd 2. Við getum notað upplýsingarnar á myndinni til að finna flatarmál vatnsyfirborðsins í rennunni sem fall af vatnsdýptinni.
Þar sem gagnlegt er að hafa jöfnu fyrir fleygbogalaga þversniðið leggjum við hnitakerfi yfir það. Þar er mælt lárétt og lóðrétt og upphafspunkturinn er í hvirfilpunkti fleygbogans. Sjá mynd 3.
Út frá þessu finnum við jöfnu fleygbogans. Við settum upphafspunktinn í hvirfilpunkt hans og vitum því að jafnan er á forminu Graf jöfnunnar þarf að fara í gegnum punktinn (6, 18), sem gerir okkur kleift að finna teygjustuðulinn
Jafna fleygbogalaga þversniðsins er
Við viljum finna flatarmál vatnsyfirborðsins og þurfum því að ákvarða breiddina efst sem fall af vatnsdýptinni. Fyrir sérhverja dýpt er breiddin svo við þurfum að leysa jöfnuna hér að framan fyrir og finna andhverfa fallið. Takið þó eftir að upphaflega fallið er ekki eintækt. Fyrir hvert jákvætt úttak eru tvö inntök sem gefa sama úttak, annað jákvætt en hitt neikvætt. Úttakið núll fæst aðeins þegar inntakið er núll.
Til að finna andhverfu getum við takmarkað upphaflega fallið við skilgreiningarmengi þar sem það er eintækt. Hér er eðlilegt að takmarka okkur við óneikvæð gildi . Á því skilgreiningarmengi getum við fundið andhverfu með því að leysa fyrir inntaksbreytuna:
Eins og þetta er ritað er það ekki fall. Þar sem við takmörkum okkur við óneikvæð gildi í upphaflega fallinu getum við útilokað neikvæðu lausnina og fengið þannig andhverfa fallið sem leitað er að.
Þar sem er fjarlægðin frá miðju fleygbogans að hvorri hlið er heildarbreidd vatnsyfirborðsins Rennan er 3 fet (36 tommur) á lengd og flatarmálið er því:
Dæmið sýnir tvö mikilvæg atriði:
Föll sem innihalda rætur eru oft nefnd rótaföll. Margliðufall á sér andhverfu á myndmengi sínu ef það er eintækt á skilgreiningarmengi sínu. Þó er ekki alltaf hægt að setja andhverfuna fram með einfaldri formúlu. Eintæk föll kallast andhverfanleg föll og við notum táknunina
Viðvörun: er ekki það sama og umhverfa fallsins Veldisvísirinn „–1“ er hér frátekinn til að tákna andhverf föll. Til að tákna umhverfu falls þyrftum við að rita
Mikilvæg tengsl andhverfra falla eru að þau „afturkalla“ hvort annað. Ef er andhverfa falls þá er andhverfa fallsins Með öðrum orðum breytir fallið gildinu afturkallar breytinguna, og öfugt. Formlega ritum við
og
Dæmi 1
Andhverf föll staðfest
Lausn
Dæmi 2
Andhverfa þriðja stigs falls fundin
Lausn
Þetta er ummyndun á þriðja stigs grunnfallinu og af þekkingu okkar á því vitum við að það er eintækt. Við finnum andhverfuna með því að leysa fyrir
Greining
Skoðið gröf og Takið eftir að þau eru samhverf um línuna Þetta gildir alltaf um graf falls og graf andhverfu þess.
Þar sem aðferðin fól í sér að víxla og skuluð þið einnig taka eftir samsvarandi punktum. Ef er á grafi þá er á grafi Þar sem er á grafi er á grafi Á sama hátt, þar sem er á grafi er á grafi Sjá mynd 4.
Skilgreiningarmengið takmarkað til að finna andhverfu margliðufalls
Hingað til höfum við getað fundið andhverfur þriðja stigs falla án þess að takmarka skilgreiningarmengi þeirra. Við vitum þó að ekki eru öll þriðja stigs margliðuföll eintæk. Takmarka má skilgreiningarmengi sumra falla sem eru ekki eintæk þannig að þau verði eintæk, en aðeins á hinu takmarkaða mengi. Fallið á því skilgreiningarmengi á sér þá andhverfu. Þar sem annars stigs föll eru ekki eintæk verðum við að takmarka skilgreiningarmengi þeirra til að finna andhverfurnar.
Dæmi 3
Skilgreiningarmengið takmarkað til að finna andhverfu margliðufalls
Lausn
Upphaflega fallið er ekki eintækt, en það er takmarkað við skilgreiningarmengið eða þar sem það er eintækt. Sjá mynd 5.
Til að finna andhverfuna byrjum við á að skipta út fyrir einföldu breytuna
Eins og þetta er ritað er það ekki fall. Við þurfum að skoða takmarkanir á skilgreiningarmengi upphaflega fallsins til að ákvarða andhverfuna. Þegar við víxluðum hlutverkum og í upphaflega fallinu skoðuðum við skilgreiningarmengið, það er gildin sem gat tekið. Eftir víxlun og urðu þau að gildunum sem gat tekið. Fyrir þetta fall er svo fyrir andhverfuna þarf eins og andhverfa fallið gefur.
- ⓐ Skilgreiningarmengi upphaflega fallsins er takmarkað við tölur sem eru stærri en eða jafnar 4. Úttök andhverfunnar verða því að vera stærri en eða jöfn 4, svo við veljum plúsmerkið:
- ⓑ Skilgreiningarmengi upphaflega fallsins er takmarkað við tölur sem eru minni en eða jafnar 4. Úttök andhverfunnar verða því að vera minni en eða jöfn 4, svo við veljum mínusmerkið:
Greining
Á gröfunum á mynd 6 sjáum við upphaflega fallið og andhverfu þess í sama hnitakerfi. Takið eftir að gröfin saman eru samhverf um línuna Hnitaparið er á grafi og hnitaparið er á grafi Fyrir sérhvert hnitapar gildir að ef er á grafi þá er á grafi Fyrir vaxandi greinina liggja skurðpunktar grafa og á línunni
Dæmi 4
Andhverfa annars stigs falls fundin þegar takmörkun er ekki tilgreind
Lausn
Við sjáum að þetta er fleygbogi með hvirfilpunkt í sem opnast upp. Þar sem grafið er minnkandi öðrum megin við hvirfilpunktinn en vaxandi hinum megin getum við gert fallið eintækt með því að takmarka skilgreiningarmengið við
Til að finna andhverfuna notum við hvirfilpunktsform annars stigs falls. Við setjum fyrst í stað og leysum síðan fyrir
Nú þurfum við að ákveða hvort tilvikið eigi við. Þar sem við takmörkuðum upphaflega fallið við skilgreiningarmengið eiga úttök andhverfunnar að uppfylla sama skilyrði og því notum við jákvæða tilvikið
Ef annars stigs fallið hefði ekki verið gefið á hvirfilpunktsformi væri fyrsta skrefið að umrita það á það form. Þá er auðvelt að sjá hnit hvirfilpunktsins og nota þau til að takmarka skilgreiningarmengið.
Greining
Takið eftir að við völdum að takmarka skilgreiningarmengið við Við hefðum eins getað takmarkað það við en þá væri Skoðið upphaflega fallið og andhverfu þess í sama hnitakerfi á mynd 7. Takið eftir að gröfin eru spegilmyndir hvort annars um línuna Hnitaparið er á grafi og hnitaparið er á grafi Af gröfum beggja falla í sama hnitakerfi sést að
og
Takið að lokum eftir að graf sker graf á línunni
Hagnýt verkefni með rótaföllum leyst
Takið eftir að föllin í fyrri dæmum voru öll margliðuföll en andhverfur þeirra rótaföll. Skilgreiningarmengi andhverfu rótarfalls verður að vera myndmengi upphaflega fallsins. Ef myndmengið er takmarkað þarf að taka tillit til þess.
Dæmi 5
Andhverfa rótarfalls fundin
Lausn
Takið eftir að úttök upphaflega fallsins eru óneikvæð. Skiptið út fyrir og leysið síðan fyrir
Munið að skilgreiningarmengi þessa falls verður að takmarkast við myndmengi upphaflega fallsins.
Greining
Takið eftir á mynd 8 að andhverfan er spegilmynd upphaflega fallsins um línuna Þar sem upphaflega fallið hefur aðeins óneikvæð úttök hefur andhverfa fallið aðeins óneikvæð inntök.
Rótaföll eru algeng í líkönum raunvísinda, eins og við sáum í inngangi hlutans. Nú höfum við næg verkfæri til að leysa verkefnið sem sett var fram í upphafi hans.
Dæmi 6
Hagnýtt verkefni leyst með þriðja stigs falli
Lausn
Skilgreiningarmengi samsetts rótarfalls ákvarðað
Þegar rótaföll eru samsett með öðrum föllum getur orðið flóknara að ákvarða skilgreiningarmengið.
Dæmi 7
Skilgreiningarmengi rótarfalls sem er samsett með ræðu falli fundið
Lausn
Þar sem kvaðratrót er aðeins skilgreind þegar rótarstofninn er óneikvæður þurfum við að ákvarða hvar Úttak ræðs falls getur skipt um formerki við skurðpunkta við x-ás og lóðfellur. Fyrir þessa jöfnu gæti grafið skipt um formerki þegar = –2, 1 og 3.
Til að ákvarða bilin þar sem ræða stæðan er jákvæð getum við prófað nokkur gildi í stæðunni eða skissað graf. Báðar aðferðir virka jafn vel, en í þessu dæmi notum við graf eins og sýnt er á mynd 9.
Fallið hefur tvo skurðpunkta við x-ás og við báða er hegðunin línuleg nálægt skurðpunktunum við x-ás. Það hefur eina lóðfellu sem samsvarar línulegum þætti; hegðunin líkist umhverfugrunnfallinu. Engin láfella er til vegna þess að stig teljarans er hærra en stig nefnarans. Skurðpunkturinn við y-ás er
Út frá skurðpunktinum við y-ás og skurðpunktinum við x-ás þegar getum við skissað vinstri hluta grafsins. Út frá hegðuninni við aðfelluna getum við skissað hægri hlutann.
Af grafinu getum við nú séð á hvaða bilum úttökin eru óneikvæð og þar með tryggt að upphaflega fallið sé skilgreint. Skilgreiningarmengi er eða með biltáknum
Andhverfur ræðra falla fundnar
Líkt og við leit að andhverfum annars stigs falla er stundum gagnlegt að finna andhverfu ræðs falls, einkum ræðra falla sem eru hlutföll línulegra falla, til dæmis í verkefnum um styrk.