Nota setninguna um ræðar núllstöðvar til að finna ræðar núllstöðvar.
Finna núllstöðvar margliðufalls.
Nota setninguna um þáttun í línulega þætti til að finna margliður með gefnar núllstöðvar.
Nota formerkjareglu Descartes.
Leysa raunhæf verkefni með margliðujöfnum.
Nýtt bakarí býður upp á skreyttar kökur á mörgum hæðum til sýnis og niðurskurðar við fimmtán ára hátíðarhöld stúlkna og brúðkaup, auk skúffukaka fyrir flesta gestina. Bakaríið vill að rúmmál lítillar skúffuköku sé 351 rúmtomma. Kakan er í laginu eins og réttstrendingur. Lengd hennar á að vera fjórum tommum meiri en breiddin og hæðin á að vera þriðjungur af breiddinni. Hver eiga mál kökuformsins að vera?
Leysa má verkefnið með því að setja fram þriðja stigs fall og leysa þriðja stigs jöfnu fyrir rúmmál kökunnar. Í þessum hluta kynnumst við ýmsum verkfærum til að setja fram margliðuföll og leysa margliðujöfnur.
Gildi margliðu reiknað með afgangssetningunni
Í síðasta hluta lærðum við að deila margliðum. Nú getum við notað margliðudeilingu til að reikna gildi margliða með afgangssetningunni. Ef margliðunni er deilt með má finna afganginn fljótt með því að reikna gildi margliðufallsins fyrir það er . Skoðum sönnun setningarinnar skref fyrir skref.
Munið að samkvæmt deilingarreikniritinu eru fyrir margliðuna sem deilistofn og margliðuna sem deili, sem er ekki núllmargliða, þar sem stig er minna en eða jafnt stigi til ótvírætt ákvarðaðar margliður og þannig að
Ef deilirinn, er fæst formið
Þar sem deilirinn er línulegur er afgangurinn fasti, Ef við reiknum þetta fyrir fæst
Með öðrum orðum er afgangurinn sem fæst þegar er deilt með
Dæmi 1
Afgangssetningin notuð til að reikna gildi margliðu
Notið afgangssetninguna til að reikna gildi
fyrir
Lausn
Til að finna afganginn með afgangssetningunni skal nota deilingu með reikniriti Horners og deila margliðunni með
Afgangurinn er 25. Því er
Greining
Við getum sannreynt svarið með því að reikna
Þáttasetningin notuð til að leysa margliðujöfnu
Þáttasetningin er önnur setning sem hjálpar okkur að greina margliðujöfnur. Hún segir til um tengsl núllstöðva margliðu við þætti hennar. Munið að deilingarreikniritið segir okkur að
Ef
er núllstöð þá er afgangurinn
jafn
og
eða
Takið eftir að þegar þetta er ritað á þessu formi er þáttur í Við getum því ályktað að ef
er núllstöð þá sé þáttur í
Á sama hátt gildir að ef
er þáttur í
þá er afgangurinn í deilingarreikniritinu
jafn 0. Það segir okkur að
sé núllstöð.
Þessar tvær ályktanir mynda þáttasetninguna. Eins og við munum brátt sjá hefur margliða af jákvæðu stigi
í tvinntalnakerfinu
núllstöðvar þegar margfeldni er talin með. Með þáttasetningunni má þátta margliðu að fullu sem forystustuðulinn margfaldaðan með margfeldi
þátta. Þegar margliðan hefur verið fullþáttuð má auðveldlega ákvarða núllstöðvar hennar.
Dæmi 2
Þáttasetningin notuð til að leysa margliðujöfnu
Sýnið að sé þáttur í Finnið hina þættina. Notið þættina til að ákvarða núllstöðvar margliðunnar.
Lausn
Við getum notað deilingu með reikniriti Horners til að sýna að sé þáttur í margliðunni.
Afgangurinn er núll og því er þáttur í margliðunni. Með deilingarreikniritinu má rita margliðuna sem margfeldi deilisins og kvótans:
Við getum þáttað annars stigs þáttinn og ritað margliðuna sem
Samkvæmt þáttasetningunni eru núllstöðvar jafnar –2, 3 og 5.
Setningin um ræðar núllstöðvar notuð til að finna ræðar núllstöðvar
Einnig má nota afgangssetninguna til að kanna hvort ræð tala sé núllstöð gefinnar margliðu. Fyrst þurfum við þó mengi ræðra talna til að prófa. Setningin um ræðar núllstöðvar hjálpar okkur að fækka mögulegum ræðum núllstöðvum með því að nota hlutfall þátta fastaliðarins og þátta forystustuðuls margliðunnar.
Skoðum annars stigs fall með núllstöðvarnar tvær
og
Samkvæmt þáttasetningunni samsvara þessar núllstöðvar ákveðnum þáttum. Setjum hvern þátt jafnan 0 og myndum síðan annars stigs fall með þessum núllstöðvum.
Takið eftir að tveir þættir fastaliðarins 6 eru teljararnir tveir í upphaflegu ræðu rótunum: 2 og 3. Á sama hátt eru tveir þættir forystustuðulsins 20 nefnararnir tveir í upphaflegu ræðu rótunum: 5 og 4.
Af þessu má álykta að fyrir margliður með heiltölustuðla séu teljarar ræðra róta, ritaðra sem fullstyttra brota, þættir fastaliðarins og nefnararnir þættir forystustuðulsins. Þetta er kjarni setningarinnar um ræðar núllstöðvar; hún gefur okkur mengi mögulegra ræðra núllstöðva.
Dæmi 3
Allar mögulegar ræðar núllstöðvar taldar upp
Teljið upp allar mögulegar ræðar núllstöðvar
Lausn
Einu mögulegu ræðu núllstöðvar
eru kvótar þátta síðasta liðarins, –4, og þátta forystustuðulsins, 2.
Fastaliðurinn er –4; þættir –4 eru
Forystustuðullinn er 2; þættir 2 eru
Ef einhverjar núllstöðvar margliðunnar eru ræðar þá fást þær með því að deila einhverjum þætti –4 með einhverjum þætti 2.
Takið eftir að
og sem þegar hafa verið talin upp. Við getum því stytt listann.
Dæmi 4
Setningin um ræðar núllstöðvar notuð til að finna ræðar núllstöðvar
Notið setninguna um ræðar núllstöðvar til að finna ræðar núllstöðvar
Lausn
Setningin um ræðar núllstöðvar segir okkur að ef er núllstöð
þá sé þáttur í 1 og þáttur í 2.
Þættir 1 eru og þættir 2 eru og Möguleg gildi eru og Þetta eru mögulegar ræðar núllstöðvar fallsins. Við getum ákvarðað hverjar þeirra eru raunverulegar núllstöðvar með því að setja þessi gildi fyrir í
Af þessum gildum eru ekki núllstöðvar Talan 1 er eina ræða núllstöð
Núllstöðvar margliðufalla fundnar
Setningin um ræðar núllstöðvar hjálpar okkur að fækka mögulegum ræðum núllstöðvum margliðufalls. Þegar ræð núllstöð hefur fundist getum við notað deilingu með reikniriti Horners til að lækka stig margliðunnar og leita að núllstöðvum kvótans.
Dæmi 5
Núllstöðvar margliðufalls með endurteknum núllstöðvum í rauntölum fundnar
Finnið núllstöðvar
Lausn
Setningin um ræðar núllstöðvar segir okkur að ef er núllstöð þá sé
þáttur í –1 og þáttur í 4.
Þættir
eru
og þættir
eru og Möguleg gildi eru og
Þetta eru mögulegar ræðar núllstöðvar fallsins. Við notum deilingu Horners til að prófa hverja mögulega núllstöð þar til við finnum eina sem gefur afganginn 0. Byrjum á 1.
Deiling með
gefur afganginn 0 og því er 1 núllstöð fallsins. Margliðuna má rita sem
Annars stigs margliðan er ferningur. Rita má
sem
Við vitum nú þegar að 1 er núllstöð. Hin núllstöðin hefur margfeldnina 2 vegna þess að þátturinn er í öðru veldi. Til að finna hana getum við sett þáttinn jafnan 0.
Núllstöðvar fallsins eru 1 og ; sú síðarnefnda hefur margfeldnina 2.
Greining
Skoðið graf fallsins á mynd 1. Takið eftir að við snertir grafið x-ásinn og snýr við. Það sýnir jafna margfeldni (2, 4, 6, …) fyrir núllstöðina Við fer grafið í gegnum x-ásinn. Það sýnir odda margfeldni (1, 3, 5, …) fyrir núllstöðina
Mynd 1
Undirstöðusetning algebrunnar notuð
Nú þegar við getum fundið ræðar núllstöðvar margliðufalls skoðum við setningu um fjölda núllstöðva þess í tvinntölum. Undirstöðusetning algebrunnar segir að sérhvert margliðufall af jákvæðu stigi hafi að minnsta kosti eina núllstöð í tvinntölum. Setningin er undirstaða lausna margliðujafna.
Gerum ráð fyrir að sé margliðufall af fjórða stigi og Undirstöðusetning algebrunnar segir að til sé að minnsta kosti ein tvinntölulausn, sem við köllum Samkvæmt þáttasetningunni má rita sem margfeldi og margliðukvóta. Þar sem er línulegur er margliðukvótinn af þriðja stigi. Beitum nú undirstöðusetningu algebrunnar á þriðja stigs margliðukvótann. Hann hefur að minnsta kosti eina núllstöð í tvinntölum, sem við köllum Því má rita margliðukvótann sem margfeldi og nýs annars stigs margliðukvóta. Haldið áfram að beita undirstöðusetningu algebrunnar þar til allar núllstöðvarnar hafa fundist. Þær verða fjórar þegar margfeldni er talin með og hver þeirra gefur þátt í
Dæmi 6
Núllstöðvar margliðufalls með núllstöðvum í tvinntölum fundnar
Finnið núllstöðvar
Lausn
Setningin um ræðar núllstöðvar segir okkur að ef er núllstöð þá sé þáttur í 3 og þáttur í 3.
Þættir 3 eru og Möguleg gildi og þar með mögulegar ræðar núllstöðvar fallsins, eru Við notum deilingu Horners til að prófa hverja mögulega núllstöð þar til við finnum eina sem gefur afganginn 0. Byrjum á –3.
Deiling með gefur afganginn 0 og því er –3 núllstöð fallsins. Margliðuna má rita sem
Síðan getum við sett annars stigs margliðuna jafna 0 og leyst jöfnuna til að finna aðrar núllstöðvar fallsins.
Núllstöðvar
eru –3 og
Greining
Skoðið graf fallsins á mynd 2. Takið eftir að við fer grafið í gegnum x-ásinn og sýnir að núllstöðin hefur odda margfeldni. Takið einnig eftir snúningspunktunum tveimur. Þar sem þetta er þriðja stigs margliða er fjöldi snúningspunkta sá mesti sem mögulegur er. Endahegðunin, að vaxa án takmarka til hægri og minnka án takmarka til vinstri, heldur því áfram. Þar með sjást allir x-skurðpunktar fallsins. Núllstöðin hefur margfeldnina 1 og hinar tvær lausnirnar eru eiginlegar tvinntölur, eins og þáttunin sýnir. Margfeldni núllstöðvarinnar er því ekki 3.
Mynd 2
Setningin um línulega þáttun notuð til að finna margliður með gefnar núllstöðvar
Mikilvæg afleiðing undirstöðusetningar algebrunnar, eins og áður kom fram, er að margliðufall af jákvæðu stigi hefur núllstöðvar í mengi tvinntalna þegar margfeldni er talin með. Það þýðir að rita má margliðufallið sem forystustuðulinn margfaldaðan með þáttum. Setningin um línulega þáttun segir að fjöldi línulegra þátta margliðufalls, þegar margfeldni er talin með, sé jafn stigi þess og að sérhver þáttur sé á forminu þar sem er tvinntala.
Látum vera margliðufall með rauntölustuðla og gerum ráð fyrir að sé núllstöð Samkvæmt þáttasetningunni er þáttur í Til þess að hafi rauntölustuðla verður einnig að vera þáttur í Ástæðan er sú að ef er margfaldaður með verða engir þverhlutar eftir í margfeldinu. Margfeldi þessara tveggja samoka þátta hefur því rauntölustuðla. Með öðrum orðum: Ef margliðufallið með rauntölustuðla hefur núllstöðina þá verður samoka tvinntalan einnig að vera núllstöð Þetta nefnist setningin um samoka tvinntölur.
Dæmi 7
Setningin um línulega þáttun notuð til að finna margliðu með gefnar núllstöðvar
Finnið fjórða stigs margliðu með rauntölustuðla og núllstöðvarnar –3, 2 og þannig að
Lausn
Þar sem
er núllstöð er
einnig núllstöð samkvæmt setningunni um samoka tvinntölur. Margliðan verður að hafa þættina og Þar sem við leitum að fjórða stigs margliðu og höfum nú fjórar núllstöðvar höfum við alla þættina fjóra. Byrjum á að margfalda þá saman.
Við þurfum að finna a þannig að Setjið og inn í
Margliðufallið er því
eða
Greining
Við fundum að bæði og voru núllstöðvar, en aðeins þurfti að gefa aðra þeirra. Ef er núllstöð margliðu með rauntölustuðla verður einnig að vera núllstöð hennar því er samoka tvinntalan við
Formerkjaregla Descartes notuð
Til er einföld leið til að ákvarða mögulegan fjölda jákvæðra og neikvæðra núllstöðva í rauntölum sérhvers margliðufalls. Ef margliðan er rituð eftir fallandi veldum sýnir formerkjaregla Descartes sambandið milli fjölda formerkjaskipta í og fjölda jákvæðra núllstöðva í rauntölum. Margliðufallið hér að neðan hefur til dæmis eitt formerkjaskipti.
Það segir okkur að fallið verði að hafa eina jákvæða núllstöð í rauntölum.
Sambærilegt samband er milli fjölda formerkjaskipta í og fjölda neikvæðra núllstöðva í rauntölum.
Í þessu tilviki eru 3 formerkjaskipti í . Það segir okkur að geti haft 3 eða 1 neikvæða núllstöð í rauntölum.
Dæmi 8
Formerkjaregla Descartes notuð
Notið formerkjareglu Descartes til að ákvarða mögulegan fjölda jákvæðra og neikvæðra núllstöðva í rauntölum
Lausn
Byrjið á að ákvarða fjölda formerkjaskipta.
Mynd 3
Formerkjaskiptin eru tvö og því er fjöldi jákvæðra raunróta annaðhvort 2 eða 0. Næst skoðum við til að ákvarða fjölda neikvæðra raunróta.
Mynd 4
Aftur eru formerkjaskiptin tvö og því er fjöldi neikvæðra raunróta annaðhvort 2 eða 0.
Við getum staðfest fjölda jákvæðra og neikvæðra raunróta með því að skoða graf fallsins. Sjá mynd 5. Af grafinu sést að fallið hefur 0 jákvæðar raunrætur og 2 neikvæðar raunrætur.
Mynd 5
Raunhæf verkefni leyst
Nú höfum við kynnt ýmis verkfæri til að leysa margliðujöfnur. Notum þau til að leysa verkefnið um bakaríið frá upphafi hlutans.
Dæmi 9
Margliðujöfnur leystar
Nýtt bakarí býður upp á skreyttar kökur á mörgum hæðum til sýnis og niðurskurðar við fimmtán ára hátíðarhöld stúlkna og brúðkaup, auk skúffukaka fyrir flesta gestina. Bakaríið vill að rúmmál lítillar skúffuköku sé 351 rúmtomma. Kakan er í laginu eins og réttstrendingur. Lengd hennar á að vera fjórum tommum meiri en breiddin og hæðin á að vera þriðjungur af breiddinni. Hver eiga mál kökuformsins að vera?
Lausn
Byrjið á að setja fram jöfnu fyrir rúmmál kökunnar. Rúmmál réttstrendings er gefið með Gefið er að lengdin eigi að vera fjórum tommum meiri en breiddin og því má rita lengd kökunnar sem Einnig er gefið að hæð kökunnar sé þriðjungur af breiddinni og því má rita hæðina sem Ritum rúmmál kökunnar sem fall af breidd hennar.
Setjið gefið rúmmál inn í þessa jöfnu.
Formerkjaregla Descartes segir okkur að til sé ein jákvæð lausn. Setningin um ræðar núllstöðvar segir að mögulegu ræðu núllstöðvarnar séu
og
Við getum notað deilingu Horners til að prófa þessar mögulegu núllstöðvar. Aðeins jákvæðar tölur koma til greina sem mál köku og því þurfum við ekki að prófa neikvæð gildi. Byrjum á gildum sem eru líklegust sem mál lítillar skúffuköku. Notið deilingu Horners til að prófa
Þar sem 1 er ekki lausn prófum við
Þar sem 3 er heldur ekki lausn prófum við
Deiling Horners gefur afganginn 0 og því er 9 lausn jöfnunnar. Við getum notað tengsl breiddarinnar við hin málin til að ákvarða lengd og hæð kökuformsins.
Skúffukökuformið á að vera 13 tommur á lengd, 9 tommur á breidd og 3 tommur á hæð.
Æfingar úr kafla 3.6
Orðleg verkefni
1.
Lýsið einni notkun afgangssetningarinnar.
2.
Útskýrið hvers vegna setningin um ræðar núllstöðvar tryggir ekki að núllstöðvar margliðufalls finnist.
3.
Hver er munurinn á ræðum núllstöðvum og núllstöðvum í rauntölum?
4.
Hvaða ákveðnu ályktun má draga ef formerkjaregla Descartes sýnir ekkert formerkjaskipti eða eitt formerkjaskipti?
5.
Hvers vegna ætti að prófa sama gildi aftur sem mögulega lausn ef deiling Horners sýnir að það er núllstöð?
Algebruverkefni
Notið afgangssetninguna í eftirfarandi verkefnum til að finna afganginn.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Notið gefinn þátt og þáttasetninguna í eftirfarandi verkefnum til að finna allar núllstöðvar í rauntölum gefins margliðufalls.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
Notið setninguna um ræðar núllstöðvar í eftirfarandi verkefnum til að finna allar núllstöðvar í rauntölum.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
Finnið allar tvinntölulausnir, bæði rauntölulausnir og eiginlegar tvinntölulausnir, í eftirfarandi verkefnum.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
Grafísk verkefni
Notið formerkjareglu Descartes í eftirfarandi verkefnum til að ákvarða mögulegan fjölda jákvæðra og neikvæðra lausna. Teiknið síðan graf til að staðfesta hvaða samsetning er rétt.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
Töluleg verkefni
Teljið upp allar mögulegar ræðar núllstöðvar fallanna í eftirfarandi verkefnum.
56.
57.
58.
59.
60.
Tæknibúnaður
Notið reiknivél til að teikna graf margliðufallsins í eftirfarandi verkefnum. Finnið ræðu núllstöðvarnar út frá grafinu. Allar rauntölulausnirnar eru ræðar.
61.
62.
63.
64.
65.
Viðbótarverkefni
Myndið margliðufall af lægsta mögulega stigi út frá gefnum upplýsingum í eftirfarandi verkefnum.
66.
Raunrætur: –1, 1 og 3 og
67.
Raunrætur: –1 og 1 (með margfeldnina 2 og 1) og
68.
Raunrætur: –2 og
(með margfeldnina 2) og
69.
Raunrætur:
, 0 og
og
70.
Raunrætur: –4, –1, 1 og 4 og
Hagnýt verkefni
Finnið mál kassans sem lýst er í eftirfarandi verkefnum.
71.
Lengdin er tvöföld breiddin. Hæðin er 2 tommum meiri en breiddin. Rúmmálið er 192 rúmtommur.
72.
Lengd, breidd og hæð eru þrjár samliggjandi heilar tölur. Rúmmálið er 120 rúmtommur.
73.
Lengdin er einni tommu meiri en breiddin, sem er einni tommu meiri en hæðin. Rúmmálið er 86,625 rúmtommur.
74.
Lengdin er þreföld hæðin og hæðin er einni tommu minni en breiddin. Rúmmálið er 108 rúmtommur.
75.
Lengdin er 3 tommum meiri en breiddin. Breiddin er 2 tommum meiri en hæðin. Rúmmálið er 120 rúmtommur.
Finnið mál sívalningsins sem lýst er í eftirfarandi verkefnum. Grunnflöturinn er hringlaga og ásinn hornréttur á hann.
76.
Geislinn er 3 tommum lengri en hæðin. Rúmmálið er rúmtommur.
77.
Hæðin er einum metra minni en helmingur geislans. Rúmmálið er rúmmetrar.
78.
Munurinn á geislanum og hæðinni er einn metri. Geislinn er lengri og rúmmálið er rúmmetrar.
79.
Munurinn á geislanum og hæðinni er tveir metrar. Hæðin er meiri og rúmmálið er
rúmmetrar.
80.
80. Geislinn er metra lengri en hæðin. Rúmmálið er
rúmmetrar.
