33 Margliðu- og ræð föll

3.2 Annars stigs föll

Námsmarkmið

Í þessum hluta lærið þið að:

Þekkja einkenni fleygboga.
Skilja hvernig graf fleygboga tengist annars stigs fallinu sem lýsir honum.
Ákvarða minnsta eða stærsta gildi annars stigs falls.
Leysa verkefni sem varða minnsta eða stærsta gildi annars stigs falls.

Gervihnattadiskar. — **Mynd 1.** Röð gervihnattadiska. (mynd: Matthew Colvin de Valle, Flickr)

Fleygbogalaga loftnetsskálar, eins og þær sem sýndar eru á mynd 1, eru algengar til að safna örbylgjum og útvarpsbylgjum í brennipunkt við flutning sjónvarps- og símasendinga og samskipti við gervihnetti og geimför. Þversnið loftnetsskálarinnar hefur lögun fleygboga sem lýsa má með annars stigs falli.

Í þessum hluta könnum við annars stigs föll, sem eru oft notuð til að líkja eftir verkefnum um flatarmál og kasthreyfingu. Reikningar með annars stigs föll geta verið einfaldari en reikningar með föll af hærra stigi og gefa því gott tækifæri til að rannsaka hegðun falla ítarlega.

Einkenni fleygboga

Graf annars stigs falls er U-laga ferill sem nefnist fleygbogi. Mikilvægt einkenni grafsins er útgildispunktur þess, sem nefnist hvirfilpunktur. Ef fleygboginn opnast upp táknar hvirfilpunkturinn lægsta punkt grafsins, þar sem annars stigs fallið tekur minnsta gildi sitt. Ef fleygboginn opnast niður táknar hvirfilpunkturinn hæsta punkt grafsins, þar sem fallið tekur stærsta gildi sitt. Í báðum tilvikum er hvirfilpunkturinn snúningspunktur á grafinu. Grafið er einnig samhverft um lóðrétta línu sem liggur í gegnum hvirfilpunktinn og nefnist samhverfuás. Þessi einkenni eru sýnd á mynd 2.

Graf fleygboga þar sem skurðpunktar við x- og y-ás, hvirfilpunktur og samhverfuás eru merktir. — **Mynd 2.** Hvirfilpunktur, samhverfuás og skurðpunktar fleygboga við hnitaása.

Skurðpunkturinn við y-ás er punkturinn þar sem fleygboginn sker y-ásinn. Skurðpunktarnir við x-ás eru punktarnir þar sem fleygboginn sker x-ásinn. Ef slíkir punktar eru til tákna skurðpunktarnir við x-ás núllstöðvar, eða rætur, annars stigs fallsins, það er þau gildi $x$ þar sem $y = 0.$

Dæmi 1

Einkenni fleygboga fundin

Ákvarðið hvirfilpunkt, samhverfuás, núllstöðvar og skurðpunkt við $y -$ ás fyrir fleygbogann á mynd 3.

Graf fleygboga með hvirfilpunkt í (3, 1) og skurðpunkt við y-ás í (0, 7). — Mynd 3

Lausn

Hvirfilpunkturinn er snúningspunktur grafsins. Við sjáum að hann er í $(3, 1) .$ Þar sem fleygboginn opnast upp er samhverfuásinn lóðrétta línan sem sker fleygbogann í hvirfilpunktinum. Samhverfuásinn er því $x = 3.$ Fleygboginn sker ekki $x -$ ásinn og hefur því engar núllstöðvar. Hann sker $y -$ ásinn í $(0, 7)$ og það er því skurðpunkturinn við y-ás.

Tengsl grafa fleygboga við annars stigs föll þeirra

Almennt form annars stigs falls setur fallið fram á forminu

f (x) = a x^{2} + b x + c

þar sem $a, b$ og $c$ eru rauntölur og $a \neq 0.$ Ef $a > 0$ opnast fleygboginn upp. Ef $a < 0$ opnast hann niður. Við getum notað almennt form fleygboga til að finna jöfnu samhverfuássins.

Samhverfuásinn er skilgreindur með $x = - \frac{b}{2 a} .$ Ef við notum lausnarformúlu annars stigs jöfnu, $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a},$ til að leysa $a x^{2} + b x + c = 0$ og finna skurðpunktana við $x -$ ás, eða núllstöðvarnar, kemur í ljós að gildi $x$ mitt á milli þeirra er alltaf $x = - \frac{b}{2 a},$ sem er jafna samhverfuássins.

Mynd 4 sýnir graf annars stigs fallsins sem er skrifað á almennu formi sem $y = x^{2} + 4 x + 3.$ Á þessu formi eru $a = 1, b = 4$ og $c = 3.$ Þar sem $a > 0$ opnast fleygboginn upp. Samhverfuásinn er $x = - \frac{4}{2 (1)} = - 2.$ Þetta er einnig rökrétt því á grafinu sést að lóðrétta línan $x = - 2$ skiptir grafinu í tvennt. Hvirfilpunkturinn er alltaf á samhverfuásnum. Hvirfilpunktur fleygboga sem opnast upp er í lægsta punkti grafsins, í þessu tilviki í $(- 2, - 1) .$ Skurðpunktarnir við $x -$ ás, þar sem fleygboginn sker $x -$ ásinn, eru í $(- 3, 0)$ og $(- 1, 0) .$

Graf fleygboga sem sýnir skurðpunkta grafsins við x- og y-ás, hvirfilpunktinn og samhverfuás fallsins y = x^2 + 4x + 3.

Staðlað form annars stigs falls setur fallið fram á forminu

f (x) = a {(x - h)}^{2} + k

þar sem $(h, k)$ er hvirfilpunkturinn. Þar sem hvirfilpunkturinn kemur fram í stöðluðu formi annars stigs fallsins nefnist þetta form einnig hvirfilpunktsform annars stigs falls.

Líkt og á við um almenna formið, ef $a > 0$ opnast fleygboginn upp og fallið tekur lágmarksgildi sitt í hvirfilpunktinum. Ef $a < 0$ opnast fleygboginn niður og fallið tekur hámarksgildi sitt í hvirfilpunktinum. Mynd 5 sýnir graf annars stigs fallsins á stöðluðu formi sem $y = −3 {(x + 2)}^{2} + 4.$ Þar sem $x - h = x + 2$ í þessu dæmi er $h = –2.$ Á þessu formi eru $a = −3, h = −2$ og $k = 4.$ Þar sem $a < 0$ opnast fleygboginn niður. Hvirfilpunkturinn er í $(- 2, 4) .$

Graf fleygboga sem sýnir skurðpunkta grafsins við x- og y-ás, hvirfilpunktinn og samhverfuás fallsins y = −3(x + 2)^2 + 4.

Staðlaða formið er gagnlegt til að ákvarða hvernig grafið er ummyndað út frá grafi $y = x^{2} .$ Mynd 6 sýnir graf þessa grunnfalls.

Graf jöfnunnar y = x^2 sem sýnir fleygboga sem opnast upp og hefur hvirfilpunkt í upphafspunktinum (0, 0). x-ásinn nær frá −4 til 4 og y-ásinn frá −1 til 10.

Ef $k > 0$ hliðrast grafið upp en ef $k < 0$ hliðrast það niður. Á mynd 5 er $k > 0,$ svo grafið hliðrast um 4 einingar upp. Ef $h > 0$ hliðrast grafið til hægri en ef $h < 0$ hliðrast það til vinstri. Á mynd 5 er $h < 0,$ svo grafið hliðrast um 2 einingar til vinstri. Tölugildi $a$ gefur til kynna teygju grafsins. Ef $| a | > 1$ færist punkturinn sem samsvarar tilteknu $x -$ gildi fjær x-ásnum. Grafið virðist því mjórra og verður fyrir lóðréttri teygju. Ef $| a | < 1$ færist punkturinn sem samsvarar tilteknu $x -$ gildi nær x-ásnum. Grafið virðist þá breiðara en verður í raun fyrir lóðréttri samþjöppun. Á mynd 5 er $| a | > 1,$ svo grafið verður mjórra.

Staðlaða formið og almenna formið eru jafngildar leiðir til að lýsa sama falli. Við sjáum það með því að margfalda upp úr staðlaða forminu og setja það jafnt almenna forminu.

\begin{array}{l} a {(x - h)}^{2} + k = a x^{2} + b x + c \\ a x^{2} - 2 a h x + (a h^{2} + k) = a x^{2} + b x + c \end{array}

Til að línulegu liðirnir séu jafnir verða stuðlarnir að vera jafnir.

–2 a h = b, því h = - \frac{b}{2 a} .

Þetta er samhverfuásinn sem við skilgreindum áður. Setjum fastaliðina jafna:

\begin{array}{l} a h^{2} + k = c \\ k = c - a h^{2} \\ = c - a {(- \frac{b}{2 a})}^{2} \\ = c - \frac{b^{2}}{4 a} \end{array}

Í reynd er þó yfirleitt auðveldara að muna að k er úttaksgildi fallsins þegar inntakið er $h,$ þannig að $f (h) = k .$

Dæmi 2

Jafna annars stigs falls skrifuð út frá grafi

Skrifið jöfnu annars stigs fallsins $g$ á mynd 7 sem ummyndun fallsins $f (x) = x^{2},$ margfaldið síðan upp úr formúlunni og einfaldið liðina til að skrifa jöfnuna á almennu formi.

Graf fleygboga með hvirfilpunkt í (−2, −3). — Mynd 7

Lausn

Við sjáum að graf g er graf fallsins $f (x) = x^{2}$ hliðrað um 2 til vinstri og 3 niður. Það gefur formúlu á forminu $g (x) = a {(x + 2)}^{2} - 3.$

Með því að setja inn hnit punkts á ferlinum, til dæmis $(0, −1),$ getum við fundið teygjustuðulinn.

\begin{array}{l} - 1 = a {(0 + 2)}^{2} - 3 \\ 2 = 4 a \\ a = \frac{1}{2} \end{array}

Á stöðluðu formi er algebrulíkanið fyrir grafið $g (x) = \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - 3.$

Til að skrifa þetta á almennu margliðuformi getum við margfaldað upp úr formúlunni og einfaldað liðina.

\begin{array}{l} g (x) = \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - 3 \\ = \frac{1}{2} (x + 2) (x + 2) - 3 \\ = \frac{1}{2} (x^{2} + 4 x + 4) - 3 \\ = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + 2 - 3 \\ = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 1 \end{array}

Athugið að lárétt og lóðrétt hliðrun grunngrafs annars stigs fallsins ákvarðar staðsetningu hvirfilpunkts fleygbogans. Teygja og samþjöppun hafa ekki áhrif á hvirfilpunktinn.

Greining

Við getum kannað lausnina með töflueiginleika grafteikniforrits. Sláið fyrst inn $Y1 = \frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - 3.$ Veljið síðan $TBLSET,$ notið $TblStart = - 6$ og $Δ Tbl = 2,$ og veljið $TABLE .$ Sjá töflu 1.

$x$	–6	–4	–2	0	2
$y$	5	–1	–3	–1	5

Röðuðu pörin í töflunni samsvara punktum á grafinu.

Dæmi 3

Hvirfilpunktur annars stigs falls fundinn

Finnið hvirfilpunkt annars stigs fallsins $f (x) = 2 x^{2} - 6 x + 7.$ Skrifið fallið á stöðluðu formi (hvirfilpunktsformi).

Lausn

Lárétt hnit hvirfilpunktsins er

\begin{array}{l} h = - \frac{b}{2 a} \\ = - \frac{- 6}{2 (2)} \\ = \frac{6}{4} \\ = \frac{3}{2} \end{array}

Lóðrétt hnit hvirfilpunktsins er

\begin{array}{l} k = f (h) \\ = f (\frac{3}{2}) \\ = 2 {(\frac{3}{2})}^{2} - 6 (\frac{3}{2}) + 7 \\ = \frac{5}{2} \end{array}

Þegar fallið er skrifað á stöðluðu formi er teygjustuðullinn sá sami og $a$ í upphaflega annars stigs fallinu.

\begin{array}{l} f (x) = a x^{2} + b x + c \\ f (x) = 2 x^{2} - 6 x + 7 \end{array}

Þegar hvirfilpunkturinn er notaður til að ákvarða hliðranirnar fæst

f (x) = 2 {(x - \frac{3}{2})}^{2} + \frac{5}{2}

Greining

Ein ástæða þess að við viljum finna hvirfilpunkt fleygbogans er að hann segir okkur hvert stærsta eða minnsta úttaksgildið er, $(k),$ og við hvaða inntaksgildi það fæst, $(x) .$

Skilgreiningarmengi og myndmengi annars stigs falls fundin

Sérhver rauntala getur verið inntaksgildi annars stigs falls. Skilgreiningarmengi sérhvers annars stigs falls er því mengi allra rauntalna. Þar sem fleygbogar hafa hámarks- eða lágmarkspunkt er myndmengið takmarkað. Hvirfilpunktur fleygboga er annaðhvort hámark eða lágmark. Myndmengið samanstendur því annaðhvort af öllum y-gildum sem eru stærri en eða jöfn y-hniti hvirfilpunktsins eða af öllum y-gildum sem eru minni en eða jöfn y-hniti hans, eftir því hvort fleygboginn opnast upp eða niður.

Dæmi 4

Skilgreiningarmengi og myndmengi annars stigs falls fundin

Finnið skilgreiningarmengi og myndmengi $f (x) = - 5 x^{2} + 9 x - 1.$

Lausn

Eins og á við um öll annars stigs föll er skilgreiningarmengið allar rauntölur.

Þar sem $a$ er neikvætt opnast fleygboginn niður og hefur hámark. Við þurfum að ákvarða stærsta gildið. Við getum byrjað á að finna $x -$ gildi hvirfilpunktsins.

\begin{array}{l} h = - \frac{b}{2 a} \\ = - \frac{9}{2 (- 5)} \\ = \frac{9}{10} \end{array}

Stærsta gildið er gefið með $f (h) .$

\begin{array}{l} f (\frac{9}{10}) = - 5 {(\frac{9}{10})}^{2} + 9 (\frac{9}{10}) - 1 \\ = \frac{61}{20} \end{array}

Myndmengið er $f (x) \leq \frac{61}{20},$ eða $(- \infty, \frac{61}{20}] .$

Stærstu og minnstu gildi annars stigs falla ákvörðuð

Úttaksgildi annars stigs falls í hvirfilpunktinum er stærsta eða minnsta gildi fallsins eftir því hvernig fleygboginn snýr. Stærstu og minnstu gildin eru sýnd á mynd 9.

Tvö gröf. Fyrra grafið sýnir lággildi fallsins f(x) = (x − 2)^2 + 1 í punktinum (2, 1) og síðara grafið sýnir hágildi fallsins g(x) = −(x + 3)^2 + 4 í punktinum (−3, 4). — **Mynd 9.** Lággildi fleygboga sem opnast upp og hágildi fleygboga sem opnast niður.

Margar raunverulegar aðstæður krefjast þess að stærsta eða minnsta gildi annars stigs falls sé fundið, til dæmis viðfangsefni um flatarmál og tekjur.

Dæmi 5

Stærsta gildi annars stigs falls fundið

Kona sem ræktar matjurtir í bakgarðinum vill girða af rétthyrnt svæði fyrir nýjan garð innan afgirts bakgarðsins. Hún hefur keypt 80 fet af vírgirðingu fyrir þrjár hliðar og ætlar að nota hluta bakgarðsgirðingarinnar sem fjórðu hliðina.

ⓐ Finnið formúlu fyrir flatarmálið sem girðingin afmarkar ef hliðar girðingarinnar sem eru hornréttar á núverandi girðingu hafa lengdina $L .$
ⓑ Hvaða mál ætti garðurinn að hafa til að flatarmálið innan girðingarinnar verði sem stærst?

Lausn

Notum teikningu eins og mynd 10 til að skrá gefnu upplýsingarnar. Einnig er gagnlegt að innleiða bráðabirgðabreytuna $W$ fyrir breidd garðsins og lengd girðingarhlutans sem er samsíða bakgarðsgirðingunni.

Teikning af garðinum og bakgarðinum. — Mynd 10

ⓐ Við vitum að aðeins 80 fet af girðingu eru tiltæk og $L + W + L = 80,$ eða einfaldara, $2 L + W = 80.$ Þannig getum við sett breiddina, $W,$ fram með $L .$
$W = 80 - 2 L$

Nú getum við skrifað jöfnu fyrir flatarmálið sem girðingin afmarkar. Flatarmál rétthyrnings er lengd margfölduð með breidd og því er

$\begin{array}{l} A = L W = L (80 - 2 L) \\ A (L) = 80 L - 2 L^{2} \end{array}$

Þessi formúla setur flatarmálið innan girðingarinnar fram sem fall af lengdarbreytunni $L .$ Fallið á almennu formi er

$A (L) = - 2 L^{2} + 80 L .$
Annars stigs fallið hefur neikvæðan forystustuðul. Grafið opnast því niður og hvirfilpunkturinn gefur stærsta gildi flatarmálsins. Við þurfum að gæta okkar þegar við finnum hvirfilpunktinn því jafnan er ekki skrifuð á stöðluðu margliðuformi með lækkandi veldum. Þess vegna skrifuðum við fallið á almennu formi hér að framan. Þar sem $a$ er stuðull ferningsliðarins eru $a = −2, b = 80$ og $c = 0.$

Til að finna hvirfilpunktinn:

\begin{array}{l} h = - \frac{80}{2 (- 2)} & k = A (20) \\ = 20 & og & = 80 (20) - 2 {(20)}^{2} \\ = 800 \end{array}

Stærsta gildi fallsins er flatarmálið 800 ferfet og fæst þegar $L = 20$ fet. Þegar styttri hliðarnar eru 20 fet eru 40 fet af girðingu eftir fyrir lengri hliðina. Til að hámarka flatarmálið ætti hún að girða garðinn þannig að styttri hliðarnar tvær séu 20 fet að lengd og lengri hliðin, samsíða núverandi girðingu, sé 40 fet að lengd.

Greining

Einnig mætti leysa verkefnið með því að teikna graf annars stigs fallsins. Á grafi fallsins á mynd 11 sjáum við hvar flatarmálið verður mest.

Graf fleygbogafallsins A(L) = −2L^2 + 80L. x-ásinn er merktur Lengd (L) og y-ásinn Flatarmál (A). Hvirfilpunkturinn er í (20, 800). — Mynd 11

Dæmi 6

Mestu tekjur fundnar

Einingarverð vöru hefur áhrif á framboð á henni og eftirspurn eftir henni. Ef einingarverðið hækkar minnkar eftirspurnin yfirleitt. Staðarblað hefur til dæmis nú 84.000 áskrifendur sem greiða 30 Bandaríkjadali á ársfjórðungi. Markaðsrannsókn bendir til þess að ef eigendurnir hækkuðu verðið í 32 Bandaríkjadali myndi blaðið missa 5.000 áskrifendur. Gerið ráð fyrir að línulegt samband sé milli áskriftarverðs og fjölda áskrifenda. Hvaða verð ætti blaðið að taka fyrir ársfjórðungsáskrift til að hámarka tekjurnar?

Lausn

Tekjur eru sú fjárhæð sem fyrirtæki aflar. Hér finnum við tekjurnar með því að margfalda verð hverrar áskriftar með fjölda áskrifenda. Við skilgreinum breyturnar $p$ fyrir verð áskriftar og $Q$ fyrir fjölda áskrifenda og fáum jöfnuna $Tekjur = p Q .$

Þar sem fjöldi áskrifenda breytist með verðinu þurfum við að finna samband breytanna. Við vitum að nú eru $p = 30$ og $Q = 84 . 000.$ Við vitum einnig að ef verðið hækkar í 32 Bandaríkjadali missir blaðið 5.000 áskrifendur. Það gefur annað gildapar, $p = 32$ og $Q = 79 . 000.$ Út frá þessu getum við fundið línulega jöfnu sem tengir stærðirnar tvær. Hallatalan er

\begin{array}{l} m = \frac{79 . 000 - 84 . 000}{32 - 30} \\ = \frac{- 5 . 000}{2} \\ = - 2 . 500 \end{array}

Þetta segir okkur að blaðið missi 2.500 áskrifendur fyrir hvern Bandaríkjadal sem verðið hækkar um. Þá getum við fundið skurðpunktinn við y-ás.

\begin{array}{l} Q = −2500 p + b & Setjið inn hnit punktsins Q = 84 . 000 og p = 30 \\ 84 . 000 = −2500 (30) + b & Leyst fyrir b \\ b = 159 . 000 \end{array}

Þannig fæst línulega jafnan $Q = −2.500 p + 159 . 000$ sem tengir verð og fjölda áskrifenda. Snúum okkur aftur að tekjujöfnunni.

\begin{array}{l} Tekjur = p Q \\ Tekjur = p (−2 . 500 p + 159 . 000) \\ Tekjur = −2 . 500 p^{2} + 159 . 000 p \end{array}

Nú höfum við annars stigs fall sem gefur tekjurnar sem fall af áskriftarverðinu. Til að finna verðið sem hámarkar tekjur blaðsins getum við fundið hvirfilpunktinn.

\begin{array}{l} h = - \frac{159.000}{2 (- 2 . 500)} \\ = 31,8 \end{array}

Líkanið segir okkur að tekjurnar verði mestar ef blaðið tekur 31,80 Bandaríkjadali fyrir áskrift. Til að finna mestu tekjurnar reiknum við gildi tekjufallsins.

\begin{array}{l} hámarkstekjur = −2.500 {(31,8)}^{2} + 159.000 (31,8) \\ = 2.528.100 \end{array}

Greining

Einnig mætti leysa verkefnið með því að teikna graf annars stigs fallsins eins og á mynd 12. Á grafinu sjáum við hvar tekjurnar verða mestar.

Graf fleygbogafalls þar sem x-ásinn sýnir verð (p) og y-ásinn tekjur í þúsundum Bandaríkjadala. Hvirfilpunkturinn er í (31,80; 2528,1). — Mynd 12

Skurðpunktar annars stigs falls við x- og y-ás fundnir

Líkt og í hagnýtu verkefnunum hér að framan þurfum við einnig að finna skurðpunkta annars stigs jafna til að teikna fleygboga. Rifjið upp að skurðpunktur annars stigs falls við $y -$ ás fæst með því að reikna gildi fallsins þegar inntakið er núll. Skurðpunktar við $x -$ ás eru þar sem úttakið er núll. Á mynd 13 sést að fjöldi skurðpunkta við $x -$ ás getur verið mismunandi eftir staðsetningu grafsins.

Þrjú gröf. Fyrsta grafið sýnir fleygboga án skurðpunkts við x-ás, annað fleygboga með einn skurðpunkt og hið þriðja fleygboga með tvo skurðpunkta við x-ás. — **Mynd 13.** Fjöldi skurðpunkta fleygboga við x-ás

Dæmi 7

Skurðpunktar fleygboga við y- og x-ás fundnir

Finnið skurðpunktana við y- og x-ás fyrir annars stigs fallið $f (x) = 3 x^{2} + 5 x - 2.$

Lausn

Við finnum skurðpunktinn við y-ás með því að reikna $f (0) .$

\begin{array}{l} f (0) = 3 {(0)}^{2} + 5 (0) - 2 \\ = - 2 \end{array}

Skurðpunkturinn við y-ás er því í $(0, −2) .$

Til að finna skurðpunktana við x-ás finnum við allar lausnir $f (x) = 0.$

0 = 3 x^{2} + 5 x - 2

Í þessu tilviki er auðvelt að þátta annars stigs stæðuna og það er því einfaldasta lausnaraðferðin.

0 = (3 x - 1) (x + 2)

\begin{array}{l} 0 = 3 x - 1 & 0 = x + 2 \\ x = \frac{1}{3} & eða & x = - 2 \end{array}

Skurðpunktarnir við x-ás eru því í $(\frac{1}{3}, 0)$ og $(- 2, 0) .$

Greining

Með því að teikna graf fallsins getum við staðfest að grafið sker y-ásinn í $(0, −2) .$ Við getum einnig staðfest að grafið sker x-ásinn í $(\frac{1}{3}, 0)$ og $(−2, 0) .$ Sjá mynd 14

Graf fleygboga með skurðpunkta í (−2, 0), (1/3, 0) og (0, −2). — Mynd 14

Annars stigs föll skrifuð á stöðluðu formi

Í dæmi 7 var auðvelt að leysa annars stigs jöfnuna með þáttun. Margar annars stigs jöfnur er þó ekki auðvelt að leysa með þáttun. Við getum leyst þær með því að skrifa samsvarandi fall fyrst á stöðluðu formi.

Dæmi 8

Skurðpunktar fleygboga við x-ás fundnir

Finnið skurðpunkta við $x -$ ás fyrir annars stigs fallið $f (x) = 2 x^{2} + 4 x - 4.$

Lausn

Við byrjum á að leysa jöfnuna þar sem úttakið er núll.

0 = 2 x^{2} + 4 x - 4

Þar sem ekki er auðvelt að þátta annars stigs stæðuna í þessu tilviki finnum við skurðpunktana með því að skrifa fallið fyrst á stöðluðu formi.

f (x) = a {(x - h)}^{2} + k

Við vitum að $a = 2.$ Síðan leysum við fyrir $h$ og $k .$

\begin{array}{l} h = - \frac{b}{2 a} & k = f (- 1) \\ = - \frac{4}{2 (2)} & = 2 {(- 1)}^{2} + 4 (- 1) - 4 \\ = −1 & = −6 \end{array}

Nú getum við skrifað fallið á stöðluðu formi.

f (x) = 2 {(x + 1)}^{2} - 6

Nú getum við leyst jöfnuna þar sem úttakið er núll.

\begin{array}{l} 0 = 2 {(x + 1)}^{2} - 6 \\ 6 = 2 {(x + 1)}^{2} \\ 3 = {(x + 1)}^{2} \\ x + 1 = \pm \sqrt{3} \\ x = - 1 \pm \sqrt{3} \end{array}

Grafið hefur skurðpunkta við $x -$ ás í $(−1 - \sqrt{3}, 0)$ og $(−1 + \sqrt{3}, 0) .$

Greining

Við getum kannað lausnina með því að teikna gefna fallið í grafteikniforriti og skoða skurðpunktana við $x -$ ás. Sjá mynd 15.

Graf fleygboga með skurðpunkta við x-ás í (−2,732; 0) og (0,732; 0). — Mynd 15

Dæmi 9

Annars stigs jafna leyst með lausnarformúlunni

Leysið $x^{2} + x + 2 = 0.$

Lausn

Byrjum á að skrifa lausnarformúlu annars stigs jöfnu: $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .$

Þegar lausnarformúlu annars stigs jöfnu er beitt finnum við stuðlana $a, b og c .$ Í jöfnunni $x^{2} + x + 2 = 0$ eru $a = 1, b = 1 og c = 2.$ Þegar þessi gildi eru sett inn í formúluna fæst:

\begin{array}{l} x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2)}}{2 \cdot 1} \\ = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2} \\ = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2} \\ = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2} \end{array}

Lausnir jöfnunnar eru $\frac{- 1 + i \sqrt{7}}{2}$ og $\frac{- 1 - i \sqrt{7}}{2}$ eða $\frac{- 1}{2} + \frac{i \sqrt{7}}{2}$ og $\frac{- 1}{2} - \frac{i \sqrt{7}}{2} .$

Dæmi 10

Notkun hvirfilpunkts og x-skurðpunkta fleygboga

Bolta er kastað upp af þaki 40 feta hárrar byggingar með upphafshraðanum 80 fet á sekúndu. Hæð boltans yfir jörðu má lýsa með jöfnunni $H (t) = - 16 t^{2} + 80 t + 40.$

ⓐ Hvenær nær boltinn mestri hæð?
ⓑ Hver er mesta hæð boltans?
ⓒ Hvenær lendir boltinn á jörðinni?

Lausn

ⓐ Boltinn nær mestri hæð í hvirfilpunkti fleygbogans.
$\begin{array}{l} \begin{array}{l} h = - \frac{80}{2 (- 16)} \end{array} \\ = \frac{80}{32} \\ = \frac{5}{2} \\ = 2,5 \end{array}$
Boltinn nær mestri hæð eftir 2,5 sekúndur.
ⓑ Til að finna mestu hæðina finnum við $y -$ hnit hvirfilpunkts fleygbogans.
$\begin{array}{l} k = H (- \frac{b}{2 a}) \\ = H (2,5) \\ = −16 {(2,5)}^{2} + 80 (2,5) + 40 \\ = 140 \end{array}$
Mesta hæð boltans er 140 fet.
ⓒ Til að finna hvenær boltinn lendir á jörðinni þurfum við að ákvarða hvenær hæðin er núll, $H (t) = 0.$
Við notum lausnarformúlu annars stigs jöfnu.

$\begin{array}{l} t = \frac{- 80 \pm \sqrt{80^{2} - 4 (- 16) (40)}}{2 (- 16)} \\ = \frac{- 80 \pm \sqrt{8960}}{- 32} \end{array}$
Þar sem kvaðratrótin einfaldast ekki á þægilegan hátt getum við notað reiknivél til að nálga gildi lausnanna.

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} t = \frac{- 80 - \sqrt{8960}}{- 32} \approx 5,458 & eða & t = \frac{- 80 + \sqrt{8960}}{- 32} \approx - 0,458 \end{array} \end{array}$
Síðara svarið er utan raunhæfs skilgreiningarmengis líkansins og við ályktum því að boltinn lendi á jörðinni eftir um 5,458 sekúndur. Sjá mynd 16

Mynd 16. Hæð boltans sem fall af tíma. Lárétti ásinn á að sýna tímann t í sekúndum og lóðrétti ásinn hæðina H í fetum; ásmerkingunum er víxlað á frummyndinni.

3.2 Æfingar

Munnleg verkefni

Útskýrið kostinn við að skrifa annars stigs fall á stöðluðu formi.

Hvernig má nota hvirfilpunkt fleygboga til að leysa raunhæf verkefni?

Útskýrið hvers vegna skilyrðið $a \neq 0$ er sett í skilgreiningu annars stigs falls.

Hvað nefnist staðlað form annars stigs falls einnig?

Hvaða tvær algebruaðferðir má nota til að finna lárétta skurðpunkta annars stigs falls?

Algebruverkefni

Skrifið annars stigs föllin í eftirfarandi verkefnum á hvirfilpunktsformi og gefið upp hvirfilpunktinn.

$f (x) = x^{2} - 12 x + 32$

$g (x) = x^{2} + 2 x - 3$

$f (x) = x^{2} - x$

$f (x) = x^{2} + 5 x - 2$

10.

$h (x) = 2 x^{2} + 8 x - 10$

11.

$k (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9$

12.

$f (x) = 2 x^{2} - 6 x$

13.

$f (x) = 3 x^{2} - 5 x - 1$

Ákvarðið í eftirfarandi verkefnum hvort hvert annars stigs fall hafi minnsta eða stærsta gildi. Finnið gildið og samhverfuásinn.

14.

$y (x) = 2 x^{2} + 10 x + 12$

15.

$f (x) = 2 x^{2} - 10 x + 4$

16.

$f (x) = - x^{2} + 4 x + 3$

17.

$f (x) = 4 x^{2} + x - 1$

18.

$h (t) = - 4 t^{2} + 6 t - 1$

19.

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 1$

20.

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{2} - 2 x + 3$

Finnið skilgreiningarmengi og myndmengi annars stigs fallsins í eftirfarandi verkefnum.

21.

$f (x) = {(x - 3)}^{2} + 2$

22.

$f (x) = - 2 {(x + 3)}^{2} - 6$

23.

$f (x) = x^{2} + 6 x + 4$

24.

$f (x) = 2 x^{2} - 4 x + 2$

25.

$k (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9$

Leysið jöfnurnar í eftirfarandi verkefnum yfir tvinntölunum.

26.

$x^{2} = - 25$

27.

$x^{2} = - 8$

28.

$x^{2} + 36 = 0$

29.

$x^{2} + 27 = 0$

30.

$x^{2} + 2 x + 5 = 0$

31.

$x^{2} - 4 x + 5 = 0$

32.

$x^{2} + 8 x + 25 = 0$

33.

$x^{2} - 4 x + 13 = 0$

34.

$x^{2} + 6 x + 25 = 0$

35.

$x^{2} - 10 x + 26 = 0$

36.

$x^{2} - 6 x + 10 = 0$

37.

$x (x - 4) = 20$

38.

$x (x - 2) = 10$

39.

$2 x^{2} + 2 x + 5 = 0$

40.

$5 x^{2} - 8 x + 5 = 0$

41.

$5 x^{2} + 6 x + 2 = 0$

42.

$2 x^{2} - 6 x + 5 = 0$

43.

$x^{2} + x + 2 = 0$

44.

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Notið í eftirfarandi verkefnum hvirfilpunktinn $(h, k)$ og punkt á grafinu $(x, y)$ til að finna almennt form jöfnu annars stigs fallsins.

45.

$(h, k) = (2, 0), (x, y) = (4, 4)$

46.

$(h, k) = (−2, −1), (x, y) = (−4, 3)$

47.

$(h, k) = (0, 1), (x, y) = (2, 5)$

48.

$(h, k) = (2, 3), (x, y) = (5, 12)$

49.

$(h, k) = (- 5, 3), (x, y) = (2, 9)$

50.

$(h, k) = (3, 2), (x, y) = (10, 1)$

51.

$(h, k) = (0, 1), (x, y) = (1, 0)$

52.

$(h, k) = (1, 0), (x, y) = (0, 1)$

Myndræn verkefni

Skissið graf annars stigs fallsins í eftirfarandi verkefnum og gefið upp hvirfilpunkt, samhverfuás og skurðpunkta.

53.

$f (x) = x^{2} - 2 x$

54.

$f (x) = x^{2} - 6 x - 1$

55.

$f (x) = x^{2} - 5 x - 6$

56.

$f (x) = x^{2} - 7 x + 3$

57.

$f (x) = - 2 x^{2} + 5 x - 8$

58.

$f (x) = 4 x^{2} - 12 x - 3$

Skrifið jöfnu fallsins sem sýnt er á hverju grafi í eftirfarandi verkefnum.

59.

Graf fleygboga sem opnast upp, með hvirfilpunkt í (2, −3) og skurðpunkt við y-ás í (0, 1).

60.

Graf fleygboga sem opnast upp, með hvirfilpunkt í (−1, 2) og skurðpunkt við y-ás í (0, 3).

61.

Graf fleygboga sem opnast niður og hefur hvirfilpunkt í (2, 7).

62.

Graf fleygboga sem opnast niður og hefur hvirfilpunkt í (−1, 2).

63.

Graf fleygboga sem opnast upp, með hvirfilpunkt í (3, −1) og skurðpunkt við y-ás í (0; 3,5).

64.

Graf fleygboga sem opnast niður og hefur hvirfilpunkt í (−2, 3).

Töluleg verkefni

Notið gildatöflurnar í eftirfarandi verkefnum, sem sýna punkta á grafi annars stigs falls. Finnið almennt form jöfnu fallsins með því að ákvarða hvirfilpunktinn og samhverfuásinn.

65.

$x$	–2	–1	0	1	2
$y$	5	2	1	2	5

66.

$x$	–2	–1	0	1	2
$y$	1	0	1	4	9

67.

$x$	–2	–1	0	1	2
$y$	–2	1	2	1	–2

68.

$x$	–2	–1	0	1	2
$y$	–8	–3	0	1	0

69.

$x$	–2	–1	0	1	2
$y$	8	2	0	2	8

Tækniverkefni

Notið reiknivél til að leysa eftirfarandi verkefni.

70.

Teiknið föllin í sama hnitakerfi $f (x) = x^{2}, f (x) = 2 x^{2} og f (x) = \frac{1}{3} x^{2} .$

Hvaða áhrif virðist breyting stuðulsins hafa?

71.

Teiknið í sama hnitakerfi $f (x) = x^{2}, f (x) = x^{2} + 2$ , $f (x) = x^{2} + 5$ og $f (x) = x^{2} - 3.$ Hvaða áhrif virðist það hafa að bæta við fastalið?

72.

Teiknið í sama hnitakerfi $f (x) = x^{2}$ , $f (x) = {(x - 2)}^{2}$ , $f (x) = {(x - 3)}^{2}$ og $f (x) = {(x + 4)}^{2} .$

Hvaða áhrif virðist það hafa að leggja þessar tölur við eða draga þær frá?

73.

Ferill hlutar sem skotið er undir 45 gráðu horni með upphafshraðanum 80 fet á sekúndu er gefinn með fallinu $h (x) = \frac{- 32}{{(80)}^{2}} x^{2} + x$ þar sem $x$ er lárétt vegalengd og $h (x)$ er hæðin í fetum. Notið TRACE-eiginleika reiknivélarinnar til að ákvarða hæð hlutarins þegar hann hefur færst 100 fet lárétt.

74.

Lýsa má lögun hengibrúar með annars stigs fallinu $h (x) = .0001 x^{2}$ með $- 2000 \leq x \leq 2000$ þar sem $| x |$ er fjarlægðin frá miðju í fetum og $h (x)$ er hæðin í fetum. Notið TRACE-eiginleika reiknivélarinnar til að áætla hve langt frá miðju brúin er 100 fet á hæð.

Viðbótarverkefni

Notið hvirfilpunkt grafs annars stigs fallsins og opnunarstefnu þess í eftirfarandi verkefnum til að finna skilgreiningarmengi og myndmengi fallsins.

75.

Hvirfilpunktur $(1, −2),$ opnast upp.

76.

Hvirfilpunktur $(−1, 2)$ , opnast niður.

77.

Hvirfilpunktur $(−5, 11),$ opnast niður.

78.

Hvirfilpunktur $(−100, 100),$ opnast upp.

Skrifið í eftirfarandi verkefnum jöfnu annars stigs falls sem inniheldur gefna punktinn og hefur sömu lögun og gefna fallið.

79.

Inniheldur $(1, 1)$ og hefur lögun fallsins $f (x) = 2 x^{2} .$ Hvirfilpunkturinn er á $y -$ ásnum.

80.

Inniheldur $(−1, 4)$ og hefur lögun fallsins $f (x) = 2 x^{2} .$ Hvirfilpunkturinn er á $y -$ ásnum.

81.

Inniheldur $(2, 3)$ og hefur lögun fallsins $f (x) = 3 x^{2} .$ Hvirfilpunkturinn er á $y -$ ásnum.

82.

Inniheldur $(1, −3)$ og hefur lögun fallsins $f (x) = - x^{2} .$ Hvirfilpunkturinn er á $y -$ ásnum.

83.

Inniheldur $(4, 3)$ og hefur lögun fallsins $f (x) = 5 x^{2} .$ Hvirfilpunkturinn er á $y -$ ásnum.

84.

Inniheldur $(1, −6)$ og hefur lögun fallsins $f (x) = 3 x^{2} .$ x-hnit hvirfilpunktsins er $−1.$

Raunhæf viðfangsefni

85.

Finnið mál rétthyrndrar girðingar sem gefur stærsta mögulega afmarkaða flatarmálið þegar 200 fet af girðingarefni eru tiltæk.

86.

Finnið mál rétthyrndrar girðingar sem er skipt í tvö jafnstór hólf og gefur stærsta mögulega afmarkaða flatarmálið þegar 300 fet af girðingarefni eru tiltæk.

87.

Finnið mál rétthyrndrar girðingar sem er skipt í þrjú jafnstór hólf og gefur stærsta mögulega afmarkaða flatarmálið þegar 500 fet af girðingarefni eru tiltæk.

88.

Finnið af öllum talnapörum með summuna 6 það par sem hefur stærsta margfeldið. Hvert er margfeldið?

89.

Finnið af öllum talnapörum með mismuninn 12 það par sem hefur minnsta margfeldið. Hvert er margfeldið?

90.

Gerum ráð fyrir að einingarverð farsímaframleiðslu í Bandaríkjadölum sé gefið með líkaninu $p = $ 45 - 0.0125 x,$ þar sem $x$ er fjöldi framleiddra síma í þúsundum og tekjurnar, í þúsundum Bandaríkjadala, eru $R = x \cdot p .$ Finnið framleiðslumagnið sem hámarkar tekjurnar.

91.

Eldflaug er skotið á loft. Hæð hennar yfir sjávarmáli í metrum sem fall af tíma í sekúndum er gefin með $h (t) = - 4.9 t^{2} + 229 t + 234.$ Finnið mestu hæð sem eldflaugin nær.

92.

Bolta er kastað upp af þaki byggingar. Hæð hans yfir jörðu í metrum sem fall af tíma í sekúndum er gefin með $h (t) = - 4.9 t^{2} + 24 t + 8.$ Hve lengi er boltinn að ná mestri hæð?

93.

Knattspyrnuvöllur rúmar 62.000 áhorfendur. Þegar miðinn kostar 11 Bandaríkjadali hefur meðalaðsókn verið 26.000 manns. Þegar verðið lækkaði í 9 Bandaríkjadali jókst meðalaðsóknin í 31.000 manns. Gerið ráð fyrir að línulegt samband sé milli aðsóknar og miðaverðs. Hvaða miðaverð myndi hámarka tekjurnar?

94.

Bóndi kemst að því að ef hún gróðursetur 75 tré á ekru gefur hvert tré af sér 20 skeppur af ávöxtum. Hún áætlar að fyrir hvert viðbótartré sem gróðursett er á hverri ekru minnki uppskera hvers trés um 3 skeppur. Hve mörg tré ætti hún að gróðursetja á hverri ekru til að hámarka uppskeruna?