Verkefni

Verkefni

Fjöldatala óendanlegra mengja

Í mengjafræði hefur verið sýnt fram á að mengi óræðra talna hefur hærri fjöldatölu en mengi náttúrlegra talna. Mengi óræðra talna er með öðrum orðum svo stórt að það er óteljanlega óendanlegt.

1. Leitaðu með orðalaginu „Hver sannaði fyrst að rauntölurnar eru óteljanlegar?“
   1. Hver sannaði fyrst að rauntölurnar eru óteljanlegar?
   2. Hvaða þýðingu hafði sönnunin fyrir þróun mengjafræðinnar og þar með annarra greina stærðfræðinnar?
2. Meðal nýlegra uppgötvana í mengjafræði er lausn á 70 ára gömlu vandamáli sem áður var talið ósannanlegt. Lestu þessa grein:
   1. Hvað merkir það að tvö óendanleg mengi séu jafnstór?
   2. Hvaða heiti er stundum notað um rauntölurnar?
   3. Dragðu saman skilning þinn á vandamálinu sem nefnist „samfellutilgátan“.
   4. Á hvaða tveimur sviðum stærðfræðinnar hefur sönnun Malliaris og Shelah á þessu 70 ára gamla vandamáli leitt til nýrra rannsókna?
3. Dragðu saman skilning þinn á óendanleika.
   1. Skilgreindu hvað felst í því að vera óendanlegt.
   2. Útskýrðu muninn á teljanlegum og óteljanlegum mengjum.
   3. Kynntu þér muninn á strjálu mengi og samfelldu mengi og dragðu síðan saman niðurstöður þínar.

Ritháttur mengja

1. Leitaðu að „Fyllimengi“ á netinu og skráðu að minnsta kosti þrjár leiðir til að tákna fyllimengi.
2. Snjallsímaforritin Set Challenge og Venn Diagram, sem kynnt voru undir fyrirsögninni „Tækniprófun“, bjóða bæði upp á mengjamismun. Skráðu að minnsta kosti tvær leiðir til að tákna mengjamismun og lýstu með orðum hvernig reikna má mismun mengjanna $A$ og $B$.
3. Við leit að forritum fyrir Venn-myndir kom gríski stafurinn delta $\mathrm{\Delta }$ fyrir sem tákn mengjaaðgerðar. Skráðu að minnsta kosti eitt annað tákn fyrir sömu aðgerð.
4. Leitaðu að „Listi yfir mögulegar mengjaaðgerðir og tákn þeirra“. Finndu og veldu tvö tákn sem voru ekki kynnt í þessum kafla.

Rauntalnakerfið

Rauntölur og eiginleikar þeirra eru nú kennd í grunnskóla, en hvernig þróaðist talnakerfið? Hugmyndin um náttúrlegar tölur eða talningartölur kom fram áður en ritmál varð til, eins og talningarstrik í hellaristum bera vitni um. Búðu til tímalínu um mikilvæg framlög til þróunar rauntalnakerfisins.

1. Notaðu orðalagið „Saga tölunnar núll“ til að leita á netinu að uppruna núllsins. Skráðu síðan mikilvæg ártöl um tilurð núllsins og hvenær það komst í almenna notkun á tímalínuna.
2. Finndu hverjum sú uppgötvun er eignuð að $\sqrt{2}$ sé óræð tala og bættu upplýsingunum við tímalínuna. Vísbending: Leitaðu að „Hver uppgötvaði fyrst óræðar tölur?“
3. Kynntu þér framlag Georgs Cantors til framsetningar rauntalna sem samfellu og bættu því við tímalínuna.
4. Kynntu þér framlag Ernsts Zermelos til rauntalnakerfisins og bættu því við tímalínuna.