11 Mengi

1.2 Hlutmengi

Knattspyrnumenn eru á leikvelli og einn þeirra er við það að sparka boltanum. — **Mynd 1.4.** Leikmenn knattspyrnuliðs sem taka virkan þátt í leik eru hlutmengi í stærra mengi allra leikmanna liðsins. (mynd: „PAFC-Mezokovesd-108“ eftir Puskás Akadémia/Flickr, Public Domain Mark 1.0)

Námsmarkmið

Að þessum hluta loknum átt þú að geta:

Táknað hlutmengi og eiginleg hlutmengi með táknum.
Reiknað fjölda hlutmengja mengis.
Beitt hugtökum um hlutmengi og samstétta mengi á endanleg og óendanleg mengi.

Reglur bandarísku atvinnuknattspyrnudeildarinnar Major League Soccer (MLS) heimila hverju liði að hafa allt að 30 leikmenn. Aðeins 18 þeirra mega þó vera á leikskrá og af þeim verður að velja 11 byrjunarliðsmenn. Árangur liðs á hverju keppnistímabili ræðst meðal annars af því hvernig þjálfarar og framkvæmdastjórar raða saman liðinu og velja byrjunarlið fyrir hvern leik.

Hópur allra 30 leikmannanna myndar mengi liðsins. Leikmannahópurinn á leikdegi er hlutmengi í liðsmenginu og byrjunarliðið með 11 leikmönnum er hlutmengi bæði í liðsmenginu og í leikmannahópnum á leikdegi.

Mengið $A$ er hlutmengi í menginu $B$ ef sérhvert stak í menginu $A$ er einnig stak í menginu $B$ . Með táknum er þetta samband ritað $A \subseteq B$ .

Mengi geta tengst á ýmsa vegu: þau geta verið án sameiginlegra staka, haft nokkur stök sameiginleg eða haft öll stök sameiginleg. Í þessum hluta skoðum við hvernig velja má hóp staka úr heilu mengi.

Rifjum upp mengi borðbúnaðar úr kafla 1.1: $F = {gaffall, skeið, hnífur, kjöthitamælir, dósaopnari}$ . Fyrir kvöldverð þurfum við aðeins hníf og gaffal, svo $D = {hnífur, gaffall}$ . Mengið 𝐷 er hlutmengi $F$ vegna þess að hvert stak í $D$ er einnig stak í $F$ . Nánar tiltekið er $D$ eiginlegt hlutmengi $F$ , því $F$ inniheldur stök sem eru ekki í $D$ . Þetta er táknað $D \subset F$ . Eina hlutmengi tiltekins mengis sem er ekki eiginlegt hlutmengi þess er mengið sjálft.

Mengi eru oft sýnd myndrænt sem hringir. Á eftirfarandi mynd er mengið $A$ sýnt sem hringur sem er allur innan hringsins sem táknar mengið $B$ . Þetta sýnir að mengið $A$ er eiginlegt hlutmengi í menginu $B$ . Stakið $x$ táknar stak sem er bæði í menginu $A$ og í menginu $B$ .

Venn-mynd af mengjunum A og B. Hringurinn sem táknar A er innan hringsins sem táknar B. Stakið x er merkt í miðju A. — **Mynd 1.5.** Mengið A er hlutmengi í B og stakið x er í báðum mengjum.

Dæmi 1.11

Öll hlutmengi endanlegs mengis talin upp

Mengið $L$ er mengi lesefnis sem fæst í verslun á flugvelli, $L = {dagblað, tímarit, bók}$ . Teldu upp öll hlutmengi $L$ .

Lausn

Skref 1: Byrjaðu á menginu sjálfu, enda er hvert mengi hlutmengi í sjálfu sér. Í dæminu er fjöldatala mengisins $L$ jöfn $n (L) = 3$ . Aðeins eitt hlutmengi mengisins $L$ hefur jafnmörg stök og $L : {dagblað, tímarit, bók}$ .

Skref 2: Skráðu næst öll hlutmengi með $n (L) - 1$ = $3 - 1 = 2$ stökum: ${dagblað, tímarit}$ , ${dagblað, bók}$ og ${tímarit, bók}$ .

Skref 3: Skráðu síðan öll hlutmengi með $n (L) - 2$ = $3 - 2 = 1$ staki: ${dagblað}$ , ${tímarit}$ og ${bók}$ .

Skref 4: Að lokum skaltu skrá hlutmengið með engum stökum, það er tómamengið: ${}$ .

Dæmi 1.12

Ákvarðað hvort mengi sé eiginlegt hlutmengi

Fjórir algengir stjórnmálaflokkar í Bandaríkjunum mynda mengið $P = {Demókrataflokkurinn, Græningjaflokkurinn, Frjálshyggjuflokkurinn, Repúblikanaflokkurinn}$ . Ákvarðaðu hvort eftirfarandi mengi séu eiginleg hlutmengi $P$ .

$M = {Demókrataflokkurinn, Repúblikanaflokkurinn}$
$G = {Græningjaflokkurinn}$
$V = {Repúblikanaflokkurinn, Frjálshyggjuflokkurinn, Græningjaflokkurinn, Demókrataflokkurinn}$

Lausn

$M$ er eiginlegt hlutmengi í $P$ , ritað með táknum sem $M \subset P$ því sérhvert stak í $M$ er stak í menginu $P$ , en $P$ inniheldur einnig að minnsta kosti eitt stak sem er ekki í $M$ .
$G$ er eins staks eiginlegt hlutmengi í $P$ , ritað með táknum sem $G \subset P,$ því Græningjaflokkurinn er stak í menginu $P$ , en $P$ inniheldur einnig önnur stök, svo sem Demókrataflokkinn, sem eru ekki í $G$ .
$V$ er hlutmengi í $P$ því sérhvert stak í $V$ er einnig stak í $P$ , en það er ekki eiginlegt hlutmengi í $P$ því sérhvert stak í $V$ er einnig í menginu $P$ og öfugt. Sambandið má tákna með $V \subseteq P,$ eða nánar tiltekið er mengið $V$ jafnt menginu $P$ , $V = P .$

Dæmi 1.13

Samband mengja sett fram með táknum

Látum $S = {spaðar, hjörtu, tíglar, lauf}$ vera mengi lita í spilastokk. Þá eru $R = {hjörtu, tíglar}$ , $B = {spaðar, lauf}$ og $C = {lauf}$ eiginleg hlutmengi 𝑆.

Settu samband eftirfarandi mengja fram með táknum.

Mengið $S$ og mengið $B$ .
Mengið $C$ og mengið $B$ .
Mengið $R$ og $R$ .

Lausn

$B \subset S$ . $B$ er eiginlegt hlutmengi í menginu $S$ .
$C \subset B$ . $C$ er eiginlegt hlutmengi í menginu $B$ .
$R \subseteq R eða R = R$ . $R$ er hlutmengi í sjálfu sér en ekki eiginlegt hlutmengi í sjálfu sér, því $R$ er jafnt sjálfu sér.

Veldisritháttur

Í sýnidæmi 1.11 sáum við að mengið $L = {dagblað, tímarit, bók}$ hefur átta hlutmengi. Í verkefninu Þú átt leik 1.11 sáum við að tveggja staka mengið $S = {fiskur, skjaldarmerki}$ hefur fjögur hlutmengi. Eins staks mengi hefur tvö hlutmengi og tómamengið hefur eitt. Mynstrið sýnir að mengi með 𝑛 stök hefur 2ⁿ hlutmengi. Til dæmis er fjöldi hlutmengja $L = {dagblað, tímarit, bók}$ jafn $2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ . Almennt merkir veldisrithátturinn $b^{n} = b \cdot b \cdot b \cdot \dots \cdot b$ endurtekna margföldun: $b$ kemur fyrir sem þáttur $n$ sinnum. Talan 𝑏 er veldisstofn og 𝑛 er veldisvísir.

Dæmi 1.14

Fjöldi hlutmengja mengis reiknaður

Finndu fjölda hlutmengja í hverju eftirfarandi mengi.

Skoðaðu mengi fimm stigahæstu leikmanna NBA-deildarinnar frá upphafi: $S = {LeBron James, Kareem Abdul-Jabbar, Karl Malone, Kobe Bryant, Michael Jordan} .$
Skoðaðu mengi fjögurra söluhæstu hljómplatna frá upphafi: $A = {Thriller, Hotel California, The Beatles White Album, Led Zeppelin IV}$
$R = {Snap, Crackle, Pop}$ .

Lausn

$n (S) = 5$ . Heildarfjöldi hlutmengja $S er 2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ .
$n (A) = 4$ . Heildarfjöldi hlutmengja $A er 2^{4} = 16$ .
$n (R) = 3$ . Heildarfjöldi hlutmengja $R er 2^{3} = 8$ .

Samstétta hlutmengi

Snemma á 17. öld komst hinn kunni stjörnufræðingur Galileo Galilei að því að mengi náttúrlegra talna og hlutmengi þess sem samanstendur af ferningstölum, $n^{2}$ , eru samstétta. Í kjölfarið setti hann fram þá tilgátu að hugtökin minna en, stærra en og jafnt og ættu ekki við um óendanleg mengi.

Sum óendanleg hlutmengi náttúrlegra talna má skilgreina með því að lýsa þeim út frá náttúrlegri tölu $n$ . Mengi sléttra náttúrlegra talna má til dæmis rita með skilyrðisrithætti sem ${a | a = 2 n þar sem n er náttúrleg tala}$ . Formúlan tvöfaldar hverja náttúrlega tölu og gefur mengið ${2, 4, 6, \dots}$ . Mengi sléttra náttúrlegra talna hefur sömu fjöldatölu og mengi náttúrlegra talna.

Dæmi 1.15

Samstétta hlutmengi óendanlegs mengis skrifuð

Ritaðu mengi margfelda af 3, ${3, 6, 9, …}$ , með skilyrðisrithætti þar sem $n$ er náttúrleg tala.

Lausn

${m | m = 3 n þar sem n er náttúrleg tala}$ eða ${m | m = 3 n þar sem n \in N}$ . Hér er $m$ margfeldi af 3 og $n$ náttúrleg tala. Táknið $\in$ er lesið „er stak í“. Gagntæk samsvörun er milli náttúrlegra talna og margfelda af 3, svo mengin eru samstétta.

Dæmi 1.16

Samstétta en ójöfn hlutmengi endanlegs mengis búin til

Skyndibitastaður býður tilboð þar sem velja má tvennt af eftirfarandi fjórum réttum fyrir 6 Bandaríkjadali: kjúklingasamloku, fisksamloku, ostborgara eða 10 kjúklingabita. Javier og vinur hans Michael kaupa sér hvor um sig hádegismat með þessu tilboði. Búðu til tvö samstétta en ójöfn hlutmengi sem gætu lýst vali þeirra.

Lausn

Möguleg tveggja staka hlutmengi eru: {kjúklingasamloka, fisksamloka}, {kjúklingasamloka, ostborgari}, {kjúklingasamloka, kjúklingabitar}, {fisksamloka, ostborgari}, {fisksamloka, kjúklingabitar} og {ostborgari, kjúklingabitar}. Ein möguleg lausn er að Javier velji mengið {kjúklingasamloka, kjúklingabitar} en Michael velji {ostborgari, kjúklingabitar}. Báðir velja tvo rétti en ekki nákvæmlega sömu réttina. Mengin eru því samstétta en ekki jöfn.

Dæmi 1.17

Samstétta hlutmengi endanlegs mengis búin til

Blaklið lítils framhaldsskóla skipa eftirfarandi leikmenn: {Angie, Brenda, Colleen, Estella, Maya, Maria, Penny, Shantelle}. Búðu til tvö möguleg samstétta byrjunarlið með sex leikmönnum sem þjálfarinn gæti valið fyrir næsta leik.

Lausn

Þjálfarinn getur valið byrjunarliðið á 28 vegu. Tvö slík samstétta hlutmengi eru {Angie, Brenda, Maya, Maria, Penny, Shantelle} og {Angie, Brenda, Colleen, Estella, Maria, Shantelle}. Hvort hlutmengi hefur sex stök, en þau innihalda ekki nákvæmlega sömu leikmenn. Mengin eru því samstétta en ekki jöfn.

Kannaðu skilning þinn

Sérhvert stak í __________ mengis er einnig stak í menginu.

Útskýrðu hvað greinir eiginlegt hlutmengi mengis frá hlutmengi þess.

__________ er eiginlegt hlutmengi í sérhverju mengi nema sjálfu sér.

Er eftirfarandi fullyrðing sönn eða ósönn?

A \subseteq A.

Ef fjöldatala mengisins

A

n\left( A \right) = 10

, þá hefur mengið

A

alls ___________ hlutmengi.

Mengið

A

er ______________ menginu

B

n\left( A \right) = n\left( B \right).

Ef sérhvert stak í menginu $A$ er stak í menginu $B$ og sérhvert stak í menginu $B$ er einnig stak í menginu $A$ , þá er mengið $A$ ____________ menginu $B$ .

Æfingar úr hluta 1.2

Í eftirfarandi æfingum skaltu telja upp öll eiginleg hlutmengi hvers mengis.

\left\{ {{\text{chocolate, vanilla, strawberry}}} \right\}

\{ {\text{true, false}}\}

\{ {\text{mother, father, daughter, son}}\}

\{ 7\}

Í eftirfarandi æfingum skaltu ákvarða samband mengjanna tveggja og rita það með táknum.

$D = \{ 0,1,2, \ldots ,9\} ,$ $A = \{ 0,2,4,6,8\} ,$ $B = \{ 1,3,5,7,9\} ,$ $C = \{ 8,6,4,2,0\} ,$ $Z = \{ 0\} ,$ og $\emptyset$

D

A

B

D

C

D

Z

C

Z

\emptyset

10.

A

B

11.

A

C

12.

\emptyset

D

13.

B

C

14.

A

Z

Í eftirfarandi æfingum skaltu reikna heildarfjölda hlutmengja hvers mengis.

15.

\{ {\text{Adele, Beyonce, Cher, Madonna, Shakira}}\}

16.

\{ {\text{Art, Paul}}\}

17.

\{ {\text{Peter, Paul, Mary}}\}

18.

\emptyset

19.

\{ 3\}

20.

\{ l, o, v, e\}

21.

\{ {\text{ }}\}

22.

\{ {\text{football, baseball, basketball, soccer, hockey, tennis, golf}}\}

23.

Mengið

A,

n\left( A \right) = 12.

24.

Mengið

B,

n(B) = 9.

Í eftirfarandi æfingum skaltu nota mengi stafanna í enska orðinu largest sem grunnmengi: $U = \left\{ \text{l, a, r, g, e, s, t} \right\}.$

25.

Finndu hlutmengi í

U

sem hefur sömu fjöldatölu og eftirfarandi mengi en er ekki jafnt því:

\left\{ \text{l, a, s, t} \right\}.

26.

Finndu hlutmengi í

U

sem er jafnt eftirfarandi mengi:

\left\{ \text{l, a, s, t} \right\}.

27.

Finndu hlutmengi í

U

sem er jafnt eftirfarandi mengi:

\left\{ \text{a, r, t} \right\}.

28.

Finndu hlutmengi í

U

sem hefur sömu fjöldatölu og eftirfarandi mengi en er ekki jafnt því:

\left\{ \text{a, r, t, s} \right\}.

29.

Finndu hlutmengi í

U

sem hefur sömu fjöldatölu og eftirfarandi mengi en er ekki jafnt því:

\left\{ \text{r, a, t, e, s} \right\}.

30.

Finndu hlutmengi í

U

sem er jafnt eftirfarandi mengi:

\left\{ \text{r, a, t, e, s} \right\}.

31.

Finndu tvö þriggja stafa hlutmengi í menginu

U

sem eru samstétta en ekki jöfn.

32.

Finndu tvö þriggja stafa hlutmengi í menginu

U

sem eru jöfn.

33.

Finndu tvö fimm stafa hlutmengi í menginu

U

sem eru jöfn.

34.

Finndu tvö fimm stafa hlutmengi í menginu

U

sem eru samstétta en ekki jöfn.

Í eftirfarandi æfingum skaltu nota heiltölumengið sem grunnmengi: $U = \mathbb{Z} = \{ \ldots , - 2, - 1,0,1,2, \ldots \} .$

35.

Finndu tvö samstétta hlutmengi í

U

með fjöldatöluna 7.

36.

Finndu tvö jöfn hlutmengi í

U

með fjöldatöluna 4.

37.

Finndu hlutmengi í

U

sem hefur sömu fjöldatölu og eftirfarandi mengi en er ekki jafnt því:

\{ 0,3,6,9, \ldots \} .

38.

Finndu hlutmengi í

U

sem hefur sömu fjöldatölu og eftirfarandi mengi en er ekki jafnt því:

\{ - 1, - 4, - 9, - 16, - 25, \ldots \} .

39.

Satt eða ósatt: Mengi náttúrlegra talna,

\mathbb{N} = \{ 1,2,3, \ldots \}

, er samstétta menginu

U .

40.

Satt eða ósatt: Mengið

U

er samstétta hlutmengi í mengi ræðra talna,

\mathbb{Q} = \left\{ {\left. {\frac{p}{q}} \right|p{\text{ and }}q{\text{ are integers and }}q \ne 0.} \right\}.