11 Mengi

1.3 Venn-myndir

Köttur á heimili horfir á verkfæri, samsetningarleiðbeiningar og húsgagnahluta sem liggja á gólfinu. — **Mynd 1.6.** Þegar húsgögn eru sett saman er auðveldara að fylgja leiðbeiningum með myndum, rétt eins og auðveldara er að skilja vensl mengja þegar þau eru sýnd myndrænt. (mynd: „Time to assemble more Ikea furniture!“ eftir Rod Herrea/Flickr, CC BY 2.0)

Námsmarkmið

Að þessum hluta loknum átt þú að geta:

notað grunnmengi og tvö mengi til að túlka Venn-mynd;
notað grunnmengi og tvö mengi til að teikna Venn-mynd;
ákvarðað fyllimengi mengis.

Hefur þú einhvern tíma pantað nýja kommóðu eða bókaskáp sem þurfti að setja saman? Þegar pakkinn kemur opnarðu hann af spenningi og dreifir úr hlutunum. Síðan skoðarðu samsetningarleiðbeiningarnar og gengur úr skugga um að allir nauðsynlegir hlutar séu til staðar. Þá hefst vinnan. Sem betur fer leiða leiðbeiningarnar þig skref fyrir skref með myndum sem sýna hvernig varan er sett saman. Ef heppnin er með þér gefur framleiðandinn jafnvel upp vefslóð eða QR-kóða sem vísar á myndband af öllu samsetningarferlinu. Flest getum við verið sammála um að mun auðveldara sé að fylgja samsetningarleiðbeiningum með myndum eða myndskeiðum en leiðbeiningum sem eru aðeins í texta. Sama gildir um vensl mengja.

Túlkun Venn-mynda

Venn-myndir eru myndræn verkfæri sem við notum til að sjá fyrir okkur og skilja vensl mengja. Þær eru kenndar við stærðfræðinginn John Venn, sem ruddi notkun þeirra til rúms á níunda áratug 19. aldar. Þegar vensl mengja eru sýnd með Venn-mynd er allt gagnamengið sem er til skoðunar teiknað sem rétthyrningur og hlutmengi þess sem hringir sem liggja að öllu leyti innan rétthyrningsins. Allt gagnamengið sem er til skoðunar nefnist grunnmengi.

Skoðum yrðinguna: Öll tré eru plöntur. Hún lýsir venslum mengis allra plantna og mengis allra trjáa. Þar sem hvert tré er planta er mengi trjáa hlutmengi í mengi plantna. Til að sýna þessi vensl með Venn-mynd látum við mengi plantna vera grunnmengið og mengi trjáa vera hlutmengið. Rifjum upp að þetta er táknað: $Tré \subset Plöntur .$ Fyrst teiknum við rétthyrning og merkjum grunnmengið „ $U = Plöntur .$ “. Síðan teiknum við hring innan grunnmengisins og merkjum hann „Tré“.

Venn-mynd með einu mengi er skyggð. Mengið er merkt „Tré“ og utan þess stendur „𝑈 = Plöntur“. — **Mynd 1.7.**

Í þessum hluta lærum við að túlka og teikna Venn-myndir. Í síðari hlutum aukum við þekkingu okkar á venslum mengja og notum Venn-myndir til að kanna hvernig sameina má mörg mengi í ný mengi.

Dæmi 1.18

Túlkun vensla mengja á Venn-mynd

Lýstu venslum mengjanna á eftirfarandi Venn-mynd, bæði með orðum og táknum.

Venn-mynd með einu mengi er skyggð. Mengið er merkt „𝑇 = terrier-hundar“ og grunnmengið er mengi hunda.

Lausn

Mengi terrier-hunda er hlutmengi í grunnmengi hunda. Venn-myndin sýnir með öðrum orðum að allir terrier-hundar eru hundar. Með táknum er þetta $T \subset U .$

Hingað til höfum við aðeins skoðað hlutmengjavensl milli tveggja mengja, en mengi geta tengst á fleiri vegu. Ljón og tígrisdýr eru hvort tveggja kattardýr, en ekkert ljón er tígrisdýr og ekkert tígrisdýr er ljón. Þar sem mengi allra ljóna og mengi allra tígrisdýra eiga ekkert stak sameiginlegt nefnast þau sundurlæg mengi, eða mengi sem skarast ekki.

Tvö mengi $A$ og $B$ eru sundurlæg ef þau eiga ekkert stak sameiginlegt. Ef $a$ er stak í menginu $A$ , þá er $a$ ekki stak í menginu $B$ . Ef $b$ er stak í menginu $B$ , þá er $b$ ekki stak í menginu $A$ . Til að sýna vensl mengis allra katta við mengi ljóna og tígrisdýra með Venn-mynd teiknum við grunnmengi kattardýra sem rétthyrning. Innan hans teiknum við síðan sérstakan hring fyrir hvort mengið og gætum þess að hringirnir snertist ekki og skarist hvergi.

Venn-mynd sýnir tvö sundurlæg mengi. Grunnmengið er merkt „𝑈 = kattardýr“, fyrra mengið „𝑇 = tígrisdýr“ og það síðara „𝐿 = ljón“. — **Mynd 1.9.**

Dæmi 1.19

Lýsing á venslum mengja

Lýstu venslum mengjanna á eftirfarandi Venn-mynd.

Venn-mynd sýnir tvö sundurlæg mengi. Grunnmengið er merkt „𝑈 = tvívíð form“, fyrra mengið „𝑇 = þríhyrningar“ og það síðara „𝑆 = ferningar“.

Lausn

Mengi þríhyrninga og mengi ferninga eru tvö sundurlæg hlutmengi í grunnmengi tvívíðra forma. Mengin eiga ekkert stak sameiginlegt. Enginn þríhyrningur er ferningur og enginn ferningur er þríhyrningur, en bæði ferningar og þríhyrningar eru tvívíð form.

Teikning Venn-mynda

Megintilgangur Venn-myndar er að auðvelda þér að sjá fyrir þér vensl mengja. Því er nauðsynlegt að geta teiknað Venn-mynd út frá lýsingu á venslunum í orðum eða með táknum.

Aðferð

Til að teikna Venn-mynd:

Teiknaðu rétthyrning fyrir grunnmengið og merktu hann $U = heiti mengis$ .
Teiknaðu hring innan rétthyrningsins fyrir hlutmengi grunnmengisins og merktu hann með heiti mengisins.

Dæmi 1.20

Venn-mynd teiknuð til að sýna vensl tveggja mengja

Teiknaðu Venn-mynd sem sýnir vensl mengjanna í hvoru tilviki.

Allir rétthyrningar eru samsíðungar.
Allar konur eru fólk.

Lausn

Mengi rétthyrninga er hlutmengi í mengi samsíðunga. Teiknaðu
fyrst rétthyrning fyrir grunnmengið og merktu hann $U = Samsíðungar$ . Teiknaðu síðan hring sem liggur allur innan rétthyrningsins og merktu hann með heiti mengisins sem hann táknar, $R = Rétthyrningar$ .

Venn-mynd með einu mengi er skyggð. Mengið er merkt „𝑅 = rétthyrningar“ og grunnmengið „𝑈 = samsíðungar“.

Í þessu dæmi eru mengin táknuð bæði með bókstöfum og heitum, en þess er ekki þörf. Nota má aðeins bókstafi eða aðeins heiti, svo framarlega sem venslin koma skýrt fram á myndinni, eins og sýnt er hér á eftir.

Venn-mynd með einu mengi er skyggð. Mengið er merkt „Rétthyrningar“ og grunnmengið „Samsíðungar“.

eða

Venn-mynd með einu mengi er skyggð. Mengið er merkt „𝑅“ og grunnmengið „𝑈“.

Grunnmengið er mengi fólks og mengi allra kvenna er hlutmengi í mengi fólks.

Venn-mynd með einu mengi er skyggð. Mengið er merkt „Konur“ og grunnmengið „Fólk“.

Dæmi 1.21

Venn-mynd teiknuð til að sýna vensl þriggja mengja

Öll reiðhjól og allir bílar hafa hjól, en ekkert reiðhjól er bíll. Teiknaðu Venn-mynd sem sýnir þessi vensl.

Lausn

Skref 1: Mengi reiðhjóla og mengi bíla eru bæði hlutmengi í mengi hluta með hjól. Grunnmengið er mengi hluta með hjól, svo fyrst teiknum við rétthyrning og merkjum hann $U = Hlutir með hjól$ .

Skref 2: Þar sem mengi reiðhjóla og mengi bíla eiga ekkert stak sameiginlegt eru þau sundurlæg og verður að teikna þau sem tvo hringi sem hvorki snertast né skarast innan grunnmengisins.

Venn-mynd sýnir tvö sundurlæg mengi. Grunnmengið er merkt „𝑈 = hlutir með hjól“, fyrra mengið „Reiðhjól“ og það síðara „Bílar“.

Fyllimengi mengis

Rifjum upp að ef mengið $A$ er eiginlegt hlutmengi í grunnmenginu $U$ , táknað $A \subset U$ , er að minnsta kosti eitt stak í $U$ sem er ekki í $A$ . Mengi allra staka í grunnmenginu $U$ sem eru ekki í hlutmenginu $A$ nefnist fyllimengi $A$ og er táknað $A'$ . Með skilyrðisrithætti er það $A' = {x \in U | x \notin A} .$ Táknið $\in$ merkir „er stak í“ en $\notin$ merkir „er ekki stak í“. Á Venn-myndinni hér á eftir er fyllimengi $A$ svæðið utan hringsins en innan rétthyrningsins. Grunnmengið $U$ inniheldur öll stök $A$ og öll stök fyllimengis $A$ , en engin önnur stök.

Venn-mynd með einu mengi sýnir mengið 𝐴 innan grunnmengisins 𝑈. — **Mynd 1.16.**

Skoðum mengi einstafa talna og látum það vera grunnmengið $U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} .$ Látum $A$ vera hlutmengi $U$ sem inniheldur allar frumtölur í $U$ , $A = {2, 3, 5, 7} .$ Fyllimengi $A$ er $A' = {0, 1, 4, 6, 8, 9} .$ Eftirfarandi Venn-mynd sýnir þessi vensl myndrænt.

Venn-mynd með einu mengi er merkt „A = {2, 3, 5, 7}“. — **Mynd 1.17.**

Dæmi 1.22

Fyllimengi fundið

Í báðum eftirfarandi spurningum er $A$ eiginlegt hlutmengi í $U$ .

Gefið er grunnmengið 𝑈={Billie Eilish, Donald Glover, Bruno Mars, Adele, Ed Sheeran} $U = {Billie Eilish, Donald Glover, Bruno Mars, Adele, Ed Sheeran}$ og mengið 𝐴={Donald Glover, Bruno Mars, Ed Sheeran} $A = {Donald Glover, Bruno Mars, Ed Sheeran}$ , finndu 𝐴′. $A' .$
Gefið er grunnmengið 𝑈={d | d er hundur} $U = {d | d er hundur}$ og mengið 𝐵={b ∈ U | b er beagle-hundur} $B = {b ∈ U | b er beagle-hundur}$ . Finndu 𝐵′. $B' .$

Lausn

Fyllimengi 𝐴 $A$ er mengi allra staka í grunnmenginu 𝑈 $U$ sem eru ekki í 𝐴. $A .$ 𝐴′={Billie Eilish, Adele} $A' = {Billie Eilish, Adele}$ .
Fyllimengi 𝐵 $B$ er mengi allra hunda sem eru ekki beagle-hundar. Öll stök 𝐵′ $B'$ eru í grunnmenginu vegna þess að þau eru hundar, en þau eru ekki í 𝐵, $B,$ vegna þess að þau eru ekki beagle-hundar. Þetta má rita 𝐵′={allir hundar sem eru ekki beagle-hundar⁢.} $B' = {allir hundar sem eru ekki beagle-hundar .}$ , 𝐵′={𝑑∈𝑈|𝑑er ekki beagle-hundur⁢.} $B' = {d \in U | d er ekki beagle-hundur .}$ eða 𝐵′={𝑑∈𝑈|𝑑∉𝐵}. $B' = {d \in U | d \notin B} .$

Kannaðu skilning þinn

Venn-mynd er myndræn framsetning á _____________ milli mengja.

Á Venn-mynd er _____________, mengi allra gagna sem eru til skoðunar, teiknað sem rétthyrningur.

Tvö mengi sem eiga ekkert stak sameiginlegt eru _____________ mengi.

_____________ hlutmengis

A

í grunnmenginu

U

er mengi allra staka í

U

sem eru ekki í

A

Mengin

A

A^{'}

eru _____________ hlutmengi í grunnmenginu.

Æfingar úr hluta 1.3

Í eftirfarandi æfingum skaltu túlka hverja Venn-mynd og lýsa venslum mengjanna, bæði með táknum og orðum.

Venn-mynd með einu mengi er skyggð. Mengið er merkt „𝑇 = liðsíþróttir“ og grunnmengið „𝑈 = íþróttir“.

Venn-mynd með einu mengi er skyggð. Mengið er merkt „𝐴 = epli“ og grunnmengið „𝑈 = ávextir“.

Venn-mynd með einu mengi er skyggð. Mengið er merkt „𝑃 = blýantar“ og grunnmengið „𝑈 = skriffæri“.

Venn-mynd með einu mengi er merkt „𝐵 = borðspil“ og grunnmengið „𝑈 = leikir“.

Venn-mynd sýnir tvö sundurlæg mengi innan grunnmengisins U = skriffæri: C = vaxlitir og P = blýantar.

Venn-mynd sýnir tvö sundurlæg mengi innan grunnmengisins U = ávextir: A = epli og P = perur.

Venn-mynd sýnir tvö sundurlæg mengi. Grunnmengið er merkt „𝑈 = leikir“, fyrra mengið „𝐴 = spil“ og það síðara „𝐵 = tölvuleikir“.

Venn-mynd sýnir tvö sundurlæg mengi. Grunnmengið er merkt „𝑈 = fjárfestingar“, fyrra mengið „𝐴 = hlutabréf“ og það síðara „𝐵 = skuldabréf“.

Í eftirfarandi æfingum skaltu teikna Venn-mynd sem sýnir vensl mengjanna.

Allir fuglar hafa vængi.

10.

Allir kettir eru dýr.

11.

Allar möndlur eru hnetur og allar pekanhnetur eru hnetur, en engin mandla er pekanhneta.

12.

Allir rétthyrningar eru ferhyrningar og allar trapisur eru ferhyrningar, en enginn rétthyrningur er trapisa.

13.

Eðlur

\subset

Skriðdýr.

14.

Maríuhænur

\subset

Skordýr.

15.

Maríuhænur

\subset

Skordýr og maurar

\subset

Skordýr, en enginn maur er maríuhæna.

16.

Eðlur

\subset

Skriðdýr og slöngur

\subset

Skriðdýr, en engin eðla er slanga.

17.

A

B

eru sundurlæg hlutmengi í

U .

18.

C

D

eru sundurlæg hlutmengi í

U

19.

T

er hlutmengi í

U

20.

S

er hlutmengi í

U

21.

J =

djass,

M =

tónlist og

J \subset M

22.

R =

reggí,

M =

tónlist og

R \subset M

23.

J =

djass,

R =

reggí og

M =

tónlist eru mengi með eftirfarandi vensl:

J \subset M,

R \subset M,

R

er sundurlægt

J

24.

J =

djass,

B =

bebop og

M =

tónlist eru mengi með eftirfarandi vensl:

J \subset M

B \subset J

Í eftirfarandi æfingum er grunnmengið mengi einstafa talna,

𝑈

{

}

{

}

. Finndu fyllimengi hvers hlutmengis í

𝑈

25.

𝐴 ={6,7,8}

A = \{ 6,7,8\}

26.

𝐴 ={0,2,4,6,8}

A = \{ 0,2,4,6,8\}

27.

𝐴 ={ }

A = \{ {\text{ }}\}

28.

𝐴 ={0,1,4,6,8,9}

A = \{ 0,1,4,6,8,9\}

29.

𝐴 ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A = \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}

30.

𝐴 ={0,1,3,4,5,6,7,9}

A = \{ 0,1,3,4,5,6,7,9\}

31.

𝐴 ={1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A = \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9\}

32.

𝐴 ={0,3,6,9}

A = \{ 0,3,6,9\}

Í eftirfarandi æfingum er grunnmengið

𝑈

{Bashful, Doc, Dopey, Grumpy, Happy, Sleepy, Sneezy}. Finndu fyllimengi hvers hlutmengis í

𝑈

33.

𝐴 =

A =

{Happy, Bashful, Grumpy}

34.

𝐴 =

A =

{Sleepy, Sneezy}

35.

𝐴 =

A =

{Doc}

36.

𝐴 =

A =

{Doc, Dopey}

37.

𝐴 =∅

A = \emptyset

38.

𝐴 =

A =

{Doc, Grumpy, Happy, Sleepy, Bashful, Sneezy, Dopey}

Í eftirfarandi æfingum er grunnmengið

𝑈

ℕ

{

…

}

{

…

}

. Finndu fyllimengi hvers hlutmengis í

𝑈

39.

𝐴 ={1,2,3,4,5}

A = \{ 1,2,3,4,5\}

40.

𝐴 ={1,3,5,…}

A = \{ 1,3,5, \ldots \}

41.

𝐴 ={1}

A = \{ 1\}

42.

𝐴 ={4,5,6,…}

A = \{ 4,5,6, \ldots \}

Í eftirfarandi æfingum skaltu nota Venn-myndina til að ákvarða stök fyllimengis mengisins

𝐴

′

43.

Venn-mynd með einu mengi er merkt „A = {2, 3, 4, 9}“. Utan hennar er grunnmengið merkt „U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}“.

44.

Venn-mynd sýnir mengið A = {1, 2, 4, 8} innan grunnmengisins U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

45.

Venn-mynd með einu mengi er merkt „A = {n, e, t}“. Utan hennar er grunnmengið merkt „U = {l, i, s, t, e, n}“.

46.