11 Mengi

Lykilatriði

1.1 Grunnhugtök mengjafræðinnar

Skilgreindu mengi sem vel skilgreint safn hluta og greindu það frá söfnum sem eru ekki vel skilgreind.
Settu mengi fram bæði með upptalningaraðferð og skilyrðisrithætti mengja, þar sem stökum mengisins er lýst.
Í mengjafræði eru eftirfarandi tákn notuð almennt:
- ℕ – mengi náttúrlegra talna, það er jákvæðu heiltalnanna.
  $ℕ = {1, 2, 3, ...}$
- ℤ – mengi heiltalna, það er náttúrlegu talnanna, andstæða þeirra og núlls.
  $ℤ = {..., - 2, - 1, 0, 1, 2, ...}$
- ℚ – mengi ræðra talna eða brota.
  $ℚ = {\frac{p}{q} | p og q eru heiltölur og q \neq 0}$
Greindu á milli endanlegra mengja, óendanlegra mengja og tómamengisins til að ákvarða stærð eða fjöldatölu mengis.
Greindu á milli jafnra mengja, sem hafa nákvæmlega sömu stök, og samstéttra mengja, sem geta haft ólík stök en verða að hafa sömu fjöldatölu eða stærð.

1.2 Hlutmengi

Sérhvert stak hlutmengis er einnig stak í menginu sem það er hlutmengi í. $A \subseteq B$
Eiginlegt hlutmengi mengis inniheldur ekki öll stök þess. Að minnsta kosti eitt stak mengis $B$ er ekki stak mengis $A$ . $A \subset B$
Fjöldi hlutmengja endanlegs mengis $A$ með $n (A)$ stök er 2 í veldinu $n (A)$ .
Tómamengið er hlutmengi sérhvers mengis og verður að vera með þegar öll hlutmengi mengis eru talin upp.
Lærðu að mynda og greina samstétta hlutmengi endanlegra og óendanlegra mengja sem eru ekki jöfn upphaflega menginu.

1.3 Venn-myndir

Venn-mynd er myndræn framsetning á venslum mengja.
Á Venn-mynd er grunnmengið $U$ stærsta mengið sem er til skoðunar og það er teiknað sem rétthyrningur. Öll hlutmengi grunnmengisins eru teiknuð sem hringir innan rétthyrningsins.
Fyllimengi mengis $A$ inniheldur öll stök grunnmengisins sem eru ekki í mengi $A$ . Mengi og fyllimengi þess eru sundurlæg; þau eiga engin sameiginleg stök.
Til að finna fyllimengi mengis $A$ eru öll stök mengis $A$ fjarlægð úr grunnmenginu $U$ . Mengið sem inniheldur aðeins stökin sem eftir eru er fyllimengi mengis $A$ , $A^{'}$ .
Ákvarðaðu fyllimengi með Venn-myndum, upptalningaraðferð og skilyrðisrithætti mengja.

1.4 Mengjaaðgerðir með tveimur mengjum

Sniðmengi tveggja mengja $A \cap B$ er mengi allra staka sem þau eiga sameiginleg. Sérhvert stak í $A$ ∩ $B$ verður að vera bæði í mengi $A$ og mengi $B$ .
Sammengi tveggja mengja $A \cup B$ er safn allra staka sem eru í mengi $A$ , mengi $B$ eða báðum mengjunum $A$ og $B$ .
Tvö mengi sem eiga að minnsta kosti eitt stak sameiginlegt og eru því ekki sundurlæg eru sýnd á Venn-mynd með tveimur hringjum sem skarast.
- Skörunarsvæðið er sniðmengið $A \cap B .$
- Svæðin sem tilheyra að minnsta kosti öðrum hringnum mynda sammengið $A \cup B .$
Beittu þekkingu á sammengi og sniðmengi til að ákvarða fjöldatölu og aðild staka með Venn-myndum, upptalningaraðferð og skilyrðisrithætti mengja.

1.5 Mengjaaðgerðir með þremur mengjum

Venn-mynd með tveimur mengjum sem skarast skiptir grunnmenginu í fjögur aðgreind svæði. Þegar þriðja menginu sem skarast er bætt við skiptist Venn-myndin í átta aðgreind svæði.
Greindu, túlkaðu og búðu til Venn-myndir með þremur mengjum sem skarast.
- Notaðu meðal annars blóðflokksþættina A, B og Rh.
- Finndu sammengi og sniðmengi.
- Finndu fjöldatölur sammengja og sniðmengja.
Þegar mengjaaðgerðir eru framkvæmdar á þremur eða fleiri mengjum er fyrst reiknað innan innstu sviga, síðan eru fyllimengi fundin og að lokum eru þær sammengis- og sniðmengisaðgerðir sem eftir standa framkvæmdar.
Til að sanna jöfnuð mengja með Venn-myndum er teiknuð Venn-mynd fyrir hvora hlið jöfnunnar og síðan kannað hvort svæðin sem fást séu eins. Ef svæðin eru eins er jafnan sönn yrðing; annars er hún ósönn.

11 Mengi

Lykilatriði

1.1 Grunnhugtök mengjafræðinnar

Skilgreindu mengi sem vel skilgreint safn hluta og greindu það frá söfnum sem eru ekki vel skilgreind.
Settu mengi fram bæði með upptalningaraðferð og skilyrðisrithætti mengja, þar sem stökum mengisins er lýst.
Í mengjafræði eru eftirfarandi tákn notuð almennt:
- ℕ – mengi náttúrlegra talna, það er jákvæðu heiltalnanna.
  $ℕ = {1, 2, 3, ...}$
- ℤ – mengi heiltalna, það er náttúrlegu talnanna, andstæða þeirra og núlls.
  $ℤ = {..., - 2, - 1, 0, 1, 2, ...}$
- ℚ – mengi ræðra talna eða brota.
  $ℚ = {\frac{p}{q} | p og q eru heiltölur og q \neq 0}$
Greindu á milli endanlegra mengja, óendanlegra mengja og tómamengisins til að ákvarða stærð eða fjöldatölu mengis.
Greindu á milli jafnra mengja, sem hafa nákvæmlega sömu stök, og samstéttra mengja, sem geta haft ólík stök en verða að hafa sömu fjöldatölu eða stærð.

1.2 Hlutmengi

Sérhvert stak hlutmengis er einnig stak í menginu sem það er hlutmengi í. $A \subseteq B$
Eiginlegt hlutmengi mengis inniheldur ekki öll stök þess. Að minnsta kosti eitt stak mengis $B$ er ekki stak mengis $A$ . $A \subset B$
Fjöldi hlutmengja endanlegs mengis $A$ með $n (A)$ stök er 2 í veldinu $n (A)$ .
Tómamengið er hlutmengi sérhvers mengis og verður að vera með þegar öll hlutmengi mengis eru talin upp.
Lærðu að mynda og greina samstétta hlutmengi endanlegra og óendanlegra mengja sem eru ekki jöfn upphaflega menginu.

1.3 Venn-myndir

Venn-mynd er myndræn framsetning á venslum mengja.
Á Venn-mynd er grunnmengið $U$ stærsta mengið sem er til skoðunar og það er teiknað sem rétthyrningur. Öll hlutmengi grunnmengisins eru teiknuð sem hringir innan rétthyrningsins.
Fyllimengi mengis $A$ inniheldur öll stök grunnmengisins sem eru ekki í mengi $A$ . Mengi og fyllimengi þess eru sundurlæg; þau eiga engin sameiginleg stök.
Til að finna fyllimengi mengis $A$ eru öll stök mengis $A$ fjarlægð úr grunnmenginu $U$ . Mengið sem inniheldur aðeins stökin sem eftir eru er fyllimengi mengis $A$ , $A^{'}$ .
Ákvarðaðu fyllimengi með Venn-myndum, upptalningaraðferð og skilyrðisrithætti mengja.

1.4 Mengjaaðgerðir með tveimur mengjum

Sniðmengi tveggja mengja $A \cap B$ er mengi allra staka sem þau eiga sameiginleg. Sérhvert stak í $A$ ∩ $B$ verður að vera bæði í mengi $A$ og mengi $B$ .
Sammengi tveggja mengja $A \cup B$ er safn allra staka sem eru í mengi $A$ , mengi $B$ eða báðum mengjunum $A$ og $B$ .
Tvö mengi sem eiga að minnsta kosti eitt stak sameiginlegt og eru því ekki sundurlæg eru sýnd á Venn-mynd með tveimur hringjum sem skarast.
- Skörunarsvæðið er sniðmengið $A \cap B .$
- Svæðin sem tilheyra að minnsta kosti öðrum hringnum mynda sammengið $A \cup B .$
Beittu þekkingu á sammengi og sniðmengi til að ákvarða fjöldatölu og aðild staka með Venn-myndum, upptalningaraðferð og skilyrðisrithætti mengja.

1.5 Mengjaaðgerðir með þremur mengjum

Venn-mynd með tveimur mengjum sem skarast skiptir grunnmenginu í fjögur aðgreind svæði. Þegar þriðja menginu sem skarast er bætt við skiptist Venn-myndin í átta aðgreind svæði.
Greindu, túlkaðu og búðu til Venn-myndir með þremur mengjum sem skarast.
- Notaðu meðal annars blóðflokksþættina A, B og Rh.
- Finndu sammengi og sniðmengi.
- Finndu fjöldatölur sammengja og sniðmengja.
Þegar mengjaaðgerðir eru framkvæmdar á þremur eða fleiri mengjum er fyrst reiknað innan innstu sviga, síðan eru fyllimengi fundin og að lokum eru þær sammengis- og sniðmengisaðgerðir sem eftir standa framkvæmdar.
Til að sanna jöfnuð mengja með Venn-myndum er teiknuð Venn-mynd fyrir hvora hlið jöfnunnar og síðan kannað hvort svæðin sem fást séu eins. Ef svæðin eru eins er jafnan sönn yrðing; annars er hún ósönn.