11 Mengi

1.4 Mengjaaðgerðir með tveimur mengjum

Hópur karla og kvenna á ýmsum aldri brosir og stillir sér upp fyrir hópmynd. — **Mynd 1.18.** Stór fjölskylda með mörgum kynslóðum sýnir bæði sniðmengi og sammengi mengja. (mynd: „Family Photo Shoot Bani Syakur“ eftir Mainur Risyada/Flickr, CC BY 2.0)

Námsmarkmið

Að þessum hluta loknum átt þú að geta:

ákvarðað sniðmengi tveggja mengja;
ákvarðað sammengi tveggja mengja;
ákvarðað fjöldatölu sammengis tveggja mengja;
beitt hugtökunum OG og EÐA í mengjaaðgerðum;
dregið ályktanir af Venn-myndum með tveimur mengjum.

Kvikmyndin Yours, Mine, and Ours kom fyrst út árið 1968 og Lucille Ball og Henry Fonda fóru með aðalhlutverkin. Myndin byggist lauslega á sannri sögu og fjallar um hjónaband Helen, ekkju með átta börn, og Franks, ekkils með tíu börn, sem síðan eignast barn saman. Gamanmyndin leikur sér að þeim samskipta- og skipulagsvanda sem fylgir því að fæða, baða og klæða tuttugu manns á einu heimili.

Ef við skoðum mengi barna Helen og mengi barna Franks er sameiginlega barnið þeirra í sniðmengi þessara tveggja mengja, en öll börn þeirra saman mynda sammengi mengjanna. Í þessum hluta könnum við sammengi og sniðmengi tveggja mengja.

Sniðmengi tveggja mengja

Sameiginleg stök tveggja mengja mynda sniðmengi þeirra. Stak er í sniðmenginu ef það tilheyrir báðum mengjunum. Sniðmengi samsvarar því rökfræðilegri OG-yrðingu. Sniðmengi $A$ og $B$ er táknað $A \cap B$ . Með skilyrðisrithætti má rita sniðmengi $A$ og $B$ sem $A \cap B = {x | x \in A OG x \in B}$ .

Skoðum börn Helen og Franks úr kvikmyndinni Yours, Mine, and Ours. Börn Helen mynda mengið $H = {Colleen, Nick, Janette, Tommy, Jean, Phillip, Gerald, Theresa, Joseph}$ og börn Franks mengið $F = {Mike, Rusty, Greg, Rosemary, Loise, Susan, Veronica, Mary, Germaine, Joan, Joseph}$ . Sniðmengi mengjanna $H$ og $F$ inniheldur barnið sem þau eiga saman: $H \cap F = {Joseph}$ , því Joseph er bæði í $H$ og $F$ .

Dæmi 1.23

Sniðmengi fundið: $A$ og $B$

Mengi $A = {1, 3, 5, 7, 9}$ OG $B = {2, 3, 5, 7} .$ Finndu $A$ ∩ $B .$

Lausn

Sniðmengi $A$ og $B$ inniheldur þau stök sem eru bæði í $A$ og $B$ : 3, 5 og 7. Því er $A \cap B = {3, 5, 7} .$

Athugaðu að ef mengin $A$ og $B$ eru sundurlæg eiga þau ekkert stak sameiginlegt og sniðmengi þeirra, $A$ ∩ $B$ , er tómamengið, eins og Venn-myndin hér á eftir sýnir.

Venn-mynd sýnir tvö sundurlæg mengi, 𝐴 og 𝐵, innan grunnmengisins 𝑈. — **Mynd 1.19.** Mengin A og B eru sundurlæg innan grunnmengisins U.

Dæmi 1.24

Sniðmengi sundurlægra mengja ákvarðað

Mengi $A = {0, 2, 4, 6, 8}$ og mengið $B = {1, 3, 5, 7, 9} .$ Finndu $A \cap B .$

Lausn

Þar sem mengin $A$ og $B$ eru sundurlæg eiga þau ekkert stak sameiginlegt. Sniðmengi mengjanna $A$ og $B$ er því tómamengið. $A \cap B = \emptyset .$

Athugaðu að ef mengið $A$ er hlutmengi í menginu $B$ er sniðmengið $A$ ∩ $B$ jafnt menginu $A$ , eins og Venn-myndin hér á eftir sýnir.

Venn-mynd sýnir mengið 𝐴 inni í menginu 𝐵 og bæði innan grunnmengisins 𝑈. — **Mynd 1.20.** Mengið A er hlutmengi í B og sniðmengi þeirra er A.

Dæmi 1.25

Sniðmengi mengis og hlutmengis fundið

Mengi $A = {1, 3, 5, \dots}$ og mengið $B = ℕ = {1, 2, 3, \dots}$ Finndu $A \cap B .$

Lausn

Þar sem $A$ er hlutmengi í $B$ er sniðmengi $A$ og $B$ jafnt $A$ . Því er $A \cap B = A = {1, 3, 5, \dots},$ mengi oddatalna meðal náttúrlegra talna.

Sammengi tveggja mengja

Rétt eins og tvær fjölskyldur sameinast við hjónaband inniheldur sammengi tveggja mengja öll stök beggja mengjanna. Stak er í sammenginu ef það er í fyrra menginu, því síðara eða báðum. Sammengi samsvarar því rökfræðilegu „og/eða“. Sammengi $A$ og $B$ er táknað $A \cup B .$ Sammengi $A$ og $B$ má rita með skilyrðisrithætti sem $A \cup B = {x | x \in A EÐA x \in B} .$

Skoðum aftur mengi barna Helen og Franks úr Yours, Mine, and Ours. Börn Helen mynda mengið $H = {Colleen, Nick, Janette, Tommy, Jean, Phillip, Gerald, Theresa, Joseph}$ og börn Franks mengið $F = {Mike, Rusty, Greg, Rosemary, Loise, Susan, Veronica, Mary, Germaine, Joan, Joseph}$ . Sammengið inniheldur öll nítján börnin: $\begin{array}{l} H \cup F = {Colleen, Nick, Janette, Tommy, Jean, Phillip, Gerald, Theresa, Joseph, \\ Mike, Rusty, Greg, Rosemary, Loise, Susan, Veronica, Mary, Germaine, Joan} . \end{array}$
Joseph er bæði í $H$ og $F$ en er aðeins skráður einu sinni í sammenginu.

Dæmi 1.26

Sammengi mengjanna $A$ og $B$ þegar $A$ og $B$ skarast

Mengi $A = {1, 3, 5, 7, 9}$ og mengið $B = {2, 3, 5, 7}$ . Finndu $A$ ∪ $B$ .

Lausn

$A$ ∪ $B$ inniheldur öll ólík stök í $A$ , $B$ eða báðum mengjunum $A$ og $B$ : $A \cup B = {1, 3, 5, 7, 9, 2} .$ Fyrstu fimm stökin eru ólíku stökin í $A$ . Þótt 3, 5 og 7 séu einnig í $B$ eru þau aðeins skráð einu sinni. Mengið $B$ inniheldur auk þess stakið 2, sem er því einnig í sammengi $A$ og $B$ .

Þegar sammengi mengjanna $A$ og $B$ er skoðað sést að bæði mengið $A$ og mengið $B$ eru hlutmengi í $A$ ∪ $B$ . Myndrænt má sýna $A$ ∪ $B$ á mismunandi vegu eftir því hvaða stök mengin eiga sameiginleg. Ef $A$ og $B$ eru sundurlæg er $A$ ∪ $B$ sýnt með tveimur sundurlægum hringjum innan grunnmengisins, eins og á Venn-myndinni hér á eftir.

Ef mengin $A$ og $B$ eiga sum stök sameiginleg, en ekki öll, er Venn-myndin teiknuð sem tveir hringir sem skarast.

Venn-mynd sýnir tvö mengi, 𝐴 og 𝐵, sem skarast innan grunnmengisins 𝑈. — **Mynd 1.22.** Mengin A og B skarast; sammengið nær yfir bæði mengin.

Ef hvert stak í menginu $A$ er einnig stak í menginu $B$ er $A$ hlutmengi í menginu $B$ og $A$ ∪ $B$ jafnt menginu $B$ . Á Venn-myndinni á hringurinn sem táknar mengið $A$ að liggja allur innan hringsins sem táknar mengið $B$ .

Dæmi 1.27

Sammengi mengjanna $A$ og $B$ þegar $A$ og $B$ eru sundurlæg

Mengi $A = {0, 2, 4, 6, 8}$ og mengið $B = {1, 3, 5, 7, 9} .$ Finndu $A \cup B .$

Lausn

Þar sem $A$ og $B$ eru sundurlæg inniheldur sammengið öll stök í $A$ og $B$ : $A \cup B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} .$

Dæmi 1.28

Sammengi mengjanna $A$ og $B$ þegar annað er hlutmengi hins

Mengi $A = {1, 3, 5, \dots}$ og mengið $B = ℕ = {1, 2, 3, \dots} .$ Finndu $A \cup B .$

Lausn

Þar sem $A$ er hlutmengi í $B$ er $A$ ∪ $B$ jafnt $B$ : $A \cup B = ℕ = {1, 2, 3, \dots} = B .$

Tækniprófun

Æfing í mengjaaðgerðum

Sets Challenge er smáforrit fyrir Android- og iPhone-síma þar sem æfa má sammengi, sniðmengi, fyllimengi og mengjamismun.

Mynd 1.24. Mynd af leiknum Sets Challenge í Google Play-versluninni. (mynd: skjáskot úr Google Play)

Smáforritið Sets Challenge notar að hluta annan rithátt en bókin.

Fyllimengi mengisins $A$ er táknað í bókinni sem $A^{'},$ en leikurinn Sets Challenge notar $A^{C}$ til að tákna fyllimengjaaðgerðina.
Í bókinni er mengjamismunur tveggja mengja $A$ og $B$ ekki tekinn fyrir, en í leiknum er hann táknaður $A - B .$ Aðgerðin fjarlægir úr $A$ öll stök í $A \cap B .$ Ef $A = {a, b, c, d}$ og $B = {b, d, f, h}$ eru hlutmengi í $U = {a, b, c, \dots, z},$ þá er $A - B = {a, b, c, d} - {b, d} = {a, c},$ og $B - A = {b, d, f, h} - {b, d} = {f, h} .$ Í lok kaflans er verkefni um mengjamismun.

Fjöldatala tveggja mengja ákvörðuð

Fjöldatala sammengis tveggja mengja er heildarfjöldi staka í sammenginu. Fjöldatala $A$ ∪ $B$ er táknuð $n (A \cup B)$ . Ef tvö mengi $A$ og $B$ eru sundurlæg er fjöldatala $A$ ∪ $B$ summa fjöldatalna mengisins $A$ og mengisins $B$ . Ef mengin skarast er $A$ ∩ $B$ hlutmengi bæði í menginu $A$ og í menginu $B$ . Þegar fjöldatölur mengjanna $A$ og $B$ eru lagðar saman hafa stökin í $A$ ∩ $B$ verið talin tvisvar. Því verður að draga fjölda þeirra einu sinni frá, eins og næsta formúla sýnir.

Dæmi 1.29

Fjöldatala sammengis tveggja mengja ákvörðuð

Fjöldi staka í menginu $A$ er 10, fjöldi staka í menginu $B$ er 20 og fjöldi staka í $A$ ∩ $B$ er 4. Finndu fjölda staka í $A$ ∪ $B$ .

Lausn

Með formúlunni fyrir fjöldatölu sammengis fæst $n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B) = 10 + 20 - 4 = 26.$

Dæmi 1.30

Fjöldatala sammengis tveggja sundurlægra mengja ákvörðuð

Ef $A$ og $B$ eru sundurlæg mengi, fjöldatala mengisins $A$ er 37 og fjöldatala mengisins $B$ er 43, finndu þá fjöldatölu $A$ ∪ $B$ .

Lausn

Til að finna fjöldatölu $A$ ∪ $B$ notum við formúluna $n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B) .$ Þar sem mengin $A$ og $B$ eru sundurlæg er $A \cap B$ tómamengið og því $n (A \cap B) = n (\emptyset) = 0$ og $n (A \cup B) = 37 + 43 - 0 = 80.$

Hugtökunum „OG“ og „EÐA“ beitt í mengjaaðgerðum

Til að fá ökuleyfi þarf að standast einhvers konar skriflegt próf og aksturspróf, auk ýmissa annarra krafna eftir aldri. Til einföldunar skulum við einbeita okkur að þessum tveimur prófum. Ef þú stenst skriflega prófið en fellur á akstursprófinu færðu ekki ökuleyfi. Ef þú fellur á skriflega prófinu færðu ekki að taka akstursprófið og færð því ekki ökuleyfi. Til að fá ökuleyfi þarftu að standast bæði skriflega prófið OG akstursprófið. Til að „OG“-yrðing sé sönn verða bæði skilyrði hennar að vera sönn. Á sama hátt inniheldur sniðmengi tveggja mengja $A$ og $B$ þau stök sem eru bæði í menginu $A$ og í menginu $B$ . Til að vera stak í $A$ ∩ $B$ verður stak að vera bæði í menginu $A$ og í menginu $B$ . Sniðmengi tveggja mengja samsvarar rökfræðilegri „OG“-yrðingu.

Sammengi tveggja mengja samsvarar rökfræðilegri „EÐA“-yrðingu í innifalinni merkingu. Segjum að þú sért í afmælisveislu og gestgjafinn bjóði Leah, Lenny, Maya og þér köku eða ís í eftirrétt. Leah biður um köku, Lenny þiggur bæði köku og ís, Maya afþakkar hvort tveggja og þú velur aðeins ís. Leah, Lenny og þú fáið öll eftirrétt. „EÐA“-yrðingin er sönn ef að minnsta kosti annar liður hennar er sannur. Maya er sú eina sem fékk hvorki köku né ís; hún fékk því engan eftirrétt og „EÐA“-yrðingin er ósönn. Til að vera stak í sammengi tveggja mengja $A$ og $B$ þarf stak að vera í menginu $A$ , í menginu $B$ eða í báðum mengjunum $A$ og $B$ .

Dæmi 1.31

„OG“- eða „EÐA“-aðgerðinni beitt

$A = {0, 3, 6, 9, 12}, B = {0, 4, 8, 12, 16},$ OG $C = {1, 2, 3, 5, 8, 13} .$

Finndu mengið sem inniheldur stök í:

$A OG B .$
$A EÐA B .$
$A EÐA C .$
$(B OG C) EÐA A .$

Lausn

$A OG B = A \cap B = {0, 12},$ því aðeins stökin 0 og 12 eru bæði í $A$ og $B$ .
$A EÐA B = A \cup B = {0, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16},$ því sammengið inniheldur öll stök í $A$ eða $B$ eða í báðum mengjunum $A$ og $B$ .
$A EÐA C = A \cup C = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 12, 13},$ því sammengið inniheldur öll stök í $A$ eða $C$ eða í báðum mengjunum $A$ og $C$ .
$(B OG C) EÐA A = (B \cap C) \cup A .$ Reiknum fyrst innan sviga: $(B OG C) = B \cap C = {8},$ því 8 er eina sameiginlega stakið í mengjunum $B$ og $C$ . Þá þarf að finna ${8} EÐA {0, 3, 6, 9, 12},$ EÐA samsvarar sammengi, svo dæmið verður ${8} \cup {0, 3, 6, 9, 12},$ sem er ${0, 3, 6, 8, 9, 12} .$

Dæmi 1.32

Réttar mengjaaðgerðir valdar og notaðar til að leysa dæmi

Don Woods býður upp á köku og ís á Juneteenth-hátíð sinni. Alls eru 54 gestir í veislunni. Gerum ráð fyrir að 30 gestir hafi beðið um köku, 20 um ís og 12 hafi hvorki fengið köku né ís.

Hve margir gestir fengu köku eða ís?
Hve margir gestir fengu bæði köku og ís?

Lausn

Alls eru 54 gestir í veislunni og 12 fengu hvorki köku né ís. Rifjum upp að fjöldi staka í grunnmenginu er summa fjölda staka í hlutmengi og fyllimengi þess, $n (U) = n (A) + n (A^{'}) .$ Því er $54 = n (kaka eða ís) + n (ekki (kaka eða ís))$ , eða með jafngildum hætti: $n (kaka \cup ís) = 54 - n ({(kaka \cup ís)}^{'}) = 54 - 12 = 42.$ Alls fengu 42 gestir köku eða ís.
Til að finna fjölda þeirra sem fengu bæði köku og ís þurfum við sniðmengi mengis þeirra sem fengu köku og mengis þeirra sem fengu ís. Úr spurningu 1 vitum við að 42 fengu köku eða ís; það er fjöldatala sammengisins. Formúlan fyrir sammengi tveggja mengja er $n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B) .$ Settu þekktu gildin úr dæminu inn í formúluna og leystu hana fyrir fjölda staka í sniðmenginu: $42 = 30 + 20 - n (A \cap B) .$ Þegar 30 og 20 eru lögð saman einfaldast jafnan í $42 = 50 - n (kaka og ís) .$ Því fæst $n (kaka og ís) = 50 - 42 = 8.$

Vissir þú?

Hinn raunverulegi uppfinningamaður Venn-myndarinnar

John Venn vísar í ritum sínum bæði til verka Johns Boole og Augustusar De Morgan, sem kölluðu hringamyndirnar sem almennt voru notaðar til að sýna rökfræðileg vensl Euler-hringi. Verk Leonhards Eulers komu út meira en hundrað árum á undan verkum Venns og hugsanlegt er að Euler hafi orðið fyrir áhrifum af verkum Gottfrieds Leibniz.

Hvers vegna fær John Venn þá allan heiðurinn af þessum myndrænu framsetningum? Venn varð fyrstur til að festa notkun þeirra í formlegt kerfi í bók sinni Symbolic Logic, sem kom út 1881. Hann bætti einnig hönnun þeirra verulega, meðal annars með skyggingu til að draga fram svæðið sem var til skoðunar. Stærðfræðingurinn C. L. Dodgson, betur þekktur sem Lewis Carroll, byggði á verkum Venns með því að bæta við grunnmengi sem afmarkaði myndina.

Uppfinning felst ekki endilega í því að fá fyrstu hugmyndina. Hún felst í því að sjá möguleika hugmyndar og beita henni við nýjar aðstæður.

Heimildir:

Margaret E. Baron. „A Note on the Historical Development of Logic Diagrams: Leibniz, Euler and Venn.“ The Mathematical Gazette, 53. árg., nr. 384, 1969, bls. 113–125. JSTOR, www.jstor.org/stable/3614533. Sótt 15. júlí 2021.

Deborah Bennett. „Drawing Logical Conclusions.“ Math Horizons, 22. árg., nr. 3, 2015, bls. 12–15. JSTOR, www.jstor.org/stable/10.4169/mathhorizons.22.3.12. Sótt 15. júlí 2021.

Ályktanir dregnar af Venn-mynd með tveimur mengjum

Allar Venn-myndir sýna vensl mengjanna, svo sem hlutmengjavensl, skörun eða sundurlægni. Auk venslanna geta þær einkum sýnt tvennt: einstök stök mengjanna eða fjöldatölu hvers sundurlægs svæðis grunnmengisins.

Venn-mynd með tveimur hlutmengjum skiptir grunnmenginu í þrjú eða fjögur svæði eftir því hvort mengin eru sundurlæg eða skarast. Rifjum upp að fyllimengi mengisins $A$ , táknað $A^{'},$ er mengi allra staka í grunnmenginu sem eru ekki í menginu $A .$

Tvær Venn-myndir eru sýndar hlið við hlið; sú fyrri hefur sundurlæg mengi og sú síðari mengi sem skarast. Grunnmengið er merkt 𝑈 og mengin 𝐴 og 𝐵. Fyrri myndin sýnir einnig (𝐴 ∪ 𝐵)′. Á síðari myndinni eru svæðin 𝐴 ∩ 𝐵′, 𝐵 ∩ 𝐴′, 𝐴 ∩ 𝐵 og (𝐴 ∪ 𝐵)′ auðkennd. — **Mynd 1.25.** Venn-myndir með sundurlægum mengjum og mengjum sem skarast, hlið við hlið.

Dæmi 1.33

Venn-mynd notuð til að draga ályktanir um aðild að mengi

Venn-mynd sýnir tvö sundurlæg mengi. Í 𝐴 eru 1, 3, 5 og 7; í 𝐵 eru 2, 4, 8 og 6; utan þeirra eru 0 og 9. Grunnmengið er 𝑈 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. — **Mynd 1.26.** Sundurlægu mengin A = {1, 3, 5, 7} og B = {2, 4, 6, 8} innan grunnmengisins U.

Finndu $A \cup B .$
Finndu $A \cap B .$
Finndu $B^{'}$ .
Finndu $n (B^{'}) .$

Lausn

$A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},$ því sammengið inniheldur öll stök í $A$ eða $B$ eða í báðum mengjunum $A$ og $B$ .
Þar sem $A$ og $B$ eru sundurlæg er ekkert stak bæði í $A$ og $B$ . Því er $A$ ∩ $B$ tómamengið, $A \cap B = \emptyset .$
Fyllimengi $B$ er mengi allra staka í grunnmenginu sem eru ekki í $B$ : $B^{'} = {0, 1, 3, 5, 7, 9} .$
Fjöldatala mengisins $B^{'} er n (B^{'}) = 6.$

Dæmi 1.34

Venn-mynd notuð til að draga ályktanir um fjöldatölu mengis

Venn-mynd sýnir tvö mengi A og B innan grunnmengisins U. Talan 7 er á svæðinu sem tilheyrir aðeins A, 2 á svæðinu sem tilheyrir aðeins B, 5 í sniðmenginu og 8 utan beggja mengja. Tölurnar tákna fjölda staka á hverju svæði. — **Mynd 1.27.** Venn-mynd með tveimur mengjum sem skarast og fjölda staka á hverju svæði.

Finndu $n (A EÐA B) .$
Finndu $n (A OG B) .$
Finndu $n (A) .$

Lausn

Fjöldi staka í $A$ EÐA $B$ er fjöldi staka í $A$ ∪ $B$ : $n (A \cup B) = n ({2, 5, 7}) = 14 .$
Fjöldi staka sem eru bæði í $A$ og $B$ er fjöldi staka í $A$ ∩ $B$ : $n (A \cap B) = 5 .$
Fjöldi staka í $A$ er summa talnanna innan hringsins sem táknar $A$ : $n (A) = n ({7, 5}) = 12 .$

Kannaðu skilning þinn

___________ tveggja mengja

A

B

er mengi allra staka sem þau eiga sameiginleg.

____________ tveggja mengja

A

B

er safn allra staka sem eru í menginu

A

, í menginu

B

eða í báðum mengjunum

A

B

Sammengi tveggja mengja

A

B

er táknað sem __________.

Sniðmengi tveggja mengja

A

B

er táknað ___________.

Ef mengið

A

er hlutmengi í menginu

B

A

∩

B

jafnt menginu ___________.

Ef mengið

A

er hlutmengi í menginu

B

A

∪

B

jafnt menginu ___________.

Ef mengin

A

B

eru sundurlæg er

A

∩

B

___________.

Fjöldatala

A

∪

B

n(A \cup B)

, fæst með formúlunni ___________.

Æfingar úr hluta 1.4

Í eftirfarandi æfingum skaltu ákvarða sammengi eða sniðmengi eins og tilgreint er.

$A = \{ 2,4,6,8,10,12\}$ , $B = \{ 4,8,12,16,20\}$ , $C = \{ 8,16,24,32,40\}$ , OG $D = \{ 10,20,30,40,50\}$ .

B \cup C

A \cap D

D \cap C

A \cup D

A \cap (C \cup D)

B \cup (A \cap D)

D \cup (A \cap C)

C \cap (A \cup D)

B \cap (A \cap D)

10.

B \cap (A \cap C)

11.

B \cup (A \cup D)

12.

B \cup (A \cup C)

Í eftirfarandi æfingum skaltu nota gefnu mengin og beita „OG“- eða „EÐA“-aðgerðinni eins og tilgreint er.

$U = \{ a,b,c, \ldots ,z\}$ , $S = \{ s,a,m,p,l,e\}$ , $M = \{ m,a,p\}$ , $L = \{ l,a,m,p\}$ , $D = \{ d,o,g\}$ , OG $P = \{ p,l,o,t\}$ .

13.

Finndu mengi staka sem eru í

S

P

14.

Finndu mengi staka sem eru í

M

eða

D

15.

Finndu mengi staka sem eru í

P

eða

M

16.

Finndu mengi staka sem eru í

M

D

17.

Finndu mengi staka sem eru í

L

M

18.

Finndu mengi staka sem eru í

L

eða

M

19.

Finndu mengi staka sem eru í

D

eða

M

eða

P

20.

Finndu mengi staka sem eru í

S

eða

M

eða

P

21.

Finndu mengi staka sem eru í (

S

eða

D

) og

P

22.

Finndu mengi staka sem eru í

S

eða (

D

P

23.

Finndu mengi staka sem eru í

U

eða (

P

S

24.

Finndu mengi staka sem eru í (

U

eða

P

) og

S

Notaðu gefnu Venn-myndina í eftirfarandi æfingum til að svara spurningunum um mengin.

Venn-mynd sýnir tvö sundurlæg mengi. Í 𝐴 eru a, b, c, l og k; í 𝐵 eru d, e og r. Grunnmengið er 𝑈 = {a, b, c, …, z}.

25.

Finndu

A \cup B

26.

Finndu

A \cap B

27.

Finndu

{(A \cap B)^\prime }

28.

Finndu

{(A \cup B)^\prime }

29.

Finndu

A \cap {B^\prime }

30.

Finndu

B \cap {A^\prime }

Notaðu gefnu Venn-myndina í eftirfarandi æfingum til að svara spurningunum um mengin.

Venn-mynd sýnir tvö mengi sem skarast. Aðeins í 𝐴 eru p og l, aðeins í 𝐵 eru b, r og s og í sniðmenginu eru a, c og e. Grunnmengið er 𝑈 = {a, b, c, …, z}.

31.

Finndu

A \cap B

32.

Finndu

A \cup B

33.

Finndu

{(A \cup B)^\prime }

34.

Finndu

{(A \cap B)^\prime }

35.

Finndu

B \cap {A^\prime }

36.

Finndu

A \cap {B^\prime }

Notaðu gefnu Venn-myndina í eftirfarandi æfingum til að svara spurningunum um mengin.

Venn-mynd sýnir mengið 𝐴 inni í 𝐵. Í 𝐴 eru tölurnar 1, 2, 3 og svo framvegis, en 0 er í 𝐵 utan 𝐴. Grunnmengið er ℤ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}.

37.

Finndu

A \cup B

38.

Finndu

A \cap B

39.

Finndu

{(A \cup B)^\prime }

40.

Finndu

{(A \cap B)^\prime }

41.

Finndu

B \cap {A^\prime }

42.

Finndu

A \cap {B^\prime }

Í eftirfarandi æfingum skaltu ákvarða fjöldatölu sammengis mengisins

𝐴

og mengisins

𝐵

43.

Ef mengið

A = \{\text{red, white, blue}\}

og mengið

B = \{\text{green, white, red}\}

, finndu

n(A \cup B)

44.

A = \{\text{silver, gold, bronze}\}

B = \{\text{silver, gold}\}

, finndu fjölda staka í

A

EÐA

B

45.

A = \{\text{glass, plate, fork, knife}\}

B = \{\text{bowl, spoon, cup}\}

, finndu fjölda staka í

A

EÐA

B

46.

Ef mengið

A = \{\text{Algebra, Geometry, Biology, Physics, Chemistry, English}\}

og mengið

B = \{\text{Algebra, English, History, Spanish, French, Music}\}

, finndu

n(A \cup B)

Notaðu Venn-myndina í eftirfarandi æfingum til að ákvarða fjöldatölu

𝐴

∪

𝐵

47.

Venn-mynd sýnir tvö mengi A og B. Á svæðinu sem tilheyrir aðeins A stendur 2, í sniðmenginu 7 og á svæðinu sem tilheyrir aðeins B stendur 8. Grunnmengið er merkt U = 21.

48.

Venn-mynd sýnir tvö sundurlæg mengi A og B. Í A stendur 3 og í B stendur 10. Grunnmengið er merkt U = 15.

49.

Venn-mynd sýnir mengið A innan mengisins B. Í A stendur 22 og á svæðinu sem tilheyrir aðeins B stendur 52. Grunnmengið er merkt U = 88.

50.