22 Hagnýting heildunar

2.7 Heildi, vísisföll og lograr

Námsmarkmið

2.7.1 Setja fram skilgreiningu náttúrlega lograns sem heildi.
2.7.2 Þekkja afleiðu náttúrlega lograns.
2.7.3 Heilda föll sem fela í sér náttúrlega lografallið.
2.7.4 Skilgreina töluna e með heildi.
2.7.5 Þekkja afleiðu og heildi vísisfallsins.
2.7.6 Sanna eiginleika logra og vísisfalla með heildum.
2.7.7 Rita almenn logra- og vísisföll með náttúrlegum logrum og vísisföllum.

Við höfum áður skoðað vísisföll og logra en fórum þá hratt yfir nokkur mikilvæg atriði. Við könnuðum til dæmis ekki hvernig fara ætti með vísisföll með óræða veldisvísa. Skilgreining tölunnar e var einnig nokkuð ófullkomin í fyrri umfjöllun. Nú höfum við þau verkfæri sem þarf til að fjalla um þessi hugtök af meiri stærðfræðilegri nákvæmni og gerum það í þessum hluta.

Í þessum hluta gerum við ráð fyrir að náttúrlegi logrinn, talan e og heildunar- og deildunarreglur þessara falla hafi ekki enn verið skilgreind. Í lok hlutans höfum við rannsakað hugtökin af stærðfræðilegri nákvæmni og sjáum að þau samræmast því sem við lærðum áður.

Við byrjum á að skilgreina náttúrlega logran með heildi. Sú skilgreining er undirstaða hlutans. Út frá henni leiðum við deildunarreglur, skilgreinum töluna $e,$ og útvíkkum síðan hugtökin þannig að þau nái til logra og vísisfalla með hvaða grunntölu sem er.

Náttúrlegi logrinn sem heildi

Rifjum upp veldaregluna fyrir heildi:

\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C, n \neq − 1 .

Ljóst er að reglan gildir ekki þegar $n = −1,$ því þá þyrftum við að deila með núlli. Hvernig förum við þá með $\int \frac{1}{x} d x ?$ Rifjum upp úr undirstöðusetningu stærðfræðigreiningarinnar að $\int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t$ er stofnfall $1 / x .$ Við getum því sett fram eftirfarandi skilgreiningu.

Þegar $x > 1,$ er þetta einfaldlega flatarmálið undir ferlinum $y = 1 / t$ frá $1$ til $x .$ Þegar $x < 1,$ gildir $\int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t = − \int_{x}^{1} \frac{1}{t} d t,$ svo þá er þetta neikvætt gildi flatarmálsins undir ferlinum frá $x til 1$ (sjá næstu mynd).

Myndin er í tveimur hlutum. Sá fyrri sýnir minnkandi ferilinn y=1/t í fyrsta fjórðungi. Skyggt svæði undir ferlinum afmarkast til vinstri af x=1 og er merkt „flatarmál = ln x“. Síðari hlutinn sýnir sama feril, y=1/t, og skyggt svæði undir honum sem afmarkast til hægri af x=1. Svæðið er merkt „flatarmál = −ln x“. — **Mynd 2.75.** (a) Þegar $x > 1,$ er náttúrlegi logrinn flatarmálið undir ferlinum $y = 1 / t$ frá $1 til x .$ (b) Þegar $x < 1,$ er náttúrlegi logrinn neikvætt gildi flatarmálsins undir ferlinum frá $x$ til $1 .$

Takið eftir að $ln 1 = 0 .$ Jafnframt er fallið $y = 1 / t > 0$ þegar $x > 0 .$ Af eiginleikum heilda er því ljóst að $ln x$ er vaxandi fyrir $x > 0 .$

Eiginleikar náttúrlega lograns

Af skilgreiningu náttúrlega lograns og undirstöðusetningu stærðfræðigreiningarinnar leiðir eftirfarandi deildunarregla þegar í stað.

Graf $ln x$ er sýnt á mynd 2.76. Takið eftir að fallið er samfellt á öllu skilgreiningarmenginu $(0, \infty) .$

Myndin sýnir vaxandi feril merktan f(x) = ln x. y-ásinn er aðfella ferilsins og ferillinn sker x-ásinn við x=1. — **Mynd 2.76.** Graf $f (x) = ln x$ sýnir að fallið er samfellt.

Dæmi 2.35

Afleiður náttúrlegra logra reiknaðar

Reiknið eftirfarandi afleiður:

$\frac{d}{d x} ln (5 x^{3} - 2)$
$\frac{d}{d x} {(ln (3 x))}^{2}$

Lausn

Í báðum tilvikum þarf að beita keðjureglunni.

$\frac{d}{d x} ln (5 x^{3} - 2) = \frac{15 x^{2}}{5 x^{3} - 2}$
$\frac{d}{d x} {(ln (3 x))}^{2} = \frac{2 (ln (3 x)) \cdot 3}{3 x} = \frac{2 (ln (3 x))}{x}$

Ef við notum tölugildisfallið og skilgreinum nýja fallið $ln | x |,$ getum við víkkað skilgreiningarmengi náttúrlega lograns út þannig að það nái einnig til $x < 0 .$ Þá er $(d / (d x)) ln | x | = 1 / x .$ Af þessu fæst kunnugleg heildunarregla.

Dæmi 2.36

Heildi sem fela í sér náttúrlega logra reiknuð

Reiknið heildið $\int \frac{x}{x^{2} + 4} d x .$

Lausn

Notum $u$ -innsetningu og látum $u = x^{2} + 4 .$ Þá er $d u = 2 x d x$ og því fáum við

\int \frac{x}{x^{2} + 4} d x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \frac{1}{2} ln | u | + C = \frac{1}{2} ln | x^{2} + 4 | + C = \frac{1}{2} ln (x^{2} + 4) + C .

Þótt við höfum kallað fallið „logra“ höfum við ekki enn sannað að eiginleikar logra gildi um það. Það gerum við nú.

Sönnun

i. Samkvæmt skilgreiningu er $ln 1 = \int_{1}^{1} \frac{1}{t} d t = 0 .$

ii. Við höfum

ln (a b) = \int_{1}^{a b} \frac{1}{t} d t = \int_{1}^{a} \frac{1}{t} d t + \int_{a}^{a b} \frac{1}{t} d t .

Beitum $u -innsetningu$ á síðasta heildið í segðinni. Látum $u = t / a .$ Þá er $d u = (1 / a) d t .$ Þegar $t = a, u = 1,$ og þegar $t = a b, u = b .$ Því fæst

ln (a b) = \int_{1}^{a} \frac{1}{t} d t + \int_{a}^{a b} \frac{1}{t} d t = \int_{1}^{a} \frac{1}{t} d t + \int_{a}^{a b} \frac{a}{t} \cdot \frac{1}{a} d t = \int_{1}^{a} \frac{1}{t} d t + \int_{1}^{b} \frac{1}{u} d u = ln a + ln b .

iv. Takið eftir að

\frac{d}{d x} ln (x^{r}) = \frac{r x^{r - 1}}{x^{r}} = \frac{r}{x} .

Jafnframt er

\frac{d}{d x} (r ln x) = \frac{r}{x} .

Afleiður fallanna tveggja eru þær sömu. Af undirstöðusetningu stærðfræðigreiningarinnar leiðir því að munurinn á föllunum sé fasti. Því er

ln (x^{r}) = r ln x + C

fyrir einhvern fasta $C .$ Með því að setja $x = 1,$ fæst

\begin{matrix} ln (1^{r}) & = & r ln (1) + C \\ 0 & = & r (0) + C \\ C & = & 0 . \end{matrix}

Því er $ln (x^{r}) = r ln x$ og sönnuninni er lokið. Síðar í þessum hluta víkkum við þennan eiginleika út þannig að hann gildi fyrir óræð gildi $r$ . Liður iii. leiðir af liðum ii. og iv. og lesanda er falið að sanna hann.

□

Dæmi 2.37

Eiginleikar logra notaðir

Notið eiginleika logra til að einfalda eftirfarandi segð og rita hana sem einn logra:

ln 9 - 2 ln 3 + ln (\frac{1}{3}) .

Lausn

Við höfum

ln 9 - 2 ln 3 + ln (\frac{1}{3}) = ln (3^{2}) - 2 ln 3 + ln (3^{−1}) = 2 ln 3 - 2 ln 3 - ln 3 = − ln 3 .

Talan e skilgreind

Nú þegar náttúrlegi logrinn hefur verið skilgreindur getum við notað hann til að skilgreina töluna $e .$

Með öðrum orðum er flatarmálið undir ferlinum $y = 1 / t$ milli $t = 1$ og $t = e$ jafnt $1$ (mynd 2.77). Lesanda er falið að sanna að slík tala sé til og sé aðeins ein. (Ábending: Notið milligildissetninguna til að sanna tilvist og þá staðreynd að $ln x$ er vaxandi til að sanna að talan sé aðeins ein.)

Myndin sýnir graf ferilsins y=1/t. Hann er minnkandi og liggur í fyrsta fjórðungi. Undir ferlinum er skyggt svæði sem afmarkast til vinstri af x=1 og til hægri af x=e. Svæðið er merkt „flatarmál = 1“. — **Mynd 2.77.** Flatarmálið undir ferlinum frá $1$ til $e$ er jafnt einum.

Hægt er að sýna fram á að talan $e$ sé óræð, þótt það verði ekki gert hér (sjá nemendaverkefnið í Taylor- og Maclaurin-röðum). Nálgunargildi hennar er

e \approx 2.71828182846 .

Vísisfallið

Nú beinum við athyglinni að fallinu $e^{x} .$ Takið eftir að náttúrlegi logrinn er eintækur og hefur því andhverft fall. Að svo stöddu táknum við andhverfa fallið með $exp x .$ Þá er

\exp (lnx) = xfyrirx 0 ogln (expx) = xfor allx

Eftirfarandi mynd sýnir gröf fallanna $exp x$ og $ln x .$

Myndin sýnir graf með þremur ferlum. Fyrsti ferillinn er merktur exp x. Hann er vaxandi, hefur x-ásinn sem lárétta aðfellu og sker y-ásinn í y=1. Annar ferillinn er skálína gegnum upphafspunktinn. Þriðji ferillinn er merktur ln x. Hann er vaxandi, hefur y-ásinn sem lóðrétta aðfellu og sker x-ásinn í x=1. — **Mynd 2.78.** Gröf fallanna $ln x$ og $exp x .$

Við setjum fram tilgátuna $exp x = e^{x} .$ Ef miðað er við ræð gildi $x,$ er auðvelt að sýna fram á hana. Ef $x$ er ræð tala er $ln (e^{x}) = x ln e = x .$ Þegar $x$ er ræð tala er því $e^{x} = exp x .$ Ef miðað er við óræð gildi $x,$ skilgreinum við einfaldlega $e^{x}$ sem andhverft fall $ln x .$

Þá er $e^{x} = exp (x)$ fyrir öll $x,$ og því

e^{ln x} = x fyrir x > 0 og ln (e^{x}) = x

(2.26)

fyrir öll $x .$

Eiginleikar vísisfallsins

Þar sem vísisfallið var skilgreint með andhverfu falli en ekki með veldi af $e,$ verðum við að sannreyna að venjulegar veldisreglur gildi um fallið $e^{x} .$

Sönnun

Takið eftir að eiginleikarnir gilda ef $p$ og $q$ eru ræðar tölur. Ef $p$ eða $q$ er hins vegar óræð tala verðum við að beita skilgreiningunni á $e^{x}$ sem andhverfu falli og sannreyna eiginleikana. Hér er aðeins fyrsti eiginleikinn sannreyndur; lesanda er falið að sanna hina tvo. Við höfum

ln (e^{p} e^{q}) = ln (e^{p}) + ln (e^{q}) = p + q = ln (e^{p + q}) .

Þar sem $ln x$ er eintækt fall fæst

e^{p} e^{q} = e^{p + q} .

□

Eins og með eiginleika iv. logra getum við útvíkkað eiginleika iii. þannig að hann gildi fyrir óræð gildi $r,$ og það gerum við áður en þessum hluta lýkur.

Við viljum einnig sannreyna deildunarregluna fyrir fallið $y = e^{x} .$ Til þess þurfum við að beita fólginni deildun. Látum $y = e^{x} .$ Þá er

\begin{matrix} ln y & = & x \\ \frac{d}{d x} ln y & = & \frac{d}{d x} x \\ \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} & = & 1 \\ \frac{d y}{d x} & = & y . \end{matrix}

Því fæst

\frac{d}{d x} e^{x} = e^{x}

eins og stefnt var að, og af því leiðir heildunarreglan þegar í stað:

\int e^{x} d x = e^{x} + C .

Við beitum þessum formúlum í eftirfarandi æfingum.

Dæmi 2.38

Eiginleikar vísisfalla notaðir

Reiknið eftirfarandi afleiður:

$\frac{d}{d t} e^{3 t} e^{t^{2}}$
$\frac{d}{d x} e^{3 x^{2}}$

Lausn

Við beitum keðjureglunni eftir þörfum.

$\frac{d}{d t} e^{3 t} e^{t^{2}} = \frac{d}{d t} e^{3 t + t^{2}} = e^{3 t + t^{2}} (3 + 2 t)$
$\frac{d}{d x} e^{3 x^{2}} = e^{3 x^{2}} 6 x$

Dæmi 2.39

Eiginleikar vísisfalla notaðir

Reiknið eftirfarandi heildi: $\int 2 x e^{− x^{2}} d x .$

Lausn

Notum $u$ -innsetningu og látum $u = − x^{2} .$ Þá er $d u = −2 x d x,$ og því fáum við

\int 2 x e^{− x^{2}} d x = − \int e^{u} d u = − e^{u} + C = − e^{− x^{2}} + C .

Almenn logra- og vísisföll

Við ljúkum þessum hluta með því að skoða vísisföll og logra með öðrum grunntölum en $e .$ Vísisföll eru föll af gerðinni $f (x) = a^{x} .$ Nema þegar $a = e,$ höfum við enn ekki stærðfræðilega nákvæma skilgreiningu á þessum föllum fyrir óræða veldisvísa. Við bætum úr því með því að skilgreina fallið $f (x) = a^{x}$ út frá vísisfallinu $e^{x} .$ Síðan skoðum við logra með öðrum grunntölum en $e$ sem andhverf föll vísisfalla.

Nú er $a^{x}$ skilgreint á stærðfræðilega nákvæman hátt fyrir öll gildi x. Þessi skilgreining gerir okkur einnig kleift að alhæfa eiginleika iv. logra og eiginleika iii. vísisfalla þannig að þeir gildi bæði fyrir ræð og óræð gildi $r .$ Auðvelt er að sýna að veldisreglurnar gilda um almenn vísisföll sem eru skilgreind á þennan hátt.

Beitum nú þessari skilgreiningu til að leiða út deildunarreglu fyrir $a^{x} .$ Við höfum

\frac{d}{d x} a^{x} = \frac{d}{d x} e^{x ln a} = e^{x ln a} ln a = a^{x} ln a .

Samsvarandi heildunarregla fæst þegar í stað.

Ef $a \neq 1,$ er fallið $a^{x}$ eintækt og hefur vel skilgreint andhverft fall. Andhverfa fallið er táknað með ${log}_{a} x .$ Þá er

y = {log}_{a} x if og only if x = a^{y} .

Takið eftir að hægt er að rita almenn lograföll með náttúrlega logranum. Látum $y = {log}_{a} x .$ Þá er $x = a^{y} .$ Tökum náttúrlega logran af báðum hliðum síðari jöfnunnar og fáum

\begin{matrix} ln x & = & ln (a^{y}) \\ ln x & = & y ln a \\ y & = & \frac{ln x}{ln a} \\ {log}_{a} x & = & \frac{ln x}{ln a} . \end{matrix}

Við sjáum því að öll lograföll eru föst margfeldi hvert annars. Næst notum við þessa formúlu til að finna deildunarreglu fyrir logra með grunntölu $a .$ Látum aftur $y = {log}_{a} x .$ Þá er

\begin{matrix} \frac{d y}{d x} & = \frac{d}{d x} ({log}_{a} x) \\ = \frac{d}{d x} (\frac{ln x}{ln a}) \\ = (\frac{1}{ln a}) \frac{d}{d x} (ln x) \\ = \frac{1}{ln a} \cdot \frac{1}{x} \\ = \frac{1}{x ln a} . \end{matrix}

Dæmi 2.40

Afleiður almennra vísis- og lografalla reiknaðar

Reiknið eftirfarandi afleiður:

$\frac{d}{d t} (4^{t} \cdot 2^{t^{2}})$
$\frac{d}{d x} {log}_{8} (7 x^{2} + 4)$

Lausn

Við beitum keðjureglunni eftir þörfum.

$\frac{d}{d t} (4^{t} \cdot 2^{t^{2}}) = \frac{d}{d t} (2^{2 t} \cdot 2^{t^{2}}) = \frac{d}{d t} (2^{2 t + t^{2}}) = 2^{2 t + t^{2}} ln (2) (2 + 2 t)$
$\frac{d}{d x} {log}_{8} (7 x^{2} + 4) = \frac{1}{(7 x^{2} + 4) (ln 8)} (14 x)$

Dæmi 2.41

Almenn vísisföll heildað

Reiknið eftirfarandi heildi: $\int \frac{3}{2^{3 x}} d x .$

Lausn

Notum $u -innsetningu$ og látum $u = −3 x .$ Þá er $d u = −3 d x$ og því fáum við

\int \frac{3}{2^{3 x}} d x = \int 3 \cdot 2^{−3 x} d x = − \int 2^{u} d u = - \frac{1}{ln 2} 2^{u} + C = - \frac{1}{ln 2} 2^{−3 x} + C .

Æfingar í hluta 2.7

Í eftirfarandi æfingum skal finna afleiðuna $\frac{d y}{d x} .$

295.

$y = ln (2 x)$

296.

$y = ln (2 x + 1)$

297.

$y = \frac{1}{ln x}$

Finnið óákveðna heildið í eftirfarandi æfingum.

298.

$\int \frac{d t}{3 t}$

299.

$\int \frac{d x}{1 + x}$

Í eftirfarandi æfingum skal finna afleiðuna $d y / d x .$ (Nota má reiknivél til að teikna gröf fallsins og afleiðunnar og staðfesta þannig niðurstöðuna.)

300.

[T] $y = \frac{ln (x)}{x}$

301.

[T] $y = x ln (x)$

302.

[T] $y = {log}_{10} x$

303.

[T] $y = ln (sin x)$

304.

[T] $y = ln (ln x)$

305.

[T] $y = 7 ln (4 x)$

306.

[T] $y = ln ({(4 x)}^{7})$

307.

[T] $y = ln (tan x)$

308.

[T] $y = ln (tan (3 x))$

309.

[T] $y = ln ({cos}^{2} x)$

Finnið ákveðna eða óákveðna heildið í eftirfarandi æfingum.

310.

$\int_{0}^{1} \frac{d x}{3 + x}$

311.

$\int_{0}^{1} \frac{d t}{3 + 2 t}$

312.

$\int_{0}^{2} \frac{x d x}{x^{2} + 1}$

313.

$\int_{0}^{2} \frac{x^{3} d x}{x^{2} + 1}$

314.

$\int_{2}^{e} \frac{d x}{x ln x}$

315.

$\int_{2}^{e} \frac{d x}{{x (ln x)}^{2}}$

316.

$\int \frac{cos x d x}{sin x}$

317.

$\int_{0}^{π / 4} tan x d x$

318.

$\int cot (3 x) d x$

319.

$\int \frac{{(ln x)}^{2} d x}{x}$

Reiknið $d y / d x$ í eftirfarandi æfingum með því að deilda $ln y .$

320.

$y = \sqrt{x^{2} + 1}$

321.

$y = \sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} - 1}$

322.

$y = e^{sin x}$

323.

$y = x^{−1 / x}$

324.

$y = e^{(e x)}$

325.

$y = x^{e}$

326.

$y = x^{(e x)}$

327.

$y = \sqrt{x} \sqrt[3]{x} \sqrt[6]{x}$

328.

$y = x^{−1 / ln x}$

329.

$y = e^{− ln x}$

Reiknið eftirfarandi með hvaða aðferð sem er.

330.

$\int_{5}^{10} \frac{d t}{t} - \int_{5 x}^{10 x} \frac{d t}{t}$

331.

$\int_{1}^{e^{π}} \frac{d x}{x} + \int_{−2}^{−1} \frac{d x}{x}$

332.

$\frac{d}{d x} \int_{x}^{1} \frac{d t}{t}$

333.

$\frac{d}{d x} \int_{x}^{x^{2}} \frac{d t}{t}$

334.

$\frac{d}{d x} ln (sec x + tan x)$

Í eftirfarandi æfingum skal nota fallið $ln x .$ Ef ykkur tekst ekki að finna skurðpunkta með algebrulegum aðferðum skal nota reiknivél.

335.

Finnið flatarmál svæðisins sem afmarkast af $x = 1$ og $y = 5$ ofan við $y = ln x .$

336.

[T] Finnið bogalengd $ln x$ frá $x = 1$ til $x = 2 .$

337.

Finnið flatarmálið milli $ln x$ og x-ássins frá $x = 1 til x = 2 .$

338.

Finnið rúmmál snúðsins sem myndast þegar þessum ferli er snúið frá $x = 1 til x = 2$ um x-ásinn, eins og sýnt er hér.

Myndin sýnir yfirborð sem myndast þegar ferlinum ln x er snúið um x-ásinn. Yfirborðið er inni í teningi sem sýnir að það er þrívítt.

339.

[T] Finnið yfirborðsflatarmál snúðsins sem myndast þegar ferlinum í síðasta dæmi er snúið frá $x = 1$ til $x = 2$ um x-ásinn.

Ef ekki tekst að finna skurðpunkta með algebrulegum aðferðum í eftirfarandi æfingum skal nota reiknivél.

340.

Finnið flatarmál þess fjórðungs úr breiðboga sem afmarkast af $x = 2 og y = 2$ ofan við $y = 1 / x .$

341.

[T] Finnið bogalengd $y = 1 / x$ frá $x = 1 til x = 4 .$

342.

Finnið flatarmálið undir $y = 1 / x$ og ofan við x-ásinn frá $x = 1 til x = 4 .$

Sannreynið afleiðurnar og stofnföllin í eftirfarandi æfingum.

343.

$\frac{d}{d x} ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

344.

$\frac{d}{d x} ln (\frac{x - a}{x + a}) = \frac{2 a}{(x^{2} - a^{2})}$

345.

$\frac{d}{d x} ln (\frac{1 + \sqrt{1 - x^{2}}}{x}) = - \frac{1}{x \sqrt{1 - x^{2}}}$

346.

$\frac{d}{d x} ln (x + \sqrt{x^{2} - a^{2}}) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}}$

347.

$\int \frac{d x}{x ln (x) ln (ln x)} = ln (ln (ln x)) + C$