22 Hagnýting heildunar

2.1 Flatarmál milli ferla

Námsmarkmið

2.1.1 Reikna flatarmál svæðis milli tveggja ferla með því að heilda með tilliti til óháðu breytunnar.
2.1.2 Finna flatarmál samsetts svæðis.
2.1.3 Reikna flatarmál svæðis milli tveggja ferla með því að heilda með tilliti til háðu breytunnar.

Í Inngangi að heildun þróuðum við hugmyndina um ákveðið heildi til að reikna flatarmálið undir ferli á gefnu bili. Í þessum hluta útvíkkum við hugmyndina og reiknum flatarmál flóknari svæða. Við byrjum á því að finna flatarmálið milli tveggja ferla sem eru gröf falla af $x,$ og tökum fyrst einfalda tilvikið þar sem gildi annars fallsins er alltaf stærra en gildi hins. Síðan skoðum við tilvik þar sem gröf fallanna skerast. Að lokum athugum við hvernig reikna má flatarmálið milli tveggja ferla sem eru gröf falla af $y .$

Flatarmál svæðis milli tveggja ferla

Látum $f (x)$ og $g (x)$ vera samfelld föll á bili $[a, b]$ þannig að $f (x) \geq g (x)$ á $[a, b] .$ Við viljum finna flatarmálið milli grafa fallanna, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.

Myndin sýnir graf í fyrsta fjórðungi. Á grafinu eru tveir ferlar. Efri ferillinn er merktur „f(x)“ og neðri ferillinn „g(x)“. Á x-ásnum eru tvö mörk, merkt a og b. Skyggt svæði er milli ferlanna tveggja og afmarkast af línunum x=a og x=b. — **Mynd 2.2.** Flatarmálið milli grafa tveggja falla, $f (x)$ og $g (x),$ á bilinu $[a, b] .$

Eins og áður skiptum við bilinu eftir $x -ás$ og nálgum flatarmálið milli grafa fallanna með rétthyrningum. Fyrir $i = 0, 1, 2,…, n,$ látum við því $P = {x_{i}}$ vera reglulega skiptingu á $[a, b] .$ Fyrir $i = 1, 2,…, n,$ veljum við síðan punkt $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}],$ og reisum á hverju bili $[x_{i - 1}, x_{i}]$ rétthyrning sem nær lóðrétt frá $g (x_{i}^{*})$ til $f (x_{i}^{*}) .$ Mynd 2.3 (a) sýnir rétthyrningana þegar $x_{i}^{*}$ er valinn sem vinstri endapunktur bilsins og $n = 10 .$ Mynd 2.3 (b) sýnir einn dæmigerðan rétthyrning nánar.

Myndin sýnir þrjú gröf. Á fyrsta grafinu eru tveir ferlar, annar fyrir ofan hinn. Milli ferlanna er rétthyrningur. Efri brún rétthyrningsins liggur á efri ferlinum, sem er merktur „f(x*)“, og neðri brúnin liggur á neðri ferlinum, sem er merktur „g(x*)“. Á öðru grafinu, merktu „(a)“, eru tveir ferlar. Efri ferillinn er merktur „f(x)“ og neðri ferillinn „g(x)“. Á x-ásnum eru mörkin a og b. Skyggt svæði er milli ferlanna og afmarkast af línunum x=a og x=b. Á þriðja grafinu, merktu „(b)“, eru tveir ferlar, annar fyrir ofan hinn. Efri ferillinn er merktur „f(x*)“ og neðri ferillinn „g(x*)“. Milli þeirra er skyggður rétthyrningur og breidd hans er merkt „Δx“. — **Mynd 2.3.** (a) Við getum nálgað flatarmálið milli grafa tveggja falla, $f (x)$ og $g (x),$ með rétthyrningum. (b) Dæmigerður rétthyrningur nær frá öðrum ferlinum til hins.

Hæð hvers rétthyrnings er $f (x_{i}^{*}) - g (x_{i}^{*})$ og breidd hans er $Δ x .$ Þegar flatarmál allra rétthyrninganna eru lögð saman sést að flatarmálið milli ferlanna er nálgað með

A \approx \sum_{i = 1}^{n} [f (x_{i}^{*}) - g (x_{i}^{*})] Δ x .

Þetta er Riemann-summa. Við tökum því markgildið þegar $n \to \infty$ og fáum

A = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} [f (x_{i}^{*}) - g (x_{i}^{*})] Δ x = \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x .

Niðurstöðurnar eru teknar saman í eftirfarandi setningu.

Við beitum setningunni í eftirfarandi dæmi.

Dæmi 2.1

Flatarmál svæðis milli tveggja ferla 1

Látum R vera svæðið sem afmarkast að ofan af grafi fallsins $f (x) = x + 4$ og að neðan af grafi fallsins $g (x) = 3 - \frac{x}{2}$ á bilinu $[1, 4],$ og finnið flatarmál svæðisins $R .$

Lausn

Svæðið er sýnt á eftirfarandi mynd.

Myndin sýnir gröf tveggja línulegra falla í fyrsta fjórðungi. Föllin eru f(x) = x+4 og g(x) = 3 − x/2. Milli línanna er skyggt svæði sem afmarkast að ofan af f(x) og að neðan af g(x). Skyggða svæðið liggur milli x=1 og x=4. — **Mynd 2.4.** Sýnt er svæði milli tveggja ferla þar sem annar ferillinn liggur alls staðar ofar en hinn.

Við höfum

\begin{matrix} A & = \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x \\ = \int_{1}^{4} [(x + 4) - (3 - \frac{x}{2})] d x = \int_{1}^{4} [\frac{3 x}{2} + 1] d x \\ = {[\frac{3 x^{2}}{4} + x] |}_{1}^{4} = (16 - \frac{7}{4}) = \frac{57}{4} . \end{matrix}

Flatarmál svæðisins er $\frac{57}{4} {einingar}^{2} .$

Í dæmi 2.1 var viðkomandi bil gefið í verkefnislýsingunni. Oft viljum við þó ákvarða bilið út frá skurðpunktum grafa fallanna. Þetta er sýnt í eftirfarandi dæmi.

Dæmi 2.2

Flatarmál svæðis milli tveggja ferla 2

Látum $R$ vera svæðið sem afmarkast að ofan af grafi fallsins $f (x) = 9 - {(x / 2)}^{2}$ og að neðan af grafi fallsins $g (x) = 6 - x,$ og finnið flatarmál svæðisins $R .$

Lausn

Svæðið er sýnt á eftirfarandi mynd.

Myndin sýnir gröf tveggja falla í fyrsta fjórðungi, f(x)=9−(x/2)² og g(x)=6−x. Milli grafanna, fleygboga sem opnast niður og línu, er skyggt svæði sem afmarkast að ofan af f(x) og að neðan af g(x). — **Mynd 2.5.** Grafið sýnir svæðið fyrir neðan graf f ( x ) og fyrir ofan graf g ( x ) .

Fyrst þurfum við að finna skurðpunkta grafa fallanna. Með því að setja $f (x) = g (x),$ fáum við

\begin{matrix} f (x) & = & g (x) \\ 9 - {(\frac{x}{2})}^{2} & = & 6 - x \\ 9 - \frac{x^{2}}{4} & = & 6 - x \\ 36 - x^{2} & = & 24 - 4 x \\ x^{2} - 4 x - 12 & = & 0 \\ (x - 6) (x + 2) & = & 0. \end{matrix}

Gröf fallanna skerast þegar $x = 6$ eða $x = −2,$ og því heildum við frá $−2$ til $6 .$ Þar sem $f (x) \geq g (x)$ fyrir $−2 \leq x \leq 6,$ fæst

\begin{matrix} A & = \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x \\ = \int_{−2}^{6} [9 - {(\frac{x}{2})}^{2} - (6 - x)] d x = \int_{−2}^{6} [3 - \frac{x^{2}}{4} + x] d x \\ = {[3 x - \frac{x^{3}}{12} + \frac{x^{2}}{2}] |}_{−2}^{6} = \frac{64}{3} . \end{matrix}

Flatarmál svæðisins er $64 / 3$ einingar ².

Flatarmál samsettra svæða

Hingað til höfum við gert ráð fyrir að $f (x) \geq g (x)$ á öllu bilinu sem er til skoðunar. En hvað gerum við ef svæðið afmarkast af gröfum falla sem skerast? Þá aðlögum við aðferðina sem við höfum þróað með því að nota tölugildisfallið.

Í reynd þarf að skipta bilinu $[a, b]$ upp og reikna nokkur heildi þegar setningunni er beitt, eftir því hvort fallgildið er stærra á hverjum hluta bilsins. Við skoðum þessa aðferð í eftirfarandi dæmi.

Dæmi 2.3

Flatarmál svæðis sem afmarkast af föllum sem skerast

Látum R vera svæðið milli grafa fallanna $f (x) = sin x$ og $g (x) = cos x$ á bilinu $[0, π],$ og finnið flatarmál svæðisins $R .$

Lausn

Svæðið er sýnt á eftirfarandi mynd.

Myndin sýnir gröf tveggja falla, f(x) = sin x og g(x) = cos x. Bæði föllin eru lotubundin og gröfin bylgjulaga. Milli grafanna eru tvö skyggð svæði. Fyrra svæðið er merkt „R1“ og þar liggur g(x) fyrir ofan f(x). Svæðið hefst við y-ásinn og endar þar sem gröfin skerast. Síðara svæðið er merkt „R2“, hefst við skurðpunktinn og þar liggur f(x) fyrir ofan g(x). Skyggða svæðið endar við x=pi. — **Mynd 2.6.** Skipta má svæðinu milli tveggja ferla í tvö undirsvæði.

Gröf fallanna skerast við $x = π / 4 .$ Fyrir $x \in [0, π / 4],$ er $cos x \geq sin x,$ svo að

f (x) - g (x) = \sin x - \cos x = \cos x - \sin x f (x) - g (x) = \sin x - \cos x = \cos x - \sin x

Á hinn bóginn gildir á bilinu $x \in [π / 4, π],$ að $sin x \geq cos x,$ svo að

f (x) - g (x) = \sin x - \cos x = \sin x - \cos x f (x) - g (x) = \sin x - \cos x = \sin x - \cos x

Þá fæst

\begin{matrix} A & = \int_{a}^{b} | f (x) - g (x) | d x \\ = \int_{0}^{π} | sin x - cos x | d x = \int_{0}^{π / 4} (cos x - sin x) d x + \int_{π / 4}^{π} (sin x - cos x) d x \\ = {[sin x + cos x] |}_{0}^{π / 4} + {[− cos x - sin x] |}_{π / 4}^{π} \\ = (\sqrt{2} - 1) + (1 + \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} . \end{matrix}

Flatarmál svæðisins er $2 \sqrt{2}$ einingar ².

Dæmi 2.4

Flatarmál flókins svæðis

Skoðið svæðið á mynd 2.7. Finnið flatarmál $R .$

Myndin sýnir gröf tveggja falla í fyrsta fjórðungi, f(x) = x^2 og g(x) = 2 − x. Milli grafanna er skyggt svæði sem afmarkast til vinstri af f(x) og til hægri af g(x). Allt svæðið liggur ofan x-ássins og er merkt R. Skyggða svæðið liggur milli x=0 og x=2. — **Mynd 2.7.** Reikna þarf tvö heildi til að finna flatarmál svæðisins.

Lausn

Eins og í dæmi 2.3 þurfum við að skipta bilinu í tvo hluta. Gröf fallanna skerast við $x = 1$ (setjið $f (x) = g (x)$ og leysið með tilliti til x). Við reiknum því tvö aðskilin heildi, annað á bilinu $[0, 1]$ og hitt á bilinu $[1, 2] .$

Á bilinu $[0, 1],$ afmarkast svæðið að ofan af $f (x) = x^{2}$ og að neðan af x-ásnum. Því fæst

A_{1} = \int_{0}^{1} x^{2} d x = {\frac{x^{3}}{3} |}_{0}^{1} = \frac{1}{3} .

Á bilinu $[1, 2],$ afmarkast svæðið að ofan af $g (x) = 2 - x$ og að neðan af $x -ás,$ og því fæst

A_{2} = \int_{1}^{2} (2 - x) d x = {[2 x - \frac{x^{2}}{2}] |}_{1}^{2} = \frac{1}{2} .

Þegar flatarmálin eru lögð saman fæst

A = A_{1} + A_{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} .

Flatarmál svæðisins er $5 / 6$ einingar ².

Svæði skilgreind með tilliti til y

Í dæmi 2.4 þurftum við að reikna tvö aðskilin heildi til að finna flatarmál svæðisins. Til er önnur aðferð sem krefst aðeins eins heildis. Hvað gerist ef við lítum á ferlana sem gröf falla af $y,$ í stað falla af $x ?$ Skoðið mynd 2.7. Takið eftir að vinstra grafið, sýnt með rauðu, er gefið með fallinu $y = f (x) = x^{2} .$ Við getum einnig leyst jöfnuna með tilliti til $x$ og gefið ferilinn með fallinu $x = v (y) = \sqrt{y} .$ (Athugið að $x = − \sqrt{y}$ gefur fallið $y = f (x) = x^{2}$ einnig rétt sem fall af $y .$ Af grafinu er þó ljóst að hér kemur jákvæða kvaðratrótin við sögu.) Á sama hátt er hægra grafið gefið með fallinu $y = g (x) = 2 - x,$ en einnig má gefa það með fallinu $x = u (y) = 2 - y .$ Þegar gröfin eru gefin sem föll af $y,$ sést að svæðið afmarkast til vinstri af grafi annars fallsins og til hægri af grafi hins. Ef við heildum með tilliti til $y,$ þurfum við því aðeins að reikna eitt heildi. Við skulum leiða út formúlu fyrir heildun af þessu tagi.

Látum $u (y)$ og $v (y)$ vera samfelld föll á bili $[c, d]$ þannig að $u (y) \geq v (y)$ fyrir öll $y \in [c, d] .$ Við viljum finna flatarmálið milli grafa fallanna, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.

Myndin sýnir gröf tveggja falla í fyrsta fjórðungi, v(y) og u(y). Milli grafanna er skyggt svæði sem afmarkast til vinstri af v(y) og til hægri af u(y). Svæðið er merkt R og liggur milli láréttu markanna y=c og y=d. — **Mynd 2.8.** Við getum fundið flatarmálið milli grafa tveggja falla, $u (y)$ og $v (y) .$

Nú skiptum við bilinu eftir $y -ás$ og nálgum flatarmálið milli fallanna með láréttum rétthyrningum. Fyrir $i = 0, 1, 2,…, n,$ látum við því $Q = {y_{i}}$ vera reglulega skiptingu á $[c, d] .$ Fyrir $i = 1, 2,…, n,$ veljum við síðan punkt $y_{i}^{*} \in [y_{i - 1}, y_{i}],$ og reisum á hverju bili $[y_{i - 1}, y_{i}]$ rétthyrning sem nær lárétt frá $v (y_{i}^{*})$ til $u (y_{i}^{*}) .$ Mynd 2.9 (a) sýnir rétthyrningana þegar $y_{i}^{*}$ er valinn sem neðri endapunktur bilsins og $n = 10 .$ Mynd 2.9 (b) sýnir einn dæmigerðan rétthyrning nánar.

Myndin sýnir þrjú gröf. Á fyrsta grafinu eru ferlarnir v(y*) og u(y*) og láréttur rétthyrningur á milli þeirra. Annað grafið, merkt „(a)“, sýnir skyggt svæði sem afmarkast til vinstri af v(y) og til hægri af u(y). Svæðið liggur milli láréttu markanna y=c og y=d og er skipt í rétthyrninga milli ferlanna. Þriðja grafið, merkt „(b)“, sýnir ferlana v(y*) og u(y*). Milli þeirra er láréttur rétthyrningur með breiddina Δy. — **Mynd 2.9.** (a) Flatarmálið milli grafa tveggja falla, $u (y)$ og $v (y),$ er nálgað með rétthyrningum. (b) Flatarmál dæmigerðs rétthyrnings.

Hæð hvers rétthyrnings er $Δ y$ og breidd hans er $u (y_{i}^{*}) - v (y_{i}^{*}) .$ Flatarmálið milli ferlanna er því nálgað með

A \approx \sum_{i = 1}^{n} [u (y_{i}^{*}) - v (y_{i}^{*})] Δ y .

Þetta er Riemann-summa. Við tökum því markgildið þegar $n \to \infty,$ og fáum

A = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} [u (y_{i}^{*}) - v (y_{i}^{*})] Δ y = \int_{c}^{d} [u (y) - v (y)] d y .

Niðurstöðurnar eru teknar saman í eftirfarandi setningu.

Dæmi 2.5

Heildun með tilliti til y

Skoðum dæmi 2.4 aftur, en heildum nú með tilliti til $y .$ Látum $R$ vera svæðið sem sýnt er á mynd 2.10. Finnið flatarmál $R$ með því að heilda með tilliti til $y .$

Lausn

Fyrst þurfum við að setja gröfin fram sem föll af $y .$ Eins og við sáum í upphafi hlutans má gefa vinstra grafið með fallinu $x = v (y) = \sqrt{y},$ og hægra grafið með fallinu $x = u (y) = 2 - y .$

Nú þurfum við að ákvarða heildismörkin. Svæðið afmarkast að neðan af x-ásnum og neðra heildismarkið er því $y = 0 .$ Efra heildismarkið ræðst af skurðpunkti grafanna, sem er punkturinn $(1, 1),$ og er því $y = 1 .$ Þar með fæst $[c, d] = [0, 1] .$

Þegar flatarmál svæðisins er reiknað fæst

\begin{matrix} A & = \int_{c}^{d} [u (y) - v (y)] d y \\ = \int_{0}^{1} [(2 - y) - \sqrt{y}] d y = {[2 y - \frac{y^{2}}{2} - \frac{2}{3} y^{3 / 2}] |}_{0}^{1} \\ = \frac{5}{6} . \end{matrix}

Flatarmál svæðisins er $5 / 6$ einingar ².

Æfingar í hluta 2.1

Í eftirfarandi dæmum skuluð þið reikna flatarmál svæðisins milli ferlanna tveggja á myndinni með því að heilda meðfram $x -ás .$

$y = x^{2} - 3 og y = 1$

Myndin sýnir gröf tveggja falla, f(x)=x²−3 og g(x)=1. Milli grafanna er skyggt svæði sem afmarkast að ofan af g(x) og að neðan af f(x). Skyggða svæðið liggur milli x=−2 og x=2.

$y = x^{2} og y = 3 x + 4$

Myndin sýnir gröf tveggja falla, f(x)=x² og g(x)=3x+4. Milli grafanna er skyggt svæði sem afmarkast að ofan af g(x) og að neðan af f(x).

Í eftirfarandi dæmum skuluð þið skipta svæðinu milli ferlanna í tvö minni svæði og reikna síðan flatarmálið með því að heilda meðfram $x -ás .$ Athugið að reikna þarf tvö heildi.

$y = x^{3}$ og $y = x^{2} + x$

Myndin sýnir gröf tveggja falla, f(x) = x^3 og g(x) = x^2 + x. Gröfin skerast tvisvar og svæðin milli skurðpunktanna eru skyggð. Fyrra svæðið afmarkast að ofan af f(x) og að neðan af g(x). Síðara svæðið afmarkast að ofan af g(x) og að neðan af f(x).

$y = cos θ$ og $y = 0.5,$ fyrir $0 \leq θ \leq π$

Myndin sýnir gröf tveggja falla, f(θ)=cos(θ) og g(θ)=0,5. Gröfin skerast tvisvar og svæðin milli skurðpunktanna eru skyggð. Fyrra svæðið afmarkast að ofan af f(θ) og að neðan af g(θ). Síðara svæðið afmarkast að ofan af g(θ) og að neðan af f(θ).

Í eftirfarandi dæmum skuluð þið reikna flatarmál svæðisins milli ferlanna tveggja með því að heilda meðfram $y -ás .$

$x = y^{2} og x = 9$

Myndin sýnir gröf jafnanna x=y² og x=9. Svæðið milli grafanna er skyggt og liggur lárétt milli y-ássins og línunnar x=9.

$y = x og x = y^{2}$

Myndin sýnir gröf jafnanna y=x og x=y². Svæðið milli grafanna er skyggt og afmarkast að ofan af x=y² og að neðan af y=x.

Í eftirfarandi dæmum skuluð þið teikna gröf jafnanna og skyggja svæðið milli ferlanna. Reiknið flatarmál þess með því að heilda meðfram $x -ás .$

$y = x^{2} og y = − x^{2} + 18 x$

$y = \frac{1}{x}, y = \frac{1}{x^{2}}, og x = 3$

$y = cos x$ og $y = {cos}^{2} x$ á bilinu $x = [− π, π]$

10.

$y = e^{x}, y = e^{2 x - 1}, og x = 0$

11.

$y = e^{x}, y = e^{− x}, x = −1 og x = 1$

12.

$y = e, y = e^{x}, og y = e^{− x}$

13.

$y = | x | og y = x^{2}$

Í eftirfarandi dæmum skuluð þið teikna gröf jafnanna og skyggja svæðið milli ferlanna. Skiptið svæðinu í undirsvæði ef þess þarf til að reikna heildarflatarmál þess.

14.

$y = sin (π x), y = 2 x, og x > 0$

15.

$y = 12 - x, y = \sqrt{x}, og y = 1$

16.

$y = sin x$ og $y = cos x$ á bilinu $x = [− π, π]$

17.

$y = x^{3} og y = x^{2} - 2 x$ á bilinu $x = [−1, 1]$

18.

$y = x^{2} + 9 og y = 10 + 2 x$ á bilinu $x = [−1, 3]$

19.

$y = x^{3} + 3 x$ og $y = 4 x$

Í eftirfarandi dæmum skuluð þið teikna gröf jafnanna og skyggja svæðið milli ferlanna. Reiknið flatarmál þess með því að heilda meðfram $y -ás .$

20.

$x = y^{3} og x = 3 y - 2$

21.

$x = 2 y og x = y^{3} - y$

22.

$x = −3 + y^{2} og x = y - y^{2}$

23.

$y^{2} = x og x = y + 2$

24.

$x = | y | og 2 x = − y^{2} + 2$

25.

$x = sin y, x = cos (2 y), y = π / 2, og y = − π / 2$

Í eftirfarandi dæmum skuluð þið teikna gröf jafnanna og skyggja svæðið milli ferlanna. Reiknið flatarmál þess með því að heilda eftir x-ásnum eða y-ásnum, eftir því hvor leiðin virðist hentugri.

26.

$x = y^{4} og x = y^{5}$

27.

$y = x e^{x}, y = e^{x}, x = 0, og x = 1$

28.

$y = x^{6} og y = x^{4}$

29.

$x = y^{3} + 2 y^{2} + 1 og x = − y^{2} + 1$

30.

$y = | x | og y = x^{2} - 1$

31.

$y = 4 - 3 x og y = \frac{1}{x}$

32.

$y = sin x, x = − π / 6, x = π / 6, og y = {cos}^{3} x$

33.

$y = x^{2} - 3 x + 2 og y = x^{3} - 2 x^{2} - x + 2$

34.

$y = 2 {cos}^{3} (3 x), y = −1, x = \frac{π}{4}, og x = - \frac{π}{4}$

35.

$y + y^{3} = x og 2 y = x$

36.

$y = \sqrt{1 - x^{2}} og y = x^{2} - 1$

37.

$y = {cos}^{−1} x, y = {sin}^{−1} x, x = −1, og x = 1$

Í eftirfarandi dæmum skuluð þið finna nákvæmt flatarmál svæðisins sem gefnu jöfnurnar afmarka, ef unnt er. Ef ekki er hægt að ákvarða skurðpunktana með algebrulegum aðferðum skuluð þið nota reiknivél til að nálga þá með þremur aukastöfum og finna síðan nálgunargildi flatarmálsins.

38.

[T] $x = e^{y} og y = x - 2$

39.

[T] $y = x^{2} og y = \sqrt{1 - x^{2}}$

40.

[T] $y = 3 x^{2} + 8 x + 9 og 3 y = x + 24$

41.

[T] $x = \sqrt{4 - y^{2}} og y^{2} = 1 + x^{2}$

42.

[T] $x^{2} = y^{3} og x = 3 y$

43.

[T] $y = {sin}^{3} x + 2, y = tan x, x = −1.5, og x = 1.5$

44.

[T] $y = \sqrt{1 - x^{2}} og y^{2} = x^{2}$

45.

[T] $y = \sqrt{1 - x^{2}} og y = x^{2} + 2 x + 1$

46.

[T] $x = 4 - y^{2} og x = 1 + 3 y + y^{2}$

47.

[T] $y = cos x, y = e^{x}, x = − π, og x = 0$

48.

Stærsti þríhyrningurinn með grunnlínu sem liggur á $x -ás$ og rúmast inni í efri helmingi einingahringsins $y^{2} + x^{2} = 1$ er gefinn með $y = 1 + x$ og $y = 1 - x .$ Sjá eftirfarandi mynd. Hvert er flatarmálið innan hálfhringsins en utan þríhyrningsins?

Myndin sýnir hring með miðju í upphafspunkti og geislann 1. Innritaður þríhyrningur hefur grunnlínu á x-ásnum frá −1 til 1 og þriðji hornpunkturinn er y=1.

49.

Verksmiðja sem selur farsíma hefur jaðarkostnaðarfallið $C (x) = 0.01 x^{2} - 3 x + 229,$ þar sem $x$ táknar fjölda seldra farsíma og $C$ er jaðarkostnaðurinn, í Bandaríkjadölum, við að selja $x$ síma. Jaðartekjufallið er $R (x) = 429 - 2 x$ , þar sem $R$ táknar jaðartekjur, í Bandaríkjadölum, af sölu $x$ farsíma. Finnið flatarmálið milli grafa þessara ferla og $x = 0 .$ Hvað táknar flatarmálið?

50.

Skemmtigarður hefur jaðarkostnaðarfallið $C (x) = 1000 e^{− x} + 5,$ þar sem $x$ táknar fjölda seldra miða, og jaðartekjufallið $R (x) = 60 - 0.1 x .$ Finnið heildarhagnaðinn sem fæst þegar $550$ miðar eru seldir. Notið reiknivél ef þess þarf til að ákvarða skurðpunkta með tveimur aukastöfum.

51.

Skjaldbakan og hérinn: Hraði hérans er gefinn með sínusfallinu $H (t) = 1 - cos ((π t) / 2)$ , en hraði skjaldbökunnar er $T (t) = 0.1032 t$ , þar sem $t$ er tími mældur í klukkustundum og hraðinn í mílum á klukkustund. Finnið flatarmálið milli ferlanna frá tímanum $t = 0$ þar til skjaldbakan og hérinn fara fyrst aftur á sama hraða eftir eina klukkustund. Hvað táknar flatarmálið? Notið reiknivél ef þess þarf til að ákvarða skurðpunktana með þriggja aukastafa nákvæmni.

52.

Skjaldbakan og hérinn: Hraði hérans er gefinn með sínusfallinu $H (t) = (1 / 2) - (1 / 2) cos (2 π t)$ , en hraði skjaldbökunnar er $T (t) = \sqrt{t},$ þar sem $t$ er tími mældur í klukkustundum og hraðinn í kílómetrum á klukkustund. Ef hlaupinu lýkur eftir $1$ klukkustund, hvort þeirra vinnur þá hlaupið, skjaldbakan eða hérinn, og með hversu miklum mun? Notið reiknivél ef þess þarf til að ákvarða skurðpunktana með þriggja aukastafa nákvæmni.

Í eftirfarandi dæmum skuluð þið finna flatarmálið milli ferlanna með því að heilda fyrst með tilliti til $x$ og síðan með tilliti til $y .$ Er önnur aðferðin auðveldari? Fáið þið sömu niðurstöðu?

53.

$y = x^{2} + 2 x + 1 og y = − x^{2} - 3 x + 4$

54.

$y = x^{4} og x = y^{5}$

55.

$x = y^{2} - 2 og x = 2 y$

Leysið eftirfarandi dæmi með stærðfræðigreiningu og sannreynið síðan svarið með rúmfræði.

56.

Ákvarðið jöfnur hliða ferningsins sem snertir einingahringinn á öllum fjórum hliðum, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd. Finnið flatarmálið milli jaðars ferningsins og einingahringsins. Er hægt að leysa dæmið á annan hátt án stærðfræðigreiningar?

Myndin sýnir hring með miðju í upphafspunkti og geislann 1. Ferningur er umritaður um hringinn.

57.

Finnið flatarmálið milli jaðars einingahringsins og þríhyrningsins sem afmarkast af $y = 2 x + 1, y = 1 - 2 x$ og $y = - \frac{3}{5},$ eins og sýnt er á eftirfarandi mynd. Er hægt að leysa dæmið án stærðfræðigreiningar?