22 Hagnýting heildunar

2.3 Rúmmál snúða: Sívalningshylki

Námsmarkmið

2.3.1 Reikna rúmmál snúðs með hylkjaaðferðinni.
2.3.2 Bera saman mismunandi aðferðir við útreikning á rúmmáli snúðs.

Í þessum hluta skoðum við hylkjaaðferðina, síðustu aðferðina sem fjallað er um til að finna rúmmál snúðs. Aðferðinni má beita á sams konar snúða og skífu- eða hringkragaaðferðinni. Með skífu- og hringkragaaðferðunum er heildað eftir hnitás sem er samsíða snúningsásnum. Með hylkjaaðferðinni er hins vegar heildað eftir hnitás sem er hornréttur á snúningsásinn. Sá möguleiki að velja heildunarbreytuna getur verið verulegur kostur þegar fengist er við flókin föll. Lögun snúðsins getur einnig gert hylkjaaðferðina hentugri en hringkragaaðferðina. Í lok hlutans rifjum við upp allar aðferðirnar til að finna rúmmál sem við höfum kynnt okkur og setjum fram leiðbeiningar um val á aðferð við tilteknar aðstæður.

Hylkjaaðferðin

Við vinnum enn á ný með snúð. Eins og áður skilgreinum við svæðið $R,$ sem afmarkast að ofan af grafi fallsins $y = f (x),$ að neðan af $x -ás,$ og til vinstri og hægri af línunum $x = a$ og $x = b,$ í þeirri röð, eins og sýnt er á mynd 2.25 (a). Síðan snúum við svæðinu um y-ásinn, eins og sýnt er á mynd 2.25 (b). Þetta er ólíkt því sem við höfum áður gert. Hingað til höfum við snúið svæðum sem skilgreind eru með föllum af $x$ , um $x -ás$ eða línu sem er samsíða honum.

Myndin sýnir tvö gröf. Fyrra grafið, merkt „a“, sýnir vaxandi feril í fyrsta fjórðungi merktan „y=f(x)“. Ferillinn hefst á y-ásnum við y=a. Undir ferlinum og ofan x-ássins er skyggt svæði merkt „R“ sem afmarkast til hægri af línunni x=b. Síðara grafið sýnir þrívíðan hlut sem myndast þegar skyggða svæðinu á fyrra grafinu er snúið um y-ásinn. — **Mynd 2.25.** (a) Svæði sem afmarkast af grafi falls af $x .$ (b) Snúðurinn sem myndast þegar svæðinu er snúið um $y -ás .$

Eins og áður skiptum við bilinu $[a, b]$ í jafna hluta með skiptingunni $P = {x_{0}, x_{1},…, x_{n}}$ og veljum fyrir $i = 1, 2,…, n,$ punkt $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}] .$ Síðan myndum við rétthyrning yfir bilinu $[x_{i - 1}, x_{i}]$ með hæð $f (x_{i}^{*})$ og breidd $Δ x .$ Dæmigerður rétthyrningur er sýndur á mynd 2.26 (a). Þegar rétthyrningnum er snúið um y-ásinn myndast hvorki skífa né hringkragi heldur sívalningshylki, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.

Myndin sýnir tvær myndir. Sú fyrri sýnir sívalningshylki með holrúmi í miðjunni og lóðréttan ás um miðju þess. Ferill mætir efri brún sívalningsins. Síðari myndin sýnir sammiðja sívalninga sem liggja hver inni í öðrum og mynda samsett hylki. — **Mynd 2.26.** (a) Dæmigerður rétthyrningur. (b) Þegar rétthyrningnum er snúið um $y -ás,$ myndast sívalningshylki. (c) Þegar öll hylkin eru sett saman fæst nálgun á upprunalega hlutnum.

Til að reikna rúmmál hylkisins skoðum við mynd 2.27.

Myndin sýnir graf í fyrsta fjórðungi. Vaxandi ferill er merktur „y=f(x)“ og hefst á y-ásnum við f(x*). Undir ferlinum er skyggður rétthyrningur sem hefst á x-ásnum. Breidd hans er Δx og hliðar hans eru merktar „x_(i−1)“ og „x_i“. — **Mynd 2.27.** Rúmmál hylkisins reiknað.

Hylkið er sívalningur og rúmmál þess fæst því með því að margfalda þversniðsflatarmálið með hæð sívalningsins. Þversniðin eru hringkragar (hringlaga svæði, í raun hringir með gati í miðjunni) með ytri geisla $x_{i}$ og innri geisla $x_{i - 1} .$ Þversniðsflatarmálið er því $π x_{i}^{2} - π x_{i - 1}^{2} .$ Hæð sívalningsins er $f (x_{i}^{*}) .$ Rúmmál hylkisins er þá

\begin{matrix} V_{shell} & = f (x_{i}^{*}) (π x_{i}^{2} - π x_{i - 1}^{2}) \\ = π f (x_{i}^{*}) (x_{i}^{2} - x_{i - 1}^{2}) \\ = π f (x_{i}^{*}) (x_{i} + x_{i - 1}) (x_{i} - x_{i - 1}) \\ = 2 π f (x_{i}^{*}) (\frac{x_{i} + x_{i - 1}}{2}) (x_{i} - x_{i - 1}) . \end{matrix}

Takið eftir að $x_{i} - x_{i - 1} = Δ x,$ svo að

V_{shell} = 2 π f (x_{i}^{*}) (\frac{x_{i} + x_{i - 1}}{2}) Δ x .

Enn fremur er $\frac{x_{i} + x_{i - 1}}{2}$ bæði miðpunktur bilsins $[x_{i - 1}, x_{i}]$ og meðalgeisli hylkisins, sem nálga má með $x_{i}^{*} .$ Þá fæst

V_{shell} \approx 2 π f (x_{i}^{*}) x_{i}^{*} Δ x .

Önnur leið til að sjá þetta er að skera hylkið lóðrétt og opna það síðan þannig að úr verði flöt plata (mynd 2.28).

Myndin sýnir tvær myndir. Sú fyrri, merkt „a“, sýnir holan sívalning um y-ásinn. Á framhlið sívalningsins er lóðrétt lína merkt „skurðlína“. Hæð sívalningsins er „y=f(x)“. Síðari myndin, merkt „b“, sýnir skyggðan rétthyrndan kubb. Hæð rétthyrningsins er „f(x*)“, breidd hans er „2πx*“ og þykktin er „Δx“. — **Mynd 2.28.** (a) Dæmigert hylki skorið lóðrétt. (b) Hylkið opnað þannig að úr verði flöt plata.

Í raun er ytri geisli hylkisins stærri en innri geislinn og aftari brún plötunnar því örlítið lengri en fremri brúnin. Nálga má útflatta hylkið með flatri plötu sem hefur hæðina $f (x_{i}^{*}),$ breiddina $2 π x_{i}^{*},$ og þykktina $Δ x$ (mynd 2.28). Rúmmál hylkisins er þá um það bil jafnt rúmmáli flötu plötunnar. Þegar hæð, breidd og þykkt plötunnar eru margfaldaðar saman fæst

V_{shell} \approx f (x_{i}^{*}) (2 π x_{i}^{*}) Δ x,

sem er sama formúla og áður.

Rúmmál alls hlutarins fæst með því að leggja saman rúmmál allra hylkjanna:

V \approx \sum_{i = 1}^{n} (2 π x_{i}^{*} f (x_{i}^{*}) Δ x) .

Hér höfum við aðra Riemann-summu, nú fyrir fallið $2 π x f (x) .$ Þegar markgildið er tekið þegar $n \to \infty$ fæst

V = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} (2 π x_{i}^{*} f (x_{i}^{*}) Δ x) = \int_{a}^{b} (2 π x f (x)) d x .

Af þessu leiðir eftirfarandi regla fyrir hylkjaaðferðina.

Skoðum nú dæmi.

Dæmi 2.12

Hylkjaaðferðin 1

Skilgreinum $R$ sem svæðið sem afmarkast að ofan af grafi $f (x) = 1 / x$ og að neðan af $x -ás$ á bilinu $[1, 3] .$ Finnið rúmmál snúðsins sem myndast þegar $R$ er snúið um $y -ás .$

Lausn

Fyrst teiknum við svæðið $R$ og tilheyrandi snúð, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.

Myndin sýnir þrjár myndir. Sú fyrsta sýnir hlut sem myndast þegar ferlinum y=1/x er snúið um y-ásinn. Hluturinn hefst á x-ásnum og endar þar sem y=1. Önnur myndin, merkt „a“, sýnir graf y=1/x í fyrsta fjórðungi. Undir ferlinum er skyggt svæði merkt „R“ sem afmarkast af ferlinum og x-ásnum, til vinstri við x=1 og til hægri við x=3. Þriðja myndin, merkt „b“, sýnir helming hlutarins sem myndast þegar skyggða svæðinu er snúið um y-ásinn. — **Mynd 2.29.** (a) Svæðið R undir grafi f ( x ) = 1 / x á bilinu [ 1 , 3 ] . (b) Snúðurinn sem myndast þegar R er snúið um y -ás .

Rúmmál hlutarins er þá gefið með

\begin{matrix} V & = \int_{a}^{b} (2 π x f (x)) d x \\ = \int_{1}^{3} (2 π x (\frac{1}{x})) d x \\ = \int_{1}^{3} 2 π d x = {2 π x |}_{1}^{3} = 4 π {einingar}^{3} . \end{matrix}

Dæmi 2.13

Hylkjaaðferðin 2

Skilgreinum R sem svæðið sem afmarkast að ofan af grafi $f (x) = 2 x - x^{2}$ og að neðan af $x -ás$ á bilinu $[0, 2] .$ Finnið rúmmál snúðsins sem myndast þegar $R$ er snúið um $y -ás .$

Lausn

Teiknum fyrst svæðið $R$ og tilheyrandi snúð, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.

Myndin sýnir tvö gröf. Fyrra grafið, merkt „a“, sýnir ferilinn f(x)=2x−x^2. Hann er fleygbogi sem opnast niður og sker x-ásinn í upphafspunktinum og við x=2. Svæðið undir ferlinum í fyrsta fjórðungi er skyggt og merkt „R“. Síðara grafið sýnir sama feril og hlutinn sem myndast þegar svæðinu á fyrra grafinu er snúið um y-ásinn. — **Mynd 2.30.** (a) Svæðið R undir grafi f ( x ) = 2 x − x 2 á bilinu [ 0 , 2 ] . (b) Snúðurinn sem fæst þegar R er snúið um y -ás .

Rúmmál hlutarins er þá gefið með

\begin{matrix} V & = \int_{a}^{b} (2 π x f (x)) d x \\ = \int_{0}^{2} (2 π x (2 x - x^{2})) d x = 2 π \int_{0}^{2} (2 x^{2} - x^{3}) d x \\ = {2 π [\frac{2 x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4}] |}_{0}^{2} = \frac{8 π}{3} {einingar}^{3} . \end{matrix}

Rétt eins og skífu- og hringkragaaðferðinni má beita hylkjaaðferðinni á snúða um $x -ás,$ þegar heilda á með tilliti til $y .$ Samsvarandi regla fyrir þessa gerð snúða er eftirfarandi.

Dæmi 2.14

Hylkjaaðferðin fyrir snúð um x-ásinn

Skilgreinum $Q$ sem svæðið sem afmarkast til hægri af grafi $g (y) = 2 \sqrt{y}$ og til vinstri af $y -ás$ þegar $y \in [0, 4] .$ Finnið rúmmál snúðsins sem myndast þegar $Q$ er snúið um x-ásinn.

Lausn

Fyrst teiknum við svæðið $Q$ og tilheyrandi snúð, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.

Myndin sýnir tvö gröf. Fyrra grafið, merkt „a“, sýnir ferilinn g(y)=2√y. Hann er vaxandi ferill í fyrsta fjórðungi sem hefst í upphafspunktinum. Milli y-ássins og ferilsins er skyggt svæði merkt „Q“ sem afmarkast að ofan af línunni y=4. Síðara grafið, merkt „b“, sýnir sama feril og hlutinn sem myndast þegar svæðinu á fyrra grafinu er snúið um x-ásinn. Hluturinn hefst við y-ásinn og endar við x=4. — **Mynd 2.31.** (a) Svæðið Q vinstra megin við fallið g ( y ) á bilinu [ 0 , 4 ] . (b) Snúðurinn sem myndast þegar Q er snúið um x -ás .

Táknum skyggða svæðið með $Q .$ Rúmmál hlutarins er þá gefið með

\begin{matrix} V & = \int_{c}^{d} (2 π y g (y)) d y \\ = \int_{0}^{4} (2 π y (2 \sqrt{y})) d y = 4 π \int_{0}^{4} y^{3 / 2} d y \\ = {4 π [\frac{2 y^{5 / 2}}{5}] |}_{0}^{4} = \frac{256 π}{5} {einingar}^{3} . \end{matrix}

Í næsta dæmi skoðum við snúð þar sem grafi falls er snúið um aðra línu en hnitásana. Til að setja dæmið fram þurfum við að rifja upp hvernig hylkjaaðferðin var leidd út. Munum að rúmmál eins hylkis var gefið með

\begin{matrix} V_{shell} & = f (x_{i}^{*}) (π x_{i}^{2} - π x_{i - 1}^{2}) \\ = π f (x_{i}^{*}) (x_{i}^{2} - x_{i - 1}^{2}) \\ = π f (x_{i}^{*}) (x_{i} + x_{i - 1}) (x_{i} - x_{i - 1}) \\ = 2 π f (x_{i}^{*}) (\frac{x_{i} + x_{i - 1}}{2}) (x_{i} - x_{i - 1}) . \end{matrix}

Þetta byggðist á hylki með ytri geisla $x_{i}$ og innri geisla $x_{i - 1} .$ Ef svæðinu er hins vegar snúið um aðra línu en $y -ás,$ verða ytri og innri geislinn aðrir. Gerum til dæmis ráð fyrir að svæðinu sé snúið um línuna $x = − k,$ þar sem $k$ er jákvæður fasti. Þá er ytri geisli hylkisins $x_{i} + k$ og innri geislinn $x_{i - 1} + k .$ Þegar þessum stærðum er stungið inn í rúmmálsformúluna sést að ef sléttu svæði er snúið um línuna $x = − k,$ er rúmmál hylkis gefið með

\begin{matrix} V_{shell} & = 2 π f (x_{i}^{*}) (\frac{(x_{i} + k) + (x_{i - 1} + k)}{2}) ((x_{i} + k) - (x_{i - 1} + k)) \\ = 2 π f (x_{i}^{*}) ((\frac{x_{i} + x_{i - 1}}{2}) + k) Δ x . \end{matrix}

Eins og áður tökum við eftir að $\frac{x_{i} + x_{i - 1}}{2}$ er miðpunktur bilsins $[x_{i - 1}, x_{i}]$ og nálga má hann með $x_{i}^{*} .$ Nálgun á rúmmáli hylkisins er þá

V_{shell} \approx 2 π (x_{i}^{*} + k) f (x_{i}^{*}) Δ x .

Afgangurinn af útleiðslunni er eins og áður og við fáum

V = \int_{a}^{b} (2 π (x + k) f (x)) d x .

Einnig mætti snúa svæðinu um aðrar láréttar eða lóðréttar línur, svo sem lóðrétta línu í hægra hálfplaninu. Í hverju tilviki þarf að laga rúmmálsformúluna að aðstæðum. Nánar tiltekið þarf að skipta $x -lið$ í heildinu út fyrir segð sem táknar geisla hylkis. Skoðum eftirfarandi dæmi til að sjá hvernig þetta er gert.

Dæmi 2.15

Snúningssvæði snúið um línu

Skilgreinum $R$ sem svæðið sem afmarkast að ofan af grafi $f (x) = x$ og að neðan af $x -ás$ á bilinu $[1, 2] .$ Finnið rúmmál snúðsins sem myndast þegar $R$ er snúið um línuna $x = −1 .$

Lausn

Teiknum fyrst svæðið $R$ og tilheyrandi snúð, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.

Myndin sýnir tvö gröf. Fyrra grafið, merkt „a“, sýnir línuna f(x)=x, skálínu gegnum upphafspunktinn. Ofan x-ássins og undir línunni er skyggt svæði merkt „R“. Svæðið afmarkast til vinstri af línunni x=1 og til hægri af línunni x=2. Á grafinu er einnig lóðrétta línan x=−1. Síðara grafið, merkt „b“, sýnir sömu gröf og hlutinn sem myndast þegar svæðinu „R“ er snúið um línuna x=−1. — **Mynd 2.32.** (a) Svæðið R milli grafs f ( x ) og x -ás á bilinu [ 1 , 2 ] . (b) Snúðurinn sem myndast þegar R er snúið um línuna x = −1 .

Takið eftir að geisli hylkis er gefinn með $x + 1 .$ Rúmmál hlutarins er þá gefið með

\begin{matrix} V & = \int_{1}^{2} (2 π (x + 1) f (x)) d x \\ = \int_{1}^{2} (2 π (x + 1) x) d x = 2 π \int_{1}^{2} (x^{2} + x) d x \\ = {2 π [\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}] |}_{1}^{2} = \frac{23 π}{3} {einingar}^{3} . \end{matrix}

Í síðasta dæmi hlutans skoðum við rúmmál snúðs þar sem snúningssvæðið afmarkast af gröfum tveggja falla.

Dæmi 2.16

Snúningssvæði afmarkað af gröfum tveggja falla

Skilgreinum $R$ sem svæðið sem afmarkast að ofan af grafi fallsins $f (x) = \sqrt{x}$ og að neðan af grafi fallsins $g (x) = 1 / x$ á bilinu $[1, 4] .$ Finnið rúmmál snúðsins sem myndast þegar $R$ er snúið um $y -ás .$

Lausn

Teiknum fyrst svæðið $R$ og tilheyrandi snúð, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.

Myndin sýnir tvö gröf. Fyrra grafið, merkt „a“, sýnir ferlana f(x)=kvaðratrótin af x og g(x)=1/x. Í fyrsta fjórðungi skerast ferlarnir í punktinum (1,1). Milli þeirra er skyggt svæði merkt „R“ sem afmarkast til hægri af línunni x=4. Síðara grafið, merkt „b“, sýnir sömu ferla og hlutinn sem myndast þegar svæðinu „R“ er snúið um y-ásinn. — **Mynd 2.33.** (a) Svæðið R milli grafs f ( x ) og grafs g ( x ) á bilinu [ 1 , 4 ] . (b) Snúðurinn sem myndast þegar R er snúið um y -ás .

Takið eftir að snúningsásinn er $y -ás,$ svo geisli hylkis er einfaldlega $x .$ Því þarf ekki að laga x-lið heildisstofnsins. Hæð hylkis er hins vegar gefin með $f (x) - g (x),$ svo í þessu tilviki þarf að laga $f (x)$ -lið heildisstofnsins. Rúmmál hlutarins er þá gefið með

\begin{matrix} V & = \int_{1}^{4} (2 π x (f (x) - g (x))) d x \\ = \int_{1}^{4} (2 π x (\sqrt{x} - \frac{1}{x})) d x = 2 π \int_{1}^{4} (x^{3 / 2} - 1) d x \\ = {2 π [\frac{2 x^{5 / 2}}{5} - x] |}_{1}^{4} = \frac{94 π}{5} {einingar}^{3} . \end{matrix}

Hvaða aðferð eigum við að nota?

Við höfum kynnt okkur nokkrar aðferðir til að finna rúmmál snúðs, en hvernig vitum við hvaða aðferð á að nota? Valið ræðst oft af því hvaða heildi er auðveldast að reikna. Mynd 2.34 lýsir mismunandi leiðum fyrir snúða um $x -ás .$ Verkefni ykkar er að setja upp samsvarandi töflu fyrir snúða um $y -ás .$

Myndin sýnir töflu sem ber saman aðferðir til að finna rúmmál snúða. Dálkarnir heita „samanburður“, „skífuaðferð“, „hringkragaaðferð“ og „hylkjaaðferð“. Raðirnar heita „rúmmálsformúla“, „hlutur“, „bil sem er skipt“, „rétthyrningar“, „dæmigert svæði“ og „rétthyrningur“. Fyrir skífuaðferðina er formúlan ákveðið heildi frá a til b af pí sinnum f(x) í öðru veldi. Hluturinn hefur ekkert holrúm, bilinu [a,b] er skipt, rétthyrningarnir eru lóðréttir og dæmigerða svæðið liggur ofan x-ássins og undir grafi f(x). Fyrir hringkragaaðferðina er formúlan ákveðið heildi frá a til b af pí sinnum mismuninum f(x) í öðru veldi og g(x) í öðru veldi. Hluturinn hefur holrúm, bilinu [a,b] er skipt, rétthyrningarnir eru lóðréttir og dæmigerða svæðið liggur ofan grafs g(x) og undir grafi f(x). Fyrir hylkjaaðferðina er formúlan ákveðið heildi frá c til d af 2 pí sinnum y g(y). Hluturinn getur verið með eða án holrúms, bilinu [c,d] er skipt, rétthyrningarnir eru láréttir og dæmigerða svæðið liggur ofan x-ássins og undir grafi g(y).

Skoðum nokkur verkefni til viðbótar og veljum hentugustu lausnarleiðina fyrir hvert þeirra.

Dæmi 2.17

Hentugasta aðferðin valin

Veljið fyrir hvert eftirfarandi verkefni hentugustu aðferðina til að finna rúmmál snúðsins sem myndast þegar gefna svæðinu er snúið um $x -ás,$ og setjið upp heildið fyrir rúmmálið (reiknið heildið ekki).

Svæðið sem afmarkast af gröfunum $y = x,$ $y = 2 - x,$ og $x -ás .$
Svæðið sem afmarkast af gröfunum $y = 4 x - x^{2}$ og $x -ás .$

Lausn

Teiknum fyrst svæðið og snúðinn eins og sýnt er.
Mynd 2.35 (a) Svæðið $R$ sem afmarkast af tveimur línum og $x -ás .$ (b) Snúðurinn sem myndast þegar $R$ er snúið um $x -ás .$ Ef við viljum heilda með tilliti til

$x,$ þarf að skipta heildinu í tvo hluta, því mismunandi föll afmarka svæðið á $[0, 1]$ og $[1, 2] .$ Með skífuaðferðinni fengjum við þá
$V = \int_{0}^{1} (π x^{2}) d x + \int_{1}^{2} (π {(2 - x)}^{2}) d x .$

Ef hylkjaaðferðin væri notuð í staðinn myndum við lýsa ferlunum með föllum af $y$ og fá
$\begin{matrix} V & = \int_{0}^{1} (2 π y [(2 - y) - y]) d y \\ = \int_{0}^{1} (2 π y [2 - 2 y]) d y . \end{matrix}$

Hvorugt heildið er sérstaklega erfitt, en hylkjaaðferðin krefst aðeins eins heildis og heildisstofninn þarfnast minni einföldunar. Því er líklega best að velja hylkjaaðferðina í þessu tilviki.
Teiknum fyrst svæðið og snúðinn eins og sýnt er.
Mynd 2.36 (a) Svæðið $R$ milli ferilsins og $x -ás .$ (b) Snúðurinn sem myndast þegar $R$ er snúið um $x -ás .$ Erfitt væri að skilgreina láréttan rétthyrning fyrir þetta svæði, því sama fall afmarkar svæðið bæði til vinstri og hægri. Því getum við útilokað hylkjaaðferðina. Hluturinn hefur ekkert holrúm í miðjunni og því má nota skífuaðferðina. Þá fæst

$V = \int_{0}^{4} π {(4 x - x^{2})}^{2} d x .$

Æfingar í hluta 2.3

Í eftirfarandi dæmum skuluð þið finna rúmmálið sem myndast þegar svæðinu milli ferlanna er snúið um gefna ásinn. Beitið bæði hylkjaaðferðinni og hringkragaaðferðinni. Notið tölvutækni til að teikna föllin og teiknið dæmigerða sneið í höndunum.

114.

[T] Svæðið sem afmarkast af ferlunum $y = 3 x, x = 0,$ og $y = 3$ og er snúið um $y -ás .$

115.

[T] Svæðið sem afmarkast af ferlunum $y = 3 x, y = 0, og x = 3$ og er snúið um $y -ás .$

116.

[T] Svæðið sem afmarkast af ferlunum $y = 3 x, y = 0, og y = 3$ og er snúið um $x -ás .$

117.

[T] Svæðið sem afmarkast af ferlunum $y = 3 x, y = 0, og x = 3$ og er snúið um $x -ás .$

118.

[T] Svæðið sem afmarkast af ferlunum $y = 2 x^{3}, y = 0, og x = 2$ og er snúið um $y -ás .$

119.

[T] Svæðið sem afmarkast af ferlunum $y = 2 x^{3}, y = 0, og x = 2$ og er snúið um $x -ás .$

Í eftirfarandi dæmum skuluð þið nota hylkjaaðferðina til að finna rúmmál gefnu hlutanna. Takið eftir að snúningssvæðin liggja milli ferilsins og $x -ás$ og þeim er snúið um $y -ás .$

120.

$y = 1 - x^{2}, x = 0, og x = 1$

121.

$y = 5 x^{3}, x = 0, og x = 1$

122.

$y = \frac{1}{x}, x = 1, og x = 100$

123.

$y = \sqrt{1 - x^{2}}, x = 0, og x = 1$

124.

$y = \frac{1}{1 + x^{2}}, x = 0, og x = 3$

125.

$y = sin x^{2}, x = 0, og x = \sqrt{π}$

126.

$y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}, x = 0, og x = \frac{1}{2}$

127.

$y = \sqrt{x}, x = 0, og x = 1$

128.

$y = {(1 + x^{2})}^{3}, x = 0, og x = 1$

129.

$y = 5 x^{3} - 2 x^{4}, x = 0, og x = 2$

Í eftirfarandi dæmum skuluð þið nota hylkjaaðferðina til að finna rúmmálið sem myndast þegar svæðinu milli gefna ferilsins og $y = 0$ er snúið um $x -ás .$

130.

$y = \sqrt{1 - x^{2}}, x = 0, x = 1$ og x-ásinn

131.

$y = x^{2}, x = 0, x = 2$ og x-ásinn

132.

$y = \frac{x^{3}}{2}, x = 0, x = 2,$ og x-ásinn

133.

$y = \frac{2}{x^{2}}, x = 1, x = 2,$ og x-ásinn

134.

$x = \frac{1}{1 + y^{2}}, y = 4$

135.

$x = \frac{1 + y^{2}}{y}, y = 1, y = 4,$ og y-ásinn

136.

$x = \sqrt{4 - y^{2}}, x = 0, y = 0$

137.

$x = y^{3} - 2 y^{2}, x = 0, x = 9$

138.

$x = \sqrt{y} + 1, x = 1, x = 3,$ og x-ásinn

139.

$x = \sqrt[3]{27 y} og x = \frac{3 y}{4}$

Í eftirfarandi dæmum skuluð þið finna rúmmálið sem myndast þegar svæðinu milli ferlanna er snúið um gefna ásinn.

140.

$y = 3 - x, y = 0, x = 0, og x = 2$ snúið um $y -ás .$

141.

$y = x^{3}, x = 0, og y = 8$ snúið um $y -ás .$

142.

$y = x^{2}, y = x,$ snúið um $y -ás .$

143.

$y = \sqrt{x}, y = 0, og x = 1$ snúið um línuna $x = 2 .$

144.

$y = \frac{1}{4 - x}, x = 1, x = 2 og y = 0$ snúið um línuna $x = 4 .$

145.

$y = \sqrt{x} og y = x^{2}$ snúið um $y -ás .$

146.

$y = \sqrt{x} og y = x^{2}$ snúið um línuna $x = 2 .$

147.

$x = y^{3}, x = \frac{1}{y}, x = 1, og x = 2$ snúið um $x -ás .$

148.

$x = y^{2} og y = x$ snúið um línuna $y = 2 .$

149.

[T] Til vinstri við $x = sin (π y),$ til hægri við $y = x,$ snúið um $y -ás .$

Í eftirfarandi dæmum skuluð þið nota tölvutækni til að teikna svæðið. Ákvarðið hvaða aðferð þið teljið auðveldast að nota til að reikna rúmmálið sem myndast þegar svæðinu er snúið um tiltekna ásinn. Notið síðan aðferðina sem þið völduð til að finna rúmmálið.

150.

[T] $y = x^{2}$ og $y = 4 x$ snúið um $y -ás .$

151.

[T] $y = cos (π x), y = sin (π x), x = \frac{1}{4}, og x = \frac{5}{4}$ snúið um $y -ás .$ Þetta verkefni krefst þróaðra heildunaraðferða. Nota má tölvutækni við heildunina.

152.

[T] $y = x^{2} - 2 x, x = 2, og x = 4$ snúið um $y -ás .$

153.

[T] $y = x^{2} - 2 x, x = 2, og x = 4$ snúið um $x -ás .$

154.

[T] $y = 3 x^{3} - 2, y = x, og x = 2$ snúið um $x -ás .$

155.

[T] $y = 3 x^{3} - 2, y = x, og x = 2$ snúið um $y -ás .$

156.

[T] $x = sin (π y^{2})$ og $x = \sqrt{2} y$ snúið um $x -ás .$

157.

[T] $x = y^{2}, x = y^{2} - 2 y + 1, og x = 2$ snúið um $y -ás .$

Í eftirfarandi dæmum skuluð þið nota hylkjaaðferðina til að nálga rúmmál nokkurra algengra hluta sem sýndir eru á meðfylgjandi myndum.

158.

Notið hylkjaaðferðina til að finna rúmmál kúlu með geislann $r .$

Myndin sýnir tvær myndir. Sú fyrri sýnir hring með geisla r og sú síðari körfubolta.

159.

Notið hylkjaaðferðina til að finna rúmmál keilu með geislann $r$ og hæðina $h .$

Myndin sýnir tvær myndir. Sú fyrri sýnir keilu á hvolfi með geisla r og hæð h og sú síðari ísvöfflu.

160.

Notið hylkjaaðferðina til að finna rúmmál sporvölungsins sem fæst þegar sporbauginum $(x^{2} / a^{2}) + (y^{2} / b^{2}) = 1$ er snúið um $x -ás .$

Myndin sýnir tvær myndir. Sú fyrri sýnir sporbaug þar sem a er lárétta fjarlægðin frá miðju að jaðri og b er lóðrétta fjarlægðin frá miðju að efri jaðri. Sú síðari sýnir vatnsmelónu.

161.

Notið hylkjaaðferðina til að finna rúmmál sívalnings með geislann $r$ og hæðina $h .$

Myndin sýnir tvær myndir. Sú fyrri sýnir sívalning með geisla r og hæð h og sú síðari sívalt kerti.

162.

Notið hylkjaaðferðina til að finna rúmmál kleinuhringsins sem myndast þegar hringnum $x^{2} + y^{2} = 4$ er snúið um línuna $x = 4 .$

Myndin sýnir tvær myndir. Sú fyrri sýnir tvo sporbauga, annan inni í hinum. Ferillinn milli þeirra hefur geislann 2 einingar. Sú síðari sýnir kleinuhring.

163.

Skoðið svæðið sem afmarkast af gröfunum $y = f (x), y = 1 + f (x), x = 0, y = 0,$ og $x = a > 0 .$ Hvert er rúmmál hlutarins sem myndast þegar svæðinu er snúið um $y -ás ?$ Gerið ráð fyrir að fallið sé skilgreint á bilinu $[0, a] .$

164.

Skoðið fallið $y = f (x),$ sem minnkar frá $f (0) = b$ til $f (1) = 0 .$ Setjið upp, bæði með hylkjaaðferðinni og skífuaðferðinni, heildi sem gefa rúmmál hlutarins sem myndast þegar svæðinu, sem afmarkast af grafi fallsins og línunum $x = 0$ og $y = 0,$ er snúið um $y -ás .$ Sannið að báðar aðferðirnar gefi sama rúmmál. Hvorri aðferðinni er auðveldara að beita? (Ábending: Þar sem $f (x)$ er eintækt er til andhverfa $f^{−1} (y) .)$

22 Hagnýting heildunar

2.3 Rúmmál snúða: Sívalningshylki

Námsmarkmið

2.3.1 Reikna rúmmál snúðs með hylkjaaðferðinni.
2.3.2 Bera saman mismunandi aðferðir við útreikning á rúmmáli snúðs.

Hylkjaaðferðin

Til að reikna rúmmál hylkisins skoðum við mynd 2.27.

\begin{matrix} V_{shell} & = f (x_{i}^{*}) (π x_{i}^{2} - π x_{i - 1}^{2}) \\ = π f (x_{i}^{*}) (x_{i}^{2} - x_{i - 1}^{2}) \\ = π f (x_{i}^{*}) (x_{i} + x_{i - 1}) (x_{i} - x_{i - 1}) \\ = 2 π f (x_{i}^{*}) (\frac{x_{i} + x_{i - 1}}{2}) (x_{i} - x_{i - 1}) . \end{matrix}

Takið eftir að $x_{i} - x_{i - 1} = Δ x,$ svo að

V_{shell} = 2 π f (x_{i}^{*}) (\frac{x_{i} + x_{i - 1}}{2}) Δ x .

Enn fremur er $\frac{x_{i} + x_{i - 1}}{2}$ bæði miðpunktur bilsins $[x_{i - 1}, x_{i}]$ og meðalgeisli hylkisins, sem nálga má með $x_{i}^{*} .$ Þá fæst

V_{shell} \approx 2 π f (x_{i}^{*}) x_{i}^{*} Δ x .

Önnur leið til að sjá þetta er að skera hylkið lóðrétt og opna það síðan þannig að úr verði flöt plata (mynd 2.28).

V_{shell} \approx f (x_{i}^{*}) (2 π x_{i}^{*}) Δ x,

sem er sama formúla og áður.

Rúmmál alls hlutarins fæst með því að leggja saman rúmmál allra hylkjanna:

V \approx \sum_{i = 1}^{n} (2 π x_{i}^{*} f (x_{i}^{*}) Δ x) .

Hér höfum við aðra Riemann-summu, nú fyrir fallið $2 π x f (x) .$ Þegar markgildið er tekið þegar $n \to \infty$ fæst

V = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} (2 π x_{i}^{*} f (x_{i}^{*}) Δ x) = \int_{a}^{b} (2 π x f (x)) d x .

Af þessu leiðir eftirfarandi regla fyrir hylkjaaðferðina.

Skoðum nú dæmi.

Dæmi 2.12

Hylkjaaðferðin 1

Lausn

Fyrst teiknum við svæðið $R$ og tilheyrandi snúð, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.

Rúmmál hlutarins er þá gefið með

\begin{matrix} V & = \int_{a}^{b} (2 π x f (x)) d x \\ = \int_{1}^{3} (2 π x (\frac{1}{x})) d x \\ = \int_{1}^{3} 2 π d x = {2 π x |}_{1}^{3} = 4 π {einingar}^{3} . \end{matrix}

Dæmi 2.13

Hylkjaaðferðin 2

Lausn

Teiknum fyrst svæðið $R$ og tilheyrandi snúð, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.

Rúmmál hlutarins er þá gefið með

\begin{matrix} V & = \int_{a}^{b} (2 π x f (x)) d x \\ = \int_{0}^{2} (2 π x (2 x - x^{2})) d x = 2 π \int_{0}^{2} (2 x^{2} - x^{3}) d x \\ = {2 π [\frac{2 x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4}] |}_{0}^{2} = \frac{8 π}{3} {einingar}^{3} . \end{matrix}

Dæmi 2.14

Hylkjaaðferðin fyrir snúð um x-ásinn

Lausn

Fyrst teiknum við svæðið $Q$ og tilheyrandi snúð, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.

Táknum skyggða svæðið með $Q .$ Rúmmál hlutarins er þá gefið með

\begin{matrix} V & = \int_{c}^{d} (2 π y g (y)) d y \\ = \int_{0}^{4} (2 π y (2 \sqrt{y})) d y = 4 π \int_{0}^{4} y^{3 / 2} d y \\ = {4 π [\frac{2 y^{5 / 2}}{5}] |}_{0}^{4} = \frac{256 π}{5} {einingar}^{3} . \end{matrix}

\begin{matrix} V_{shell} & = f (x_{i}^{*}) (π x_{i}^{2} - π x_{i - 1}^{2}) \\ = π f (x_{i}^{*}) (x_{i}^{2} - x_{i - 1}^{2}) \\ = π f (x_{i}^{*}) (x_{i} + x_{i - 1}) (x_{i} - x_{i - 1}) \\ = 2 π f (x_{i}^{*}) (\frac{x_{i} + x_{i - 1}}{2}) (x_{i} - x_{i - 1}) . \end{matrix}

\begin{matrix} V_{shell} & = 2 π f (x_{i}^{*}) (\frac{(x_{i} + k) + (x_{i - 1} + k)}{2}) ((x_{i} + k) - (x_{i - 1} + k)) \\ = 2 π f (x_{i}^{*}) ((\frac{x_{i} + x_{i - 1}}{2}) + k) Δ x . \end{matrix}

Eins og áður tökum við eftir að $\frac{x_{i} + x_{i - 1}}{2}$ er miðpunktur bilsins $[x_{i - 1}, x_{i}]$ og nálga má hann með $x_{i}^{*} .$ Nálgun á rúmmáli hylkisins er þá

V_{shell} \approx 2 π (x_{i}^{*} + k) f (x_{i}^{*}) Δ x .

Afgangurinn af útleiðslunni er eins og áður og við fáum

V = \int_{a}^{b} (2 π (x + k) f (x)) d x .

Dæmi 2.15

Snúningssvæði snúið um línu

Lausn

Teiknum fyrst svæðið $R$ og tilheyrandi snúð, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.

Takið eftir að geisli hylkis er gefinn með $x + 1 .$ Rúmmál hlutarins er þá gefið með

\begin{matrix} V & = \int_{1}^{2} (2 π (x + 1) f (x)) d x \\ = \int_{1}^{2} (2 π (x + 1) x) d x = 2 π \int_{1}^{2} (x^{2} + x) d x \\ = {2 π [\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}] |}_{1}^{2} = \frac{23 π}{3} {einingar}^{3} . \end{matrix}

Í síðasta dæmi hlutans skoðum við rúmmál snúðs þar sem snúningssvæðið afmarkast af gröfum tveggja falla.

Dæmi 2.16

Snúningssvæði afmarkað af gröfum tveggja falla

Lausn

Teiknum fyrst svæðið $R$ og tilheyrandi snúð, eins og sýnt er á eftirfarandi mynd.

\begin{matrix} V & = \int_{1}^{4} (2 π x (f (x) - g (x))) d x \\ = \int_{1}^{4} (2 π x (\sqrt{x} - \frac{1}{x})) d x = 2 π \int_{1}^{4} (x^{3 / 2} - 1) d x \\ = {2 π [\frac{2 x^{5 / 2}}{5} - x] |}_{1}^{4} = \frac{94 π}{5} {einingar}^{3} . \end{matrix}

Hvaða aðferð eigum við að nota?

Skoðum nokkur verkefni til viðbótar og veljum hentugustu lausnarleiðina fyrir hvert þeirra.

Dæmi 2.17

Hentugasta aðferðin valin

Svæðið sem afmarkast af gröfunum $y = x,$ $y = 2 - x,$ og $x -ás .$
Svæðið sem afmarkast af gröfunum $y = 4 x - x^{2}$ og $x -ás .$

Lausn

Teiknum fyrst svæðið og snúðinn eins og sýnt er.
Mynd 2.35 (a) Svæðið $R$ sem afmarkast af tveimur línum og $x -ás .$ (b) Snúðurinn sem myndast þegar $R$ er snúið um $x -ás .$ Ef við viljum heilda með tilliti til

$x,$ þarf að skipta heildinu í tvo hluta, því mismunandi föll afmarka svæðið á $[0, 1]$ og $[1, 2] .$ Með skífuaðferðinni fengjum við þá
$V = \int_{0}^{1} (π x^{2}) d x + \int_{1}^{2} (π {(2 - x)}^{2}) d x .$

Ef hylkjaaðferðin væri notuð í staðinn myndum við lýsa ferlunum með föllum af $y$ og fá
$\begin{matrix} V & = \int_{0}^{1} (2 π y [(2 - y) - y]) d y \\ = \int_{0}^{1} (2 π y [2 - 2 y]) d y . \end{matrix}$

Hvorugt heildið er sérstaklega erfitt, en hylkjaaðferðin krefst aðeins eins heildis og heildisstofninn þarfnast minni einföldunar. Því er líklega best að velja hylkjaaðferðina í þessu tilviki.
Teiknum fyrst svæðið og snúðinn eins og sýnt er.
Mynd 2.36 (a) Svæðið $R$ milli ferilsins og $x -ás .$ (b) Snúðurinn sem myndast þegar $R$ er snúið um $x -ás .$ Erfitt væri að skilgreina láréttan rétthyrning fyrir þetta svæði, því sama fall afmarkar svæðið bæði til vinstri og hægri. Því getum við útilokað hylkjaaðferðina. Hluturinn hefur ekkert holrúm í miðjunni og því má nota skífuaðferðina. Þá fæst

$V = \int_{0}^{4} π {(4 x - x^{2})}^{2} d x .$

Æfingar í hluta 2.3

114.

[T] Svæðið sem afmarkast af ferlunum $y = 3 x, x = 0,$ og $y = 3$ og er snúið um $y -ás .$

115.

[T] Svæðið sem afmarkast af ferlunum $y = 3 x, y = 0, og x = 3$ og er snúið um $y -ás .$

116.

[T] Svæðið sem afmarkast af ferlunum $y = 3 x, y = 0, og y = 3$ og er snúið um $x -ás .$

117.

[T] Svæðið sem afmarkast af ferlunum $y = 3 x, y = 0, og x = 3$ og er snúið um $x -ás .$

118.

[T] Svæðið sem afmarkast af ferlunum $y = 2 x^{3}, y = 0, og x = 2$ og er snúið um $y -ás .$

119.

[T] Svæðið sem afmarkast af ferlunum $y = 2 x^{3}, y = 0, og x = 2$ og er snúið um $x -ás .$

120.

$y = 1 - x^{2}, x = 0, og x = 1$

121.

$y = 5 x^{3}, x = 0, og x = 1$

122.

$y = \frac{1}{x}, x = 1, og x = 100$

123.

$y = \sqrt{1 - x^{2}}, x = 0, og x = 1$

124.

$y = \frac{1}{1 + x^{2}}, x = 0, og x = 3$

125.

$y = sin x^{2}, x = 0, og x = \sqrt{π}$

126.

$y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}, x = 0, og x = \frac{1}{2}$

127.

$y = \sqrt{x}, x = 0, og x = 1$

128.

$y = {(1 + x^{2})}^{3}, x = 0, og x = 1$

129.

$y = 5 x^{3} - 2 x^{4}, x = 0, og x = 2$

Í eftirfarandi dæmum skuluð þið nota hylkjaaðferðina til að finna rúmmálið sem myndast þegar svæðinu milli gefna ferilsins og $y = 0$ er snúið um $x -ás .$

130.

$y = \sqrt{1 - x^{2}}, x = 0, x = 1$ og x-ásinn

131.

$y = x^{2}, x = 0, x = 2$ og x-ásinn

132.

$y = \frac{x^{3}}{2}, x = 0, x = 2,$ og x-ásinn

133.

$y = \frac{2}{x^{2}}, x = 1, x = 2,$ og x-ásinn

134.

$x = \frac{1}{1 + y^{2}}, y = 4$

135.

$x = \frac{1 + y^{2}}{y}, y = 1, y = 4,$ og y-ásinn

136.

$x = \sqrt{4 - y^{2}}, x = 0, y = 0$

137.

$x = y^{3} - 2 y^{2}, x = 0, x = 9$

138.

$x = \sqrt{y} + 1, x = 1, x = 3,$ og x-ásinn

139.

$x = \sqrt[3]{27 y} og x = \frac{3 y}{4}$

Í eftirfarandi dæmum skuluð þið finna rúmmálið sem myndast þegar svæðinu milli ferlanna er snúið um gefna ásinn.

140.

$y = 3 - x, y = 0, x = 0, og x = 2$ snúið um $y -ás .$

141.

$y = x^{3}, x = 0, og y = 8$ snúið um $y -ás .$

142.

$y = x^{2}, y = x,$ snúið um $y -ás .$

143.

$y = \sqrt{x}, y = 0, og x = 1$ snúið um línuna $x = 2 .$

144.

$y = \frac{1}{4 - x}, x = 1, x = 2 og y = 0$ snúið um línuna $x = 4 .$

145.

$y = \sqrt{x} og y = x^{2}$ snúið um $y -ás .$

146.

$y = \sqrt{x} og y = x^{2}$ snúið um línuna $x = 2 .$

147.

$x = y^{3}, x = \frac{1}{y}, x = 1, og x = 2$ snúið um $x -ás .$

148.

$x = y^{2} og y = x$ snúið um línuna $y = 2 .$

149.

[T] Til vinstri við $x = sin (π y),$ til hægri við $y = x,$ snúið um $y -ás .$

150.

[T] $y = x^{2}$ og $y = 4 x$ snúið um $y -ás .$

151.

[T] $y = cos (π x), y = sin (π x), x = \frac{1}{4}, og x = \frac{5}{4}$ snúið um $y -ás .$ Þetta verkefni krefst þróaðra heildunaraðferða. Nota má tölvutækni við heildunina.

152.

[T] $y = x^{2} - 2 x, x = 2, og x = 4$ snúið um $y -ás .$

153.

[T] $y = x^{2} - 2 x, x = 2, og x = 4$ snúið um $x -ás .$

154.

[T] $y = 3 x^{3} - 2, y = x, og x = 2$ snúið um $x -ás .$

155.

[T] $y = 3 x^{3} - 2, y = x, og x = 2$ snúið um $y -ás .$

156.

[T] $x = sin (π y^{2})$ og $x = \sqrt{2} y$ snúið um $x -ás .$

157.

[T] $x = y^{2}, x = y^{2} - 2 y + 1, og x = 2$ snúið um $y -ás .$

Í eftirfarandi dæmum skuluð þið nota hylkjaaðferðina til að nálga rúmmál nokkurra algengra hluta sem sýndir eru á meðfylgjandi myndum.

158.

Notið hylkjaaðferðina til að finna rúmmál kúlu með geislann $r .$

159.

Notið hylkjaaðferðina til að finna rúmmál keilu með geislann $r$ og hæðina $h .$

160.

Notið hylkjaaðferðina til að finna rúmmál sporvölungsins sem fæst þegar sporbauginum $(x^{2} / a^{2}) + (y^{2} / b^{2}) = 1$ er snúið um $x -ás .$

161.

Notið hylkjaaðferðina til að finna rúmmál sívalnings með geislann $r$ og hæðina $h .$

162.

Notið hylkjaaðferðina til að finna rúmmál kleinuhringsins sem myndast þegar hringnum $x^{2} + y^{2} = 4$ er snúið um línuna $x = 4 .$

163.

164.