22 Hagnýting heildunar

2.6 Vægi og massamiðjur

Námsmarkmið

2.6.1 Finna massamiðju hluta sem dreift er eftir línu.
2.6.2 Finna massamiðju þunnrar plötu.
2.6.3 Nota samhverfu til að finna þungamiðju þunnrar plötu.
2.6.4 Beita Papposarsetningu um rúmmál.

Í þessum hluta skoðum við massamiðjur (sem við ákveðnar aðstæður nefnast einnig þungamiðjur) og vægi. Grunnhugmynd massamiðju er jafnvægispunktur. Mörg okkar hafa séð listamenn láta diska snúast á endum stanga. Þeir reyna að halda mörgum diskum á snúningi samtímis án þess að nokkur þeirra falli. Ef við skoðum einn disk án þess að láta hann snúast er á honum ákveðinn punktur þar sem hann helst fullkomlega í jafnvægi á stönginni. Sé stöngin sett annars staðar helst diskurinn ekki í jafnvægi og fellur til jarðar. (Þess vegna láta listamennirnir diskana snúast; snúningurinn hjálpar til við að halda þeim uppi þótt stöngin sé ekki nákvæmlega á réttum stað.) Í stærðfræði nefnist þessi jafnvægispunktur massamiðja disksins.

Í þessum hluta skoðum við hugtökin fyrst í einni vídd og víkkum síðan umfjöllunina þannig að hún nái einnig til massamiðja tvívíðra svæða og samhverfu. Að lokum notum við þungamiðjur og Papposarsetningu til að finna rúmmál tiltekinna rúmhluta.

Massamiðjur og vægi

Byrjum á að skoða massamiðju í einni vídd. Hugsum okkur langan, þunnan vír eða stöng með hverfandi massa sem hvílir á vogarás, eins og sýnt er á mynd 2.62 (a). Gerum nú ráð fyrir að við setjum hluti með massana $m_{1}$ og $m_{2}$ í fjarlægðunum $d_{1}$ og $d_{2}$ frá vogarásnum, í sömu röð, eins og sýnt er á mynd 2.62 (b).

Myndin er í tveimur hlutum. Á fyrri hlutanum er lárétt lína ofan á jafnhliða þríhyrningi. Hún táknar stöng á vogarás. Síðari hlutinn er eins, en tveir ferningar eru á línunni og merktir m₁ og m₂. Fjarlægðin frá m₁ að vogarásnum er d₁ og fjarlægðin frá m₂ að vogarásnum er d₂. — **Mynd 2.62.** (a) Þunn stöng hvílir á vogarás. (b) Massar eru settir á stöngina.

Algengasta dæmið um slíkt kerfi úr daglegu lífi er vegasalt á leikvelli þar sem misþung börn sitja í mismikilli fjarlægð frá miðjunni. Ef eitt barn situr á hvorum enda sígur þyngra barnið niður en það léttara lyftist upp. Færi þyngra barnið sig nær miðjunni kemst vegasaltið hins vegar í jafnvægi. Ef við beitum þessari hugmynd á massana á stönginni sjáum við að þeir vega hvor annan upp þá og því aðeins að $m_{1} d_{1} = m_{2} d_{2} .$

Í dæminu um vegasaltið komum við kerfinu í jafnvægi með því að færa massana (börnin) miðað við vogarásinn. Við höfum þó einkum áhuga á kerfum þar sem massarnir geta ekki færst og jafnvægi næst þess í stað með því að færa vogarásinn. Gerum ráð fyrir tveimur punktmössum, $m_{1}$ og $m_{2},$ sem eru á talnalínu í punktunum $x_{1}$ og $x_{2},$ í sömu röð (mynd 2.63). Massamiðjan, $\bar{x},$ er sá punktur þar sem koma þarf vogarásnum fyrir svo kerfið sé í jafnvægi.

Myndin sýnir x-ásinn. Á honum er punktur merktur x̄. Einnig er þar punkturinn x₁ með ferning fyrir ofan, en inni í ferningnum stendur m₁. Annar punktur, x₂, er einnig á ásnum og fyrir ofan hann er ferningur merktur m₂. — **Mynd 2.63.** Massamiðjan $\bar{x}$ er jafnvægispunktur kerfisins.

Því fæst

\begin{matrix} m_{1} | \bar{x} - x_{1} | & = & m_{2} | x_{2} - \bar{x} | \\ m_{1} (\bar{x} - x_{1}) & = & m_{2} (x_{2} - \bar{x}) \\ m_{1} \bar{x} - m_{1} x_{1} & = & m_{2} x_{2} - m_{2} \bar{x} \\ \bar{x} (m_{1} + m_{2}) & = & m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2} \\ \bar{x} & = & \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}}{m_{1} + m_{2}} . \end{matrix}

Segðin í teljaranum, $m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2},$ nefnist fyrsta vægi kerfisins með tilliti til upphafspunktsins. Þegar samhengið er skýrt sleppum við oft orðinu „fyrsta“ og köllum segðina einfaldlega vægi kerfisins. Segðin í nefnaranum, $m_{1} + m_{2},$ er heildarmassi kerfisins. Massamiðja kerfisins er því sá punktur þar sem safna mætti öllum massa kerfisins saman án þess að breyta væginu.

Hugmyndin takmarkast ekki við tvo punktmassa. Almennt gildir að ef n mössum, $m_{1}, m_{2},…, m_{n},$ er komið fyrir á talnalínu í punktunum $x_{1}, x_{2},…, x_{n},$ í sömu röð, þá er massamiðja kerfisins gefin með

\bar{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} m_{i}} .

Við beitum setningunni í næsta dæmi.

Dæmi 2.29

Massamiðja hluta á línu fundin

Gerum ráð fyrir að fjórum punktmössum sé komið fyrir á talnalínu eins og hér segir:

\begin{matrix} m_{1} = 30 kg, við x_{1} = −2 m & m_{2} = 5 kg, við x_{2} = 3 m \\ m_{3} = 10 kg, við x_{3} = 6 m & m_{4} = 15 kg, við x_{4} = −3 m . \end{matrix}

Finnið vægi kerfisins með tilliti til upphafspunktsins og massamiðju þess.

Lausn

Fyrst reiknum við vægi kerfisins:

\begin{matrix} M & = \sum_{i = 1}^{4} m_{i} x_{i} \\ = −60 + 15 + 60 - 45 = −30. \end{matrix}

Til að finna massamiðjuna þurfum við næst heildarmassa kerfisins:

\begin{matrix} m & = \sum_{i = 1}^{4} m_{i} \\ = 30 + 5 + 10 + 15 = 60 kg . \end{matrix}

Þá fæst

\bar{x} = \frac{M}{m} = \frac{−30}{60} = - \frac{1}{2} .

Massamiðjan er 1/2 m vinstra megin við upphafspunktinn.

Við getum alhæft hugmyndina til að finna massamiðju kerfis af punktmössum í sléttu. Látum $m_{1}$ vera punktmassa í punktinum $(x_{1}, y_{1})$ í sléttunni. Þá er vægi massans $M_{x}$ um x-ásinn gefið með $M_{x} = m_{1} y_{1} .$ Á sama hátt er vægið $M_{y}$ um y-ásinn gefið með $M_{y} = m_{1} x_{1} .$ Takið eftir að x-hnit punktsins er notað til að reikna vægið um y-ásinn og öfugt. Ástæðan er sú að x-hnitið gefur fjarlægð punktmassans frá y-ásnum en y-hnitið gefur fjarlægðina frá x-ásnum (sjá næstu mynd).

Myndin sýnir merkta x- og y-ása. Í fyrsta fjórðungi er punkturinn (x₁, y₁), merktur m₁. — **Mynd 2.64.** Punktmassinn $m_{1}$ er í punktinum $(x_{1}, y_{1})$ í sléttunni.

Ef nokkrir punktmassar eru í xy-sléttunni getum við notað vægin um x- og y-ásana til að reikna x- og y-hnit massamiðju kerfisins.

Næsta dæmi sýnir hvernig setningunni er beitt.

Dæmi 2.30

Massamiðja hluta í sléttu fundin

Gerum ráð fyrir að þremur punktmössum sé komið fyrir í xy-sléttunni eins og hér segir (hnitin eru gefin í metrum):

\begin{matrix} m_{1} = 2 kg, við (−1, 3), \\ m_{2} = 6 kg, við (1, 1), \\ m_{3} = 4 kg, við (2, −2) . \end{matrix}

Finnið massamiðju kerfisins.

Lausn

Fyrst reiknum við heildarmassa kerfisins:

m = \sum_{i = 1}^{3} m_{i} = 2 + 6 + 4 = 12 kg .

Næst finnum við vægin um x- og y-ásana:

\begin{matrix} M_{y} = \sum_{i = 1}^{3} m_{i} x_{i} = −2 + 6 + 8 = 12, \\ M_{x} = \sum_{i = 1}^{3} m_{i} y_{i} = 6 + 6 - 8 = 4. \end{matrix}

Þá fæst

\bar{x} = \frac{M_{y}}{m} = \frac{12}{12} = 1 og \bar{y} = \frac{M_{x}}{m} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} .

Hnit massamiðju kerfisins eru $(1, 1 / 3),$ mæld í metrum.

Massamiðja þunnra platna

Hingað til höfum við skoðað kerfi punktmassa á línu og í sléttu. Nú skoðum við kerfi þar sem massinn er ekki samþjappaður í einstökum punktum heldur dreifist samfellt um þunna efnisplötu. Við gerum ráð fyrir að platan sé svo þunn að líta megi á hana sem tvívíða. Slíkt tvívítt líkan nefnist þunn plata. Næst setjum við fram aðferðir til að finna massamiðju hennar. Í þessum hluta gerum við einnig ráð fyrir að þéttleiki plötunnar sé fastur.

Oft er þunn plata táknuð með tvívíðu svæði í sléttu. Rúmfræðileg miðja slíks svæðis nefnist þungamiðja þess. Þar sem við gerum ráð fyrir föstum þéttleika ræðst massamiðja plötunnar eingöngu af lögun samsvarandi svæðis í sléttunni en ekki af þéttleikanum. Þá fellur massamiðja plötunnar saman við þungamiðju afmarkaða svæðisins. Líkt og í kerfum punktmassa þurfum við að finna heildarmassa plötunnar og vægi hennar um x- og y-ásana.

Skoðum fyrst rétthyrnda þunna plötu. Rifjum upp að massamiðja plötu er sá punktur þar sem hún helst í jafnvægi. Í rétthyrningi er punkturinn bæði lárétt og lóðrétt miðja hans. Massamiðja rétthyrndrar plötu er því skurðpunktur hornalínanna. Þetta leiðir af speglunarlögmálinu, sem hér er sett fram án sönnunar.

Snúum okkur að almennari þunnum plötum. Gerum ráð fyrir að plata afmarkist að ofan af grafi samfellda fallsins $f (x),$ að neðan af x-ásnum og til vinstri og hægri af línunum $x = a$ og $x = b,$ í sömu röð, eins og sýnt er á næstu mynd.

Myndin sýnir graf fallsins y = f(x) í fyrsta fjórðungi. Undir ferlinum er skyggt svæði merkt R. Svæðið afmarkast til vinstri af x=a og til hægri af x=b. — **Mynd 2.65.** Svæði í sléttu sem táknar þunna plötu.

Líkt og í kerfum punktmassa þurfum við að finna heildarmassa plötunnar og vægi hennar um x- og y-ásana til að finna massamiðjuna. Eins og oft áður nálgum við þessar stærðir með því að skipta bilinu $[a, b]$ og mynda rétthyrninga.

Fyrir $i = 0, 1, 2,…, n,$ látum við $P = {x_{i}}$ vera reglulega skiptingu bilsins $[a, b] .$ Rifjum upp að velja má hvaða punkt sem er á bilinu $[x_{i - 1}, x_{i}]$ sem $x_{i}^{*} .$ Hér viljum við að $x_{i}^{*}$ sé x-hnit þungamiðju rétthyrningsins. Fyrir $i = 1, 2,…, n,$ veljum við því $x_{i}^{*} \in [x_{i - 1}, x_{i}]$ þannig að $x_{i}^{*}$ sé miðpunktur bilsins, það er $x_{i}^{*} = (x_{i - 1} + x_{i}) / 2 .$ Fyrir hvert $i = 1, 2,…, n,$ myndum við nú rétthyrning með hæðina $f (x_{i}^{*})$ á bilinu $[x_{i - 1}, x_{i}] .$ Massamiðja rétthyrningsins er $(x_{i}^{*}, (f (x_{i}^{*})) / 2),$ eins og sýnt er á næstu mynd.

Myndin sýnir graf ferilsins f(x) í fyrsta fjórðungi. Lóðréttur, skyggður rétthyrningur er undir ferlinum og ofan x-ássins. Hæð rétthyrningsins er merkt f(xᵢ*). Einnig gildir xᵢ* = (xᵢ₋₁ + xᵢ)/2. — **Mynd 2.66.** Dæmigerður rétthyrningur plötunnar.

Næst finnum við heildarmassa rétthyrningsins. Látum $ρ$ tákna þéttleika plötunnar (takið eftir að $ρ$ er fasti). Hér er $ρ$ gefið sem massi á flatarmálseiningu. Til að finna heildarmassa rétthyrningsins margföldum við því flatarmál hans með $ρ .$ Massi rétthyrningsins er þá $ρ f (x_{i}^{*}) Δ x .$

Við nálgum massa plötunnar með því að leggja saman massa allra rétthyrninganna og fáum

m \approx \sum_{i = 1}^{n} ρ f (x_{i}^{*}) Δ x .

Þetta er Riemann-summa. Með því að taka markgildið þegar $n \to \infty$ fæst nákvæmur massi plötunnar:

m = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} ρ f (x_{i}^{*}) Δ x = ρ \int_{a}^{b} f (x) d x .

Næst reiknum við vægi plötunnar um x-ásinn. Rifjum upp að massamiðja hins dæmigerða rétthyrnings er $(x_{i}^{*}, (f (x_{i}^{*})) / 2) .$ Vægið breytist ekki þótt litið sé á rétthyrninginn sem punktmassa í massamiðjunni. Vægi rétthyrningsins um x-ásinn fæst því með því að margfalda massa hans, $ρ f (x_{i}^{*}) Δ x,$ með fjarlægð massamiðjunnar frá x-ásnum, $(f (x_{i}^{*})) / 2 .$ Vægi rétthyrningsins um x-ásinn er því $ρ ({[f (x_{i}^{*})]}^{2} / 2) Δ x .$ Þegar vægi rétthyrninganna eru lögð saman og markgildi Riemann-summunnar sem fæst tekið sjáum við að vægi plötunnar um x-ásinn er

M_{x} = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} ρ \frac{{[f (x_{i}^{*})]}^{2}}{2} Δ x = ρ \int_{a}^{b} \frac{{[f (x)]}^{2}}{2} d x .

Vægið um y-ásinn er leitt út á sambærilegan hátt. Fjarlægð massamiðju rétthyrningsins frá y-ásnum er $x_{i}^{*} .$ Vægi plötunnar um y-ásinn er því gefið með

M_{y} = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} ρ x_{i}^{*} f (x_{i}^{*}) Δ x = ρ \int_{a}^{b} x f (x) d x .

Við finnum hnit massamiðjunnar með því að deila vægjunum með heildarmassanum og fáum $\bar{x} = M_{y} / m og \bar{y} = M_{x} / m .$ Þegar segðirnar fyrir $M_{x}, M_{y}, og m,$ eru skoðaðar nánar sést að fastinn $ρ$ styttist út þegar $\bar{x}$ og $\bar{y}$ eru reiknuð.

Niðurstöðurnar eru teknar saman í næstu setningu.

Í næsta dæmi notum við setninguna til að finna massamiðju þunnrar plötu.

Dæmi 2.31

Massamiðja þunnrar plötu fundin

Látum R vera svæðið sem afmarkast að ofan af grafi fallsins $f (x) = \sqrt{x}$ og að neðan af x-ásnum á bilinu $[0, 4] .$ Finnið þungamiðju svæðisins.

Lausn

Svæðið er sýnt á næstu mynd.

Myndin sýnir graf ferilsins f(x) = ferningsrótin af x. Ferillinn er vaxandi og liggur í fyrsta fjórðungi. Svæðið undir ferlinum og ofan x-ássins er skyggt. Það hefst við x=0 og afmarkast til hægri af x=4. — **Mynd 2.67.** Massamiðja þunnrar plötu fundin.

Við eigum aðeins að finna þungamiðju svæðisins, en hvorki massa né vægi samsvarandi plötu. Við vitum því að þéttleikafastinn $ρ$ styttist að lokum út úr útreikningunum. Til hægðarauka skulum við því gera ráð fyrir að $ρ = 1 .$

Fyrst reiknum við heildarmassann:

\begin{matrix} m & = ρ \int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{0}^{4} \sqrt{x} d x \\ = {\frac{2}{3} x^{3 / 2} |}_{0}^{4} = \frac{2}{3} [8 - 0] = \frac{16}{3} . \end{matrix}

Næst reiknum við vægin:

\begin{matrix} M_{x} & = ρ \int_{a}^{b} \frac{{[f (x)]}^{2}}{2} d x \\ = \int_{0}^{4} \frac{x}{2} d x = {\frac{1}{4} x^{2} |}_{0}^{4} = 4 \end{matrix}

\begin{matrix} M_{y} & = ρ \int_{a}^{b} x f (x) d x \\ = \int_{0}^{4} x \sqrt{x} d x = \int_{0}^{4} x^{3 / 2} d x \\ = {\frac{2}{5} x^{5 / 2} |}_{0}^{4} = \frac{2}{5} [32 - 0] = \frac{64}{5} . \end{matrix}

Því fæst

\bar{x} = \frac{M_{y}}{m} = \frac{64 / 5}{16 / 3} = \frac{64}{5} \cdot \frac{3}{16} = \frac{12}{5} og \bar{y} = \frac{M_{x}}{m} = \frac{4}{16 / 3} = 4 \cdot \frac{3}{16} = \frac{3}{4} .

Þungamiðja svæðisins er $(12 / 5, 3 / 4) .$

Aðferðina má einnig laga að því að finna þungamiðjur flóknari svæða. Gerum eins og áður ráð fyrir að svæðið afmarkist að ofan af grafi samfellda fallsins $f (x),$ en nú afmarkast það ekki að neðan af x-ásnum heldur af grafi annars samfellds falls, $g (x),$ eins og sýnt er á næstu mynd.

Myndin sýnir fyrsta fjórðung og tvo ferla, merkta f(x) og g(x). Ferillinn f(x) liggur ofan við g(x). Milli ferlanna er skyggt svæði merkt R sem afmarkast til vinstri af x=a og til hægri af x=b. — **Mynd 2.68.** Svæði milli tveggja falla.

Við skiptum bilinu $[a, b]$ aftur og myndum rétthyrninga. Dæmigerður rétthyrningur er sýndur á næstu mynd.

Myndin sýnir fyrsta fjórðung og tvo ferla, merkta f(x) og g(x). Ferillinn f(x) liggur ofan við g(x). Milli ferlanna er skyggður rétthyrningur. — **Mynd 2.69.** Dæmigerður rétthyrningur á svæðinu milli tveggja falla.

Takið eftir að þungamiðja rétthyrningsins er $(x_{i}^{*}, (f (x_{i}^{*}) + g (x_{i}^{*})) / 2) .$ Við förum ekki yfir öll atriði í útleiðslu Riemann-summunnar en skoðum nokkur lykilskref. Þegar formúlurnar fyrir massa plötunnar og vægið um y-ásinn eru leiddar út er hæð hvers rétthyrnings $f (x_{i}^{*}) - g (x_{i}^{*}),$ sem leiðir til segðarinnar $f (x) - g (x)$ í heildisstofnunum.

Þegar formúlan fyrir vægið um x-ásinn er leidd út fæst vægi hvers rétthyrnings með því að margfalda flatarmál hans, $ρ [f (x_{i}^{*}) - g (x_{i}^{*})] Δ x,$ með fjarlægð þungamiðjunnar frá x-ásnum, $(f (x_{i}^{*}) + g (x_{i}^{*})) / 2,$ sem gefur $ρ (1 / 2) {{[f (x_{i}^{*})]}^{2} - {[g (x_{i}^{*})]}^{2}} Δ x .$ Niðurstöðurnar eru teknar saman í næstu setningu.

Næsta dæmi sýnir hvernig setningunni er beitt.

Dæmi 2.32

Þungamiðja svæðis sem afmarkast af tveimur föllum fundin

Látum R vera svæðið sem afmarkast að ofan af grafi fallsins $f (x) = 1 - x^{2}$ og að neðan af grafi fallsins $g (x) = x - 1 .$ Finnið þungamiðju svæðisins.

Lausn

Svæðið er sýnt á næstu mynd.

Myndin sýnir tvo ferla. Þeir eru merktir f(x) = 1 − x² og g(x) = x − 1. Milli ferlanna er skyggt svæði sem afmarkast til vinstri af x=a og til hægri af x=b. — **Mynd 2.70.** Þungamiðja svæðis milli tveggja ferla fundin.

Gröf fallanna skerast í punktunum $(−2, −3)$ og $(1, 0),$ svo við heildum frá −2 til 1. Til hægðarauka gerum við enn á ný ráð fyrir að $ρ = 1 .$

Fyrst reiknum við heildarmassann:

\begin{matrix} m & = ρ \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x \\ = \int_{−2}^{1} [1 - x^{2} - (x - 1)] d x = \int_{−2}^{1} (2 - x^{2} - x) d x \\ = {[2 x - \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}] |}_{−2}^{1} = [2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2}] - [−4 + \frac{8}{3} - 2] = \frac{9}{2} . \end{matrix}

Næst reiknum við vægin:

\begin{matrix} M_{x} & = ρ \int_{a}^{b} \frac{1}{2} ({[f (x)]}^{2} - {[g (x)]}^{2}) d x \\ = \frac{1}{2} \int_{−2}^{1} ({(1 - x^{2})}^{2} - {(x - 1)}^{2}) d x = \frac{1}{2} \int_{−2}^{1} (x^{4} - 3 x^{2} + 2 x) d x \\ = \frac{1}{2} {[\frac{x^{5}}{5} - x^{3} + x^{2}] |}_{−2}^{1} = - \frac{27}{10} \end{matrix}

\begin{matrix} M_{y} & = ρ \int_{a}^{b} x [f (x) - g (x)] d x \\ = \int_{−2}^{1} x [(1 - x^{2}) - (x - 1)] d x = \int_{−2}^{1} x [2 - x^{2} - x] d x \\ = \int_{−2}^{1} (2 x - x^{3} - x^{2}) d x \\ = {[x^{2} - \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3}] |}_{−2}^{1} = - \frac{9}{4} . \end{matrix}

Því fæst

\bar{x} = \frac{M_{y}}{m} = - \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{9} = - \frac{1}{2} og \bar{y} = \frac{M_{x}}{m} = - \frac{27}{10} \cdot \frac{2}{9} = - \frac{3}{5} .

Þungamiðja svæðisins er $(− (1 / 2), − (3 / 5)) .$

Speglunarlögmálið

Við settum speglunarlögmálið fram fyrr þegar við skoðuðum þungamiðju rétthyrnings. Lögmálið auðveldar mjög að finna þungamiðjur samhverfra svæða. Skoðum næsta dæmi.

Dæmi 2.33

Þungamiðja samhverfs svæðis fundin

Látum R vera svæðið sem afmarkast að ofan af grafi fallsins $f (x) = 4 - x^{2}$ og að neðan af x-ásnum. Finnið þungamiðju svæðisins.

Lausn

Svæðið er sýnt á næstu mynd.

Myndin sýnir graf fallsins f(x) = 4 − x². Grafið er fleygbogi sem opnast niður. Svæðið undir fleygboganum og ofan x-ássins er skyggt. Ferillinn sker x-ásinn við x = −2 og x=2. — **Mynd 2.71.** Við getum notað speglunarlögmálið til að finna þungamiðju samhverfs svæðis.

Svæðið er samhverft um y-ásinn. Því er x-hnit þungamiðjunnar núll og við þurfum aðeins að reikna $\bar{y} .$ Til hægðarauka gerum við enn á ný ráð fyrir að $ρ = 1 .$

Fyrst reiknum við heildarmassann:

\begin{matrix} m & = ρ \int_{a}^{b} f (x) d x \\ = \int_{−2}^{2} (4 - x^{2}) d x \\ = {[4 x - \frac{x^{3}}{3}] |}_{−2}^{2} = \frac{32}{3} . \end{matrix}

Næst reiknum við vægin. Við þurfum aðeins $M_{x} :$

\begin{matrix} M_{x} & = ρ \int_{a}^{b} \frac{{[f (x)]}^{2}}{2} d x \\ = \frac{1}{2} \int_{−2}^{2} {[4 - x^{2}]}^{2} d x = \frac{1}{2} \int_{−2}^{2} (16 - 8 x^{2} + x^{4}) d x \\ = \frac{1}{2} {[\frac{x^{5}}{5} - \frac{8 x^{3}}{3} + 16 x] |}_{−2}^{2} = \frac{256}{15} . \end{matrix}

Þá fæst

\bar{y} = \frac{M_{x}}{m} = \frac{256}{15} \cdot \frac{3}{32} = \frac{8}{5} .

Þungamiðja svæðisins er $(0, 8 / 5) .$

Nemendaverkefni

Útsýnispallurinn Grand Canyon Skywalk

Grand Canyon Skywalk var opnaður almenningi 28. mars 2007. Þetta verkfræðiundur er skeifulaga útsýnispallur sem hangir 4000 fetum yfir Colorado-á við vesturbrún Miklagljúfurs. Kristaltært glergólfið veitir tilkomumikið útsýni niður í gljúfrið (sjá næstu mynd).

Mynd 2.72. Grand Canyon Skywalk veitir tilkomumikið útsýni yfir gljúfrið. (mynd: 10da_ralta, Wikimedia Commons)

Skywalk er svifbitamannvirki, sem þýðir að útsýnispallurinn teygir sig út fyrir gljúfurbrúnina án sýnilegra burðarvirkja undir honum. Þótt hvorki sjáist stoðir né stífur eru svifbitamannvirki hönnuð til að vera mjög stöðug og Skywalk er þar engin undantekning. Útsýnispallurinn er tryggilega festur við stoðir sem ná 46 fet niður í berggrunninn. Mannvirkið var byggt til að þola vindhraða allt að 100 mílur á klukkustund og jarðskjálfta af stærð 8.0 innan 50 mílna fjarlægðar. Það getur borið meira en 70,000,000 pund.

Þyngdarpunktur mannvirkisins er einn þeirra þátta sem hafa áhrif á stöðugleika Skywalk. Við reiknum þyngdarpunkt pallsins og könnum hvernig hann breytist þegar ferðamenn ganga út á útsýnispallinn.

Útsýnispallurinn er U-laga. Leggir U-sins eru 10 fet á breidd og hefjast á landi undir gestamiðstöðinni, 48 fet frá gljúfurbrúninni. Pallurinn teygir sig 70 fet út fyrir brúnina.

Til að reikna massamiðju mannvirkisins lítum við á það sem þunna plötu og táknum pallinn með tvívíðu svæði í xy-sléttunni. Fyrst skiptum við svæðinu í þrjú undirsvæði svo hægt sé að skoða hvert þeirra fyrir sig. Fyrsta svæðið, $R_{1},$ er bogadregni hluti U-sins. Við lýsum $R_{1}$ sem hálfhringlaga hringkraga með innri geisla 25 fet og ytri geisla 35 fet og miðju í upphafspunktinum (sjá næstu mynd).

Mynd 2.73. Skywalk er táknaður með þremur undirsvæðum.

Leggir pallsins, sem ná 35 fet milli $R_{1}$ og gljúfurveggsins, mynda annað undirsvæðið, $R_{2} .$ Endar leggjanna, sem ná 48 fet undir gestamiðstöðina, mynda loks þriðja undirsvæðið, $R_{3} .$ Gerið ráð fyrir að þéttleiki plötunnar sé fastur og að heildarþyngd pallsins sé 1,200,000 pund (án þyngdar gestamiðstöðvarinnar, sem verður tekin með síðar). Notið $g = 32 {fet/s}^{2} .$

Reiknið flatarmál undirsvæðanna þriggja. Takið eftir að í flatarmáli svæðanna $R_{2}$ og $R_{3}$ á aðeins að telja flatarmál leggjanna en ekki opna rýmið milli þeirra. Námundið að næsta heila ferfeti.
Ákvarðið massann sem tilheyrir hverju undirsvæðanna þriggja.
Reiknið massamiðju hvers undirsvæðanna þriggja.
Lítið nú á hvert undirsvæðanna þriggja sem punktmassa í massamiðju þess. Notið þessa framsetningu til að reikna massamiðju alls pallsins.
Gerið ráð fyrir að gestamiðstöðin vegi 2,200,000 pund og að massamiðja hennar sé sú sama og massamiðja $R_{3} .$ Lítið á gestamiðstöðina sem punktmassa og endurreiknið massamiðju kerfisins. Hvernig breytist massamiðjan?
Þótt Skywalk hafi verið hannaður fyrir að hámarki 120 manns á útsýnispallinum getur pallurinn borið allt að 800 manns sem vega 200 pund hver. Hvernig hefði það áhrif á þyngdarpunkt kerfisins ef öllum 800 mönnunum væri hleypt á pallinn og þeir færu út á ysta enda hans? (Takið gestamiðstöðina með í útreikningunum og táknið fólkið með punktmassa á ystu brún pallsins, 70 fet frá gljúfurveggnum.)

Papposarsetning

Í lok þessa hluta fjöllum við um Papposarsetningu um rúmmál, sem gerir kleift að finna rúmmál tiltekinna rúmhluta með hjálp þungamiðjunnar. (Einnig er til Papposarsetning um yfirborðsflatarmál, en hún nýtist mun sjaldnar en setningin um rúmmál.)

Sönnun

Við getum sannað tilvikið þar sem svæðið afmarkast að ofan af grafi fallsins $f (x)$ , að neðan af grafi fallsins $g (x)$ á bilinu $[a, b],$ og snúningsásinn er y-ásinn. Þá er flatarmál svæðisins $A = \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x .$ Þar sem snúningsásinn er y-ásinn ræðst vegalengdin sem þungamiðja svæðisins ferðast eingöngu af x-hniti hennar, $\bar{x},$ sem er

\bar{x} = \frac{M_{y}}{m},

þar sem

m = ρ \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x og M_{y} = ρ \int_{a}^{b} x [f (x) - g (x)] d x .

Þá fæst

d = 2 π \frac{ρ \int_{a}^{b} x [f (x) - g (x)] d x}{ρ \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x}

og þar með

d \cdot A = 2 π \int_{a}^{b} x [f (x) - g (x)] d x .

Með hylkjaaðferðinni fæst hins vegar

V = 2 π \int_{a}^{b} x [f (x) - g (x)] d x .

Því er

V = d \cdot A

og sönnuninni er lokið.

□

Dæmi 2.34

Papposarsetningu um rúmmál beitt

Látum R vera hring með geisla 2 og miðju í $(4, 0) .$ Notið Papposarsetningu um rúmmál til að finna rúmmál hjólflötungsins sem myndast þegar R er snúið um y-ásinn.

Lausn

Svæðið og hjólflötungurinn eru sýnd á næstu mynd.

Myndin er í tveimur hlutum. Sá fyrri sýnir xy-hnitakerfi og hring með miðju á x-ásnum við x=4. Geisli hringsins er 2. Síðari hlutinn sýnir xy-hnitakerfi þar sem hringnum úr fyrri hlutanum hefur verið snúið um y-ásinn og myndað hjólflötung. — **Mynd 2.74.** Rúmmál hjólflötungs fundið með Papposarsetningu. (a) Hringlaga svæði R í sléttu. (b) Hjólflötungurinn sem myndast þegar R er snúið um y-ásinn.

Svæðið R er hringur með geisla 2, svo flatarmál R er $A = 4 π$ einingar ². Af speglunarlögmálinu leiðir að þungamiðja R er miðja hringsins. Þungamiðjan ferðast eftir hringferli með geisla 4 um y-ásinn og fer því $d = 8 π$ einingar. Rúmmál hjólflötungsins er þá $A \cdot d = 32 π^{2}$ einingar ³.

Æfingar í hluta 2.6

Reiknið massamiðju gefins massasafns í eftirfarandi æfingum.

254.

$m_{1} = 2$ við $x_{1} = 1$ og $m_{2} = 4$ við $x_{2} = 2$

255.

$m_{1} = 1$ við $x_{1} = −1$ og $m_{2} = 3$ við $x_{2} = 2$

256.

$m = 3$ við $x = 0, 1, 2, 6$

257.

Einingarmassar í punktunum $(x, y) = (1, 0), (0, 1), (1, 1)$

258.

$m_{1} = 1$ við $(1, 0)$ og $m_{2} = 4$ við $(0, 1)$

259.

$m_{1} = 1$ við $(1, 0)$ og $m_{2} = 3$ við $(2, 2)$

Í eftirfarandi æfingum skal reikna massamiðjuna $\bar{x} .$

260.

$ρ = 1$ þegar $x \in (−1, 3)$

261.

$ρ = x^{2}$ þegar $x \in (0, L)$

262.

$ρ = 1$ þegar $x \in (0, 1)$ og $ρ = 2$ þegar $x \in (1, 2)$

263.

$ρ = sin x$ þegar $x \in (0, π)$

264.

$ρ = cos x$ þegar $x \in (0, \frac{π}{2})$

265.

$ρ = e^{x}$ þegar $x \in (0, 2)$

266.

$ρ = x^{3} + x e^{− x}$ þegar $x \in (0, 1)$

267.

$ρ = x sin x$ þegar $x \in (0, π)$

268.

$ρ = \sqrt{x}$ þegar $x \in (1, 4)$

269.

$ρ = ln x$ þegar $x \in (1, e)$

Í eftirfarandi æfingum skal reikna massamiðjuna $(\bar{x}, \bar{y}) .$ Notið samhverfu til að auðvelda staðsetningu hennar þegar þess er kostur.

270.

$ρ = 7$ í ferningnum $0 \leq x \leq 1,$ $0 \leq y \leq 1$

271.

$ρ = 3$ í þríhyrningnum með hornpunktana $(0, 0),$ $(a, 0),$ og $(0, b)$

272.

$ρ = 2$ á svæðinu sem afmarkast af $y = cos (x),$ $y = − cos (x),$ $x = - \frac{π}{2},$ og $x = \frac{π}{2}$

Í eftirfarandi æfingum skal nota reiknivél til að teikna svæðið og reikna síðan massamiðjuna $(\bar{x}, \bar{y}) .$ Notið samhverfu til að auðvelda staðsetningu hennar þegar þess er kostur.

273.

[T] Svæðið sem afmarkast af $y = cos (2 x),$ $x = - \frac{π}{4},$ og $x = \frac{π}{4}$

274.

[T] Svæðið milli $y = 2 x^{2},$ $y = 0,$ $x = 0,$ og $x = 1$

275.

[T] Svæðið milli $y = \frac{5}{4} x^{2}$ og $y = 5$

276.

[T] Svæðið milli $y = \sqrt{x},$ $y = ln (x),$ $x = 1,$ og $x = 4$

277.

[T] Svæðið sem afmarkast af $y = 0,$ $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

278.

[T] Svæðið sem afmarkast af $y = 0,$ $x = 0,$ og $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

279.

[T] Svæðið í fyrsta fjórðungi sem afmarkast af $y = x^{2}$ og $y = x^{4}$

Notið Papposarsetningu í eftirfarandi æfingum til að ákvarða rúmmál rúmhlutans.

280.

Snúið $y = m x$ um $x$ -ásinn milli $x = 0$ og $x = 1$

281.

Snúið $y = m x$ um $y$ -ásinn milli $x = 0$ og $x = 1$

282.

Almenn keila myndast þegar þríhyrningi með hornpunktana $(0, 0),$ $(a, 0),$ og $(0, b)$ er snúið um $y$ -ásinn. Samræmist svarið rúmmáli keilu?

283.

Almennur sívalningur myndast þegar rétthyrningi með hornpunktana $(0, 0),$ $(a, 0), (0, b),$ og $(a, b)$ er snúið um $y$ -ásinn. Samræmist svarið rúmmáli sívalnings?

284.

Kúla myndast þegar hálfhring með geisla $a$ er snúið um $y$ -ásinn. Samræmist svarið rúmmáli kúlu?

Notið reiknivél í eftirfarandi æfingum til að teikna svæðið sem ferillinn afmarkar. Finnið flatarmálið $M$ og þungamiðjuna $(\bar{x}, \bar{y})$ fyrir gefnu svæðin. Notið samhverfu til að auðvelda staðsetningu massamiðjunnar þegar þess er kostur.

285.

[T] Fjórðungshringur: $y = \sqrt{1 - x^{2}},$ $y = 0,$ og $x = 0$

286.

[T] Þríhyrningur: $y = x,$ $y = 2 - x,$ og $y = 0$

287.

[T] Linsusvæði: $y = x^{2}$ og $y = x$

288.

[T] Hringkragi: $y^{2} + x^{2} = 1$ og $y^{2} + x^{2} = 4$

289.

[T] Hálfur hringkragi: $y^{2} + x^{2} = 1,$ $y^{2} + x^{2} = 4,$ og $y = 0$

290.

Finnið almenna formúlu fyrir massamiðju mjóa svæðisins milli $y = x^{a}$ og $y = x^{b}$ þar sem $a > b .$ Notið síðan Papposarsetningu til að finna rúmmál snúðsins sem myndast þegar svæðinu er snúið um y-ásinn.

291.

Finnið almenna formúlu fyrir massamiðju svæðisins milli $y = a^{2} - x^{2},$ $x = 0,$ og $y = 0 .$ Notið síðan Papposarsetningu til að finna rúmmál snúðsins sem myndast þegar svæðinu er snúið um y-ásinn.

292.

Finnið almenna formúlu fyrir massamiðju svæðisins milli $y = b sin (a x),$ $x = 0,$ og $x = \frac{π}{a} .$ Notið síðan Papposarsetningu til að finna rúmmál snúðsins sem myndast þegar svæðinu er snúið um y-ásinn.

293.

Notið Papposarsetningu til að finna rúmmál hjólflötungsins sem sýndur er hér. Gerið ráð fyrir að skífa með geisla $a$ sé staðsett þannig að vinstri endi hringsins sé við $x = b,$ $b > 0,$ og að henni sé snúið um y-ásinn.

Myndin sýnir hjólflötung með innri geisla b. Þversnið inni í hjólflötungnum er hringur með geisla a.

294.

Finnið massamiðjuna $(\bar{x}, \bar{y})$ fyrir þunnan vír sem liggur eftir hálfhringnum $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ og hefur einingarmassa. (Ábending: Notið Papposarsetningu.)