22 Hagnýting heildunar

Meginatriði

2.1 Flatarmál milli ferla

Rétt eins og nota má ákveðin heildi til að finna flatarmál undir ferli má nota þau til að finna flatarmál milli tveggja ferla.
Til að finna flatarmál milli tveggja ferla sem föll skilgreina er mismunur fallanna heildaður.
Ef gröf fallanna skerast eða svæðið er samsett er algildi mismunar fallanna notað. Þá kann að þurfa að reikna tvö eða fleiri heildi og leggja niðurstöðurnar saman til að finna flatarmál svæðisins.
Stundum er einfaldara að heilda með tilliti til y til að finna flatarmálið. Meginreglurnar eru þær sömu óháð því hvaða breyta er heildunarbreytan.

2.2 Rúmmál reiknað með sneiðum

Nota má ákveðin heildi til að finna rúmmál hluta. Með sneiðaaðferðinni má finna rúmmálið með því að heilda þversniðsflatarmálið.
Í snúðum eru rúmmálssneiðarnar oft skífur og þversniðin hringir. Skífuaðferðin er sértilvik sneiðaaðferðarinnar þar sem þversniðin eru hringir og formúlan fyrir flatarmál hrings er notuð.
Ef snúður hefur holrúm í miðjunni eru rúmmálssneiðarnar hringkragar. Í hringkragaaðferðinni er flatarmál innri hringsins dregið frá flatarmáli ytri hringsins áður en heildað er.

2.3 Rúmmál snúða: sívalningshylki

Hylkjaaðferðin er önnur leið til að reikna rúmmál snúðs með ákveðnu heildi. Hún er stundum hentugri en skífu- eða hringkragaaðferðin vegna þess að heildað er með tilliti til hinnar breytunnar. Í sumum tilvikum er annað heildið mun flóknara en hitt.
Lögun grafanna og það hversu erfið heildunin er ráða mestu um hvaða heildunaraðferð er valin.

2.4 Bogalengd ferils og yfirborðsflatarmál

Reikna má bogalengd ferils með ákveðnu heildi.
Bogalengdin er fyrst nálguð með línustrikum og þannig fæst Riemann-summa. Með því að taka markgildi fæst síðan formúla með ákveðnu heildi. Beita má sama ferli á föll af $y .$
Alhæfa má hugmyndirnar sem notaðar eru til að reikna bogalengd til að finna yfirborðsflatarmál snúðflatar.
Oft er erfitt að reikna heildin sem formúlurnar fyrir bogalengd og yfirborðsflatarmál gefa. Þá kann að þurfa tölvu eða reiknivél til að nálga gildi þeirra.

2.5 Hagnýting í eðlisfræði

Ákveðin heildi hafa ýmis algeng notkunarsvið í verkfræði og eðlisfræði.
Nota má ákveðin heildi til að ákvarða massa hlutar ef þéttleikafall hans er þekkt.
Einnig má reikna vinnu með því að heilda kraftfall, meðal annars þegar unnið er gegn þyngdarkrafti, eins og í dæluverkefnum.
Nota má ákveðin heildi til að reikna kraftinn sem verkar á hlut sem er á kafi í vökva.

2.6 Vægi og massamiðjur

Í stærðfræðilegum skilningi er massamiðja kerfis sá punktur þar sem hugsa mætti sér allan massa kerfisins samþjappaðan án þess að vægið breyttist. Í grófum dráttum má líta á massamiðjuna sem jafnvægispunkt kerfisins.
Ef punktmassar eru staðsettir á talnalínu er vægi kerfisins með tilliti til upphafspunktsins $M = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i} .$ Ef punktmassar eru staðsettir í sléttu eru vægi kerfisins með tilliti til x- og y-ásanna $M_{x} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} y_{i}$ og $M_{y} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i},$ í sömu röð.
Ef þunn plata afmarkast að ofan af fallinu $f (x),$ þá eru vægi hennar með tilliti til x- og y-ásanna $M_{x} = ρ \int_{a}^{b} \frac{{[f (x)]}^{2}}{2} d x$ og $M_{y} = ρ \int_{a}^{b} x f (x) d x .$
x- og y-hnit massamiðjunnar fást með því að deila væginu um y-ásinn og væginu um x-ásinn, í sömu röð, með heildarmassanum. Samkvæmt speglunarlögmálinu liggur þungamiðja svæðis á sérhverri línu sem svæðið er samhverft um.
Papposarsetning um rúmmál segir að ef svæði er snúið um ytri ás sé rúmmál snúðsins sem myndast jafnt flatarmáli svæðisins margfölduðu með vegalengdinni sem þungamiðja þess fer.

2.7 Heildi, vísisföll og lograr

Í fyrri umfjöllun um logra og vísisföll voru föllin ekki skilgreind nákvæmlega og formlega. Hér eru hugtökin sett fram á stærðfræðilega nákvæman hátt.
Grundvöllur þessarar framsetningar er skilgreining náttúrulega lograns með heildi.
Fallið $e^{x}$ er síðan skilgreint sem andhverfa náttúrulega lograns.
Almenn vísisföll eru skilgreind út frá $e^{x},$ og samsvarandi andhverf föll eru almenn lograföll.
Kunnir eiginleikar logra og veldisvísa gilda áfram í þessu strangara samhengi.

2.8 Vísisvöxtur og -hnignun

Vísisvöxtur og vísishnignun eru meðal algengustu notkunarsviða vísisfalla.
Kerfi sem sýna vísisvöxt fylgja líkani af gerðinni $y = y_{0} e^{k t} .$
Við vísisvöxt er vaxtarhraðinn í réttu hlutfalli við stærðina á hverjum tíma. Með öðrum orðum er $y^{'} = k y .$
Kerfi sem sýna vísisvöxt hafa fastan tvöföldunartíma, gefinn með $(ln 2) / k .$
Kerfi sem sýna vísishnignun fylgja líkani af gerðinni $y = y_{0} e^{− k t} .$
Kerfi sem sýna vísishnignun hafa fastan helmingunartíma, gefinn með $(ln 2) / k .$

2.9 Stærðfræðigreining breiðbogafalla

Breiðbogaföll eru skilgreind með vísisföllum.
Með deildun lið fyrir lið fást deildunarreglur breiðbogafallanna. Af þeim fást síðan heildunarreglur.
Með viðeigandi takmörkunum á myndmengjum eru öll breiðbogaföll andhverfanleg.
Með fólginni deildun fást deildunarreglur andhverfra breiðbogafalla og af þeim fást síðan heildunarreglur.
Algengustu hagnýtingar breiðbogafalla í eðlisfræði eru útreikningar sem tengjast keðjuferlum.

22 Hagnýting heildunar

Meginatriði

2.1 Flatarmál milli ferla

Rétt eins og nota má ákveðin heildi til að finna flatarmál undir ferli má nota þau til að finna flatarmál milli tveggja ferla.
Til að finna flatarmál milli tveggja ferla sem föll skilgreina er mismunur fallanna heildaður.
Ef gröf fallanna skerast eða svæðið er samsett er algildi mismunar fallanna notað. Þá kann að þurfa að reikna tvö eða fleiri heildi og leggja niðurstöðurnar saman til að finna flatarmál svæðisins.
Stundum er einfaldara að heilda með tilliti til y til að finna flatarmálið. Meginreglurnar eru þær sömu óháð því hvaða breyta er heildunarbreytan.

2.2 Rúmmál reiknað með sneiðum

Nota má ákveðin heildi til að finna rúmmál hluta. Með sneiðaaðferðinni má finna rúmmálið með því að heilda þversniðsflatarmálið.
Í snúðum eru rúmmálssneiðarnar oft skífur og þversniðin hringir. Skífuaðferðin er sértilvik sneiðaaðferðarinnar þar sem þversniðin eru hringir og formúlan fyrir flatarmál hrings er notuð.
Ef snúður hefur holrúm í miðjunni eru rúmmálssneiðarnar hringkragar. Í hringkragaaðferðinni er flatarmál innri hringsins dregið frá flatarmáli ytri hringsins áður en heildað er.

2.3 Rúmmál snúða: sívalningshylki

Hylkjaaðferðin er önnur leið til að reikna rúmmál snúðs með ákveðnu heildi. Hún er stundum hentugri en skífu- eða hringkragaaðferðin vegna þess að heildað er með tilliti til hinnar breytunnar. Í sumum tilvikum er annað heildið mun flóknara en hitt.
Lögun grafanna og það hversu erfið heildunin er ráða mestu um hvaða heildunaraðferð er valin.

2.4 Bogalengd ferils og yfirborðsflatarmál

Reikna má bogalengd ferils með ákveðnu heildi.
Bogalengdin er fyrst nálguð með línustrikum og þannig fæst Riemann-summa. Með því að taka markgildi fæst síðan formúla með ákveðnu heildi. Beita má sama ferli á föll af $y .$
Alhæfa má hugmyndirnar sem notaðar eru til að reikna bogalengd til að finna yfirborðsflatarmál snúðflatar.
Oft er erfitt að reikna heildin sem formúlurnar fyrir bogalengd og yfirborðsflatarmál gefa. Þá kann að þurfa tölvu eða reiknivél til að nálga gildi þeirra.

2.5 Hagnýting í eðlisfræði

Ákveðin heildi hafa ýmis algeng notkunarsvið í verkfræði og eðlisfræði.
Nota má ákveðin heildi til að ákvarða massa hlutar ef þéttleikafall hans er þekkt.
Einnig má reikna vinnu með því að heilda kraftfall, meðal annars þegar unnið er gegn þyngdarkrafti, eins og í dæluverkefnum.
Nota má ákveðin heildi til að reikna kraftinn sem verkar á hlut sem er á kafi í vökva.

2.6 Vægi og massamiðjur

Í stærðfræðilegum skilningi er massamiðja kerfis sá punktur þar sem hugsa mætti sér allan massa kerfisins samþjappaðan án þess að vægið breyttist. Í grófum dráttum má líta á massamiðjuna sem jafnvægispunkt kerfisins.
Ef punktmassar eru staðsettir á talnalínu er vægi kerfisins með tilliti til upphafspunktsins $M = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i} .$ Ef punktmassar eru staðsettir í sléttu eru vægi kerfisins með tilliti til x- og y-ásanna $M_{x} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} y_{i}$ og $M_{y} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i},$ í sömu röð.
Ef þunn plata afmarkast að ofan af fallinu $f (x),$ þá eru vægi hennar með tilliti til x- og y-ásanna $M_{x} = ρ \int_{a}^{b} \frac{{[f (x)]}^{2}}{2} d x$ og $M_{y} = ρ \int_{a}^{b} x f (x) d x .$
x- og y-hnit massamiðjunnar fást með því að deila væginu um y-ásinn og væginu um x-ásinn, í sömu röð, með heildarmassanum. Samkvæmt speglunarlögmálinu liggur þungamiðja svæðis á sérhverri línu sem svæðið er samhverft um.
Papposarsetning um rúmmál segir að ef svæði er snúið um ytri ás sé rúmmál snúðsins sem myndast jafnt flatarmáli svæðisins margfölduðu með vegalengdinni sem þungamiðja þess fer.

2.7 Heildi, vísisföll og lograr

Í fyrri umfjöllun um logra og vísisföll voru föllin ekki skilgreind nákvæmlega og formlega. Hér eru hugtökin sett fram á stærðfræðilega nákvæman hátt.
Grundvöllur þessarar framsetningar er skilgreining náttúrulega lograns með heildi.
Fallið $e^{x}$ er síðan skilgreint sem andhverfa náttúrulega lograns.
Almenn vísisföll eru skilgreind út frá $e^{x},$ og samsvarandi andhverf föll eru almenn lograföll.
Kunnir eiginleikar logra og veldisvísa gilda áfram í þessu strangara samhengi.

2.8 Vísisvöxtur og -hnignun

Vísisvöxtur og vísishnignun eru meðal algengustu notkunarsviða vísisfalla.
Kerfi sem sýna vísisvöxt fylgja líkani af gerðinni $y = y_{0} e^{k t} .$
Við vísisvöxt er vaxtarhraðinn í réttu hlutfalli við stærðina á hverjum tíma. Með öðrum orðum er $y^{'} = k y .$
Kerfi sem sýna vísisvöxt hafa fastan tvöföldunartíma, gefinn með $(ln 2) / k .$
Kerfi sem sýna vísishnignun fylgja líkani af gerðinni $y = y_{0} e^{− k t} .$
Kerfi sem sýna vísishnignun hafa fastan helmingunartíma, gefinn með $(ln 2) / k .$

2.9 Stærðfræðigreining breiðbogafalla

Breiðbogaföll eru skilgreind með vísisföllum.
Með deildun lið fyrir lið fást deildunarreglur breiðbogafallanna. Af þeim fást síðan heildunarreglur.
Með viðeigandi takmörkunum á myndmengjum eru öll breiðbogaföll andhverfanleg.
Með fólginni deildun fást deildunarreglur andhverfra breiðbogafalla og af þeim fást síðan heildunarreglur.
Algengustu hagnýtingar breiðbogafalla í eðlisfræði eru útreikningar sem tengjast keðjuferlum.