66 Veldaraðir

6.3 Taylor- og Maclaurin-raðir

Námsmarkmið

6.3.1 Lýsa aðferðinni við að finna Taylor-margliðu af tilteknu stigi fyrir fall.
6.3.2 Útskýra merkingu og mikilvægi setningar Taylors um skekkju.
6.3.3 Meta skekkju í nálgun tiltekins falls með Taylor-röð.

Í síðustu tveimur hlutum ræddum við hvernig finna má veldaraðaframsetningar tiltekinna gerða falla, einkum falla sem tengjast geómetrískum röðum. Hér fjöllum við um veldaraðaframsetningar annarra gerða falla. Við leitum sérstaklega svara við eftirfarandi spurningum: Hvaða föll má setja fram með veldaröðum og hvernig finnum við slíkar framsetningar? Ef við getum fundið veldaraðaframsetningu fyrir tiltekið fall $f$ og röðin er samleitin á einhverju bili, hvernig sönnum við þá að röðin sé í raun samleitin að $f ?$

Yfirlit um Taylor- og Maclaurin-raðir

Skoðum fall $f$ sem hefur veldaraðaframsetningu með miðju í $x = a .$ Þá er röðin á forminu

\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n} = c_{0} + c_{1} (x - a) + c_{2} {(x - a)}^{2} + ⋯ .

(6.4)

Hvaða gildi eiga stuðlarnir að hafa? Að svo stöddu lítum við fram hjá samleitni og einbeitum okkur þess í stað að því hvert form raðarinnar ætti að vera, sé hún til. Við snúum aftur að samleitni síðar í þessum hluta. Ef röðin í jöfnu 6.4 er framsetning fyrir $f$ með miðju í $x = a,$ viljum við að sjálfsögðu að röðin sé jöfn $f (a)$ þegar $x = a .$ Þegar röðin er reiknuð við $x = a,$ sést að

\begin{matrix} \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n} & = c_{0} + c_{1} (a - a) + c_{2} {(a - a)}^{2} + ⋯ \\ = c_{0} . \end{matrix}

Röðin er því jöfn $f (a)$ ef stuðullinn $c_{0} = f (a) .$ Jafnframt viljum við að fyrsta afleiða veldaraðarinnar sé jöfn $f^{'} (a)$ þegar $x = a .$ Með því að deilda jöfnu 6.4 lið fyrir lið sést að

\frac{d}{d x} (\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n}) = c_{1} + 2 c_{2} (x - a) + 3 c_{3} {(x - a)}^{2} + ⋯ .

Þegar $x = a,$ er afleiðan því

\begin{matrix} \frac{d}{d x} (\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n}) & = c_{1} + 2 c_{2} (a - a) + 3 c_{3} {(a - a)}^{2} + ⋯ \\ = c_{1} . \end{matrix}

Afleiða raðarinnar er því jöfn $f^{'} (a)$ ef stuðullinn $c_{1} = f^{'} (a) .$ Með því að halda áfram á þennan hátt leitum við að stuðlum c _n þannig að allar afleiður veldaraðarinnar í jöfnu 6.4 séu jafnar samsvarandi afleiðum $f$ þegar $x = a .$ Önnur og þriðja afleiða jöfnu 6.4 eru

\frac{d^{2}}{d x^{2}} (\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n}) = 2 c_{2} + 3 \cdot 2 c_{3} (x - a) + 4 \cdot 3 c_{4} {(x - a)}^{2} + ⋯

\frac{d^{3}}{d x^{3}} (\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n}) = 3 \cdot 2 c_{3} + 4 \cdot 3 \cdot 2 c_{4} (x - a) + 5 \cdot 4 \cdot 3 c_{5} {(x - a)}^{2} + ⋯ .

Þegar $x = a,$ eru önnur og þriðja afleiðan

\begin{matrix} \frac{d^{2}}{d x^{2}} (\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n}) & = 2 c_{2} + 3 \cdot 2 c_{3} (a - a) + 4 \cdot 3 c_{4} {(a - a)}^{2} + ⋯ \\ = 2 c_{2} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{d^{3}}{d x^{3}} (\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n}) & = 3 \cdot 2 c_{3} + 4 \cdot 3 \cdot 2 c_{4} (a - a) + 5 \cdot 4 \cdot 3 c_{5} {(a - a)}^{2} + ⋯ \\ = 3 \cdot 2 c_{3} \end{matrix}

jafnar $f^{″} (a)$ og $f ‴ (a),$ í sömu röð, ef $c_{2} = \frac{f^{″} (a)}{2}$ og $c_{3} = \frac{f ‴ (a)}{3 \cdot 2} .$ Almennt sést að ef $f$ hefur veldaraðaframsetningu með miðju í $x = a,$ ættu stuðlarnir að vera $c_{n} = \frac{f^{(n)} (a)}{n!} .$ Röðin ætti sem sagt að vera

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (a)}{n!} {(x - a)}^{n} = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + \frac{f^{″} (a)}{2!} {(x - a)}^{2} + \frac{f ‴ (a)}{3!} {(x - a)}^{3} + ⋯ .

Þessi veldaröð fyrir $f$ nefnist Taylor-röð $f$ með miðju í $a .$ Ef $a = 0,$ nefnist röðin Maclaurin-röð $f .$

Síðar í þessum hluta sýnum við dæmi um hvernig Taylor-raðir eru fundnar og ræðum skilyrði þess að Taylor-röð falls sé samleitin að fallinu. Hér setjum við fram mikilvæga niðurstöðu. Rifjum upp úr setningunni um ótvíræðni veldaraða að veldaraðaframsetningar eru ótvírætt ákvarðaðar. Ef fall $f$ hefur veldaröð með miðju í $a,$ hlýtur hún því að vera Taylor-röð $f$ með miðju í $a .$

Sönnunin leiðir beint af setningunni um ótvíræðni veldaraða.

Til að ákvarða hvort Taylor-röð sé samleitin þurfum við að skoða runu hlutsumma hennar. Þessar hlutsummur eru endanlegar margliður sem nefnast Taylor-margliður.

Taylor-margliður

n-ta hlutsumma Taylor-raðar falls $f$ með miðju í $a$ nefnist n-ta Taylor-margliðan. Til dæmis eru fyrstu fjórar hlutsummur Taylor-raðarinnar

\begin{matrix} p_{0} (x) = f (a), \\ p_{1} (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a), \\ p_{2} (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + \frac{f^{″} (a)}{2!} {(x - a)}^{2}, \\ p_{3} (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + \frac{f^{″} (a)}{2!} {(x - a)}^{2} + \frac{f ‴ (a)}{3!} {(x - a)}^{3}, \end{matrix}

í sömu röð. Þessar hlutsummur nefnast núllta, fyrsta, önnur og þriðja Taylor-margliða $f$ með miðju í $a,$ í sömu röð. Ef $a = 0,$ nefnast margliðurnar Maclaurin-margliður $f .$ Við setjum nú fram formlega skilgreiningu á Taylor- og Maclaurin-margliðum falls $f .$

Við sýnum nú hvernig nota má þessa skilgreiningu til að finna nokkrar Taylor-margliður $f (x) = ln x$ með miðju í $x = 1 .$

Dæmi 6.11

Taylor-margliður fundnar

Finnið Taylor-margliðurnar $p_{0}, p_{1}, p_{2}$ og $p_{3}$ fyrir $f (x) = ln x$ með miðju í $x = 1 .$ Notið teikniforrit til að bera graf $f$ saman við gröf $p_{0}, p_{1}, p_{2}$ og $p_{3} .$

Lausn

Til að finna þessar Taylor-margliður þurfum við að reikna $f$ og fyrstu þrjár afleiður fallsins þegar $x = 1 .$

\begin{matrix} f (x) & = & ln x & f (1) & = & 0 \\ f^{'} (x) & = & \frac{1}{x} & f^{'} (1) & = & 1 \\ f^{″} (x) & = & - \frac{1}{x^{2}} & f^{″} (1) & = & −1 \\ f ‴ (x) & = & \frac{2}{x^{3}} & f ‴ (1) & = & 2 \end{matrix}

Því er

\begin{matrix} p_{0} (x) & = & f (1) = 0, \\ p_{1} (x) & = & f (1) + f^{'} (1) (x - 1) = x - 1, \\ p_{2} (x) & = & f (1) + f^{'} (1) (x - 1) + \frac{f^{″} (1)}{2} {(x - 1)}^{2} = (x - 1) - \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2}, \\ p_{3} (x) & = & f (1) + f^{'} (1) (x - 1) + \frac{f^{″} (1)}{2} {(x - 1)}^{2} + \frac{f ‴ (1)}{3!} {(x - 1)}^{3} \\ = & (x - 1) - \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} + \frac{1}{3} {(x - 1)}^{3} . \end{matrix}

Gröf $y = f (x)$ og fyrstu þriggja Taylor-margliðanna eru sýnd á mynd 6.5.

Á þessu grafi eru fjórir ferlar. Fyrsti ferillinn er fallið f(x)=ln(x). Annar ferillinn er psub1(x)=x-1. Þriðji ferillinn er psub2(x)=(x-1)-1/2(x-1)^2. Fjórði ferillinn er psub3(x)=(x-1)-1/2(x-1)^2+1/3(x-1)^3. Ferlarnir liggja mjög nálægt hver öðrum í grennd við x=1. — **Mynd 6.5.** Fallið y = ln x og Taylor-margliðurnar p⁰ , p¹ , p 2 og p 3 með miðju í x = 1 eru teiknuð á grafinu.

Við sýnum nú hvernig finna má Maclaurin-margliður fyrir e ^x, $sin x,$ og $cos x .$ Eins og fram kom hér að framan eru Maclaurin-margliður Taylor-margliður með miðju í núlli.

Dæmi 6.12

Maclaurin-margliður fundnar

Fyrir hvert eftirfarandi fall skuluð þið finna formúlur fyrir Maclaurin-margliðurnar $p_{0}, p_{1}, p_{2}$ og $p_{3} .$ Finnið formúlu fyrir n-tu Maclaurin-margliðuna og ritið hana með summutákni. Notið teikniforrit til að bera gröf $p_{0}, p_{1}, p_{2}$ og $p_{3}$ saman við $f .$

$f (x) = e^{x}$
$f (x) = sin x$
$f (x) = cos x$

Lausn

Þar sem $f (x) = e^{x},$ vitum við að $f (x) = f^{'} (x) = f^{″} (x) = ⋯ = f^{(n)} (x) = e^{x}$ fyrir allar jákvæðar heiltölur n. Því er
$f (0) = f^{'} (0) = f^{″} (0) = ⋯ = f^{(n)} (0) = 1$

fyrir allar jákvæðar heiltölur n. Við höfum því
$\begin{matrix} p_{0} (x) & = & f (0) = 1, \\ p_{1} (x) & = & f (0) + f^{'} (0) x = 1 + x, \\ p_{2} (x) & = & f (0) + f^{'} (0) x + \frac{f^{″} (0)}{2!} x^{2} = 1 + x + \frac{1}{2} x^{2}, \\ p_{3} (x) & = & f (0) + f^{'} (0) x + \frac{f^{″} (0)}{2} x^{2} + \frac{f ‴ (0)}{3!} x^{3} \\ = & 1 + x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3!} x^{3}, \\ p_{n} (x) & = & f (0) + f^{'} (0) x + \frac{f^{″} (0)}{2} x^{2} + \frac{f ‴ (0)}{3!} x^{3} + ⋯ + \frac{f^{(n)} (0)}{n!} x^{n} \\ = & 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ⋯ + \frac{x^{n}}{n!} \\ = & \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} . \end{matrix}$

Fallið og fyrstu þrjár Maclaurin-margliðurnar eru sýnd á mynd 6.6.
Mynd 6.6 Grafið sýnir fallið $y = e^{x}$ og Maclaurin-margliðurnar $p_{0}, p_{1}, p_{2}$ og $p_{3} .$
Fyrir $f (x) = sin x,$ eru gildi fallsins og fyrstu fjögurra afleiða þess þegar $x = 0$ eftirfarandi:
$\begin{matrix} f (x) & = & sin x & f (0) & = & 0 \\ f^{'} (x) & = & cos x & f^{'} (0) & = & 1 \\ f^{″} (x) & = & − sin x & f^{″} (0) & = & 0 \\ f ‴ (x) & = & − cos x & f ‴ (0) & = & −1 \\ f^{(4)} (x) & = & sin x & f^{(4)} (0) & = & 0. \end{matrix}$

Þar sem fjórða afleiðan er $sin x,$ endurtekur mynstrið sig. Það er að segja $f^{(2 m)} (0) = 0$ og $f^{(2 m + 1)} (0) = {(−1)}^{m}$ fyrir $m \geq 0 .$ Því höfum við
$\begin{matrix} p_{0} (x) = 0, \\ p_{1} (x) = 0 + x = x, \\ p_{2} (x) = 0 + x + 0 = x, \\ p_{3} (x) = 0 + x + 0 - \frac{1}{3!} x^{3} = x - \frac{x^{3}}{3!}, \\ p_{4} (x) = 0 + x + 0 - \frac{1}{3!} x^{3} + 0 = x - \frac{x^{3}}{3!}, \\ p_{5} (x) = 0 + x + 0 - \frac{1}{3!} x^{3} + 0 + \frac{1}{5!} x^{5} = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!}, \end{matrix}$

og fyrir $m \geq 0,$
gildir
$\begin{matrix} p_{2 m + 1} (x) & = p_{2 m + 2} (x) \\ = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - ⋯ + {(−1)}^{m} \frac{x^{2 m + 1}}{(2 m + 1)!} \\ = \sum_{k = 0}^{m} {(−1)}^{k} \frac{x^{2 k + 1}}{(2 k + 1)!} . \end{matrix}$

Gröf fallsins og Maclaurin-margliða þess eru sýnd á mynd 6.7.
Mynd 6.7 Grafið sýnir fallið $y = sin x$ og Maclaurin-margliðurnar $p_{1}, p_{3}$ og $p_{5} .$
Fyrir $f (x) = cos x,$ eru gildi fallsins og fyrstu fjögurra afleiða þess þegar $x = 0$ eftirfarandi:
$\begin{matrix} f (x) & = & cos x & f (0) & = & 1 \\ f^{'} (x) & = & − sin x & f^{'} (0) & = & 0 \\ f^{″} (x) & = & − cos x & f^{″} (0) & = & −1 \\ f ‴ (x) & = & sin x & f ‴ (0) & = & 0 \\ f^{(4)} (x) & = & cos x & f^{(4)} (0) & = & 1. \end{matrix}$

Þar sem fjórða afleiðan er $cos x,$ endurtekur mynstrið sig. Með öðrum orðum, $f^{(2 m)} (0) = {(−1)}^{m}$ og $f^{(2 m + 1)} = 0$ fyrir $m \geq 0 .$ Því er
$\begin{matrix} p_{0} (x) = 1, \\ p_{1} (x) = 1 + 0 = 1, \\ p_{2} (x) = 1 + 0 - \frac{1}{2!} x^{2} = 1 - \frac{x^{2}}{2!}, \\ p_{3} (x) = 1 + 0 - \frac{1}{2!} x^{2} + 0 = 1 - \frac{x^{2}}{2!}, \\ p_{4} (x) = 1 + 0 - \frac{1}{2!} x^{2} + 0 + \frac{1}{4!} x^{4} = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!}, \\ p_{5} (x) = 1 + 0 - \frac{1}{2!} x^{2} + 0 + \frac{1}{4!} x^{4} + 0 = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!}, \end{matrix}$

og fyrir $n \geq 0,$
gildir
$\begin{matrix} p_{2 m} (x) & = p_{2 m + 1} (x) \\ = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - ⋯ + {(−1)}^{m} \frac{x^{2 m}}{(2 m)!} \\ = \sum_{k = 0}^{m} {(−1)}^{k} \frac{x^{2 k}}{(2 k)!} . \end{matrix}$

Gröf fallsins og Maclaurin-margliðanna eru sýnd á mynd 6.8.
Mynd 6.8 Fallið $y = cos x$ og Maclaurin-margliðurnar $p_{0}, p_{2}$ og $p_{4}$ eru teiknuð á grafinu.

Setning Taylors um skekkju

Rifjum upp að n-ta Taylor-margliða falls $f$ með miðju í a er n-ta hlutsumma Taylor-raðar $f$ með miðju í a. Til að ákvarða hvort Taylor-röðin sé samleitin þurfum við því að ákvarða hvort runa Taylor-margliðanna ${p_{n}}$ sé samleitin. Við viljum þó ekki aðeins vita hvort runa Taylor-margliðanna sé samleitin heldur hvort hún sé samleitin að $f .$ Til að svara því skilgreinum við skekkjuna $R_{n} (x)$ sem

R_{n} (x) = f (x) - p_{n} (x) .

Til að runa Taylor-margliðanna sé samleitin að $f,$ þarf skekkjan R _n að stefna á núll. Til að ákvarða hvort R _n stefni á núll kynnum við setningu Taylors um skekkju. Setningin er ekki aðeins gagnleg til að sanna að Taylor-röð sé samleitin að samsvarandi falli heldur gerir hún okkur einnig kleift að mæla hversu vel n-ta Taylor-margliðan nálgar fallið.

Hér leitum við að efra marki á $| R_{n} | .$ Skoðum einfaldasta tilvikið: $n = 0 .$ Látum p₀ vera Taylor-margliðuna af stigi 0 með miðju í a fyrir fallið $f .$ Skekkjan R₀ uppfyllir

\begin{matrix} R_{0} (x) & = f (x) - p_{0} (x) \\ = f (x) - f (a) . \end{matrix}

Ef $f$ er deildanlegt á bili I sem inniheldur a og x, þá er samkvæmt meðalgildissetningunni til rauntala c milli a og x þannig að $f (x) - f (a) = f^{'} (c) (x - a) .$ Því er

R_{0} (x) = f^{'} (c) (x - a) .

Með svipaðri beitingu meðalgildissetningarinnar má sýna að ef $f$ er n sinnum deildanlegt á bili I sem inniheldur a og x, þá uppfyllir n-ta skekkjan R _n

R_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (c)}{(n + 1)!} {(x - a)}^{n + 1}

fyrir einhverja rauntölu c milli a og x. Mikilvægt er að hafa í huga að gildið c í teljaranum hér að ofan er ekki miðjan a heldur óþekkt gildi c milli a og x. Þessi formúla gerir okkur kleift að finna efra mark á skekkjuna R _n. Ef við vitum að $| f^{(n + 1)} (x) |$ er takmarkað af einhverri rauntölu M á bilinu I, þá er

| R_{n} (x) | \leq \frac{M}{(n + 1)!} {| x - a |}^{n + 1}

fyrir öll x á bilinu I.

Við setjum nú fram setningu Taylors, sem lýsir formlegu sambandi milli falls $f$ og Taylor-margliðu þess af stigi n, $p_{n} (x) .$ Setningin gerir okkur kleift að finna efra mark á skekkju þegar Taylor-margliða er notuð til að nálga fallgildi og verður mikilvæg þegar sýnt er að Taylor-röð $f$ sé samleitin að $f .$

Sönnun

Festum punkt $x \in I$ og skilgreinum fallið g þannig að

g (t) = f (x) - f (t) - f^{'} (t) (x - t) - \frac{f^{″} (t)}{2!} {(x - t)}^{2} - ⋯ - \frac{f^{(n)} (t)}{n!} {(x - t)}^{n} - R_{n} (x) \frac{{(x - t)}^{n + 1}}{{(x - a)}^{n + 1}} .

Við fullyrðum að g uppfylli skilyrði setningar Rolles. Þar sem g er margliðufall í t er það deildanlegt. Jafnframt er g núll við $t = a$ og $t = x$ vegna þess að

\begin{matrix} g (a) & = & f (x) - f (a) - f^{'} (a) (x - a) - \frac{f^{″} (a)}{2!} {(x - a)}^{2} + ⋯ + \frac{f^{(n)} (a)}{n!} {(x - a)}^{n} - R_{n} (x) \\ = & f (x) - p_{n} (x) - R_{n} (x) \\ = & 0, \\ g (x) & = & f (x) - f (x) - 0 - ⋯ - 0 \\ = & 0. \end{matrix}

Fallið g uppfyllir því setningu Rolles og þar af leiðandi er til c milli a og x þannig að $g^{'} (c) = 0 .$ Við reiknum nú $g^{'} .$ Með margfeldisreglunni fæst

\frac{d}{d t} [\frac{f^{(n)} (t)}{n!} {(x - t)}^{n}] = \frac{− f^{(n)} (t)}{(n - 1)!} {(x - t)}^{n - 1} + \frac{f^{(n + 1)} (t)}{n!} {(x - t)}^{n} .

Þar af leiðandi

\begin{matrix} g^{'} (t) & = − f^{'} (t) + [f^{'} (t) - f^{″} (t) (x - t)] + [f^{″} (t) (x - t) - \frac{f ‴ (t)}{2!} {(x - t)}^{2}] + ⋯ \\ + [\frac{f^{(n)} (t)}{(n - 1)!} {(x - t)}^{n - 1} - \frac{f^{(n + 1)} (t)}{n!} {(x - t)}^{n}] + (n + 1) R_{n} (x) \frac{{(x - t)}^{n}}{{(x - a)}^{n + 1}} . \end{matrix}

Athugið að liðir styttast út á kíkishátt. Því er

g^{'} (t) = - \frac{f^{(n + 1)} (t)}{n!} {(x - t)}^{n} + (n + 1) R_{n} (x) \frac{{(x - t)}^{n}}{{(x - a)}^{n + 1}} .

Af setningu Rolles ályktum við að til sé tala c milli a og x þannig að $g^{'} (c) = 0 .$ Þar sem

g^{'} (c) = - \frac{f^{(n + 1)} (c)}{n!} {(x - c)}^{n} + (n + 1) R_{n} (x) \frac{{(x - c)}^{n}}{{(x - a)}^{n + 1}}

ályktum við að

- \frac{f^{(n + 1)} (c)}{n!} {(x - c)}^{n} + (n + 1) R_{n} (x) \frac{{(x - c)}^{n}}{{(x - a)}^{n + 1}} = 0 .

Þegar fyrsta liðnum vinstra megin er bætt við báðar hliðar jöfnunnar og báðum hliðum er deilt með $\frac{(n + 1) {(x - c)}^{n}}{{(x - a)}^{n + 1}},$ fæst

R_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (c)}{(n + 1)!} {(x - a)}^{n + 1}

eins og sýna átti. Af þessu leiðir að ef til er M þannig að $| f^{(n + 1)} (x) | \leq M$ fyrir öll x í I, þá er

| R_{n} (x) | \leq \frac{M}{(n + 1)!} {| x - a |}^{n + 1} .

□

Setning Taylors gerir okkur ekki aðeins kleift að sanna að Taylor-röð sé samleitin að falli heldur einnig að meta nákvæmni Taylor-margliða við nálgun fallgilda. Við byrjum á því að skoða línulega nálgun og annars stigs nálgun á $f (x) = \sqrt[3]{x}$ með miðju í $x = 8$ og ákvarða hversu nákvæmar nálganirnar eru við mat á $\sqrt[3]{11} .$

Dæmi 6.13

Fallgildi metin með línulegri nálgun og annars stigs nálgun

Skoðum fallið $f (x) = \sqrt[3]{x} .$

Finnið fyrstu og aðra Taylor-margliðu $f$ með miðju í $x = 8 .$ Notið teikniforrit til að bera margliðurnar saman við $f$ í grennd við $x = 8 .$
Notið þessar tvær margliður til að meta $\sqrt[3]{11} .$
Notið setningu Taylors til að finna efra mark á skekkjuna.

Lausn

Fyrir $f (x) = \sqrt[3]{x},$ eru gildi fallsins og fyrstu tveggja afleiða þess þegar $x = 8$ eftirfarandi:
$\begin{matrix} f (x) & = & \sqrt[3]{x} & f (8) & = & 2 \\ f^{'} (x) & = & \frac{1}{3 x^{2 / 3}} & f^{'} (8) & = & \frac{1}{12} \\ f^{″} (x) & = & \frac{−2}{9 x^{5 / 3}} & f^{″} (8) & = & - \frac{1}{144} . \end{matrix}$

Fyrsta og önnur Taylor-margliðan með miðju í $x = 8$ eru því
$\begin{matrix} p_{1} (x) & = & f (8) + f^{'} (8) (x - 8) \\ = & 2 + \frac{1}{12} (x - 8) \\ p_{2} (x) & = & f (8) + f^{'} (8) (x - 8) + \frac{f^{″} (8)}{2!} {(x - 8)}^{2} \\ = & 2 + \frac{1}{12} (x - 8) - \frac{1}{288} {(x - 8)}^{2} . \end{matrix}$

Fallið og Taylor-margliðurnar eru sýnd á mynd 6.9.
Mynd 6.9 Gröf $f (x) = \sqrt[3]{x}$ og línulegu og annars stigs nálgananna $p_{1} (x)$ og $p_{2} (x) .$
Með fyrstu Taylor-margliðunni með miðju í $x = 8,$ getum við metið
$\sqrt[3]{11} \approx p_{1} (11) = 2 + \frac{1}{12} (11 - 8) = 2.25 .$

Með annarri Taylor-margliðunni með miðju í $x = 8,$ fæst
$\sqrt[3]{11} \approx p_{2} (11) = 2 + \frac{1}{12} (11 - 8) - \frac{1}{288} {(11 - 8)}^{2} = 2.21875 .$
Samkvæmt setningu Taylors um skekkju er til c á bilinu $(8, 11)$ þannig að skekkjan þegar $\sqrt[3]{11}$ er nálgað með fyrstu Taylor-margliðunni uppfyllir
$R_{1} (11) = \frac{f^{″} (c)}{2!} {(11 - 8)}^{2} .$

Við þekkjum ekki nákvæmt gildi c og finnum því efra mark á $R_{1} (11)$ með því að ákvarða hágildi $f^{″}$ á bilinu $(8, 11) .$ Þar sem $f^{″} (x) = - \frac{2}{9 x^{5 / 3}},$ fæst stærsta gildi $| f^{″} (x) |$ á bilinu þegar $x = 8 .$ Með því að nota $f^{″} (8) = - \frac{1}{144},$ fæst
$| R_{1} (11) | \leq \frac{1}{144 \cdot 2!} {(11 - 8)}^{2} = 0.03125 .$

Til að meta $R_{2} (11),$ notum við á svipaðan hátt að
$R_{2} (11) = \frac{f ‴ (c)}{3!} {(11 - 8)}^{3} .$

Þar sem $f ‴ (x) = \frac{10}{27 x^{8 / 3}},$ er hágildi $f ‴$ á bilinu $(8, 11)$ jafnt $f ‴ (8) \approx 0.0014468 .$ Því er
$| R_{2} (11) | \leq \frac{0.0011468}{3!} {(11 - 8)}^{3} \approx 0.0065104 .$

Dæmi 6.14

sin x nálgað með Maclaurin-margliðum

Af b-lið dæmis 6.12 eru Maclaurin-margliðurnar fyrir $sin x$

\begin{matrix} p_{2 m + 1} (x) & = p_{2 m + 2} (x) \\ = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \frac{x^{7}}{7!} + ⋯ + {(−1)}^{m} \frac{x^{2 m + 1}}{(2 m + 1)!} \end{matrix}

fyrir $m = 0, 1, 2, … .$

Notið fimmtu Maclaurin-margliðu $sin x$ til að nálga $sin (\frac{π}{18})$ og finnið efra mark á skekkjuna.
Fyrir hvaða gildi x nálgar fimmta Maclaurin-margliðan $sin x$ með skekkju minni en 0.0001?

Lausn

Fimmta Maclaurin-margliðan er
$p_{5} (x) = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} .$

Með henni fæst eftirfarandi mat:
$\begin{matrix} sin (\frac{π}{18}) & \approx p_{5} (\frac{π}{18}) \\ = \frac{π}{18} - \frac{1}{3!} {(\frac{π}{18})}^{3} + \frac{1}{5!} {(\frac{π}{18})}^{5} \\ \approx 0.173648. \end{matrix}$

Til að meta skekkjuna notum við að sjötta Maclaurin-margliðan er $p_{6} (x) = p_{5} (x)$ og finnum efra mark á $R_{6} (\frac{π}{18}) .$ Samkvæmt setningunni um ótvíræðni Taylor-raða er skekkjan
$R_{6} (\frac{π}{18}) = \frac{f^{(7)} (c)}{7!} {(\frac{π}{18})}^{7}$

fyrir eitthvert c milli 0 og $\frac{π}{18} .$ Þar sem $| f^{(7)} (x) | \leq 1$ fyrir öll x fæst að tölugildi skekkjunnar er í mesta lagi
$\frac{1}{7!} \cdot {(\frac{π}{18})}^{7} \leq 9.8 \times 10^{−10} .$
Við þurfum að finna þau gildi x sem uppfylla
$\frac{1}{7!} {| x |}^{7} \leq 0.0001 .$

Þegar ójafnan er leyst fyrir x fæst að fimmta Maclaurin-margliðan gefur mat með skekkju minni en 0.0001 svo lengi sem $| x | < 0.907 .$

Nú þegar við getum fundið efra mark á skekkjuna $R_{n} (x),$ getum við notað það til að sanna að Taylor-röð $f$ með miðju í a sé samleitin að $f .$

Föll sett fram með Taylor- og Maclaurin-röðum

Við fjöllum nú um samleitni Taylor-raða. Við byrjum á að sýna hvernig finna má Taylor-röð falls og samleitnibil hennar.

Dæmi 6.15

Taylor-röð fundin

Finnið Taylor-röð $f (x) = \frac{1}{x}$ með miðju í $x = 1 .$ Ákvarðið samleitnibilið.

Lausn

Fyrir $f (x) = \frac{1}{x},$ eru gildi fallsins og fyrstu fjögurra afleiða þess þegar $x = 1$

\begin{matrix} f (x) & = & \frac{1}{x} & f (1) & = & 1 \\ f^{'} (x) & = & - \frac{1}{x^{2}} & f^{'} (1) & = & −1 \\ f^{″} (x) & = & \frac{2}{x^{3}} & f^{″} (1) & = & 2! \\ f ‴ (x) & = & - \frac{3 \cdot 2}{x^{4}} & f ‴ (1) & = & −3! \\ f^{(4)} (x) & = & \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{x^{5}} & f^{(4)} (1) & = & 4!. \end{matrix}

Það er að segja $f^{(n)} (1) = {(−1)}^{n} n!$ fyrir öll $n \geq 0 .$ Taylor-röð $f$ með miðju í $x = 1$ er því

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (1)}{n!} {(x - 1)}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} {(x - 1)}^{n} .

Til að finna samleitnibilið notum við kvótaprófið. Við fáum

\frac{| a_{n + 1} |}{| a_{n} |} = \frac{| {(−1)}^{n + 1} {(x - 1)}^{n + 1} |}{| {(−1)}^{n} {(x - 1)}^{n} |} = | x - 1 | .

Röðin er því samleitin ef $| x - 1 | < 1 .$ Hún er sem sagt samleitin fyrir $0 < x < 2 .$ Næst þurfum við að kanna endapunktana. Við $x = 2,$ fæst

\sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} {(2 - 1)}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n}

sem er sundurleitin samkvæmt sundurleitniprófinu. Á sama hátt fæst við $x = 0,$

\sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} {(0 - 1)}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{2 n} = \sum_{n = 0}^{\infty} 1

er ósamleitin. Samleitnibilið er því $(0, 2) .$

Við vitum að Taylor-röðin sem fannst í þessu dæmi er samleitin á bilinu $(0, 2),$ en hvernig vitum við að hún sé í raun samleitin að $f ?$ Rétt á eftir skoðum við spurninguna í almennara samhengi, en í þessu dæmi getum við svarað henni með því að rita

f (x) = \frac{1}{x} = \frac{1}{1 - (1 - x)} .

Það er að segja setja má $f$ fram með geómetrísku röðinni $\sum_{n = 0}^{\infty} {(1 - x)}^{n} .$ Þar sem þetta er geómetrísk röð er hún samleitin að $\frac{1}{x}$ svo lengi sem $| 1 - x | < 1 .$ Taylor-röðin sem fannst í dæmi 6.15 er því samleitin að $f (x) = \frac{1}{x}$ á $(0, 2) .$

Skoðum nú almennari spurningu: Ef Taylor-röð falls $f$ er samleitin á einhverju bili, hvernig getum við ákvarðað hvort hún sé í raun samleitin að $f ?$ Til að svara því rifjum við upp að röð er samleitin að tilteknu gildi þá og því aðeins að runa hlutsumma hennar sé samleitin að gildinu. Fyrir Taylor-röð $f$ með miðju í a er n-ta hlutsumman n-ta Taylor-margliðan p _n. Til að ákvarða hvort Taylor-röðin sé samleitin að $f,$ þurfum við því að ákvarða hvort

lim_{n \to \infty} p_{n} (x) = f (x) .

Þar sem skekkjan $R_{n} (x) = f (x) - p_{n} (x),$ er Taylor-röðin samleitin að $f$ þá og því aðeins að

lim_{n \to \infty} R_{n} (x) = 0 .

Við setjum þessa niðurstöðu nú fram formlega.

Með þessari setningu getum við sannað að Taylor-röð $f$ með miðju í a sé samleitin að $f$ ef við getum sannað að skekkjan $R_{n} (x) \to 0 .$ Til að sanna að $R_{n} (x) \to 0,$ notum við yfirleitt efra markið

| R_{n} (x) | \leq \frac{M}{(n + 1)!} {| x - a |}^{n + 1}

úr setningu Taylors um skekkju.

Í næsta dæmi finnum við Maclaurin-raðir fyrir e ^x og $sin x$ og sýnum að raðirnar eru samleitnar að samsvarandi föllum fyrir allar rauntölur með því að sanna að skekkjurnar $R_{n} (x) \to 0$ fyrir allar rauntölur x.

Dæmi 6.16

Maclaurin-raðir fundnar

Finnið Maclaurin-röð og samleitnibil hvers eftirfarandi falls. Notið setningu Taylors um skekkju til að sanna að Maclaurin-röð $f$ sé samleitin að $f$ á bilinu.

e^x
$sin x$

Lausn

Með n-tu Maclaurin-margliðunni fyrir e ^x sem fannst í a-lið dæmis 6.12 fæst að Maclaurin-röð e ^x er
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} .$

Til að ákvarða samleitnibilið notum við kvótaprófið. Þar sem
$\frac{| a_{n + 1} |}{| a_{n} |} = \frac{{| x |}^{n + 1}}{(n + 1)!} \cdot \frac{n!}{{| x |}^{n}} = \frac{| x |}{n + 1},$

höfum við
$lim_{n \to \infty} \frac{| a_{n + 1} |}{| a_{n} |} = lim_{n \to \infty} \frac{| x |}{n + 1} = 0$

fyrir öll x. Röðin er því alsamleitin fyrir öll x og samleitnibilið er $(− \infty, \infty) .$ Til að sýna að röðin sé samleitin að e ^x fyrir öll x notum við að $f^{(n)} (x) = e^{x}$ fyrir öll $n \geq 0$ og að e ^x er vaxandi fall á $(− \infty, \infty) .$ Fyrir sérhverja rauntölu b er hágildi e ^x fyrir öll $| x | \leq b$ því e ^b. Þar með er
$| R_{n} (x) | \leq \frac{e^{b}}{(n + 1)!} {| x |}^{n + 1} .$

Þar sem við sýndum rétt í þessu að
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{| x |^{n}}{n!}$

sé samleitin fyrir öll x vitum við af sundurleitniprófinu að
$lim_{n \to \infty} \frac{{| x |}^{n + 1}}{(n + 1)!} = 0$

fyrir sérhverja rauntölu x. Með því að sameina þetta og klemmuregluna fæst $lim_{n \to \infty} R_{n} (x) = 0 .$
Með n-tu Maclaurin-margliðunni fyrir $sin x$ sem fannst í b-lið dæmis 6.12 fæst að Maclaurin-röð $sin x$ er
$\sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} .$

Til að beita kvótaprófinu skoðum við
$\frac{| a_{n + 1} |}{| a_{n} |} = \frac{{| x |}^{2 n + 3}}{(2 n + 3)!} \cdot \frac{(2 n + 1)!}{{| x |}^{2 n + 1}} = \frac{{| x |}^{2}}{(2 n + 3) (2 n + 2)} .$

Þar sem
$lim_{n \to \infty} \frac{{| x |}^{2}}{(2 n + 3) (2 n + 2)} = 0$

fyrir öll x fæst samleitnibilið $(− \infty, \infty) .$ Til að sýna að Maclaurin-röðin sé samleitin að $sin x,$ skoðum við $R_{n} (x) .$ Fyrir hvert x er til rauntala c milli 0 og x þannig að
$R_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (c)}{(n + 1)!} x^{n + 1} .$

Þar sem $| f^{(n + 1)} (c) | \leq 1$ fyrir allar heiltölur n og allar rauntölur c höfum við
$| R_{n} (x) | \leq \frac{{| x |}^{n + 1}}{(n + 1)!}$

fyrir allar rauntölur x. Með sömu hugmynd og í a-lið fæst $lim_{n \to \infty} R_{n} (x) = 0$ fyrir öll x og því er Maclaurin-röð $sin x$ samleitin að $sin x$ fyrir öll raungildi x.

Nemendaverkefni

Sönnun þess að e sé óræð tala

Í þessu verkefni notum við Maclaurin-margliður fyrir e ^x til að sanna að e sé óræð tala. Sönnunin byggist á því að gera ráð fyrir að e sé ræð tala og komast að mótsögn út frá þeirri forsendu. Í eftirfarandi skrefum gerum við því ráð fyrir að $e = r / s$ þar sem r og s eru heiltölur og $s \neq 0 .$

Ritið Maclaurin-margliðurnar $p_{0} (x), p_{1} (x), p_{2} (x), p_{3} (x), p_{4} (x)$ fyrir e ^x. Reiknið $p_{0} (1), p_{1} (1), p_{2} (1), p_{3} (1), p_{4} (1)$ til að meta e.
Látum $R_{n} (x)$ tákna skekkjuna þegar $p_{n} (x)$ er notað til að meta e ^x. Þá er $R_{n} (x) = e^{x} - p_{n} (x),$ og $R_{n} (1) = e - p_{n} (1) .$ Að því gefnu að $e = \frac{r}{s}$ fyrir heiltölur r og s, reiknið $R_{0} (1), R_{1} (1), R_{2} (1), R_{3} (1), R_{4} (1) .$
Notið niðurstöðurnar úr 2. lið til að sýna að fyrir hverja skekkju $R_{0} (1), R_{1} (1), R_{2} (1), R_{3} (1), R_{4} (1),$ megi finna heiltölu k þannig að $k R_{n} (1)$ sé heiltala fyrir $n = 0, 1, 2, 3, 4 .$
Ritið formúluna fyrir n-tu Maclaurin-margliðuna $p_{n} (x)$ fyrir e ^x og samsvarandi skekkju $R_{n} (x) .$ Sýnið að $s n! R_{n} (1)$ sé heiltala.
Notið setningu Taylors til að rita beina formúlu fyrir $R_{n} (1) .$ Ályktið að $R_{n} (1) \neq 0,$ og þar með $s n! R_{n} (1) \neq 0 .$
Notið setningu Taylors til að finna mat á $R_{n} (1) .$ Notið matið ásamt niðurstöðunni úr 5. lið til að sýna að $| s n! R_{n} (1) | < \frac{s e}{n + 1} .$ Ályktið að ef n er nógu stórt, þá sé $| s n! R_{n} (1) | < 1 .$ Því er $s n! R_{n} (1)$ heiltala með tölugildi minna en 1 og þar með $s n! R_{n} (1) = 0 .$ En af 5. lið vitum við að $s n! R_{n} (1) \neq 0 .$ Við höfum leitt fram mótsögn og upphaflega forsendan um að e sé ræð tala hlýtur því að vera röng.

Æfingar í undirkafla 6.3

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna annars stigs Taylor-margliðu sem nálgar gefið fall og hefur miðju í gefnum punkti.

116.

$f (x) = 1 + x + x^{2}$ með miðju í $a = 1$

117.

$f (x) = 1 + x + x^{2}$ með miðju í $a = −1$

118.

$f (x) = cos (2 x)$ með miðju í $a = π$

119.

$f (x) = sin (2 x)$ með miðju í $a = \frac{π}{2}$

120.

$f (x) = \sqrt{x}$ með miðju í $a = 4$

121.

$f (x) = ln x$ með miðju í $a = 1$

122.

$f (x) = \frac{1}{x}$ með miðju í $a = 1$

123.

$f (x) = e^{x}$ með miðju í $a = 1$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið sannreyna að tilgreint val á n í skekkjumatinu $| R_{n} | \leq \frac{M}{(n + 1)!} {(x - a)}^{n + 1},$ þar sem M er hágildi $| f^{(n + 1)} (z) |$ á bilinu milli a og tilgreinds punkts, gefi $| R_{n} | \leq \frac{1}{1000} .$ Finnið gildi Taylor-margliðunnar p _n fyrir $f$ í tilgreindum punkti. Ef $(R n)$ er ekki minna en $1 / 1000$ , ákvarðið gildi hennar.

124.

[T] $\sqrt{10}; a = 9, n = 3$

125.

[T] ${(28)}^{1 / 3}; a = 27, n = 1$

126.

[T] $sin (6); a = 2 π, n = 5$

127.

[T] e²; $a = 0, n = 9$

128.

[T] $cos (\frac{π}{5}); a = 0, n = 4$

129.

[T] $ln (2); a = 1, n = 1000$

130.

Heildið nálgunina $sin t \approx t - \frac{t^{3}}{6} + \frac{t^{5}}{120} - \frac{t^{7}}{5040}$ , reiknaða við πt, til að nálga $\int_{0}^{1} \frac{sin π t}{π t} d t .$

131.

Heildið nálgunina $e^{x} \approx 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + ⋯ + \frac{x^{6}}{720}$ , reiknaða við − x², til að nálga $\int_{0}^{1} e^{− x^{2}} d x .$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna minnsta gildi n þannig að skekkjumatið $| R_{n} | \leq \frac{M}{(n + 1)!} {(x - a)}^{n + 1},$ þar sem M er hágildi $| f^{(n + 1)} (z) |$ á bilinu milli a og tilgreinda punktsins, gefi $| R_{n} | \leq \frac{1}{1000}$ á tilgreinda bilinu.

132.

$f (x) = sin x$ á $[− π, π], a = 0$

133.

$f (x) = cos x$ á $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], a = 0$

134.

$f (x) = e^{−2 x}$ á $[−1, 1], a = 0$

135.

$f (x) = e^{− x}$ á $[−3, 3], a = 0$

Í eftirfarandi verkefnum fæst hágildi hægri hliðar skekkjumatsins $| R_{1} | \leq \frac{max | f^{″} (z) |}{2} R^{2}$ á $[a - R, a + R]$ við a eða $a \pm R .$ Metið stærsta gildi R þannig að $\frac{max | f^{″} (z) |}{2} R^{2} \leq 0.1$ á $[a - R, a + R]$ með því að teikna þetta hágildi sem fall af R.

136.

[T] e ^x nálgað með $1 + x, a = 0$

137.

[T] $sin x$ nálgað með x, $a = 0$

138.

[T] $ln x$ nálgað með $x - 1, a = 1$

139.

[T] $cos x$ nálgað með $1, a = 0$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna Taylor-röð gefins falls með miðju í tilgreindum punkti.

140.

$x^{4}$ með miðju í $a = −1$

141.

$1 + x + x^{2} + x^{3}$ með miðju í $a = −1$

142.

$sin x$ með miðju í $a = π$

143.

$cos x$ með miðju í $a = 2 π$

144.

$sin x$ með miðju í $x = \frac{π}{2}$

145.

$cos x$ með miðju í $x = \frac{π}{2}$

146.

$e^{x}$ með miðju í $a = −1$

147.

$e^{x}$ með miðju í $a = 1$

148.

$\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ með miðju í $a = 0$ (Ábending: Deildið $\frac{1}{1 - x} .)$

149.

$\frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$ með miðju í $a = 0$

150.

$F (x) = \int_{0}^{x} cos (\sqrt{t}) d t; f (t) = \sum_{n = 0}^{\infty} {(−1)}^{n} \frac{t^{n}}{(2 n)!}$ með miðju í $a = 0$ (Athugið: $f$ er Taylor-röð $cos (\sqrt{t}) .)$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið reikna Taylor-röð hvers falls umhverfis $x = 1 .$

151.

$f (x) = 2 - x$

152.

$f (x) = x^{3}$

153.

$f (x) = {(x - 2)}^{2}$

154.

$f (x) = ln x$

155.

$f (x) = \frac{1}{x}$

156.

$f (x) = \frac{1}{2 x - x^{2}}$

157.

$f (x) = \frac{x}{4 x - 2 x^{2} - 1}$

158.

$f (x) = e^{− x}$

159.

$f (x) = e^{2 x}$

[T] Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið finna gildi x þannig að gefna röðin $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}$ sé gildi Maclaurin-raðar $f (x)$ við $x .$ Nálgið gildi $f (x)$ með $S_{10} = \sum_{n = 0}^{10} a_{n} .$

160.

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}$

161.

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{2^{n}}{n!}$

162.

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n} {(2 π)}^{2 n}}{(2 n)!}$

163.

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n} {(2 π)}^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}$

Í eftirfarandi verkefnum eru notuð föllin $S_{5} (x) = x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120}$ og $C_{4} (x) = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24}$ á $[− π, π] .$

164.

[T] Teiknið graf ${sin}^{2} x - {(S_{5} (x))}^{2}$ á $[− π, π] .$ Berið hágildi mismunarins saman við annað veldi skekkjumats Taylors fyrir $sin x .$

165.

[T] Teiknið graf ${cos}^{2} x - {(C_{4} (x))}^{2}$ á $[− π, π] .$ Berið hágildi mismunarins saman við annað veldi skekkjumats Taylors fyrir $cos x .$

166.

[T] Teiknið graf $| 2 S_{5} (x) C_{4} (x) - sin (2 x) |$ á $[− π, π] .$

167.

[T] Berið $\frac{S_{5} (x)}{C_{4} (x)}$ á $[−1, 1]$ saman við $tan x .$ Berið þetta saman við skekkjumat Taylors fyrir nálgun $tan x$ með $x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 x^{5}}{15} .$

168.

[T] Teiknið graf $e^{x} - e_{4} (x)$ þar sem $e_{4} (x) = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{4}}{24}$ á $[0, 2] .$ Berið hágildi skekkjunnar saman við skekkjumat Taylors.

169.

(Taylor-nálganir og rótaleit.) Rifjið upp að aðferð Newtons $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f' (x_{n})}$ nálgar lausnir $f (x) = 0$ í grennd við inntaksgildið $x_{0} .$

Ef $f$ og $g$ eru andhverf föll, útskýrið hvers vegna lausn $g (x) = a$ sé gildið $f (a) fallsins f .$
Látum $p_{N} (x)$ vera $N -ta$ stigs Maclaurin-margliðu $e^{x} .$ Notið aðferð Newtons til að nálga lausnir $p_{N} (x) - 2 = 0$ fyrir $N = 4, 5, 6 .$
Útskýrið hvers vegna nálgaðar rætur $p_{N} (x) - 2 = 0$ séu nálgunargildi $ln (2) .$

Í eftirfarandi verkefnum skuluð þið nota þá staðreynd að ef $q (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} {(x - c)}^{n}$ er samleitin á bili sem inniheldur $c,$ þá er $lim_{x \to c} q (x) = a_{0}^{}$ , til að reikna hvert markgildi með Taylor-röðum.

170.

$lim_{x \to 0} \frac{cos x - 1}{x^{2}}$

171.

$lim_{x \to 0} \frac{ln (1 - x^{2})}{x^{2}}$

172.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} - x^{2} - 1}{x^{4}}$

173.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{cos (\sqrt{x}) - 1}{2 x}$