66 Veldaraðir

Lykilhugtök

Lykilhugtök

tvíliðuröð: Maclaurin-röðin fyrir $f (x) = {(1 + x)}^{r};$ hún er gefin með
${(1 + x)}^{r} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\begin{matrix} r \\ n \end{matrix}) x^{n} = 1 + r x + \frac{r (r - 1)}{2!} x^{2} + ⋯ + \frac{r (r - 1) ⋯ (r - n + 1)}{n!} x^{n} + ⋯$ fyrir $f$

samleitnibil: mengi þeirra rauntalna x sem uppfylla það skilyrði að veldaröðin sé samleitin

Maclaurin-margliða: Taylor-margliða með miðju í 0; n-ta Taylor-margliðan fyrir $f$ við 0 er n-ta Maclaurin-margliðan fyrir $f$

Maclaurin-röð: Taylor-röð fyrir fall $f$ við $x = 0$ nefnist Maclaurin-röð fyrir $f$

heildi án grunnstofnfalls: heildi þar sem ekki er unnt að setja stofnfall heildisstofnsins fram sem grunnfall

veldaröð: röð af gerðinni $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ er veldaröð með miðju í $x = 0;$ röð af gerðinni $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n}$ er veldaröð með miðju í $x = a$

samleitnigeisli: ef til er rauntala $R > 0$ þannig að veldaröð með miðju í $x = a$ sé samleitin þegar $| x - a | < R$ en ósamleitin þegar $| x - a | > R,$ er R samleitnigeisli hennar; ef veldaröðin er aðeins samleitin þegar $x = a,$ er samleitnigeislinn $R = 0;$ ef veldaröðin er samleitin fyrir allar rauntölur x, er samleitnigeislinn $R = \infty$

Taylor-margliður: n-ta Taylor-margliðan fyrir $f$ við $x = a$ er $p_{n} (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a) + \frac{f^{″} (a)}{2!} {(x - a)}^{2} + ⋯ + \frac{f^{(n)} (a)}{n!} {(x - a)}^{n}$

Taylor-röð: veldaröð með miðju í a sem er samleitin að fallinu $f$ á einhverju opnu bili sem inniheldur a

setning Taylors um skekkju: að gefnu falli $f$ og n-tu Taylor-margliðu fyrir $f$ við $x = a,$ uppfyllir skekkjan $R_{n} (x) = f (x) - p_{n} (x)$ jöfnuna $R_{n} (x) = \frac{f^{(n + 1)} (c)}{(n + 1)!} {(x - a)}^{n + 1}$
fyrir eitthvert c milli x og a; ef til er bil I sem inniheldur a ásamt rauntölu M þannig að $| f^{(n + 1)} (x) | \leq M$ fyrir öll x í I, þá $| R_{n} (x) | \leq \frac{M}{(n + 1)!} {| x - a |}^{n + 1}$

deildun veldaraðar lið fyrir lið: aðferð til að reikna afleiðu veldaraðar $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n}$ með því að deilda hvern lið fyrir sig og mynda þannig nýju veldaröðina $\sum_{n = 1}^{\infty} n c_{n} {(x - a)}^{n - 1}$

heildun veldaraðar lið fyrir lið: aðferð til að heilda veldaröð $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n}$ með því að heilda hvern lið fyrir sig og mynda þannig nýju veldaröðina $C + \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} \frac{{(x - a)}^{n + 1}}{n + 1}$