66 Veldaraðir

Lykilatriði

Fyrir veldaröð með miðju í x=a, á eitt af eftirfarandi þremur tilvikum við: Veldaröðin er aðeins samleitin þegar
1. Veldaröðin er aðeins samleitin þegar $x = a .$ Í því tilviki segjum við að samleitnigeislinn sé $R = 0 .$
2. Veldaröðin er samleitin fyrir allar rauntölur x. Í því tilviki segjum við að samleitnigeislinn sé $R = \infty .$
3. Til er rauntala R þannig að röðin er samleitin þegar $| x - a | < R$ en ósamleitin þegar $| x - a | > R .$ Í því tilviki er samleitnigeislinn R.
Ef veldaröð er samleitin á endanlegu bili getur hún verið samleitin eða ósamleitin í endapunktunum.
Oft má nota kvótaprófið til að ákvarða samleitnigeislann.
Geómetríska röðin $\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1 - x}$ fyrir $| x | < 1$ gerir okkur kleift að setja tiltekin föll fram sem geómetrískar raðir.

Að gefnum tveimur veldaröðum $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ og $\sum_{n = 0}^{\infty} d_{n} x^{n}$ sem eru samleitnar að föllunum f og g á sameiginlegu bili I eru summa og mismunur raðanna hvort um sig samleitin að $f \pm g,$ á I. Auk þess gildir fyrir sérhverja rauntölu b og heiltölu $m \geq 0,$ að röðin $\sum_{n = 0}^{\infty} b x^{m} c_{n} x^{n}$ er samleitin að $b x^{m} f (x)$ og röðin $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(b x^{m})}^{n}$ er samleitin að $f (b x^{m})$ þegar bx ^m tilheyrir bilinu I.
Að gefnum tveimur veldaröðum sem eru samleitnar á bilinu $(− R, R),$ er Cauchy-margfeldi þeirra samleitið á bilinu $(− R, R) .$
Ef veldaröð er samleitin að fallinu f á bilinu $(− R, R),$ má deilda hana lið fyrir lið og röðin sem fæst er samleitin að $f^{'}$ á $(− R, R) .$ Einnig má heilda röðina lið fyrir lið og röðin sem fæst er samleitin að $\int f (x) d x$ á $(− R, R) .$

Taylor-margliður eru notaðar til að nálga föll í grennd við gildið $x = a .$ Maclaurin-margliður eru Taylor-margliður með miðju í $x = 0 .$
Taylor-margliður af stigi n fyrir fall $f$ eru hlutsummur Taylor-raðarinnar fyrir $f .$
Ef fall $f$ hefur veldaraðaframsetningu með miðju í $x = a,$ þá er fallið gefið með Taylor-röð sinni með miðju í $x = a .$
Taylor-röðin fyrir $f$ er samleitin að $f$ þá og því aðeins að $lim_{n \to \infty} R_{n} (x) = 0$ þar sem $R_{n} (x) = f (x) - p_{n} (x) .$
Taylor-raðirnar fyrir e ^x, $sin x,$ og $cos x$ eru samleitnar að samsvarandi föllum fyrir allar rauntölur x.

Tvíliðuröðin er Maclaurin-röð fallsins $f (x) = {(1 + x)}^{r} .$ Hún er samleitin þegar $| x | < 1 .$
Oft má leiða Taylor-raðir falla út frá þekktri Taylor-röð með algebruaðgerðum eða með því að deilda eða heilda þekktu röðina.
Nota má veldaraðir til að leysa deildajöfnur.
Nota má Taylor-raðir til að nálga heildi sem ekki er unnt að reikna með öðrum aðferðum.

66 Veldaraðir

Fyrir veldaröð með miðju í x=a, á eitt af eftirfarandi þremur tilvikum við: Veldaröðin er aðeins samleitin þegar
1. Veldaröðin er aðeins samleitin þegar $x = a .$ Í því tilviki segjum við að samleitnigeislinn sé $R = 0 .$
2. Veldaröðin er samleitin fyrir allar rauntölur x. Í því tilviki segjum við að samleitnigeislinn sé $R = \infty .$
3. Til er rauntala R þannig að röðin er samleitin þegar $| x - a | < R$ en ósamleitin þegar $| x - a | > R .$ Í því tilviki er samleitnigeislinn R.
Ef veldaröð er samleitin á endanlegu bili getur hún verið samleitin eða ósamleitin í endapunktunum.
Oft má nota kvótaprófið til að ákvarða samleitnigeislann.
Geómetríska röðin $\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} = \frac{1}{1 - x}$ fyrir $| x | < 1$ gerir okkur kleift að setja tiltekin föll fram sem geómetrískar raðir.

Að gefnum tveimur veldaröðum $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ og $\sum_{n = 0}^{\infty} d_{n} x^{n}$ sem eru samleitnar að föllunum f og g á sameiginlegu bili I eru summa og mismunur raðanna hvort um sig samleitin að $f \pm g,$ á I. Auk þess gildir fyrir sérhverja rauntölu b og heiltölu $m \geq 0,$ að röðin $\sum_{n = 0}^{\infty} b x^{m} c_{n} x^{n}$ er samleitin að $b x^{m} f (x)$ og röðin $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(b x^{m})}^{n}$ er samleitin að $f (b x^{m})$ þegar bx ^m tilheyrir bilinu I.
Að gefnum tveimur veldaröðum sem eru samleitnar á bilinu $(− R, R),$ er Cauchy-margfeldi þeirra samleitið á bilinu $(− R, R) .$
Ef veldaröð er samleitin að fallinu f á bilinu $(− R, R),$ má deilda hana lið fyrir lið og röðin sem fæst er samleitin að $f^{'}$ á $(− R, R) .$ Einnig má heilda röðina lið fyrir lið og röðin sem fæst er samleitin að $\int f (x) d x$ á $(− R, R) .$

Taylor-margliður eru notaðar til að nálga föll í grennd við gildið $x = a .$ Maclaurin-margliður eru Taylor-margliður með miðju í $x = 0 .$
Taylor-margliður af stigi n fyrir fall $f$ eru hlutsummur Taylor-raðarinnar fyrir $f .$
Ef fall $f$ hefur veldaraðaframsetningu með miðju í $x = a,$ þá er fallið gefið með Taylor-röð sinni með miðju í $x = a .$
Taylor-röðin fyrir $f$ er samleitin að $f$ þá og því aðeins að $lim_{n \to \infty} R_{n} (x) = 0$ þar sem $R_{n} (x) = f (x) - p_{n} (x) .$
Taylor-raðirnar fyrir e ^x, $sin x,$ og $cos x$ eru samleitnar að samsvarandi föllum fyrir allar rauntölur x.

Tvíliðuröðin er Maclaurin-röð fallsins $f (x) = {(1 + x)}^{r} .$ Hún er samleitin þegar $| x | < 1 .$
Oft má leiða Taylor-raðir falla út frá þekktri Taylor-röð með algebruaðgerðum eða með því að deilda eða heilda þekktu röðina.
Nota má veldaraðir til að leysa deildajöfnur.
Nota má Taylor-raðir til að nálga heildi sem ekki er unnt að reikna með öðrum aðferðum.