Upprifjunardæmi

Ef samleitnigeisli veldaraðarinnar ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n}$ er $5,$ þá er samleitnigeisli raðarinnar ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n{x}^{n-1}}$ einnig $5.$

Nota má veldaraðir til að sýna að afleiða $e^x\text{er}{e}^x.$ (Ábending: Rifjið upp að $e^x={\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{n\text{!}}}{x}^n.)$

Fyrir lítil gildi $x,\text{sin}x\approx x.$

Samleitnigeisli Maclaurin-raðarinnar fyrir $f\left(x\right)=3^x$ er $3.$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{n}^2}{\left(x-1\right)}^n$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n^n}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{3n{x}^n}{{12}^n}}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{2^n}{e^n}}{\left(x-e\right)}^n$

$f\left(x\right)=\frac{x^2}{x+3}$

$f\left(x\right)=\frac{8x+2}{2x^2-3x+1}$

$f\left(x\right)={\text{tan}}^{\mathrm{-1}}\left(2x\right)$

$f\left(x\right)=\frac{x}{{\left(2+x^2\right)}^2}$

$f\left(x\right)=x^3-2x^2+4,a=\mathrm{-3}$

$f\left(x\right)=e^{1\text{/}\left(4x\right)},a=4$

$f\left(x\right)=\text{cos}\left(3x\right)$

$f\left(x\right)=\text{ln}\left(x+1\right)$

$f\left(x\right)=\text{sin}x,a=\frac{\pi }{2}$

$f\left(x\right)=\frac{3}{x},a=1$

$f\left(x\right)=e^{\text{−}{x}^2}-1$

$f\left(x\right)=\text{cos}x-x\text{sin}x$

$f\left(x\right)=\frac{\text{sin}x}{x}$

$f\left(x\right)=1-e^x$

Notið veldaraðir til að sanna formúlu Eulers: $e^{ix}=\text{cos}x+i\text{sin}x$

Reiknið árlegar greiðslur úr jafngreiðsluröð sem hefur núvirðið $\text{\$}1$ milljón og er greidd út yfir $25$ ár, miðað við vextina $1\text{\%},5\text{\%},\text{og}10\text{\%}.$

Vinningshafi í happdrætti á jafngreiðsluröð sem hefur núvirðið $\text{\$}10$ milljónir. Hvaða vexti þyrfti að miða við svo hægt væri að lifa á ævarandi árlegum greiðslum að fjárhæð $\text{\$}\mathrm{250,000}?$

Reiknið nauðsynlegt núvirði jafngreiðsluraðar sem greiða á $\text{\$}\mathrm{15,000}$ árlega yfir $25$ ár, miðað við vextina $1\text{\%},5\text{\%},\text{og}10\text{\%}.$