66 Veldaraðir

6.1 Veldaraðir og föll

Námsmarkmið

6.1.1 Þekkja veldaraðir og geta gefið dæmi um þær.
6.1.2 Ákvarða samleitnigeisla og samleitnibil veldaraðar.
6.1.3 Nota veldaröð til að setja fram fall.

Veldaröð er röð þar sem liðirnir innihalda breytu. Ef breytan er x innihalda allir liðir raðarinnar nánar tiltekið veldi af x. Því má líta á veldaröð sem óendanlega margliðu. Veldaraðir eru notaðar til að setja fram algeng föll og einnig til að skilgreina ný föll. Í þessum hluta skilgreinum við veldaraðir og sýnum hvernig ákvarða má hvenær veldaröð er samleitin og hvenær hún er ósamleitin. Við sýnum einnig hvernig setja má tiltekin föll fram með veldaröðum.

Almennt form veldaraðar

Röð á forminu

\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n} = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + ⋯,

þar sem x er breyta og stuðlarnir c _n eru fastar tölur, kallast veldaröð. Röðin

1 + x + x^{2} + ⋯ = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}

er dæmi um veldaröð. Þar sem þessi röð er geómetrísk röð með hlutfallstöluna $r = x,$ vitum við að hún er samleitin ef $| x | < 1$ og ósamleitin ef $| x | \geq 1 .$

Til að gera þessa skilgreiningu nákvæma gerum við ráð fyrir að $x^{0} = 1$ og ${(x - a)}^{0} = 1$ jafnvel þegar $x = 0$ og $x = a,$ eftir því sem við á.

Raðirnar

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + ⋯

\sum_{n = 0}^{\infty} n! x^{n} = 1 + x + 2! x^{2} + 3! x^{3} + ⋯

eru báðar veldaraðir með miðju í $x = 0 .$ Röðin

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(x - 2)}^{n}}{(n + 1) 3^{n}} = 1 + \frac{x - 2}{2 \cdot 3} + \frac{{(x - 2)}^{2}}{3 \cdot 3^{2}} + \frac{{(x - 2)}^{3}}{4 \cdot 3^{3}} + ⋯

er veldaröð með miðju í $x = 2 .$

Samleitni veldaraða

Þar sem liðir veldaraðar innihalda breytuna x getur röðin verið samleitin fyrir sum gildi x en ósamleitin fyrir önnur gildi x. Fyrir veldaröð með miðju í $x = a,$ er gildi raðarinnar þegar $x = a$ jafnt $c_{0} .$ Veldaröð er því alltaf samleitin í miðju sinni. Sumar veldaraðir eru aðeins samleitnar fyrir þetta eina gildi x. Flestar veldaraðir eru þó samleitnar fyrir fleiri en eitt gildi x. Þá er veldaröðin annaðhvort samleitin fyrir allar rauntölur x eða fyrir öll x á endanlegu bili. Geómetriska röðin $\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}$ er til dæmis samleitin fyrir öll x á bilinu $(−1, 1),$ en ósamleitin fyrir öll x utan þess bils. Nú tökum við saman þessa þrjá möguleika fyrir almenna veldaröð.

Sönnun

Gerum ráð fyrir að veldaröðin hafi miðju í $a = 0 .$ (Fyrir röð með miðju í a-gildi sem er ekki núll fæst niðurstaðan með því að láta $y = x - a$ og skoða röðina $\sum_{n = 1}^{\infty} c_{n} y^{n} .)$ Fyrst þurfum við að sanna eftirfarandi staðreynd:

Ef til er rauntala $d \neq 0$ þannig að $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} d^{n}$ er samleitin, þá er röðin $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ alsamleitin fyrir öll x sem uppfylla $| x | < | d | .$

Þar sem $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} d^{n}$ er samleitin gildir um n-ta liðinn að $c_{n} d^{n} \to 0$ þegar $n \to \infty .$ Því er til heiltala N þannig að $| c_{n} d^{n} | \leq 1$ fyrir öll $n \geq N .$ Skrifum nú

| c_{n} x^{n} | = | c_{n} d^{n} | {| \frac{x}{d} |}^{n},

fæst að fyrir öll $n \geq N,$

| c_{n} x^{n} | \leq {| \frac{x}{d} |}^{n} .

Röðin

\sum_{n = N}^{\infty} {| \frac{x}{d} |}^{n}

er geómetrísk röð sem er samleitin ef $| \frac{x}{d} | < 1 .$ Af samanburðarprófinu leiðir því að $\sum_{n = N}^{\infty} c_{n} x^{n}$ er einnig samleitin þegar $| x | < | d | .$ Þar sem bæta má endanlegum fjölda liða við samleitna röð fæst að $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n}$ er samleitin þegar $| x | < | d | .$

Með þessari niðurstöðu getum við nú sannað setninguna. Skoðum röðina

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}

og látum S vera mengi þeirra rauntalna sem röðin er samleitin fyrir. Gerum ráð fyrir að mengið $S = {0} .$ Þá fellur röðin undir tilvik i. Gerum næst ráð fyrir að S sé mengi allra rauntalna. Þá fellur röðin undir tilvik ii. Gerum loks ráð fyrir að $S \neq {0}$ en S sé ekki mengi allra rauntalna. Þá er til rauntala $x * \neq 0$ sem röðin er ekki samleitin fyrir. Röðin getur því ekki verið samleitin fyrir neitt x sem uppfyllir $| x | > | x * | .$ Mengið S hlýtur þar af leiðandi að vera takmarkað og á sér því minnsta efra mark. (Þetta leiðir af frumsendunni um efra mark fyrir rauntölur, sem er utan efnis þessarar bókar en er fjallað um í námskeiðum í raungreiningu.) Köllum minnsta efra markið R. Vegna þess að $S \neq {0},$ fæst $R > 0 .$ Röðin er því samleitin fyrir öll x sem uppfylla $| x | < R,$ og fellur undir tilvik iii.

□

Ef röð $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n}$ fellur undir tilvik iii í setningunni um samleitni veldaraða, þá er hún samleitin fyrir öll x sem uppfylla $| x - a | < R$ fyrir eitthvert $R > 0,$ og ósamleitin fyrir öll x sem uppfylla $| x - a | > R .$ Röðin getur verið samleitin eða ósamleitin fyrir þau gildi x þar sem $| x - a | = R .$ Mengi þeirra gilda x sem röðin $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n}$ er samleitin fyrir kallast samleitnibil. Þar sem röðin er ósamleitin fyrir öll gildi x þar sem $| x - a | > R,$ er lengd bilsins 2 R og geisli þess því R. Gildið R kallast samleitnigeisli. Röðin $\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}$ er til dæmis samleitin fyrir öll gildi x á bilinu $(−1, 1)$ og ósamleitin fyrir öll x sem uppfylla $| x | \geq 1,$ og því er samleitnibil hennar $(−1, 1) .$ Þar sem lengd bilsins er 2 er samleitnigeislinn 1.

Myndin sýnir þrjár talnalínur sem allar eru merktar með x. Í miðju hverrar talnalínu er punktur merktur a. Á fyrstu talnalínunni stendur „ósamleitin“ yfir allri línunni vinstra megin við a og einnig yfir línunni hægra megin við a. Punkturinn a sjálfur er merktur „samleitin“. Öll önnur talnalínan er merkt „samleitin“. Á þriðju talnalínunni eru punktar merktir a − R, a og a+R. Vinstra megin við a − R er talnalínan merkt „ósamleitin“. Milli a − R og a+R er hún merkt „samleitin“ og hægra megin við a+R er hún merkt „ósamleitin“. — **Mynd 6.2.** Fyrir röðina $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} {(x - a)}^{n}$ sýnir mynd (a) samleitnigeislann $R = 0,$ mynd (b) sýnir samleitnigeislann $R = \infty,$ og mynd (c) sýnir samleitnigeislann R. Á mynd (c) getur röðin ýmist verið samleitin eða ósamleitin í endapunktunum $x = a + R$ og $x = a - R .$

Til að ákvarða samleitnibil veldaraðar beitum við yfirleitt kvótaprófinu. Í dæmi 6.1 sýnum við möguleikana þrjá á mynd 6.2.

Dæmi 6.1

Ákvörðun samleitnibils og samleitnigeisla

Finnið samleitnibil og samleitnigeisla hverrar af eftirfarandi röðum.

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$
$\sum_{n = 0}^{\infty} n! x^{n}$
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(x - 2)}^{n}}{(n + 1) 3^{n}}$

Lausn

Til að kanna samleitni beitum við kvótaprófinu. Við fáum
$\begin{matrix} ρ & = lim_{n \to \infty} | \frac{\frac{x^{n + 1}}{(n + 1)!}}{\frac{x^{n}}{n!}} | \\ = lim_{n \to \infty} | \frac{x^{n + 1}}{(n + 1)!} \cdot \frac{n!}{x^{n}} | \\ = lim_{n \to \infty} | \frac{x^{n + 1}}{(n + 1) \cdot n!} \cdot \frac{n!}{x^{n}} | \\ = lim_{n \to \infty} | \frac{x}{n + 1} | \\ = | x | lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 1} \\ = 0 < 1 \end{matrix}$

fyrir öll gildi x. Röðin er því samleitin fyrir allar rauntölur x. Samleitnibilið er $(− \infty, \infty)$ og samleitnigeislinn er $R = \infty .$
Beitum kvótaprófinu. Fyrir $x \neq 0,$ sjáum við að
$\begin{matrix} ρ & = lim_{n \to \infty} | \frac{(n + 1)! x^{n + 1}}{n! x^{n}} | \\ = lim_{n \to \infty} | (n + 1) x | \\ = | x | lim_{n \to \infty} (n + 1) \\ = \infty . \end{matrix}$

Röðin er því ósamleitin fyrir öll $x \neq 0 .$ Þar sem röðin hefur miðju í $x = 0,$ hlýtur hún að vera samleitin þar og er því aðeins samleitin þegar $x = 0 .$ Samleitnibilið er eina gildið $x = 0$ og samleitnigeislinn er $R = 0 .$
Til að beita kvótaprófinu skoðum við
$\begin{matrix} ρ & = lim_{n \to \infty} | \frac{\frac{{(x - 2)}^{n + 1}}{(n + 2) 3^{n + 1}}}{\frac{{(x - 2)}^{n}}{(n + 1) 3^{n}}} | \\ = lim_{n \to \infty} | \frac{{(x - 2)}^{n + 1}}{(n + 2) 3^{n + 1}} \cdot \frac{(n + 1) 3^{n}}{{(x - 2)}^{n}} | \\ = lim_{n \to \infty} | \frac{(x - 2) (n + 1)}{3 (n + 2)} | \\ = \frac{| x - 2 |}{3} . \end{matrix}$

Hlutfallið $ρ < 1$ ef $| x - 2 | < 3 .$ Þar sem $| x - 2 | < 3$ leiðir af sér $−3 < x - 2 < 3,$ er röðin alsamleitin ef $−1 < x < 5 .$ Hlutfallið $ρ > 1$ ef $| x - 2 | > 3 .$ Röðin er því ósamleitin ef $x < −1$ eða $x > 5 .$ Kvótaprófið gefur enga niðurstöðu ef $ρ = 1 .$ Hlutfallið $ρ = 1$ þá og því aðeins að $x = −1$ eða $x = 5 .$ Við þurfum að prófa þessi gildi x sérstaklega. Þegar $x = −1,$ er röðin
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(−1)}^{n}}{n + 1} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ⋯ .$

Þetta er víxlmerkta harmoníska röðin og því er hún samleitin. Röðin er þannig samleitin þegar $x = −1 .$ Þegar $x = 5,$ er röðin
$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n + 1} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ⋯ .$

Þetta er harmoníska röðin, sem er ósamleitin. Veldaröðin er því ósamleitin þegar $x = 5 .$ Samleitnibilið er þar af leiðandi $[−1, 5)$ og samleitnigeislinn er $R = 3 .$

Framsetning falla með veldaröðum

Það er öflugt verkfæri að geta sett fall fram sem „óendanlega margliðu“. Margliðuföll eru auðveldust allra falla í greiningu, því þau byggjast aðeins á grunnaðgerðunum samlagningu, frádrætti, margföldun og deilingu. Ef við getum sett flókið fall fram sem óendanlega margliðu getum við notað margliðuframsetninguna til að deilda eða heilda fallið. Auk þess getum við notað stýfða útgáfu margliðunnar til að nálga fallgildi. Spurningin er því: Hvenær getum við sett fall fram með veldaröð?

Skoðum aftur geómetrísku röðina

1 + x + x^{2} + x^{3} + ⋯ = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} .

(6.3)

Rifjum upp að geómetriska röðin

a + a r + a r^{2} + a r^{3} + ⋯

er samleitin þá og því aðeins að $| r | < 1 .$ Þá stefnir hún á $\frac{a}{1 - r} .$ Ef $| x | < 1,$ er röðin í dæmi 6.3 því samleitin að $\frac{1}{1 - x}$ og við ritum

1 + x + x^{2} + x^{3} + ⋯ = \frac{1}{1 - x} fyrir | x | < 1 .

Við getum því sett fallið $f (x) = \frac{1}{1 - x}$ fram með veldaröðinni

1 + x + x^{2} + x^{3} + ⋯ when | x | < 1 .

Nú sýnum við myndrænt hvernig röðin gefur framsetningu á fallinu $f (x) = \frac{1}{1 - x}$ með því að bera graf f saman við gröf nokkurra hlutsumma óendanlegu raðarinnar.

Dæmi 6.2

Graf falls og hlutsummur veldaraðar þess

Teiknið graf $f (x) = \frac{1}{1 - x}$ og gröf samsvarandi hlutsumma $S_{N} (x) = \sum_{n = 0}^{N} x^{n}$ fyrir $N = 2, 4, 6$ á bilinu $(−1, 1) .$ Lýsið nálguninni $S_{N}$ þegar N stækkar.

Lausn

Af grafinu á mynd 6.3 sést að þegar N stækkar verður $S_{N}$ æ betri nálgun á $f (x) = \frac{1}{1 - x}$ fyrir x á bilinu $(−1, 1) .$

Myndin sýnir graf y = 1/(1 − x), sem er vaxandi ferill með lóðfelluna x = 1. Einnig sjást á grafinu þrjár hlutsummur fallsins: S með neðri vísi 6, S með neðri vísi 4 og S með neðri vísi 2. Ferlar þeirra verða smám saman flatari í þessari röð. — **Mynd 6.3.** Grafið sýnir fall og þrjár nálganir á því með hlutsummum veldaraðar.

Næst skoðum við föll sem innihalda segð sem svipar til summu geómetrískrar raðar og sýnum hvernig setja má þessi föll fram með veldaröðum.

Dæmi 6.3

Fall sett fram með veldaröð

Setjið hvert eftirfarandi fall fram með veldaröð; fallið er táknað með $f .$ Finnið samleitnibilið.

$f (x) = \frac{1}{1 + x^{3}}$
$f (x) = \frac{x^{2}}{4 - x^{2}}$

Lausn

Þekkja má fallið f sem summu geómetrískrar raðar því
$\frac{1}{1 + x^{3}} = \frac{1}{1 - (− x^{3})} .$

Notum þá staðreynd að þegar $| r | < 1, \frac{a}{1 - r}$ er
$\sum_{n = 0}^{\infty} a r^{n} = a + a r + a r^{2} + ⋯,$

en sú röð er geómetrísk. Þá sjáum við að þegar $| − x^{3} | < 1,$
gildir
$\begin{matrix} \frac{1}{1 + x^{3}} & = \frac{1}{1 - (− x^{3})} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} {(− x^{3})}^{n} \\ = 1 - x^{3} + x^{6} - x^{9} + ⋯ . \end{matrix}$

Þar sem þessi röð er samleitin þá og því aðeins að $| − x^{3} | < 1,$ er samleitnibilið $(−1, 1),$ og við fáum
$\frac{1}{1 + x^{3}} = 1 - x^{3} + x^{6} - x^{9} + ⋯ fyrir | x | < 1 .$
Þetta fall er ekki nákvæmlega á formi summu geómetrískrar raðar. Með nokkurri algebrulegri umritun má þó tengja f við geómetriska röð. Með því að taka 4 út fyrir sviga úr liðunum tveimur í nefnaranum fáum við
$\begin{matrix} \frac{x^{2}}{4 - x^{2}} & = \frac{x^{2}}{4 (1 - \frac{x^{2}}{4})} \\ = \frac{x^{2}}{4 (1 - {(\frac{x}{2})}^{2})} . \end{matrix}$

Því er
$\begin{matrix} \frac{x^{2}}{4 - x^{2}} & = \frac{x^{2}}{4 (1 - {(\frac{x}{2})}^{2})} \\ = \frac{\frac{x^{2}}{4}}{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2}}{4} {(\frac{x}{2})}^{2 n} . \end{matrix}$

Röðin er samleitin svo lengi sem $| {(\frac{x}{2})}^{2} | < 1$ (athugið að þegar $| {(\frac{x}{2})}^{2} | = 1$ er röðin ekki samleitin). Með því að leysa þessa ójöfnu fáum við að samleitnibilið er $(−2, 2)$ og að
$\begin{matrix} \frac{x^{2}}{4 - x^{2}} & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n + 2}}{4^{n + 1}} \\ = \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{4}}{4^{2}} + \frac{x^{6}}{4^{3}} + ⋯ \end{matrix}$

þegar $| x | < 2 .$

Í þeim hlutum kaflans sem eftir eru sýnum við hvernig leiða má út veldaraðaframsetningar ýmissa annarra falla og hvernig nota má þessar framsetningar til að reikna gildi, deilda og heilda margvísleg föll.

Æfingar í undirkafla 6.1

Segið í eftirfarandi verkefnum hvort hver staðhæfing sé sönn. Ef hún er ósönn, gefið þá dæmi sem sýnir það.

Ef $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ er samleitin, þá gildir $a_{n} x^{n} \to 0$ þegar $n \to \infty .$

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ er samleitin þegar $x = 0$ fyrir allar rauntölur $a_{n} .$

Ef gefin er runa $a_{n},$ er alltaf til eitthvert $R > 0,$ sem kann að vera mjög lítið, þannig að $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ sé samleitin á $(− R, R) .$

Ef $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ hefur samleitnigeislann $R > 0$ og $| b_{n} | \leq | a_{n} |$ fyrir öll n, þá er samleitnigeisli $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} x^{n}$ að minnsta kosti R.

Gerum ráð fyrir að $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x - 3)}^{n}$ sé samleitin þegar $x = 6 .$ Í hverjum af eftirfarandi punktum gæti röðin verið ósamleitin? Notið þá staðreynd að ef $\sum a_{n} {(x - c)}^{n}$ er samleitin fyrir x, þá er hún samleitin í sérhverjum punkti sem er nær c en x.

$x = 1$
$x = 2$
$x = 3$
$x = 0$
$x = 5.99$
$x = 0.000001$

Gerum ráð fyrir að $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(x + 1)}^{n}$ sé samleitin þegar $x = −2 .$ Í hverjum af eftirfarandi punktum hlýtur röðin einnig að vera samleitin? Notið þá staðreynd að ef $\sum a_{n} {(x - c)}^{n}$ er samleitin fyrir x, þá er hún samleitin í sérhverjum punkti sem er nær c en x.

$x = 2$
$x = −1$
$x = −3$
$x = 0$
$x = 0.99$
$x = 0.000001$

Gerum í eftirfarandi verkefnum ráð fyrir að $| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | \to 1$ þegar $n \to \infty .$ Finnið samleitnigeisla hverrar raðar.

$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} 2^{n} x^{n}$

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_{n} x^{n}}{2^{n}}$

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_{n} π^{n} x^{n}}{e^{n}}$

10.

$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{a_{n} {(−1)}^{n} x^{n}}{10^{n}}$

11.

$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(−1)}^{n} x^{2 n}$

12.

$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} {(−4)}^{n} x^{2 n}$

Finnið í eftirfarandi verkefnum samleitnigeislann R og samleitnibil $\sum a_{n} x^{n}$ fyrir gefna stuðla $a_{n} .$

13.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(2 x)}^{n}}{n}$

14.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n} \frac{x^{n}}{\sqrt{n}}$

15.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n x^{n}}{2^{n}}$

16.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n x^{n}}{e^{n}}$

17.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2} x^{n}}{2^{n}}$

18.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k^{e} x^{k}}{e^{k}}$

19.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{π^{k} x^{k}}{k^{π}}$

20.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$

21.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{10^{n} x^{n}}{n!}$

22.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(−1)}^{n} \frac{x^{n}}{ln (2 n)}$

Finnið í eftirfarandi verkefnum samleitnigeisla hverrar raðar.

23.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{{(k!)}^{2} x^{k}}{(2 k)!}$

24.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(2 n)! x^{n}}{n^{2 n}}$

25.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k!}{1 \cdot 3 \cdot 5 ⋯ (2 k - 1)} x^{k}$

26.

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 ⋯ 2 k}{(2 k)!} x^{k}$

27.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{(\begin{matrix} 2 n \\ n \end{matrix})}$ þar sem $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$

28.

$\sum_{n = 1}^{\infty} {sin}^{2} n x^{n}$

Notið í eftirfarandi verkefnum kvótaprófið til að ákvarða samleitnigeisla hverrar raðar.

29.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(n!)}^{3}}{(3 n)!} x^{n}$

30.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{3 n} {(n!)}^{3}}{(3 n)!} x^{n}$

31.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}} x^{n}$

32.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(2 n)!}{n^{2 n}} x^{n}$

Í eftirfarandi verkefnum er gefið að $\frac{1}{1 - x} = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}$ sé samleitin á $(−1, 1),$ og skal finna veldaröð hvers falls með gefna miðju a og ákvarða samleitnibil hennar.

33.

$f (x) = \frac{1}{x}; a = 1$ (Ábending: $\frac{1}{x} = \frac{1}{1 - (1 - x)})$

34.

$f (x) = \frac{1}{1 - x^{2}}; a = 0$

35.

$f (x) = \frac{x}{1 - x^{2}}; a = 0$

36.

$f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}; a = 0$

37.

$f (x) = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}}; a = 0$

38.

$f (x) = \frac{1}{2 - x}; a = 1$

39.

$f (x) = \frac{1}{1 - 2 x}; a = 0 .$

40.

$f (x) = \frac{1}{1 - 4 x^{2}}; a = 0$

41.

$f (x) = \frac{x^{2}}{1 - 4 x^{2}}; a = 0$

42.

$f (x) = \frac{x^{2}}{5 - 4 x + x^{2}}; a = 2$

Notið næsta verkefni til að finna samleitnigeisla raðanna í verkefnunum þar á eftir.

43.

Útskýrið hvers vegna, ef ${| a_{n} |}^{1 / n} \to r > 0,$ þá gildir ${| a_{n} x^{n} |}^{1 / n} \to | x | r < 1$ þegar $| x | < \frac{1}{r}$ og hvers vegna samleitnigeisli $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ er því $R = \frac{1}{r} .$

44.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{n}}$

45.

$\sum_{k = 1}^{\infty} {(\frac{k - 1}{2 k + 3})}^{k} x^{k}$

46.

$\sum_{k = 1}^{\infty} {(\frac{2 k^{2} - 1}{k^{2} + 3})}^{k} x^{k}$

47.

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = {(n^{1 / n} - 1)}^{n} x^{n}$

48.

Gerum ráð fyrir að $p (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ og að $a_{n} = 0$ þegar n er slétt. Útskýrið hvers vegna $p (x) = - p (− x) .$

49.

Gerum ráð fyrir að $p (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ og að $a_{n} = 0$ þegar n er oddatala. Útskýrið hvers vegna $p (x) = p (− x) .$

50.

Gerum ráð fyrir að $p (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ sé samleitin á $(−1, 1] .$ Finnið samleitnibil $p (A x) .$

51.

Gerum ráð fyrir að $p (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ sé samleitin á $(−1, 1] .$ Finnið samleitnibil $p (2 x - 1) .$

Gerum í eftirfarandi verkefnum ráð fyrir að $p (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ uppfylli $lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = 1$ þar sem $a_{n} \geq 0$ fyrir hvert n. Segið hvort hver röð sé samleitin á öllu bilinu $(−1, 1),$ eða hvort upplýsingar skorti til að draga ályktun. Notið samanburðarprófið þegar það á við.

52.

$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{2 n}$

53.

$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{2 n} x^{2 n}$

54.

$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{2 n} x^{n} (H i n t : x = ± \sqrt{x^{2}})$

55.

$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n^{2}} x^{n^{2}}$ (Ábending: Látið $b_{k} = a_{k}$ ef $k = n^{2}$ fyrir eitthvert n, en annars $b_{k} = 0 .)$

56.

Gerum ráð fyrir að $p (x)$ sé margliða af stigi N. Finnið samleitnigeisla og samleitnibil $\sum_{n = 1}^{\infty} p (n) x^{n} .$

57.

[T] Teiknið gröf $\frac{1}{1 - x}$ og hlutsummanna $S_{N} = \sum_{n = 0}^{N} x^{n}$ fyrir $n = 10, 20, 30$ á bilinu $[−0.99, 0.99] .$ Lýsið nálgun $\frac{1}{1 - x}$ jafnt $S_{N}$ nálægt $x = −1$ og $x = 1$ þegar N stækkar.

58.

[T] Teiknið gröf $− ln (1 - x)$ og hlutsummanna $S_{N} = \sum_{n = 1}^{N} \frac{x^{n}}{n}$ fyrir $n = 10, 50, 100$ á bilinu $[−0.99, 0.99] .$ Lýsið hegðun summanna nálægt $x = −1$ og $x = 1$ þegar N stækkar.

59.

[T] Teiknið gröf hlutsummanna $S_{n} = \sum_{n = 1}^{N} \frac{x^{n}}{n^{2}}$ fyrir $n = 10, 50, 100$ á bilinu $[−0.99, 0.99] .$ Lýsið hegðun summanna nálægt $x = −1$ og $x = 1$ þegar N stækkar.

60.

[T] Teiknið gröf hlutsummanna $S_{N} = \sum_{n = 1}^{N} sin n x^{n}$ fyrir $n = 10, 50, 100$ á bilinu $[−0.99, 0.99] .$ Lýsið hegðun summanna nálægt $x = −1$ og $x = 1$ þegar N stækkar.

61.

[T] Teiknið gröf hlutsummanna $S_{N} = \sum_{n = 0}^{N} {(−1)}^{n} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}$ fyrir $n = 3, 5, 10$ á bilinu $[−2 π, 2 π] .$ Lýsið hvernig gröfin nálga $sin x$ þegar N stækkar.

62.

[T] Teiknið gröf hlutsummanna $S_{N} = \sum_{n = 0}^{N} {(−1)}^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}$ fyrir $n = 3, 5, 10$ á bilinu $[−2 π, 2 π] .$ Lýsið hvernig gröfin nálga $cos x$ þegar N stækkar.