99 Jöfnuhneppi og ójöfnuhneppi

9.8 Lausn jöfnuhneppa með reglu Cramers

Námsmarkmið

Í þessum hluta lærið þið að:

Reikna 2 × 2 ákveður.
Nota reglu Cramers til að leysa tveggja breyta jöfnuhneppi.
Reikna 3 × 3 ákveður.
Nota reglu Cramers til að leysa þriggja breyta jöfnuhneppi með þremur jöfnum.
Þekkja eiginleika ákveða.

Við höfum lært að leysa tveggja og þriggja breyta jöfnuhneppi með ýmsum aðferðum: innsetningu, samlagningu, Gauss-eyðingu, andhverfu fylkis og myndrænni lausn. Sumar aðferðirnar eru auðveldari í notkun en aðrar og henta betur við tilteknar aðstæður. Í þessum hluta skoðum við tvær aðferðir til viðbótar við lausn jöfnuhneppa.

Útreikningur ákveðu 2 $\times$ 2 fylkis

Ákveða er rauntala sem nýtist víða í stærðfræði, til dæmis við útreikning flatarmáls, rúmmáls og annarra stærða. Hér notum við stök ferningsfylkis til að kanna með ákveðu hvort fylkið sé andhverfanlegt og hvort jöfnuhneppið hafi lausn. Ein áhugaverðasta notkun ákveða er ef til vill í dulmálsfræði. Örugg merki eða skilaboð eru stundum send dulkóðuð í fylki. Aðeins er hægt að afkóða gögnin með andhverfanlegu fylki og ákveðunni. Við einbeitum okkur hér að ákveðunni sem vísbendingu um hvort fylkið sé andhverfanlegt. Við útreikning ákveðu fylkis þarf að fylgja tilteknum mynstrum sem lýst er í þessum hluta.

Dæmi 1

Að finna ákveðu 2 × 2 fylkis

Finnið ákveðu gefna fylkisins.

A = [\begin{matrix} 5 & 2 \\ - 6 & 3 \end{matrix}]

Lausn

\begin{array}{l} \det (A) = | \begin{matrix} 5 & 2 \\ - 6 & 3 \end{matrix} | \\ = 5 (3) - (−6) (2) \\ = 27 \end{array}

Notkun reglu Cramers til að leysa tveggja breyta jöfnuhneppi

Nú kynnum við síðustu aðferðina við lausn jöfnuhneppa; hún byggist á ákveðum. Aðferðin nefnist regla Cramers, er frá miðri 18. öld og kennd við upphafsmann hennar, svissneska stærðfræðinginn Gabriel Cramer (1704–1752). Hann kynnti hana árið 1750 í verkinu Introduction à l'Analyse des lignes Courbes algébriques. Regla Cramers er nothæf og skilvirk aðferð til að finna lausnir jöfnuhneppa með hvaða fjölda óþekktra stærða sem er, að því gefnu að jöfnurnar séu jafnmargar og óþekktu stærðirnar.

Regla Cramers gefur einkvæma lausn jöfnuhneppis ef hún er til. Ef jöfnuhneppið hefur enga lausn eða óendanlega margar lausnir er ákveðan hins vegar núll. Til að kanna hvort jöfnuhneppið er ósamkvæmt eða háð þarf að beita annarri aðferð, til dæmis eyðingu.

Til að skilja reglu Cramers skulum við skoða nánar hvernig við leysum línuleg jöfnuhneppi með einföldum línuaðgerðum. Skoðum tveggja breyta jöfnuhneppi.

\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} (1) \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} (2) \end{matrix}

Við eyðum annarri breytunni með línuaðgerðum og leysum fyrir hinni. Gerum ráð fyrir að við viljum leysa fyrir $x .$ Ef jafna (2) er margfölduð með gagnstæðu tölu stuðuls $y$ í jöfnu (1), jafna (1) er margfölduð með stuðli $y$ í jöfnu (2) og jöfnurnar síðan lagðar saman fellur breytan $y$ út.

\begin{array}{l} \underset{________________________________________________________}{\begin{array}{l} b_{2} a_{1} x + b_{2} b_{1} y = b_{2} c_{1} & Multiply R_{1} by b_{2} \\ - b_{1} a_{2} x - b_{1} b_{2} y = - b_{1} c_{2} & Multiply R_{2} by - b_{1} \end{array}} \\ \begin{array}{l} b_{2} a_{1} x - b_{1} a_{2} x = b_{2} c_{1} - b_{1} c_{2} \end{array} \end{array}

Leysið nú fyrir $x .$

\begin{array}{l} b_{2} a_{1} x - b_{1} a_{2} x = b_{2} c_{1} - b_{1} c_{2} \\ x (b_{2} a_{1} - b_{1} a_{2}) = b_{2} c_{1} - b_{1} c_{2} \\ x = \frac{b_{2} c_{1} - b_{1} c_{2}}{b_{2} a_{1} - b_{1} a_{2}} = \frac{| \begin{matrix} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{matrix} |}{| \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} |} \end{array}

Til að leysa fyrir $y,$ eyðum við á sama hátt $x .$

\begin{array}{l} \underset{________________________________________________________}{\begin{array}{l} a_{2} a_{1} x + a_{2} b_{1} y = a_{2} c_{1} & Multiply R_{1} by a_{2} \\ - a_{1} a_{2} x - a_{1} b_{2} y = - a_{1} c_{2} & Multiply R_{2} by - a_{1} \end{array}} \\ \begin{array}{l} a_{2} b_{1} y - a_{1} b_{2} y = a_{2} c_{1} - a_{1} c_{2} \end{array} \end{array}

Þegar leyst er fyrir $y$ fæst

\begin{array}{l} a_{2} b_{1} y - a_{1} b_{2} y = a_{2} c_{1} - a_{1} c_{2} \\ y (a_{2} b_{1} - a_{1} b_{2}) = a_{2} c_{1} - a_{1} c_{2} \\ y = \frac{a_{2} c_{1} - a_{1} c_{2}}{a_{2} b_{1} - a_{1} b_{2}} = \frac{a_{1} c_{2} - a_{2} c_{1}}{a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}} = \frac{| \begin{matrix} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{matrix} |}{| \begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix} |} \end{array}

Takið eftir að nefnari bæði $x$ og $y$ er ákveða stuðlafylkisins.

Við getum notað þessar formúlur til að leysa fyrir $x$ og $y,$ en regla Cramers innleiðir einnig nýjan rithátt:

$D :$ ákveða stuðlafylkisins
$D_{x} :$ ákveða teljarans í lausn $x$
$x = \frac{D_{x}}{D}$
$x = \frac{D_{x}}{D}$
$D_{y} :$ ákveða teljarans í lausn $y$
$y = \frac{D_{y}}{D}$
$y = \frac{D_{y}}{D}$

Lykilatriði reglu Cramers er að skipta dálki breytunnar sem leysa á fyrir út fyrir fastadálkinn og reikna ákveðurnar. Síðan má rita $x$ og $y$ sem hlutfall tveggja ákveða.

Dæmi 2

Notkun reglu Cramers til að leysa 2 × 2 jöfnuhneppi

Leysið eftirfarandi $2 \times 2$ jöfnuhneppi með reglu Cramers.

\begin{matrix} 12 x + 3 y = 15 \\ 2 x - 3 y = 13 \end{matrix}

Lausn

Leysið fyrir $x .$

x = \frac{D_{x}}{D} = \frac{| \begin{array}{r} 15 & 3 \\ 13 & - 3 \end{array} |}{| \begin{array}{r} 12 & 3 \\ 2 & - 3 \end{array} |} = \frac{- 45 - 39}{- 36 - 6} = \frac{- 84}{- 42} = 2

Leysið fyrir $y .$

y = \frac{D_{y}}{D} = \frac{| \begin{array}{r} 12 & 15 \\ 2 & 13 \end{array} |}{| \begin{array}{r} 12 & 3 \\ 2 & - 3 \end{array} |} = \frac{156 - 30}{- 36 - 6} = - \frac{126}{42} = −3

Lausnin er $(2, −3) .$

Útreikningur ákveðu 3 $\times$ 3 fylkis

Auðvelt er að finna ákveðu 2 $\times ⁠$ 2 fylkis en flóknara að finna ákveðu 3 $\times ⁠$ 3 fylkis. Ein aðferð er að bæta fyrstu tveimur dálkunum aftan við 3 $\times ⁠$ 3 fylkið og mynda þannig 3 $\times ⁠$ 5 fylki. Síðan reiknum við summu margfelda stakanna niður hverja hornalínanna þriggja, frá efra vinstra horni að neðra hægra horni, og drögum frá margfeldi stakanna upp hverja hornalínanna þriggja, frá neðra vinstra horni að efra hægra horni. Auðveldara er að skilja þetta með mynd og sýnidæmi.

Finnið ákveðu 3 $\times$ 3 fylkisins.

A = [\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix}]

Bætið fyrstu tveimur dálkunum aftan við 𝐴 . A d e t ⁡ ( 𝐴 ) = ∣ 𝑎 $A$ 1 𝑏 1 𝑐 1 𝑎 2 𝑏 2 𝑐 2 𝑎 3 𝑏 3 𝑐 3 ⁢ ∣ 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 ⁢ 𝑏 1 𝑏 2 𝑏 3 ∣ det ⁡ ( A ) = | a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ⁢ | a 1 a 2 a 3 ⁢ b 1 b 2 b 3 |
$\det (A) = | \begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} | \begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix} \begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix} |$
$\det (A) = | \begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} | \begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix} \begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix} |$
Frá efra vinstra horni að neðra hægra horni: Margfaldið stökin niður fyrstu hornalínuna. Leggið niðurstöðuna við margfeldi stakanna niður aðra hornalínuna. Leggið síðan margfeldi stakanna niður þriðju hornalínuna við niðurstöðuna.
Frá neðra vinstra horni að efra hægra horni: Dragið margfeldi stakanna upp fyrstu hornalínuna frá. Dragið margfeldi stakanna upp aðra hornalínuna frá niðurstöðunni. Dragið loks margfeldi stakanna upp þriðju hornalínuna frá niðurstöðunni.

Mynd sem sýnir reglu Sarrusar við útreikning ákveðu 3×3 fylkisins det(A). Stök fylkisins, frá a_1 til c_3, eru sýnd ásamt endurtekningu fyrstu tveggja dálkanna hægra megin. Bláar örvar sýna margfeldin sem á að leggja saman og appelsínugular örvar margfeldin sem á að draga frá. Þannig er sýnd myndræn beiting reglu Sarrusar.

Algebrureikningurinn er sem hér segir:

| A | = a_{1} b_{2} c_{3} + b_{1} c_{2} a_{3} + c_{1} a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} c_{1} - b_{3} c_{2} a_{1} - c_{3} a_{2} b_{1}

Dæmi 3

Að finna ákveðu 3 × 3 fylkis

Finnið ákveðu 3 $\times ⁠$ 3 fylkisins sem gefið er með

A = [\begin{matrix} 0 & 2 & 1 \\ 3 & - 1 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \end{matrix}]

Lausn

Bætið fyrstu tveimur dálkunum aftan við fylkið og fylgið síðan formúlunni. Þá fæst

\begin{array}{l} | A | = | \begin{matrix} 0 & 2 & 1 \\ 3 & - 1 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} \begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix} | \\ = 0 (- 1) (1) + 2 (1) (4) + 1 (3) (0) - 4 (- 1) (1) - 0 (1) (0) - 1 (3) (2) \\ = 0 + 8 + 0 + 4 - 0 - 6 \\ = 6 \end{array}

Notkun reglu Cramers til að leysa þriggja breyta jöfnuhneppi með þremur jöfnum

Nú þegar við kunnum að finna ákveðu 3 $\times$ 3 fylkis getum við beitt reglu Cramers til að leysa þriggja breyta jöfnuhneppi með þremur jöfnum. Regla Cramers er einföld og fylgir sama mynstri og fyrir 2 $\times$ 2 fylki. Þegar stig fylkisins hækkar í 3 $\times$ 3 fjölgar reikniaðgerðunum hins vegar verulega.

Ef ákveðan reynist núll gefur regla Cramers ekki til kynna hvort jöfnuhneppið hafi enga lausn eða óendanlega margar lausnir. Til að komast að því þarf að beita eyðingu á jöfnuhneppið.

Skoðum 3 $\times$ 3 jöfnuhneppi.

x = \frac{D_{x}}{D}, y = \frac{D_{y}}{D}, z = \frac{D_{z}}{D}, D \neq 0

þar sem

Ákveðurnar D, Dx, Dy og Dz í reglu Cramers fyrir 3×3 línulegt jöfnuhneppi. Sýnt er hvernig d-dálkurinn kemur í stað a-, b- og c-dálkanna í hverju tilviki.

Þegar við ritum ákveðuna $D_{x},$ skiptum við $x$ dálkinum út fyrir fastadálkinn. Þegar við ritum ákveðuna $D_{y},$ skiptum við $y$ dálkinum út fyrir fastadálkinn. Þegar við ritum ákveðuna $D_{z},$ skiptum við $z$ dálkinum út fyrir fastadálkinn. Sannreynið svarið ávallt.

Dæmi 4

Lausn 3 × 3 jöfnuhneppis með reglu Cramers

Finnið lausn gefna 3 $\times ⁠$ 3 jöfnuhneppisins með reglu Cramers.

\begin{matrix} x + y - z = 6 \\ 3 x - 2 y + z = −5 \\ x + 3 y - 2 z = 14 \end{matrix}

Lausn

Notum reglu Cramers.

D = | \begin{matrix} 1 & 1 & - 1 \\ 3 & - 2 & 1 \\ 1 & 3 & - 2 \end{matrix} |, D_{x} = | \begin{matrix} 6 & 1 & - 1 \\ - 5 & - 2 & 1 \\ 14 & 3 & - 2 \end{matrix} |, D_{y} = | \begin{matrix} 1 & 6 & - 1 \\ 3 & - 5 & 1 \\ 1 & 14 & - 2 \end{matrix} |, D_{z} = | \begin{matrix} 1 & 1 & 6 \\ 3 & - 2 & - 5 \\ 1 & 3 & 14 \end{matrix} |

Þá fæst

\begin{array}{l} x = \frac{D_{x}}{D} = \frac{- 3}{- 3} = 1 \\ y = \frac{D_{y}}{D} = \frac{- 9}{- 3} = 3 \\ z = \frac{D_{z}}{D} = \frac{6}{- 3} = - 2 \end{array}

Lausnin er $(1, 3, −2) .$

Dæmi 5

Notkun reglu Cramers til að leysa ósamkvæmt jöfnuhneppi

Leysið jöfnuhneppið með reglu Cramers.

\begin{array}{l} 3 x - 2 y = 4 (1) \\ 6 x - 4 y = 0 (2) \end{array}

Lausn

Við byrjum á að finna ákveðurnar ⁣ $D, D_{x}, og D_{y} .$

D = | \begin{matrix} 3 & - 2 \\ 6 & - 4 \end{matrix} | = 3 (- 4) - 6 (- 2) = 0

Við vitum að þegar ákveðan er núll hefur jöfnuhneppið annaðhvort enga lausn eða óendanlega margar lausnir. Til að greina þar á milli beitum við eyðingu. Markmiðið er að eyða annarri breytunni.

Margfaldið jöfnu (1) með $−2.$
Leggið niðurstöðuna við jöfnu $(2) .$

\begin{array}{l} \underset{_______________}{\begin{array}{l} \begin{array}{l} - 6 x + 4 y = −8 \end{array} \\ 6 x - 4 y = 0 \end{array}} \\ 0 = −8 \end{array}

Við fáum jöfnuna $0 = −8,$ sem er ósönn. Jöfnuhneppið hefur því enga lausn. Myndrit jöfnuhneppisins sýnir tvær samsíða línur. Sjá mynd 1 .

Tvær samsíða línur eru teiknaðar í xy-hnitakerfi. Bláa línan sýnir y = (3/2)x og liggur um upphafspunktinn. Appelsínugula línan sýnir y = (3/2)x - 2 og sker y-ásinn í −2. — Mynd 1

Dæmi 6

Notkun reglu Cramers til að leysa háð jöfnuhneppi

Leysið jöfnuhneppið sem hefur óendanlega margar lausnir.

\begin{array}{r} x - 2 y + 3 z = 0 & (1) \\ 3 x + y - 2 z = 0 & (2) \\ 2 x - 4 y + 6 z = 0 & (3) \end{array}

Lausn

Finnum ákveðuna fyrst. Setjið upp fylki og bætið fyrstu tveimur dálkunum aftan við það.

| \begin{array}{r} 1 & −2 & 3 \\ 3 & 1 & −2 \\ 2 & −4 & 6 \end{array} | \begin{array}{r} 1 & −2 \\ 3 & 1 \\ 2 & −4 \end{array} |

Þá fæst

1 (1) (6) + (- 2) (- 2) (2) + 3 (3) (- 4) - 2 (1) (3) - (- 4) (- 2) (1) - 6 (3) (- 2) = 0

Þar sem ákveðan er núll hefur jöfnuhneppið annaðhvort enga lausn eða óendanlega margar lausnir. Við þurfum að beita eyðingu til að komast að því.

Margfaldið jöfnu (1) með $−2$ og leggið niðurstöðuna við jöfnu (3):
$\frac{\begin{array}{r} - 2 x + 4 y - 6 z = 0 \\ 2 x - 4 y + 6 z = 0 \end{array}}{0 = 0}$
Þegar svarið $0 = 0,$ fæst, fullyrðing sem er alltaf sönn, merkir það að jöfnuhneppið hefur óendanlega margar lausnir. Á myndriti jöfnuhneppisins sést að tvö plananna falla saman og skera bæði þriðja planið í línu. Sjá mynd 2 .

Blá og græn ræma skarast og mynda X-laga flöt. Þrjár línulegar jöfnur eru sýndar: x − 2y + 3z = 0 og 2x − 4y + 6z = 0 eru bláar en 3x + y + 2z = 0 er græn. Bláu jöfnurnar tvær eru jafngildar og skilgreina sama planið sem bláa ræman sýnir. Græna jafnan skilgreinir annað plan sem græna ræman sýnir. Skurður plananna er sýndur með skörun ræmanna og lárétt tvíodda ör liggur eftir hluta skurðlínunnar. — Mynd 2

Eiginleikar ákveða

Ákveður hafa marga eiginleika. Hér eru taldir nokkrir eiginleikar sem geta auðveldað útreikning ákveðu fylkis.

Dæmi 7

Sýnidæmi um eiginleika ákveða

Sýnið hvern eiginleika ákveða með dæmi.

Lausn

Eiginleiki 1 segir að ef fylkið er á efra þríhyrningsformi sé ákveðan margfeldi stakanna á aðalhornalínunni.

A = [\begin{array}{r} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array}]

Bætið fyrstu $A$ tveimur dálkunum aftan við 𝐴 . A

A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix} | \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}]

Þá fæst

\begin{array}{l} \det (A) = 1 (2) (−1) + 2 (1) (0) + 3 (0) (0) - 0 (2) (3) - 0 (1) (1) + 1 (0) (2) \\ = −2 \end{array}

Eiginleiki 2 segir að þegar línum er víxlað um sæti skipti ákveðan um formerki. Gefið er

\begin{array}{l} \begin{array}{l} A = [\begin{matrix} −1 & 5 \\ 4 & −3 \end{matrix}], \det (A) = (−1) (−3) - (4) (5) = 3 - 20 = −17 \end{array} \\ B = [\begin{matrix} 4 & - 3 \\ - 1 & 5 \end{matrix}], \det (B) = (4) (5) - (−1) (−3) = 20 - 3 = 17 \end{array}

Eiginleiki 3 segir að ef tvær línur eða tveir dálkar eru eins sé ákveðan jöfn núlli.

\begin{array}{l} A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ −1 & 2 & 2 \end{matrix} | \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ −1 \end{matrix} \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}] \\ \det (A) = 1 (2) (2) + 2 (2) (−1) + 2 (2) (2) + 1 (2) (2) - 2 (2) (1) - 2 (2) (2) \\ = 4 - 4 + 8 + 4 - 4 - 8 = 0 \end{array}

Eiginleiki 4 segir að ef öll stök línu eða dálks séu núll sé ákveðan jöfn núlli. Því fæst

A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{matrix}], \det (A) = 1 (0) - 2 (0) = 0

Eiginleiki 5 segir að ákveða andhverfa fylkisins $A^{- 1}$ sé gagnhverfa ákveðu fylkisins $A .$ Því fæst

\begin{array}{l} A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}], \det (A) = 1 (4) - 3 (2) = −2 \\ A^{- 1} = [\begin{matrix} - 2 & 1 \\ \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} \end{matrix}], \det (A^{- 1}) = - 2 (- \frac{1}{2}) - (\frac{3}{2}) (1) = - \frac{1}{2} \end{array}

Eiginleiki 6 segir að ef einhver lína eða dálkur fylkis er margfaldaður með fasta margfaldist ákveðan með sama stuðli. Því fæst

\begin{array}{l} A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}], \det (A) = 1 (4) - 2 (3) = −2 \\ B = [\begin{matrix} 2 (1) & 2 (2) \\ 3 & 4 \end{matrix}], \det (B) = 2 (4) - 3 (4) = −4 \end{array}

Dæmi 8

Notkun reglu Cramers og eiginleika ákveða til að leysa jöfnuhneppi

Finnið lausn gefna 3 $\times ⁠$ 3 jöfnuhneppisins.

\begin{array}{l} 2 x + 4 y + 4 z = 2 & (1) \\ 3 x + 7 y + 7 z = −5 & (2) \\ x + 2 y + 2 z = 4 & (3) \end{array}

Lausn

Með reglu Cramers fæst

D = | \begin{matrix} 2 & 4 & 4 \\ 3 & 7 & 7 \\ 1 & 2 & 2 \end{matrix} |

Takið eftir að annar og þriðji dálkurinn eru eins. Samkvæmt eiginleika 3 er ákveðan jöfn núlli og því hefur jöfnuhneppið annaðhvort enga lausn eða óendanlega margar lausnir. Við þurfum að beita eyðingu til að komast að því.

Margfaldið jöfnu (3) með −2 og leggið niðurstöðuna við jöfnu (1).
$\frac{\begin{array}{l} - 2 x - 4 y - 4 x = - 8 \\ 2 x + 4 y + 4 z = 2 \end{array}}{0 = - 6}$

Þegar mótsögn fæst merkir það að jöfnuhneppið hefur enga lausn.

9.8 Æfingar

Orðleg verkefni

Útskýrið hvers vegna alltaf er hægt að reikna ákveðu ferningsfylkis.

Skoðið reglu Cramers og útskýrið hvers vegna jöfnuhneppið hefur enga einkvæma lausn þegar ákveða fylkisins er 0. Notið $2 \times 2$ fylki til einföldunar.

Útskýrið hvað ákveðan 0 merkir um andhverfu fylkis.

Ákveða $2 \times 2$ fylkisins $A$ er 3. Útskýrið hvernig finna má ákveðuna ef línunum er víxlað og fyrsta línan margfölduð með 6 og önnur línan með 2, og gefið svarið.

Algebruverkefni

Finnið ákveðuna í eftirfarandi æfingum.

∣1234∣ $| \begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} |$

∣−123−4∣ $| \begin{array}{r} - 1 & 2 \\ 3 & - 4 \end{array} |$

∣2−5−16∣ $| \begin{array}{r} 2 & - 5 \\ - 1 & 6 \end{array} |$

∣−84−15∣ $| \begin{matrix} - 8 & 4 \\ - 1 & 5 \end{matrix} |$

∣103−4∣ $| \begin{array}{r} 1 & 0 \\ 3 & - 4 \end{array} |$

10.

∣10200−10∣ $| \begin{array}{r} 10 & 20 \\ 0 & - 10 \end{array} |$

11.

∣100.250.1∣ $| \begin{matrix} 10 & 0.2 \\ 5 & 0.1 \end{matrix} |$

12.

∣6−384∣ $| \begin{array}{r} 6 & - 3 \\ 8 & 4 \end{array} |$

13.

∣−2−33.14,000∣ $| \begin{array}{r} - 2 & - 3 \\ 3.1 & 4, 000 \end{array} |$

14.

∣−1.10.67.2−0.5∣ $| \begin{array}{r} - 1.1 & 0.6 \\ 7.2 & - 0.5 \end{array} |$

15.

∣−10001000−3∣ $| \begin{array}{r} - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & - 3 \end{array} |$

16.

∣−14002300−3∣ $| \begin{array}{r} - 1 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & - 3 \end{array} |$

17.

∣101010100∣ $| \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} |$

18.

∣2−313−41−561∣ $| \begin{array}{r} 2 & - 3 & 1 \\ 3 & - 4 & 1 \\ - 5 & 6 & 1 \end{array} |$

19.

∣−214−42−82−8−3∣ $| \begin{array}{r} - 2 & 1 & 4 \\ - 4 & 2 & - 8 \\ 2 & - 8 & - 3 \end{array} |$

20.

∣6−12−4−3519−1∣ $| \begin{array}{r} 6 & - 1 & 2 \\ - 4 & - 3 & 5 \\ 1 & 9 & - 1 \end{array} |$

21.

∣51−12313−6−3∣ $| \begin{array}{r} 5 & 1 & - 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & - 6 & - 3 \end{array} |$

22.

∣1.12−1−4004.1−0.42.5∣ $| \begin{array}{r} 1.1 & 2 & - 1 \\ - 4 & 0 & 0 \\ 4.1 & - 0.4 & 2.5 \end{array} |$

23.

∣2−1.63.11.13−8−9.302∣ $| \begin{array}{r} 2 & - 1.6 & 3.1 \\ 1.1 & 3 & - 8 \\ - 9.3 & 0 & 2 \end{array} |$

24.

∣ ∣ ∣ ∣−12131415−16170018∣ ∣ ∣ ∣ $| \begin{matrix} - \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{5} & - \frac{1}{6} & \frac{1}{7} \\ 0 & 0 & \frac{1}{8} \end{matrix} |$

Leysið línulega jöfnuhneppið með reglu Cramers í eftirfarandi æfingum.

25.

2⁢𝑥−3⁢𝑦=−14⁢𝑥+5⁢𝑦=9 $\begin{array}{l} 2 x - 3 y = −1 \\ 4 x + 5 y = 9 \end{array}$

26.

5⁢𝑥−4⁢𝑦=2−4⁢𝑥+7⁢𝑦=6 $\begin{array}{r} 5 x - 4 y = 2 \\ - 4 x + 7 y = 6 \end{array}$

27.

6⁢𝑥−3⁢𝑦=2−8⁢𝑥+9⁢𝑦=−1 $\begin{array}{l} 6 x - 3 y = 2 \\ - 8 x + 9 y = −1 \end{array}$

28.

2⁢𝑥+6⁢𝑦=125⁢𝑥−2⁢𝑦=13 $\begin{array}{l} 2 x + 6 y = 12 \\ 5 x - 2 y = 13 \end{array}$

29.

4⁢𝑥+3⁢𝑦=232⁢𝑥−𝑦=−1 $\begin{array}{l} 4 x + 3 y = 23 \\ 2 x - y = −1 \end{array}$

30.

10⁢𝑥−6⁢𝑦=2−5⁢𝑥+8⁢𝑦=−1 $\begin{array}{l} 10 x - 6 y = 2 \\ - 5 x + 8 y = −1 \end{array}$

31.

4⁢𝑥−3⁢𝑦=−32⁢𝑥+6⁢𝑦=−4 $\begin{array}{l} 4 x - 3 y = −3 \\ 2 x + 6 y = −4 \end{array}$

32.

4⁢𝑥−5⁢𝑦=7−3⁢𝑥+9⁢𝑦=0 $\begin{array}{r} 4 x - 5 y = 7 \\ - 3 x + 9 y = 0 \end{array}$

33.

4⁢𝑥+10⁢𝑦=180−3⁢𝑥−5⁢𝑦=−105 $\begin{array}{l} 4 x + 10 y = 180 \\ - 3 x - 5 y = −105 \end{array}$

34.

8⁢𝑥−2⁢𝑦=−3−4⁢𝑥+6⁢𝑦=4 $\begin{array}{l} 8 x - 2 y = −3 \\ - 4 x + 6 y = 4 \end{array}$

Leysið línulega jöfnuhneppið með reglu Cramers í eftirfarandi æfingum.

35.

𝑥+2⁢𝑦−4⁢𝑧=−17⁢𝑥+3⁢𝑦+5⁢𝑧=26−2⁢𝑥−6⁢𝑦+7⁢𝑧=−6 $\begin{array}{l} x + 2 y - 4 z = - 1 \\ 7 x + 3 y + 5 z = 26 \\ - 2 x - 6 y + 7 z = - 6 \end{array}$

36.

−5⁢𝑥+2⁢𝑦−4⁢𝑧=−474⁢𝑥−3⁢𝑦−𝑧=−943⁢𝑥−3⁢𝑦+2⁢𝑧=94 $\begin{array}{l} - 5 x + 2 y - 4 z = - 47 \\ 4 x - 3 y - z = - 94 \\ 3 x - 3 y + 2 z = 94 \end{array}$

37.

4⁢𝑥+5⁢𝑦−𝑧=−7−2⁢𝑥−9⁢𝑦+2⁢𝑧=85⁢𝑦+7⁢𝑧=21 $\begin{array}{l} 4 x + 5 y - z = −7 \\ −2 x - 9 y + 2 z = 8 \\ 5 y + 7 z = 21 \end{array}$

38.

4⁢𝑥−3⁢𝑦+4⁢𝑧=105⁢𝑥−2⁢𝑧=−23⁢𝑥+2⁢𝑦−5⁢𝑧=−9 $\begin{array}{r} 4 x - 3 y + 4 z = 10 \\ 5 x - 2 z = - 2 \\ 3 x + 2 y - 5 z = - 9 \end{array}$

39.

4⁢𝑥−2⁢𝑦+3⁢𝑧=6−6⁢𝑥+𝑦=−22⁢𝑥+7⁢𝑦+8⁢𝑧=24 $\begin{array}{l} 4 x - 2 y + 3 z = 6 \\ - 6 x + y = - 2 \\ 2 x + 7 y + 8 z = 24 \end{array}$

40.

5⁢𝑥+2⁢𝑦−𝑧=1−7⁢𝑥−8⁢𝑦+3⁢𝑧=1.56⁢𝑥−12⁢𝑦+𝑧=7 $\begin{array}{r} 5 x + 2 y - z = 1 \\ - 7 x - 8 y + 3 z = 1.5 \\ 6 x - 12 y + z = 7 \end{array}$

41.

13⁢𝑥−17⁢𝑦+16⁢𝑧=73−11⁢𝑥+15⁢𝑦+17⁢𝑧=6146⁢𝑥+10⁢𝑦−30⁢𝑧=−18 $\begin{array}{l} 13 x - 17 y + 16 z = 73 \\ - 11 x + 15 y + 17 z = 61 \\ 46 x + 10 y - 30 z = - 18 \end{array}$

42.

−4⁢𝑥−3⁢𝑦−8⁢𝑧=−72⁢𝑥−9⁢𝑦+5⁢𝑧=0.55⁢𝑥−6⁢𝑦−5⁢𝑧=−2 $\begin{array}{l} - 4 x - 3 y - 8 z = - 7 \\ 2 x - 9 y + 5 z = 0.5 \\ 5 x - 6 y - 5 z = - 2 \end{array}$

43.

4⁢𝑥−6⁢𝑦+8⁢𝑧=10−2⁢𝑥+3⁢𝑦−4⁢𝑧=−5𝑥+𝑦+𝑧=1 $\begin{array}{l} 4 x - 6 y + 8 z = 10 \\ - 2 x + 3 y - 4 z = - 5 \\ x + y + z = 1 \end{array}$

44.

4⁢𝑥−6⁢𝑦+8⁢𝑧=10−2⁢𝑥+3⁢𝑦−4⁢𝑧=−512⁢𝑥+18⁢𝑦−24⁢𝑧=−30 $\begin{array}{r} 4 x - 6 y + 8 z = 10 \\ - 2 x + 3 y - 4 z = - 5 \\ 12 x + 18 y - 24 z = - 30 \end{array}$

Tækni

Notið ákveðufall grafreiknis í eftirfarandi æfingum.

45.

∣ ∣ ∣ ∣ ∣1089021010300243∣ ∣ ∣ ∣ ∣ $| \begin{array}{r} 1 & 0 & 8 & 9 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 3 \end{array} |$

46.

∣ ∣ ∣ ∣ ∣10210−91330−2−1011−2∣ ∣ ∣ ∣ ∣ $| \begin{array}{r} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & −9 & 1 & 3 \\ 3 & 0 & −2 & −1 \\ 0 & 1 & 1 & −2 \end{array} |$

47.

∣ ∣ ∣ ∣ ∣1217401210050022,0000002∣ ∣ ∣ ∣ ∣ $| \begin{array}{r} \frac{1}{2} & 1 & 7 & 4 \\ 0 & \frac{1}{2} & 100 & 5 \\ 0 & 0 & 2 & 2,000 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array} |$

48.

∣ ∣ ∣ ∣ ∣1000230045607890∣ ∣ ∣ ∣ ∣ $| \begin{array}{r} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 6 & 0 \\ 7 & 8 & 9 & 0 \end{array} |$

Raunhæf verkefni

Setjið upp línulegt jöfnuhneppi sem lýsir aðstæðunum í eftirfarandi æfingum. Reiknið síðan ákveðuna. Er einkvæm lausn til? Finnið hana ef svo er.

49.

Summa tveggja talna er 56. Önnur talan er 20 minni en hin.

50.

Summa tveggja talna er 104. Ef tvöföld fyrri talan og tvöföld síðari talan eru lagðar saman fæst 208.

51.

Summa þriggja talna er 106. Fyrsta talan er 3 minni en önnur talan. Þriðja talan er 4 stærri en sú fyrsta.

52.

Summa þriggja talna er 216. Summa fyrstu tveggja talnanna er 112. Þriðja talan er 8 minni en samanlögð summa fyrstu tveggja talnanna.

Setjið upp línulegt jöfnuhneppi sem lýsir aðstæðunum í eftirfarandi æfingum. Leysið síðan jöfnuhneppið að fullu með reglu Cramers.

53.

Þið fjárfestið $10,000 á tveimur reikningum sem bera 8% vexti og 5% vexti. Í lok árs er samanlögð inneign reikninganna $10,710. Hve mikið var lagt inn á hvorn reikning?

54.

Þið fjárfestið $80,000 á tveimur reikningum, $22,000 á öðrum og $58,000 á hinum. Eftir eitt ár hafið þið fengið $2,470 í einfaldar vaxtatekjur. Vextir síðari reikningsins eru hálfu prósentustigi lægri en tvöfaldir vextir fyrri reikningsins. Hverjir eru vextir reikninganna?

55.

Leikhús þarf að vita hve margir fullorðinsmiðar og barnamiðar seldust af alls 1,200 miðum. Barnamiði kostar $5.95, fullorðinsmiði $11.15 og heildartekjurnar voru $12,756. Hve margir barnamiðar og fullorðinsmiðar seldust?

56.

Tónleikastaður selur staka miða á $40 og parmiða á $65. Heildartekjurnar voru $18,090 og 321 miðar seldust. Hve margir stakir miðar og hve margir parmiðar seldust?

57.

Þið ákveðið að mála eldhúsið grænt og blandið saman gulri og blárri málningu. Þið munið ekki hve margir gallonar af hvorum lit fóru í blönduna en vitið að hún var samtals 10 gallon. Kvittunin sýnir að heildarkostnaðurinn var $29.50. Hvert gallon af gulri málningu kostar $2.59 og hvert gallon af blárri $3.19. Hve margir gallonar af hvorum lit fóru í grænu blönduna?

58.

Þið selduð tvær gerðir trefla á bændamarkaði og viljið vita hvor gerðin var vinsælli. Alls seldust 56 treflar, guli trefillinn kostaði $10 og sá fjólublái $11. Heildartekjurnar voru $583. Hve margir gulir og hve margir fjólubláir treflar seldust?

59.

Í garðinum uxu tvær tegundir tómata, grænir og rauðir. Rauðu tómatarnir vega 10 únsur hver og þeir grænu 4 únsur. Tómatarnir eru 30 og vega samtals 13 pund og 14 únsur. Hve margir tómatar eru af hvorri tegund?

60.

Á markaði standa þrjár vinsælustu grænmetistegundirnar fyrir 53% af grænmetissölunnar. Maís selst 4% meira en spergilkál og spergilkál 5% meira en laukur. Hvert er markaðshlutfall hverrar grænmetistegundar?

61.

Á sama markaði standa þrjár vinsælustu ávaxtategundirnar fyrir 37% af alls selds ávaxtamagns. Jarðarber seljast tvöfalt meira en appelsínur og kívíávextir einu prósentustigi meira en appelsínur. Finnið hlutfall hverrar ávaxtategundar af heildarsölunni.

62.

Þrír listamenn komu fram á tónleikastað. Miði á fyrsta listamanninn kostaði $15, miði á þann næsta $45 og miði á þann síðasta $22. Alls seldust 510 miðar fyrir $12,700. Fyrsta hljómsveitin hafði 40 fleiri áhorfendur en sú næsta. Hve margir miðar seldust á hverja hljómsveit?

63.

Kvikmyndahús seldi miða á þrjár kvikmyndir. Miði á fyrstu myndina kostaði $5, á aðra myndina $11 og á þá þriðju $12. 100 miðar seldust á fyrstu myndina. Alls seldust 642 miðar fyrir samtals $6,774. Hve margir miðar seldust á hverja mynd?

Notið eftirfarandi aðstæður í næstu æfingum: Fyrirtæki sem leggur áherslu á hollustu ákveður að búa til hnetu- og ávaxtablöndu úr möndlum, þurrkuðum trönuberjum og súkkulaðihúðuðum kasjúhnetum. Næringarupplýsingar hráefnanna eru sýndar í töflu 1 .

	Fita (g)	Prótín (g)	Kolvetni (g)
Möndlur (10)	6	2	3
Trönuber (10)	0.02	0	8
Kasjúhnetur (10)	7	3.5	5.5

64.

Í sérstöku lágkolvetnablöndunni eru 1,000 bitar. Kolvetnin eru samtals 425 g og fitan 570.2 g. Kasjúhnetubitarnir eru 200 fleiri en trönuberin. Hve margir bitar eru af hverri gerð í blöndunni?

65.

Í göngublöndunni eru 1,000 bitar sem innihalda 390.8 g af fitu og 165 g af prótíni. Möndlurnar og kasjúhneturnar eru jafnmargar. Hve margir bitar eru af hverri gerð í blöndunni?

66.

Í orkublöndunni eru 1,000 bitar sem innihalda 145 g af prótíni og 625 g af kolvetnum. Samanlagður fjöldi mandla og kasjúhneta er jafn fjölda trönuberja. Hve margir bitar eru af hverri gerð í blöndunni?