Liða P ( x )/Q ( x ) í stofnbrot þegar Q ( x ) hefur aðeins óendurtekna línulega þætti.
Liða P ( x )/Q ( x ) í stofnbrot þegar Q ( x ) hefur endurtekna línulega þætti.
Liða P ( x )/Q ( x ) í stofnbrot þegar Q ( x ) hefur óendurtekinn óþáttanlegan annars stigs þátt.
Liða P ( x )/Q ( x ) í stofnbrot þegar Q ( x ) hefur endurtekinn óþáttanlegan annars stigs þátt.
Fyrr í þessum kafla skoðuðum við hneppi tveggja jafna með tveimur breytum, hneppi þriggja jafna með þremur breytum og ólínuleg hneppi. Hér kynnum við aðra notkun jöfnuhneppa: liðun ræðra stæða í stofnbrot.
Brot geta verið flókin og breyta í nefnara gerir þau enn flóknari. Aðferðirnar í þessum hluta auðvelda meðferð ræðra stæða.
Að liða P ( x )/Q ( x ) í stofnbrot þegar Q(x) hefur aðeins óendurtekna línulega þætti
Rifjum upp algebruna við samlagningu og frádrátt ræðra stæða. Þessar aðgerðir byggjast á því að finna samnefnara svo rita megi summuna eða mismuninn sem eina einfaldaða ræða stæðu. Í þessum hluta skoðum við stofnbrotaliðun, sem snýr við ferlinu við að leggja saman eða draga frá ræðar stæður. Með öðrum orðum er farið frá einni einfaldaðri ræðri stæðu aftur í upphaflegu stæðurnar, sem kallast stofnbrot.
Segjum til dæmis að við leggjum saman eftirfarandi brot:
Fyrst þyrftum við að finna samnefnarann
Næst myndum við rita hvora stæðu með þessum samnefnara og finna summu liðanna.
Stofnbrotaliðun snýr þessu ferli við. Við byrjum á niðurstöðunni og umritum hana, eða liðum, sem summu tveggja brota.
Við skoðum ræðar stæður með línulega og annars stigs þætti í nefnara þar sem stig teljarans er lægra en stig nefnarans. Óháð gerð stæðunnar sem á að liða er fyrsta og mikilvægasta skrefið alltaf að þátta nefnarann.
Þegar nefnari einfölduðu stæðunnar inniheldur ólíka línulega þætti er líklegt að hver upphaflegu ræðu stæðanna sem lagðar voru saman eða dregnar frá hafi haft einn línulegu þáttanna sem nefnara. Í dæminu hér að framan eru þættir því sem eru nefnarar stofnbrotanna. Við umritum því einfaldaða formið sem summu einstakra brota og látum breytu tákna hvern teljara. Síðan finnum við teljarana með einni af nokkrum aðferðum stofnbrotaliðunar.
Dæmi 1
Að liða ræða stæðu með ólíka línulega þætti í stofnbrot
Liðið gefnu ræðu stæðuna með ólíka línulega þætti í stofnbrot.
Lausn
Við aðskiljum þætti nefnarans og látum tákn, svo sem 𝐴 , 𝐵 A , B , eða 𝐶 , C . tákna hvern teljara.
Margfaldið báðar hliðar jöfnunnar með samnefnaranum til að eyða brotunum:
Jafnan sem fæst er
Margfaldið upp úr svigum hægra megin og takið saman samkynja liði.
Setjið upp jöfnuhneppi með því að para saman samsvarandi stuðla.
Leggið jöfnurnar saman og leysið fyrir
Setjið inn í aðra upphaflegu jöfnu hneppisins.
Stofnbrotaliðunin er því
Önnur aðferð við að finna eða er að nota jöfnuna sem fékkst þegar brotunum var eytt og setja inn gildi fyrir sem gerir annaðhvort A-liðinn eða B-liðinn jafnan 0. Ef við látum verður liðurinn með 𝐴 jafn 0 og þá má leysa beint fyrir
Næst má annaðhvort setja inn í jöfnuna og leysa fyrir 𝐴 eða gera B-liðinn 0 með því að setja inn í jöfnuna.
Báðar aðferðir gefa sömu gildi fyrir og og því sömu stofnbrotaliðun.
Þótt þessi aðferð sjáist sjaldan í kennslubókum er hún hér kynnt sem valkostur sem getur einfaldað sumar stofnbrotaliðanir. Hún kallast aðferð Heavisides eftir Charles Heaviside, frumkvöðul í rannsóknum á rafeindatækni.
Að liða P ( x )/Q ( x ) í stofnbrot þegar Q(x) hefur endurtekna línulega þætti
Sum brot eru sértilvik sem liða má í stofnbrot með endurteknum línulegum þáttum. Gæta þarf að endurteknum þáttum með því að rita hvert veldi þáttarins í vaxandi röð.
Dæmi 2
Stofnbrotaliðun með endurteknum línulegum þáttum
Liðið gefnu ræðu stæðuna með endurtekna línulega þætti í stofnbrot.
Lausn
Þættir nefnarans eru Vegna endurtekins þáttarins ( 𝑥 − 2 ) verða þrír nefnarar í liðununni: 𝑥 , ( 𝑥 − 2 ) og Því fæst
Næst margföldum við báðar hliðar með samnefnaranum.
Hægra megin margföldum við upp úr svigum og tökum saman samkynja liði.
Næst berum við saman stuðlana beggja vegna. Þá fæst jöfnuhneppi með þremur breytum:
Þegar leyst er fyrir fæst
Setjið inn í jöfnu (1).
Til að leysa fyrir 𝐶 setjum við síðan gildin fyrir og inn í jöfnu (2).
Því fæst
Að liða P ( x )/Q ( x ) , í stofnbrot þegar Q(x) hefur óendurtekinn óþáttanlegan annars stigs þátt
Hingað til höfum við stofnbrotaliðað stæður sem hafa línulega þætti í nefnara og notað teljarana eða sem tákna fasta. Nú skoðum við dæmi þar sem einn þáttur nefnarans er annars stigs stæða sem ekki er hægt að þátta. Slíkur þáttur kallast óþáttanlegur annars stigs þáttur. Í slíkum tilvikum notum við línulegan teljara, svo sem og svo framvegis.
Dæmi 3
Að liða P ( x )/Q ( x ) í stofnbrot þegar Q(x) inniheldur óendurtekinn óþáttanlegan annars stigs þátt
Finnið stofnbrotaliðun gefnu stæðunnar.
Lausn
Í nefnaranum er einn línulegur þáttur og einn óþáttanlegur annars stigs þáttur. Annar teljarinn verður því fasti en hinn línuleg stæða. Því fæst
Við fylgjum sömu skrefum og í fyrri dæmum. Fyrst eyðum við brotunum með því að margfalda báðar hliðar jöfnunnar með samnefnaranum.
Takið eftir að auðvelt er að leysa fyrir með því að velja gildi á sem gerir liðinn jafnan 0. Látum og setjum það inn í jöfnuna.
Nú þegar gildi 𝐴 er þekkt setjum við það aftur inn í jöfnuna. Síðan margföldum við upp úr svigum hægra megin og tökum saman samkynja liði.
Með því að setja stuðla liðanna hægra megin jafna stuðlum samsvarandi liða vinstra megin fæst jöfnuhneppið.
Leysið fyrir með jöfnu (1) og fyrir með jöfnu (3).
Stofnbrotaliðun stæðunnar er því
Að liða P ( x )/Q ( x ) í stofnbrot þegar Q(x) hefur endurtekinn óþáttanlegan annars stigs þátt
Nú kunnum við að liða einfaldaða ræða stæðu með óþáttanlegum annars stigs þætti. Næst lærum við stofnbrotaliðun þegar einfaldaða ræða stæðan hefur endurtekna óþáttanlega annars stigs þætti. Liðunin samanstendur þá af stofnbrotum með línulega teljara yfir hverju vaxandi veldi óþáttanlega annars stigs þáttarins.
Dæmi 4
Að liða rætt fall með endurteknum óþáttanlegum annars stigs þætti í nefnara
Liðið gefnu stæðuna sem hefur endurtekinn óþáttanlegan þátt í nefnara.
Lausn
Þættir nefnarans eru og Rifjum upp að þegar þáttur í nefnara er annars stigs stæða með að minnsta kosti tveimur liðum verður teljarinn að vera á línulega forminu Byrjum því liðununina.
Við eyðum nefnurunum með því að margfalda hvern lið með Því fæst
Margfaldið upp úr svigum hægra megin.
Nú tökum við saman samkynja liði.
Setjið upp jöfnuhneppi með því að para saman samsvarandi stuðla beggja vegna jafnaðarmerkisins.
Héðan má nota innsetningu. Setjið
inn í fyrstu jöfnuna.
Setjið
og
inn í þriðju jöfnuna.
Setjið
inn í fjórðu jöfnuna.
Nú höfum við leyst fyrir allar óþekktu stærðirnar hægra megin við jafnaðarmerkið. Við höfum
og
Við getum ritað liðununina þannig:
9.4 Æfingar kaflans
Munnleg verkefni
1.
Er hægt að liða sérhvert hlutfall margliða í að minnsta kosti tvö stofnbrot? Ef svo er, útskýrið hvers vegna; ef ekki, gefið dæmi um slíkt brot.
2.
Getið þið útskýrt hvers vegna stofnbrotaliðun er ótvíræð? (Vísbending: Hugsið um hana sem jöfnuhneppi.)
3.
Getið þið útskýrt hvernig sannreyna má stofnbrotaliðun með myndriti?
4.
Þið eruð ekki viss um að stofnbrotaliðunin sé rétt. Útskýrið hvernig þið getið yfirfarið svarið.
5.
Þegar jöfnuhneppi hefur verið myndað út frá stofnbrotaliðun, getið þið útskýrt aðra aðferð til að leysa það? Ef til dæmis fæst að lokum eftir einföldun Útskýrið hvernig velja má hentugt gildi á sem eyðir annaðhvort eða og gerir kleift að leysa fyrir og
Algebruverkefni
Í eftirfarandi æfingum skal finna stofnbrotaliðun fyrir óendurtekna línulega þætti.
6.
5𝑥+16𝑥2+10𝑥+24
7.
3𝑥−79𝑥2−5𝑥−24
8.
−𝑥−24𝑥2−2𝑥−24
9.
10𝑥+47𝑥2+7𝑥+10
10.
𝑥6𝑥2+25𝑥+25
11.
32𝑥−1120𝑥2−13𝑥+2
12.
𝑥+1𝑥2+7𝑥+10
13.
5𝑥𝑥2−9
14.
10𝑥𝑥2−25
15.
6𝑥𝑥2−4
16.
2𝑥−3𝑥2−6𝑥+5
17.
4𝑥−1𝑥2−𝑥−6
18.
4𝑥+3𝑥2+8𝑥+15
19.
3𝑥−1𝑥2−5𝑥+6
Í eftirfarandi æfingum skal finna stofnbrotaliðun fyrir endurtekna línulega þætti.
20.
−5𝑥−19(𝑥+4)2
21.
𝑥(𝑥−2)2
22.
7𝑥+14(𝑥+3)2
23.
−24𝑥−27(4𝑥+5)2
24.
−24𝑥−27(6𝑥−7)2
25.
5−𝑥(𝑥−7)2
26.
5𝑥+142𝑥2+12𝑥+18
27.
5𝑥2+20𝑥+82𝑥(𝑥+1)2
28.
4𝑥2+55𝑥+255𝑥(3𝑥+5)2
29.
54𝑥3+127𝑥2+80𝑥+162𝑥2(3𝑥+2)2
30.
𝑥3−5𝑥2+12𝑥+144𝑥2(𝑥2+12𝑥+36)
Í eftirfarandi æfingum skal finna stofnbrotaliðun fyrir óendurtekinn óþáttanlegan annars stigs þátt.
31.
4𝑥2+6𝑥+11(𝑥+2)(𝑥2+𝑥+3)
32.
4𝑥2+9𝑥+23(𝑥−1)(𝑥2+6𝑥+11)
33.
−2𝑥2+10𝑥+4(𝑥−1)(𝑥2+3𝑥+8)
34.
𝑥2+3𝑥+1(𝑥+1)(𝑥2+5𝑥−2)
35.
4𝑥2+17𝑥−1(𝑥+3)(𝑥2+6𝑥+1)
36.
4𝑥2(𝑥+5)(𝑥2+7𝑥−5)
37.
4𝑥2+5𝑥+3𝑥3−1
38.
−5𝑥2+18𝑥−4𝑥3+8
39.
3𝑥2−7𝑥+33𝑥3+27
40.
𝑥2+2𝑥+40𝑥3−125
41.
4𝑥2+4𝑥+128𝑥3−27
42.
−50𝑥2+5𝑥−3125𝑥3−1
43.
−2𝑥3−30𝑥2+36𝑥+216𝑥4+216𝑥
Í eftirfarandi æfingum skal finna stofnbrotaliðun fyrir endurtekinn óþáttanlegan annars stigs þátt.
44.
3𝑥3+2𝑥2+14𝑥+15(𝑥2+4)2
45.
𝑥3+6𝑥2+5𝑥+9(𝑥2+1)2
46.
𝑥3−𝑥2+𝑥−1(𝑥2−3)2
47.
𝑥2+5𝑥+5(𝑥+2)2
48.
𝑥3+2𝑥2+4𝑥(𝑥2+2𝑥+9)2
49.
𝑥2+25(𝑥2+3𝑥+25)2
50.
2𝑥3+11𝑥2+7𝑥+70(2𝑥2+𝑥+14)2
51.
5𝑥+2𝑥(𝑥2+4)2
52.
𝑥4+𝑥3+8𝑥2+6𝑥+36𝑥(𝑥2+6)2
53.
2𝑥−9(𝑥2−𝑥)2
54.
5𝑥3−2𝑥+1(𝑥2+2𝑥)2
Viðbótarverkefni
Í eftirfarandi æfingum skal finna stofnbrotaliðunina.
55.
𝑥2+4(𝑥+1)3
56.
𝑥3−4𝑥2+5𝑥+4(𝑥−2)3
Í eftirfarandi æfingum skal framkvæma aðgerðina og finna síðan stofnbrotaliðunina.