9.2 Línuleg jöfnuhneppi með þremur breytum – Undirbúningur fyrir stærðfræðigreiningu, 2. útgáfa (IS) | Námsgögn
99 Jöfnuhneppi og ójöfnuhneppi
9.2 Línuleg jöfnuhneppi með þremur breytum
9.2 Línuleg jöfnuhneppi með þremur breytum
Námsmarkmið
Í þessum hluta lærið þið að:
Leysa hneppi þriggja jafna með þremur breytum.
Þekkja ósamkvæm jöfnuhneppi með þremur breytum.
Setja fram lausn á háðu jöfnuhneppi með þremur breytum.
Mynd 1. (Mynd: „Elembis“, Wikimedia Commons)
Jordi fékk $12,000 í arf sem hann skipti í þrjá hluta og fjárfesti með þrennum hætti: í peningamarkaðssjóði sem greiddi 3% ársvexti, í skuldabréfum sveitarfélaga sem greiddu 4% ársvexti og í verðbréfasjóðum sem greiddu 7% ársvexti. Jordi fjárfesti $4,000 meira í verðbréfasjóðum en í skuldabréfum sveitarfélaga. Fyrsta árið fékk hann $670 í vexti. Hve mikið fjárfesti Jordi í hverri tegund sjóðs?
Þegar rétt aðferð við að setja upp verkefni af þessu tagi er þekkt felst lausnin í því að fylgja ákveðnu mynstri. Í þessum hluta leysum við þetta verkefni og önnur sambærileg verkefni með þremur jöfnum og þremur breytum. Til þess beitum við svipuðum aðferðum og við lausn hneppa tveggja jafna með tveimur breytum. Lausn hneppa þriggja jafna krefst þó öllu meiri skipulagningar og nokkurrar rúmskynjunar.
Að leysa hneppi þriggja jafna með þremur breytum
Helsta verkfærið við lausn jöfnuhneppa með þremur breytum, svokallaðra 33-jöfnuhneppa, er Gauss-eyðing, sem kennd er við hinn afkastamikla þýska stærðfræðing Carl Friedrich Gauss. Þótt aðgerðirnar þurfi ekki að framkvæma í einni ákveðinni röð gilda sérstakar reglur um hvaða ummyndanir eru leyfilegar. Við getum tölusett jöfnurnar til að halda utan um skrefin. Markmiðið er að fella út eina breytu í einu þar til efra þríhyrningsform fæst. Það er hentugasta form 33-jöfnuhneppis því þá má finna lausnina ( 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) með einfaldri bakinnsetningu. Lausnin kallast röðuð þrennd. Jöfnuhneppi á efra þríhyrningsformi lítur svona út:
Leysa má þriðju jöfnuna fyrir og nota síðan bakinnsetningu til að finna
og
Til að koma hneppinu á efra þríhyrningsform má framkvæma eftirfarandi aðgerðir:
Víxla röð hvaða tveggja jafna sem er.
Margfalda báðar hliðar jöfnu með fasta sem er ekki núll.
Leggja margfeldi einnar jöfnu með tölu frábrugðinni núlli við aðra jöfnu.
Lausnamengi 33-jöfnuhneppis er raðaða þrenndin Á grafi skilgreinir raðaða þrenndin punktinn þar sem þrjú plön skerast í rúmi. Sjá má slík skurðmót fyrir sér með því að hugsa um horn í rétthyrndu herbergi. Hornið ákvarðast af þremur plönum: tveimur aðliggjandi veggjum og gólfinu (eða loftinu). Sérhver punktur þar sem tveir veggir og gólfið mætast er skurðpunktur þriggja plana.
Dæmi 1
Að ákvarða hvort röðuð þrennd sé lausn jöfnuhneppis
Ákvarðið hvort raðaða þrenndin
sé lausn jöfnuhneppisins.
Lausn
Við prófum hverja jöfnu með því að setja gildi röðuðu þrenndarinnar inn fyrir 𝑥 , 𝑦 og
Að leysa hagnýtt verkefni með hneppi þriggja jafna með þremur breytum
Í verkefninu í upphafi hlutans fjárfesti Jordi $12,000 arfi sínum í þremur ólíkum sjóðum: hluta í peningamarkaðssjóði sem greiddi 3% ársvexti, hluta í skuldabréfum sveitarfélaga sem greiddu 4% ársvexti og afganginn í verðbréfasjóðum sem greiddu 7% ársvexti. Jordi fjárfesti $4,000 meira í verðbréfasjóðum en í skuldabréfum sveitarfélaga. Heildarvextir eftir eitt ár voru $670. Hve mikið fjárfesti hann í hverri tegund sjóðs?
Lausn
Til að leysa verkefnið notum við allar gefnar upplýsingar og setjum upp þrjár jöfnur. Fyrst látum við breytu tákna hverja fjárfestingarfjárhæðanna þriggja:
Fyrri jafnan sýnir að summa höfuðstólanna þriggja er $12,000.
Við myndum aðra jöfnuna út frá því að Jordi fjárfesti $4,000 meira í verðbréfasjóðum en í skuldabréfum sveitarfélaga.
Þriðja jafnan sýnir að heildarvextirnir af sjóðunum eru $670.
Síðan ritum við jöfnurnar þrjár sem jöfnuhneppi.
Til að einfalda útreikningana getum við margfaldað þriðju jöfnuna með 100. Þá fæst
Víxlið jöfnu (2) og jöfnu (3) svo jöfnurnar tvær með þremur breytum standist á.
Margfaldið jöfnu (1) með
og leggið við jöfnu (2). Ritið niðurstöðuna sem línu 2.
Leggið jöfnu (2) við jöfnu (3) og ritið niðurstöðuna sem jöfnu (3).
Leysið fyrir
í jöfnu (3). Setjið gildið aftur inn í jöfnu (2) og leysið fyrir
Setjið síðan gildin fyrir
og
aftur inn í jöfnu (1) og leysið fyrir
Jordi fjárfesti $2,000 í peningamarkaðssjóði, $3,000 í skuldabréfum sveitarfélaga og $7,000 í verðbréfasjóðum.
Að þekkja ósamkvæm jöfnuhneppi með þremur breytum
Rétt eins og með jöfnuhneppi með tveimur breytum getum við rekist á ósamkvæmt jöfnuhneppi með þremur breytum. Það merkir að engin lausn uppfyllir allar jöfnurnar þrjár. Jöfnurnar gætu táknað þrjú samsíða plön, tvö samsíða plön og eitt plan sem sker þau eða þrjú plön sem skerast tvö og tvö en ekki öll á sama stað. Eyðingarferlið gefur þá ósanna fullyrðingu, svo sem
eða aðra mótsögn.
Dæmi 4
Að leysa ósamkvæmt hneppi þriggja jafna með þremur breytum
Leysið eftirfarandi jöfnuhneppi.
Lausn
Þegar stuðlar 𝑥 eru skoðaðir sést að fella má út með því að leggja jöfnu (1) við jöfnu (2).
Næst margföldum við jöfnu (1) með
og leggjum hana við jöfnu (3).
Síðan margföldum við jöfnu (4) með 2 og leggjum hana við jöfnu (5).
Lokajafnan er mótsögn. Við ályktum því að jöfnuhneppið sé ósamkvæmt og hafi þar af leiðandi enga lausn.
Greining
Í þessu hneppi sker hvert plan hin tvö, en skurðlínurnar liggja ekki á sama stað. Hneppið er því ósamkvæmt.
Að setja fram lausn á háðu jöfnuhneppi með þremur breytum
Af vinnu okkar með jöfnuhneppi með tveimur breytum vitum við að háð jöfnuhneppi hefur óendanlega margar lausnir. Hið sama gildir um háð jöfnuhneppi með þremur breytum. Ýmsar aðstæður geta gefið óendanlega margar lausnir. Plönin þrjú gætu fallið saman, þannig að lausn einnar jöfnu væri einnig lausn hinna tveggja. Jöfnurnar þrjár gætu allar verið ólíkar en plönin skerst eftir línu sem inniheldur óendanlega marga lausnarpunkta. Einnig gætu tvær jöfnur verið eins og samsvarandi plan skerst við það þriðja eftir línu.
Dæmi 5
Að finna lausn á háðu jöfnuhneppi
Finnið lausn á gefnu hneppi þriggja jafna með þremur breytum.
Lausn
Fyrst getum við margfaldað jöfnu (1) með
og lagt hana við jöfnu (2).
Við þurfum ekki að halda lengra áfram. Niðurstaðan er samsemdin sem segir okkur að hneppið hafi óendanlega margar lausnir. Byrja má lausnina með öðrum hætti, til dæmis með því að margfalda jöfnu (3) með og leggja hana við jöfnu (1). Þá framkvæmum við sömu skref og hér að framan og fáum sömu niðurstöðu,
Þegar jöfnuhneppi er háð getum við fundið almennar stæður fyrir lausnirnar. Með því að leggja saman jöfnur (1) og (3) fæst
Síðan leysum við jöfnuna sem fæst fyrir
Við setjum stæðuna fyrir
aftur inn í eina jöfnuna og leysum fyrir
Almenna lausnin er því
Í þessari lausn má
vera hvaða rauntala sem er. Gildi
og
ráðast af gildinu sem valið er fyrir
Greining
Eins og sést á mynd 5 falla tvö plananna saman og skerast við þriðja planið eftir línu. Lausnamengið er óendanlegt því allir punktar skurðlínunnar uppfylla jöfnurnar þrjár.
Mynd 5
9.2 Æfingar úr hlutanum
Munnlegar spurningar
1.
Getur línulegt hneppi þriggja jafna haft nákvæmlega tvær lausnir? Útskýrið hvers vegna eða hvers vegna ekki.
2.
Gefin röðuð þrennd leysir jöfnuhneppið. Er lausnin þá ótvíræð? Ef svo er, útskýrið hvers vegna. Ef ekki, gefið dæmi þar sem hún er ekki ótvíræð.
3.
Gefin röðuð þrennd leysir ekki jöfnuhneppið. Þýðir það að hneppið hafi enga lausn? Ef svo er, útskýrið hvers vegna. Ef ekki, gefið dæmi.
4.
Er aðeins ein leið til að leysa hneppið með samlagningaraðferð?
5.
Getur aðeins ein aðferð verið möguleg við lausn línulegs jöfnuhneppis? Ef svo er, gefið dæmi um slíkt hneppi. Ef ekki, útskýrið hvers vegna.
Algebruleg verkefni
Ákvarðið í eftirfarandi æfingum hvort gefna raðaða þrenndin sé lausn jöfnuhneppisins.
6.
og
7.
og
8.
og
9.
og
10.
og
Leysið hvert jöfnuhneppi í eftirfarandi æfingum með eyðingu.
11.
3𝑥−4𝑦+2𝑧=−152𝑥+4𝑦+𝑧=162𝑥+3𝑦+5𝑧=20
12.
5𝑥−2𝑦+3𝑧=202𝑥−4𝑦−3𝑧=−9𝑥+6𝑦−8𝑧=21
13.
5𝑥+2𝑦+4𝑧=9−3𝑥+2𝑦+𝑧=104𝑥−3𝑦+5𝑧=−3
14.
4𝑥−3𝑦+5𝑧=31−𝑥+2𝑦+4𝑧=20𝑥+5𝑦−2𝑧=−29
15.
5𝑥−2𝑦+3𝑧=4−4𝑥+6𝑦−7𝑧=−13𝑥+2𝑦−𝑧=4
16.
4𝑥+6𝑦+9𝑧=0−5𝑥+2𝑦−6𝑧=37𝑥−4𝑦+3𝑧=−3
Leysið hvert jöfnuhneppi í eftirfarandi æfingum með Gauss-eyðingu.
Þrjár sléttar tölur hafa summuna 108. Sú minnsta er helmingur þeirrar stærstu og miðtalan er
af stærstu tölunni. Hverjar eru tölurnar þrjár?
52.
Þrjár tölur hafa summuna 147. Minnsta talan er helmingur miðtölunnar, sem er helmingur stærstu tölunnar. Hverjar eru tölurnar þrjár?
53.
Á ættarmóti voru aðeins blóðskyldir ættingjar: börn, foreldrar og afar og ömmur. Alls mættu 400 manns. Foreldrarnir voru tvöfalt fleiri en afar og ömmur og börnin voru 50 fleiri en foreldrarnir. Hve mörg börn, hve margir foreldrar og hve margir afar og ömmur mættu?
54.
Dýraathvarf hefur alls 350 ketti, hunda og kanínur. Kanínurnar eru 5 færri en helmingur kattanna og kettirnir eru 20 fleiri en hundarnir. Hve mörg dýr af hverri tegund eru í athvarfinu?
55.
Sambýliskona þín, Shani, bauðst til að kaupa matvörur fyrir þig og hinn sambýlinginn. Heildarreikningurinn var $82. Hún gleymdi að geyma einstöku kvittanirnar en mundi að matvörurnar þínar kostuðu $0.05 minna en helmingur hennar eigin matvara og að matvörur hins sambýlingsins kostuðu $2.10 meira en þínar. Hve stór var hlutur hvers ykkar í matvörukaupunum?
56.
Sambýlismaður þinn, John, bauðst til að kaupa heimilisvörur fyrir þig og hinn sambýlinginn. Þið búið nærri landamærum þriggja ríkja sem hvert leggur á ólíkan söluskatt. Alls var $100.75 varið. Vörurnar þínar báru 5% skatt, vörur Johns 8% skatt og vörur þriðja sambýlingsins 9% sölu skatt. Heildarverð án skatta var $93.50. Ef vörurnar þínar fyrir skatt kostuðu $1 meira en helmingur vara þriðja sambýlingsins fyrir skatt, hve miklu eyddi hvert ykkar? Gefið svarið bæði með og án skatta.
57.
Þrír vinnufélagar starfa hjá sama vinnuveitanda. Þeir eru vöruhússtjóri, skrifstofustjóri og vörubílstjóri. Samanlögð árslaun vöruhússtjórans og skrifstofustjórans eru $82,000. Skrifstofustjórinn fær $4,000 meira á ári en vörubílstjórinn. Samanlögð árslaun vöruhússtjórans og vörubílstjórans eru $78,000. Hver eru árslaun hvers vinnufélaga?
58.
Í lok dags voru tekjur á skemmtihátíð $2,914.25. Barnamiði kostaði $20.50, miði fyrir fullorðna $29.75 og miði fyrir eldri borgara $15.25. Tvöfalt fleiri eldri borgarar en fullorðnir mættu og börnin voru 20 fleiri en eldri borgararnir. Hve margir barnamiðar, miðar fyrir fullorðna og miðar fyrir eldri borgara seldust?
59.
Hljómsveit selur upp tónleika. Allir 1,175 miðarnir seljast og heildartekjurnar eru $28,112.50. Nemendamiðar kostuðu $20, barnamiðar $22.50 og miðar fyrir fullorðna $29. Ef hljómsveitin seldi tvöfalt fleiri miða fyrir fullorðna en barnamiða, hve margir miðar af hverri tegund seldust?
60.
Barn á 325 myntir að verðmæti $19.50 í poka. Myntirnar eru af þremur gerðum: eins senta, fimm senta og tíu senta myntir. Ef jafnmargar fimm senta og tíu senta myntir eru í pokanum, hve margar myntir af hverri gerð eru þar?
61.
Á síðasta ári var hægt að kaupa tiltekna gerð BMW, Jeep og Toyota hjá bílaumboðinu Haven’s Pond fyrir samtals $140,000. Vegna verðbólgu myndu sömu bílar kosta $151,830 í ár. Verð BMW hækkaði um 8%, Jeep um 5% og Toyota um 12%. Ef Jeep-bíllinn kostaði $7,000 minna en BMW-bíllinn í fyrra, hvert var verð bílanna þriggja þá?
62.
Þegar yngsta barn Deandres flutti að heiman seldi hann húsið sitt og fjárfesti söluhagnaðinn með þrennum hætti. Hann lagði $80,500 inn á þrjá reikninga: einn sem greiddi 4% einfalda vexti, annan sem greiddi
einfalda vexti og þann þriðja sem greiddi
einfalda vexti. Eftir eitt ár fékk hann $2,670 í vexti. Ef fjárhæðin á öðrum reikningnum var fjórföld fjárhæðin á þeim þriðja, hve mikið var lagt inn á hvern reikning?
63.
Þið erfið eina milljón dollara og leggið allt féð inn á þrjá reikninga í eitt ár. Fyrsti reikningurinn ber 3% ársvexti með vaxtavöxtum, annar 4% ársvexti með vaxtavöxtum og sá þriðji 2% ársvexti með vaxtavöxtum. Eftir eitt ár fáið þið $34,000 í vexti. Ef þið leggið fjórfalt meira fé á reikninginn sem greiðir 3% en reikninginn sem greiðir 2%, hve mikið lögðuð þið inn á hvern reikning?
64.
Frumkvöðull selur hluta fyrirtækis síns fyrir hundrað þúsund dollara og leggur allt féð inn á þrjá reikninga í eitt ár. Fyrsti reikningurinn ber 4% ársvexti með vaxtavöxtum, annar 3% ársvexti með vaxtavöxtum og sá þriðji 2% ársvexti með vaxtavöxtum. Eftir eitt ár fær frumkvöðullinn $3,650 í vexti. Ef fimmfalt meira fé var lagt á reikninginn sem greiðir 4% en reikninginn sem greiðir 3%, hve mikið var lagt inn á hvern reikning?
65.
Þrjú olíunotkunarhæstu löndin á tilteknu ári voru Bandaríkin, Japan og Kína. Miðað við milljónir tunna á dag notuðu löndin þrjú 39.8% af olíunotkun heimsins. Bandaríkin notuðu 0.7% meira en fjórfalda notkun Kína. Bandaríkin notuðu 5% meira en þrefalda notkun Japans. Hve stórt hlutfall af olíunotkun heimsins féll á Bandaríkin, Japan og Kína? 1
66.
Þrjú olíuframleiðsluhæstu löndin sama ár voru Sádi-Arabía, Bandaríkin og Rússland. Miðað við milljónir tunna á dag framleiddu löndin þrjú 31.4% af olíuframleiðslu heimsins. Sádi-Arabía og Bandaríkin framleiddu saman 22.1% af heimsframleiðslunni og Sádi-Arabía framleiddi 2% meira olíu en Rússland. Hve stórt hlutfall af olíuframleiðslu heimsins féll á Sádi-Arabíu, Bandaríkin og Rússland? 2
67.
Þrjú helstu upprunalönd olíuinnflutnings Bandaríkjanna sama ár voru Sádi-Arabía, Mexíkó og Kanada. Löndin þrjú stóðu fyrir 47% olíuinnflutningsins. Bandaríkin fluttu inn 1.8% meira frá Sádi-Arabíu en frá Mexíkó og 1.7% meira frá Sádi-Arabíu en frá Kanada. Hve stórt hlutfall olíuinnflutnings Bandaríkjanna kom frá þessum þremur löndum? 3
68.
Þrjú olíuframleiðsluhæstu svæði Bandaríkjanna á tilteknu ári voru Mexíkóflói, Texas og Alaska. Svæðin þrjú stóðu fyrir 64% af olíuframleiðslu Bandaríkjanna. Mexíkóflói og Texas framleiddu saman 47% af olíunni. Texas framleiddi 3% meira en Alaska. Hve stórt hlutfall olíuframleiðslu Bandaríkjanna kom frá þessum svæðum? 4
69.
Á ákveðnum tíma voru 398 dýrategundir á lista yfir tegundir í útrýmingarhættu í Bandaríkjunum. Stærstu hóparnir voru spendýr, fuglar og fiskar, sem saman voru 55% tegundanna á listanum. Fuglar voru 0.7% fleiri en fiskar og fiskar 1.5% fleiri en spendýr. Hve stórt hlutfall tegundanna í útrýmingarhættu voru spendýr, fuglar og fiskar?
70.
Kjötneyslu í Bandaríkjunum má skipta í þrjá flokka: rautt kjöt, alifuglakjöt og fisk. Ef fiskneysla er 4% minni en fjórðungur alifuglakjötsneyslu og neysla rauðs kjöts er 18.2% meiri en alifuglakjötsneysla, hvert er hlutfall hvers flokks af kjötneyslunni? 5
