9.1 Línuleg jöfnuhneppi með tveimur breytum – Undirbúningur fyrir stærðfræðigreiningu, 2. útgáfa (IS) | Námsgögn
99 Jöfnuhneppi og ójöfnuhneppi
9.1 Línuleg jöfnuhneppi með tveimur breytum
9.1 Línuleg jöfnuhneppi með tveimur breytum
Námsmarkmið
Í þessum hluta lærið þið að:
Leysa jöfnuhneppi með grafi.
Leysa jöfnuhneppi með innsetningaraðferð.
Leysa jöfnuhneppi með samlagningaraðferð.
Þekkja ósamkvæm jöfnuhneppi með tveimur breytum.
Setja fram lausnir háðra jöfnuhneppa með tveimur breytum.
Mynd 1. (Mynd: Thomas Sørenes)
Hjólabrettaframleiðandi setur nýja vörulínu á markað. Hann skráir kostnaðinn, það er útgjöldin við framleiðslu brettanna, og tekjurnar af sölu þeirra. Hvernig getur fyrirtækið komist að því hvort nýja vörulínan skili hagnaði? Hve mörg hjólabretti þarf að framleiða og selja áður en hagnaður verður mögulegur? Í þessum hluta notum við línulegar jöfnur með tveimur breytum til að svara þessum og svipuðum spurningum.
Inngangur að jöfnuhneppum
Til að rannsaka aðstæður á borð við rekstur hjólabrettaframleiðandans þurfum við að gera okkur grein fyrir að fleiri en ein breyta og líklega fleiri en ein jafna koma við sögu. Línulegt jöfnuhneppi samanstendur af tveimur eða fleiri línulegum jöfnum með tveimur eða fleiri breytum, þar sem allar jöfnur hneppisins eru skoðaðar samtímis. Til að finna einkvæma lausn línulegs jöfnuhneppis þurfum við að finna tölugildi fyrir hverja breytu sem uppfyllir allar jöfnurnar í senn. Sum línuleg hneppi hafa enga lausn en önnur óendanlega margar lausnir. Til að línulegt hneppi geti haft einkvæma lausn þurfa jöfnurnar að vera að minnsta kosti jafn margar og breyturnar, en það eitt tryggir þó ekki einkvæma lausn.
Í þessum hluta skoðum við línuleg jöfnuhneppi með tveimur breytum, sem samanstanda af tveimur jöfnum með tveimur ólíkum breytum. Skoðum til dæmis eftirfarandi línulega jöfnuhneppi.
Lausn línulegs jöfnuhneppis með tveimur breytum er sérhver röðuð tvennd sem uppfyllir hvora jöfnuna um sig. Í þessu dæmi er raðaða tvenndin (4, 7) lausn hneppisins. Staðfesta má lausnina með því að setja gildin inn í hvora jöfnuna og athuga hvort tvenndin uppfylli þær báðar. Brátt skoðum við aðferðir til að finna slíka lausn ef hún er til.
Auk fjölda jafna og breyta má flokka línuleg jöfnuhneppi eftir fjölda lausna. Samkvæmt jöfnuhneppi hefur að minnsta kosti eina lausn. Samkvæmt hneppi með nákvæmlega eina lausn, eins og dæmið sem við skoðuðum, er óháð jöfnuhneppi. Línurnar tvær hafa ólíkar hallatölur og skerast í einum punkti í planinu. Samkvæmt hneppi er háð jöfnuhneppi ef jöfnurnar hafa sömu hallatölu og sama skurðpunkt við y-ás. Þá falla línurnar saman og jöfnurnar tákna sömu línuna. Sérhver punktur á línunni gefur hnitapar sem uppfyllir hneppið og lausnirnar eru því óendanlega margar.
Önnur gerð línulegs jöfnuhneppis er ósamkvæmt jöfnuhneppi, þar sem jöfnurnar tákna tvær samsíða línur. Línurnar hafa sömu hallatölu en ólíka skurðpunkta við y-ás. Enginn punktur liggur á báðum línunum og hneppið hefur því enga lausn.
Dæmi 1
Að ákvarða hvort röðuð tvennd sé lausn jöfnuhneppis
Ákvarðið hvort raðaða tvenndin sé lausn gefna jöfnuhneppisins.
Lausn
Setjið röðuðu tvenndina inn í báðar jöfnurnar.
Raðaða tvenndin uppfyllir báðar jöfnurnar og er því lausn hneppisins.
Greining
Lausnin sést skýrt þegar graf hvorrar jöfnu er teiknað. Þar sem lausnin er röðuð tvennd sem uppfyllir báðar jöfnurnar liggur punkturinn á báðum línum og er því skurðpunktur þeirra. Sjá mynd 3 .
Mynd 3
Að leysa jöfnuhneppi með grafi
Til eru margar aðferðir við að leysa línuleg jöfnuhneppi. Fyrir línulegt jöfnuhneppi með tveimur breytum má ákvarða bæði gerð hneppisins og lausnina með því að teikna gröf jafnanna í sama hnitakerfi.
Dæmi 2
Að leysa jöfnuhneppi með tveimur breytum með grafi
Leysið eftirfarandi jöfnuhneppi með grafi og tilgreinið gerð hneppisins.
Lausn
Leysið fyrri jöfnuna fyrir
Leysið síðari jöfnuna fyrir
Teiknið gröf beggja jafna í sama hnitakerfi eins og á mynd 4 .
Mynd 4
Línurnar virðast skerast í punktinum Staðfesta má að þetta sé lausn hneppisins með því að setja röðuðu tvenndina inn í báðar jöfnurnar.
Lausn hneppisins er raðaða tvenndin ( − 3 , − 2 ) og hneppið er því óháð.
Að leysa jöfnuhneppi með innsetningaraðferð
Að leysa línulegt jöfnuhneppi með tveimur breytum með grafi hentar vel þegar lausnin er heiltölutvennd. Ef lausnin inniheldur tugabrot eða almenn brot er aðferðin hins vegar ekki nægilega nákvæm. Við skoðum því tvær aðrar og nákvæmari aðferðir. Önnur þeirra er innsetningaraðferðin. Þá er önnur jafnan leyst fyrir aðra breytuna og niðurstaðan sett inn í hina jöfnuna til að leysa fyrir hina breytuna. Aðeins er hægt að leysa fyrir eina breytu í einu og þess vegna er innsetningaraðferðin bæði gagnleg og hagkvæm.
Dæmi 3
Að leysa jöfnuhneppi með tveimur breytum með innsetningaraðferð
Leysið eftirfarandi jöfnuhneppi með innsetningaraðferð.
Lausn
Leysum fyrst fyrri jöfnuna fyrir
Nú má setja stæðuna í stað í síðari jöfnunni.
Síðan setjum við inn í fyrri jöfnuna og leysum fyrir
Lausnin er
Athugið lausnina með því að setja inn í báðar jöfnurnar.
Að leysa jöfnuhneppi með tveimur breytum með samlagningaraðferð
Þriðja leiðin til að leysa línuleg jöfnuhneppi er samlagningaraðferðin. Þá eru lagðir saman tveir liðir með sömu breytu en gagnstæða stuðla, svo summan verði núll. Ekki eru öll hneppi sett fram þannig að stuðlar annarrar breytunnar séu gagnstæðar tölur. Oft þarf að margfalda aðra eða báðar jöfnurnar með tölu svo hægt sé að fella aðra breytuna út með samlagningu.
Dæmi 4
Að leysa jöfnuhneppi með samlagningaraðferð
Leysið gefna jöfnuhneppið með samlagningu.
Lausn
Báðar jöfnurnar eru þegar jafnar fasta. Takið eftir að stuðull í síðari jöfnunni, −1, er samlagningarandhverfa stuðuls í fyrri jöfnunni, 1. Því má leggja jöfnurnar saman og fella út án þess að margfalda með fasta.
Þegar 𝑥 hefur verið fellt út má leysa jöfnuna sem fæst fyrir
Síðan setjum við gildið fyrir inn í aðra upphaflegu jöfnuna og leysum fyrir
Lausn hneppisins er
Athugið lausnina í fyrri jöfnunni.
Greining
Grafísk framsetning gefur mikilvæga innsýn í jöfnuhneppi. Á mynd 5 sést að jöfnurnar skerast í lausnarpunktinum. Ekki þarf að velta fyrir sér hvort önnur lausn sé til, því grafið staðfestir að hneppið hefur nákvæmlega eina lausn.
Mynd 5
Dæmi 5
Að nota samlagningaraðferð þegar margfalda þarf aðra jöfnuna
Leysið gefna jöfnuhneppið með samlagningaraðferð.
Lausn
Ef jöfnurnar eru lagðar saman eins og þær standa fellur hvorug breytan út. Í fyrri jöfnunni er þó liðurinn en í þeirri síðari liðurinn Ef síðari jafnan er margfölduð með − 3 verður summa x-liðanna núll.
Leggjum nú jöfnurnar saman.
Að lokum setjum við inn í aðra upphaflegu jöfnuna og leysum fyrir
Lausnin er raðaða tvenndin Sjá mynd 6 . Athugið lausnina í síðari upphaflegu jöfnunni.
Mynd 6
Dæmi 6
Að nota samlagningaraðferð þegar margfalda þarf báðar jöfnurnar
Leysið gefna jöfnuhneppið með tveimur breytum með samlagningu.
Lausn
Í annarri jöfnunni er en í hinni Minnsta sameiginlega margfeldið er og því þarf að margfalda báðar jöfnurnar með fasta til að fella aðra breytuna út. Fellum út með því að margfalda fyrri jöfnuna með og þá síðari með
Að nota samlagningaraðferð fyrir jöfnuhneppi með brotum
Leysið gefna jöfnuhneppið með tveimur breytum með samlagningu.
Lausn
Losið fyrst brotin úr hvorri jöfnu með því að margfalda báðar hliðar hennar með minnsta samnefnara.
Margfaldið nú síðari jöfnuna með svo hægt sé að fella x-breytuna út.
Leggið jöfnurnar saman til að fella x-breytuna út og leysið jöfnuna sem fæst.
Setjið inn í fyrri jöfnuna.
Lausnin er Athugið hana í hinni jöfnunni.
Að þekkja ósamkvæm jöfnuhneppi með tveimur breytum
Nú þegar við þekkjum nokkrar aðferðir við að leysa jöfnuhneppi getum við notað þær til að bera kennsl á ósamkvæm hneppi. Munum að ósamkvæmt hneppi táknar samsíða línur með sömu hallatölu en ólíka skurðpunkta við -ás. Línurnar skerast aldrei. Þegar leitað er að lausn ósamkvæms hneppis fæst ósönn fullyrðing á borð við
Dæmi 8
Að leysa ósamkvæmt jöfnuhneppi
Leysið eftirfarandi jöfnuhneppi.
Lausn
Tvennt kemur til greina. Þar sem önnur jafnan er þegar leyst fyrir 𝑥 er augljósast að nota innsetningu.
Þessi fullyrðing er augljóslega mótsögn því Hneppið hefur því enga lausn.
Hin leiðin er að umrita fyrst báðar jöfnurnar á hallatölu- og skurðpunktsform. Fyrri jöfnunni er breytt þannig:
Síðari jöfnunni er síðan breytt í hallatölu- og skurðpunktsform.
Við samanburð sést að jöfnurnar hafa sömu hallatölu en ólíka skurðpunkta við y-ás. Línurnar eru því samsíða og skerast ekki.
Greining
Þegar jöfnurnar eru ritaðar á hallatölu- og skurðpunktsform sést að hneppið er ósamkvæmt, því allar ósamsíða línur skerast einhvers staðar. Samsíða línur skerast aldrei og línurnar tvær eiga því engan punkt sameiginlegan. Gröf jafnanna í dæminu eru sýnd á mynd 8 .
Mynd 8
Að setja fram lausnir háðra jöfnuhneppa með tveimur breytum
Háð jöfnuhneppi með tveimur breytum er hneppi þar sem jöfnurnar tvær tákna sömu línuna. Háð hneppi hafa óendanlega margar lausnir því allir punktar annarrar línunnar liggja einnig á hinni. Eftir innsetningu eða samlagningu fæst samsemd á borð við
Dæmi 9
Að finna lausn á háðu línulegu jöfnuhneppi
Finnið lausn jöfnuhneppisins með samlagningaraðferð.
Lausn
Með samlagningaraðferð viljum við fella aðra breytuna út með því að leggja jöfnurnar saman. Hér skulum við fella 𝑥 út. Ef báðar hliðar fyrri jöfnunnar eru margfaldaðar með − 3 má fella -breytuna út.
Leggjum nú jöfnurnar saman.
Sjá má að óendanlega margar lausnir uppfylla báðar jöfnurnar.
Greining
Ef báðar jöfnurnar væru ritaðar á hallatölu- og skurðpunktsform mætti sjá fyrir hvernig lausnin liti út áður en þær væru lagðar saman. Skoðum hvað gerist þegar hneppinu er breytt í það form.
Sjá mynd 9 . Niðurstaðan er sú sama. Almenn lausn hneppisins er
Mynd 9
Notkun jöfnuhneppa til að kanna hagnað
Með því að nota það sem við höfum lært um jöfnuhneppi getum við snúið aftur að dæminu um hjólabrettaframleiðandann í upphafi hlutans. Tekjufall framleiðandans er fallið sem notað er til að reikna hve mikið fé kemur inn í reksturinn. Það má tákna með jöfnunni þar sem magn og verð. Tekjufallið er sýnt með appelsínugulum lit á mynd 10 .
Kostnaðarfallið er fallið sem notað er til að reikna kostnað við reksturinn. Það tekur bæði til fasts kostnaðar, svo sem húsaleigu og launa, og breytilegs kostnaðar, svo sem veitugjalda. Kostnaðarfallið er sýnt með bláum lit á mynd 10 . -ásinn sýnir magn í hundruðum eininga. y-ásinn sýnir annaðhvort kostnað eða tekjur í hundruðum dollara.
Punkturinn þar sem línurnar tvær skerast kallast núllpunktur rekstrarins. Af grafinu sést að ef 700 einingar eru framleiddar er kostnaðurinn $3,300 og tekjurnar einnig $3,300. Með öðrum orðum stendur fyrirtækið á núlli ef það framleiðir og selur 700 einingar. Þá verður hvorki hagnaður né tap.
Skyggða svæðið hægra megin við núllpunktinn táknar það magn sem skilar fyrirtækinu hagnaði. Skyggða svæðið vinstra megin táknar það magn sem veldur fyrirtækinu tapi. Hagnaðarfallið er tekjufallið að frádregnu kostnaðarfallinu og er ritað Það skiptir fyrirtæki augljóslega miklu máli að vita við hvaða magn kostnaður og tekjur eru jafnar.
Dæmi 10
Að finna núllpunkt og hagnaðarfall með innsetningu
Gefin eru kostnaðarfallið og tekjufallið 𝑅 ( 𝑥 ) = 1 . 5 5 𝑥 . Finnið núllpunktinn og hagnaðarfallið.
Lausn
Ritið jöfnuhneppið og notið í stað fallatáknunar.
Setjið stæðuna úr fyrri jöfnunni inn í þá síðari og leysið fyrir
Síðan setjum við inn í annaðhvort kostnaðarfallið eða tekjufallið.
Núllpunkturinn er
Hagnaðarfallið er fundið með formúlunni
Hagnaðarfallið er
Greining
Kostnaðurinn við að framleiða 50,000 einingar er $77,500 og tekjurnar af sölu 50,000 eininga eru einnig $77,500. Til að skila hagnaði þarf fyrirtækið að framleiða og selja fleiri en 50,000 einingar. Sjá mynd 11 .
Mynd 11
Af grafinu á mynd 12 sést að hagnaðarfallið er neikvætt þar til þar sem grafið sker x-ásinn. Eftir það tekur grafið jákvæð y-gildi og heldur áfram á sömu braut því hagnaðarfallið er bein lína. Þetta sýnir að núllpunktur rekstrarins fæst þegar hagnaðarfallið er 0. Svæðið vinstra megin við núllpunktinn táknar rekstur með tapi.
Mynd 12
Dæmi 11
Að setja upp og leysa jöfnuhneppi með tveimur breytum
Miði á sirkusinn kostar fyrir börn og fyrir fullorðna. Á tilteknum degi sóttu manns sirkusinn og heildartekjur af miðasölu voru Hve mörg börn og hve margir fullorðnir keyptu miða?
Lausn
Látum c = the tákna fjölda barna og a = the fjölda fullorðinna sem mættu.
Heildarfjöldinn er Við getum notað þetta til að setja upp jöfnu fyrir fjölda fólks í sirkusnum þennan dag.
Tekjur af öllum barnamiðunum fást með því að margfalda með fjölda barna, Tekjur af öllum miðum fyrir fullorðna fást með því að margfalda með fjölda fullorðinna, Heildartekjurnar eru Við getum notað þetta til að setja upp jöfnu fyrir tekjurnar.
Við höfum nú línulegt jöfnuhneppi með tveimur breytum.
Í fyrri jöfnunni er stuðull beggja breyta 1. Við getum auðveldlega leyst hana fyrir annaðhvort eða Við leysum fyrir
Setjið stæðuna inn fyrir í síðari jöfnunni og leysið fyrir
Setjið inn í fyrri jöfnuna og leysið fyrir
Við fáum að börn og fullorðnir keyptu miða á sirkusinn þennan dag.
9.1 Æfingar úr hlutanum
Munnlegar spurningar
1.
Getur línulegt jöfnuhneppi haft nákvæmlega tvær lausnir? Útskýrið hvers vegna eða hvers vegna ekki.
2.
Segjum að þið gerið núllpunktsgreiningu fyrir fyrirtæki og að kostnaðar- og tekjujöfnur þess séu háðar. Útskýrið hvaða áhrif það hefur á hagnaðarhlutfall fyrirtækisins.
3.
Segjum að þið gerið núllpunktsgreiningu og fáið neikvæðan núllpunkt. Útskýrið hvað það merkir fyrir fyrirtækið.
4.
Segjum að þið gerið núllpunktsgreiningu og enginn núllpunktur sé til. Útskýrið hvað það merkir fyrir fyrirtækið. Hvernig ætti það að tryggja að núllpunktur sé til?
5.
Gefið er jöfnuhneppi. Útskýrið að minnsta kosti tvær ólíkar aðferðir til að leysa hneppið.
Algebruleg verkefni
Í eftirfarandi æfingum skuluð þið ákvarða hvort gefna raðaða tvenndin sé lausn jöfnuhneppisins.
6.
og
7.
og
8.
og
9.
og
10.
og
Leysið hvert jöfnuhneppi í eftirfarandi æfingum með innsetningu.
11.
𝑥+3𝑦=52𝑥+3𝑦=4
12.
3𝑥−2𝑦=185𝑥+10𝑦=−10
13.
4𝑥+2𝑦=−103𝑥+9𝑦=0
14.
2𝑥+4𝑦=−3.89𝑥−5𝑦=1.3
15.
−2𝑥+3𝑦=1.2−3𝑥−6𝑦=1.8
16.
𝑥−0.2𝑦=1−10𝑥+2𝑦=5
17.
3𝑥+5𝑦=930𝑥+50𝑦=−90
18.
−3𝑥+𝑦=212𝑥−4𝑦=−8
19.
12𝑥+13𝑦=1616𝑥+14𝑦=9
20.
−14𝑥+32𝑦=11−18𝑥+13𝑦=3
Leysið hvert jöfnuhneppi í eftirfarandi æfingum með samlagningu.
21.
−2𝑥+5𝑦=−427𝑥+2𝑦=30
22.
6𝑥−5𝑦=−342𝑥+6𝑦=4
23.
5𝑥−𝑦=−2.6−4𝑥−6𝑦=1.4
24.
7𝑥−2𝑦=34𝑥+5𝑦=3.25
25.
−x+2𝑦=−15𝑥−10𝑦=6
26.
7𝑥+6𝑦=2−28𝑥−24𝑦=−8
27.
56𝑥+14𝑦=018𝑥−12𝑦=−43120
28.
13𝑥+19𝑦=29−12𝑥+45𝑦=−13
29.
−0.2𝑥+0.4𝑦=0.6𝑥−2𝑦=−3
30.
−0.1𝑥+0.2𝑦=0.65𝑥−10𝑦=1
Leysið hvert jöfnuhneppi í eftirfarandi æfingum með hvaða aðferð sem er.
31.
5𝑥+9𝑦=16𝑥+2𝑦=4
32.
6𝑥−8𝑦=−0.63𝑥+2𝑦=0.9
33.
5𝑥−2𝑦=2.257𝑥−4𝑦=3
34.
𝑥−512𝑦=−5512−6𝑥+52𝑦=552
35.
7𝑥−4𝑦=762𝑥+4𝑦=13
36.
3𝑥+6𝑦=112𝑥+4𝑦=9
37.
73𝑥−16𝑦=2−216𝑥+312𝑦=−3
38.
12𝑥+13𝑦=1332𝑥+14𝑦=−18
39.
2.2𝑥+1.3𝑦=−0.14.2𝑥+4.2𝑦=2.1
40.
0.1𝑥+0.2𝑦=20.35𝑥−0.3𝑦=0
Grafísk verkefni
Teiknið graf jöfnuhneppisins í eftirfarandi æfingum. Takið fram hvort hneppið sé samkvæmt, ósamkvæmt eða háð og hvort það hafi eina lausn, enga lausn eða óendanlega margar lausnir.
41.
3𝑥−𝑦=0.6𝑥−2𝑦=1.3
42.
−𝑥+2𝑦=42𝑥−4𝑦=1
43.
𝑥+2𝑦=72𝑥+6𝑦=12
44.
3𝑥−5𝑦=7𝑥−2𝑦=3
45.
3𝑥−2𝑦=5−9𝑥+6𝑦=−15
Tækniverkefni
Notið skurðpunktsaðgerð grafreiknis til að leysa hvert jöfnuhneppi í eftirfarandi æfingum. Námundið öll svör að næsta hundraðshluta.
46.
0.1𝑥+0.2𝑦=0.3−0.3𝑥+0.5𝑦=1
47.
−0.01𝑥+0.12𝑦=0.620.15𝑥+0.20𝑦=0.52
48.
0.5𝑥+0.3𝑦=40.25𝑥−0.9𝑦=0.46
49.
0.15𝑥+0.27𝑦=0.39−0.34𝑥+0.56𝑦=1.8
50.
−0.71𝑥+0.92𝑦=0.130.83𝑥+0.05𝑦=2.1
Viðbótarverkefni
Leysið hvert jöfnuhneppi í eftirfarandi æfingum með 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 , 𝐷 , 𝐸 og þar sem eru tölur frábrugðnar núlli. Athugið að og
51.
𝑥+𝑦=𝐴𝑥−𝑦=𝐵
52.
𝑥+𝐴𝑦=1𝑥+𝐵𝑦=1
53.
𝐴𝑥+𝑦=0𝐵𝑥+𝑦=1
54.
𝐴𝑥+𝐵𝑦=𝐶𝑥+𝑦=1
55.
𝐴𝑥+𝐵𝑦=𝐶𝐷𝑥+𝐸𝑦=𝐹
Hagnýt verkefni
Finnið umbeðna stærð í eftirfarandi æfingum.
56.
Fyrirtæki sem framleiðir tuskudýr hefur heildarkostnaðarfallið og tekjufallið Finnið núllpunktinn.
57.
Eþíópískur veitingastaður hefur kostnaðarfallið og tekjufallið Við hvaða magn fer fyrirtækið að skila hagnaði?
58.
Farsímaverksmiðja hefur kostnaðarfallið og tekjufallið Hver er núllpunkturinn?
59.
Tónlistarmaður tekur gjaldið þar sem er heildarfjöldi tónleikagesta. Tónleikastaðurinn tekur $80 fyrir hvern miða. Eftir að hve margir hafa keypt miða stendur tónleikastaðurinn á núlli og hvert er heildarverðmæti seldra miða þá?
60.
Gítarverksmiðja hefur kostnaðarfallið Ef fyrirtækið þarf að ná núllpunkti eftir sölu 150 eininga, á hvaða verði ætti það að selja hvern gítar? Námundið upp að næsta dollara og ritið tekjufallið.
Leysið eftirfarandi æfingar með línulegu jöfnuhneppi sem hefur tvær jöfnur og tvær breytur.
61.
Finnið tvær tölur sem hafa summuna 28 og mismuninn 13.
62.
Önnur tala er 9 hærri en hin. Tvöföld summa talnanna er 10. Finnið tölurnar tvær.
63.
Stofnkostnaður veitingastaðar er $120,000 og hver máltíð kostar staðinn $10 í framleiðslu. Ef hver máltíð er síðan seld á $15, eftir hve margar seldar máltíðir stendur staðurinn á núlli?
64.
Flutningafyrirtæki tekur fast gjald að upphæð $150 og að auki $5 fyrir hvern kassa. Leigubílaþjónusta tæki $20 fyrir hvern kassa. Hve marga kassa þyrfti til að ódýrara væri að nota flutningafyrirtækið og hver yrði heildarkostnaðurinn?
65.
Alls komu 1,595 nemendur á fyrsta og öðru ári í háskóla saman á hvatningarfund. Fyrsta árs nemendurnir voru 15 fleiri en annars árs nemendurnir. Hve margir nemendur úr hvorum árgangi mættu?
66.
276 nemendur skráðu sig í inngangsnámskeið í efnafræði. Í lok misserisins stóðust 5 sinnum fleiri nemendur námskeiðið en féllu. Finnið fjölda þeirra sem stóðust námskeiðið og fjölda þeirra sem féllu.
67.
130 kennarar og annað akademískt starfsfólk sóttu ráðstefnu. Konurnar sem mættu voru 18 fleiri en karlarnir. Hve margir af hvoru kyni sóttu ráðstefnuna?
68.
Jeppi og pallbíll aka inn á þjóðveg sem liggur í austur–vestur frá sömu afrein en halda hvor í sína áttina. Jeppinn ók inn á þjóðveginn 30 mínútum á undan pallbílnum og ók 7 mílum á klukkustund hægar. 2 klukkustundum eftir að pallbíllinn ók inn á þjóðveginn voru bílarnir 306.5 mílur hvor frá öðrum. Finnið hraða hvors bíls, að því gefnu að þeir hafi verið á hraðastilli og haldið jöfnum hraða.
69.
Vísindamaður blandaði 10% saltlausn og 60% saltlausn til að fá 25 gallon af 40% saltlausn. Hve mörgum gallonum af 10% lausn og 60% lausn var blandað?
70.
Fjárfestir hafði þrefalt meiri hagnað en árið áður. Ef heildarhagnaður beggja ára var $500,000.48, hve mikinn hagnað hafði fjárfestirinn hvort ár?
71.
Fjárfestir lagði 1.1 milljón dollara í tvær fasteignafjárfestingar. Arðsemi fyrri fjárfestingarinnar, Swan Peak, var 110% af fjárhæðinni sem hún fjárfesti. Af síðari fjárfestingunni, Riverside Community, fékk hún 50% umfram það sem hún fjárfesti. Ef hagnaður hennar var $1 milljón, hve mikið fjárfesti hún í hvorri eign?
72.
Fjárfestir leggur samtals $25,000 í tvö skuldabréf. Annað greiðir 3% simple vexti en hitt vexti. Ef fjárfestirinn fær $737.50 í ársvexti, hve mikið var lagt í hvorn reikning?
73.
Fjárfestir leggur $23,000 í tvö skuldabréf. Annað greiðir 4% in einfalda vexti en hitt 2% simple vexti. Ef fjárfestirinn fær $710.00 í ársvexti, hve mikið var lagt í hvorn reikning?
74.
Blu-ray-diskar kosta $5.96 meira en venjulegir DVD-diskar í rafeindaversluninni Öll veðmál eru afgreidd. Hvað myndu 6 Blu-ray-diskar og 2 DVD-diskar kosta ef 5 Blu-ray-diskar og 2 DVD-diskar kosta $127.73?
75.
Verslunarstarfsmaður seldi 60 pör af íþróttaskóm. Háu skórnir kostuðu $98.99 og lágu skórnir $129.99. Ef heildartekjur af sölu beggja tegunda voru $6,404.40, hve mörg pör af hvorri tegund seldust?
76.
Tónleikastjóri taldi 350 seldar miða daginn eftir tónleika. Nemendamiði kostaði $12.50 og miði fyrir fullorðna $16.00. Sjóðvélin staðfestir að $5,075 komu inn. Hve margir nemendamiðar og hve margir miðar fyrir fullorðna seldust?
77.
Aðgangur að skemmtigarði fyrir 4 börn og 2 fullorðna kostar $116.90. Fyrir 6 börn og 3 fullorðna kostar aðgangurinn $175.35. Ef miðaverð er ólíkt fyrir börn og fullorðna, hvað kostar barnamiði og hvað kostar miði fyrir fullorðinn?
