99 Jöfnuhneppi og ójöfnuhneppi

9.6 Lausn jöfnuhneppa með Gauss-eyðingu

Námsmarkmið

Í þessum hluta lærið þið að:

Rita aukið fylki jöfnuhneppis.
Rita jöfnuhneppi út frá auknu fylki.
Framkvæma línuaðgerðir á fylki.
Leysa línulegt jöfnuhneppi með fylkjum.

Nærmynd af öldruðum manni, líklega Carl Friedrich Gauss, með dökkan hatt, hvíta vangahárbrúsa og formlegan hvítan kraga á dökkum bakgrunni. Svipur hans er alvarlegur. — **Mynd 1.** Þýski stærðfræðingurinn Carl Friedrich Gauss (1777–1855).

Carl Friedrich Gauss var uppi seint á 18th öld og snemma á 19th öld en er enn talinn einn afkastamesti stærðfræðingur sögunnar. Framlag hans til stærðfræði og eðlisfræði nær meðal annars til algebru, talnafræði, stærðfræðigreiningar, deildarúmfræði, stjörnufræði og ljósfræði. Uppgötvanir hans í fylkjafræði breyttu vinnubrögðum stærðfræðinga síðustu tvær aldir.

Við kynntumst fyrst Gauss-eyðingu í hlutanum Línuleg jöfnuhneppi með tveimur breytum. Hér tökum við aðferðina til lausnar jöfnuhneppa aftur fyrir og notum nú fylki.

Að rita aukið fylki jöfnuhneppis

Fylki má nota til að tákna og leysa jöfnuhneppi. Til að setja hneppi fram á fylkjaformi tökum við stuðla breytanna og fastana úr jöfnunum og gerum þá að stökum fylkisins. Lóðrétt strik skilur stuðlana frá föstunum og kemur í stað jafnaðarmerkjanna. Hneppi á þessu formi kallast aukið fylki.

Skoðum til dæmis eftirfarandi $2 \times 2$ jöfnuhneppi.

\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 7 \\ 4 x −2 y = 5 \end{array}

Við getum ritað hneppið sem aukið fylki:

[\begin{array}{r} 3 & 4 \\ 4 & −2 \end{array} | \begin{array}{r} 7 \\ 5 \end{array}]

Við getum einnig ritað fylki sem inniheldur aðeins stuðlana. Það kallast stuðlafylki.

[\begin{matrix} 3 & 4 \\ 4 & −2 \end{matrix}]

Þriggja sinnum þriggja jöfnuhneppi á borð við

\begin{array}{l} 3 x - y - z = 0 \\ x + y = 5 \\ 2 x −3 z = 2 \end{array}

hefur stuðlafylkið

[\begin{array}{r} 3 & −1 & −1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & −3 \end{array}]

og er táknað með aukna fylkinu

[\begin{array}{r} 3 & −1 & −1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & −3 \end{array} | \begin{array}{r} 0 \\ 5 \\ 2 \end{array}]

Takið eftir að fylkið er ritað þannig að hver breyta myndar eigin dálk: x-liðir eru í fyrsta dálki, y-liðir í öðrum og z-liðir í þriðja. Mjög mikilvægt er að rita hverja jöfnu á staðlaða forminu $a x + b y + c z = d$ svo samsvarandi breytur raðist í sömu dálka. Ef breytulið vantar í jöfnu er stuðull hans 0.

Dæmi 1

Að rita aukið fylki jöfnuhneppis

Ritið aukið fylki gefna jöfnuhneppisins.

\begin{array}{l} x + 2 y - z = 3 \\ 2 x - y + 2 z = 6 \\ x - 3 y + 3 z = 4 \end{array}

Lausn

Aukna fylkið sýnir stuðla breytanna og einn viðbótardálk fyrir fastana.

[\begin{array}{r} 1 & 2 & −1 \\ 2 & −1 & 2 \\ 1 & −3 & 3 \end{array} | \begin{array}{r} 3 \\ 6 \\ 4 \end{array}]

Að rita jöfnuhneppi út frá auknu fylki

Aukin fylki hjálpa okkur að leysa jöfnuhneppi, því aðgerðirnar verða einfaldari þegar breyturnar sjálfar eru ekki hafðar með. Mikilvægt er þó að kunna að fara á milli framsetningarformanna svo lausnarferlið verði lipurt og auðskilið. Hér notum við upplýsingar í auknu fylki til að rita jöfnuhneppið á stöðluðu formi.

Dæmi 2

Að rita jöfnuhneppi út frá auknu fylki

Finnið jöfnuhneppið sem aukna fylkið táknar.

[\begin{array}{r} 1 & −3 & −5 \\ 2 & −5 & −4 \\ −3 & 5 & 4 \end{array} | \begin{array}{r} −2 \\ 5 \\ 6 \end{array}]

Lausn

Þegar dálkarnir tákna breyturnar 𝑥 , x , 𝑦 y , og 𝑧 z , $x,$ $y,$ fæst $z,$

[\begin{array}{r} 1 & −3 & −5 \\ 2 & −5 & −4 \\ −3 & 5 & 4 \end{array} | \begin{array}{r} −2 \\ 5 \\ 6 \end{array}] \to \begin{array}{l} x - 3 y - 5 z = - 2 \\ 2 x - 5 y - 4 z = 5 \\ −3 x + 5 y + 4 z = 6 \end{array}

Línuaðgerðir á fylki

Nú þegar við getum ritað jöfnuhneppi sem aukið fylki skoðum við þær línuaðgerðir sem framkvæma má á fylki, svo sem samlagningu, margföldun með fasta og víxlun lína.

Við leysum jöfnuhneppi með því að framkvæma línuaðgerðir á fylki. Til að leysa hneppið viljum við koma fylkinu á efra stallaform, þar sem einingar liggja á hornalínunni frá efra vinstra horni að neðra hægra horni og öll stök neðan hornalínunnar eru núll, eins og sýnt er hér.

\begin{matrix} Row-echelon form \\ [\begin{matrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & d \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \end{matrix}

Við notum línuaðgerðir sem samsvara aðgerðum á jöfnum til að fá nýtt, línujafngilt fylki á einfaldara formi. Eftirfarandi reglur gilda um efra stallaform.

Í hverri línu sem er ekki núlllína er fyrsta stakið sem ekki er núll 1. Það kallast forystueining, þ.e. 1.
Allar núlllínur eru settar neðst í fylkið.
Sérhver forystu-1 er neðar og lengra til hægri en næsta forystu-1 á undan.
Í dálki sem inniheldur forystu-1 eru öll önnur stök núll.

Til að leysa jöfnuhneppi getum við notað eftirfarandi línuaðgerðir til að koma stuðlafylkinu á efra stallaform og síðan bakinnsetningu til að finna lausnina.

Víxlið línum. (Ritháttur: $R_{i} \leftrightarrow R_{j}$ )
Margfaldið línu með fasta. (Ritháttur: $c R_{i}$ )
Leggið margfeldi línu og fasta við aðra línu. (Ritháttur: $R_{i} + c R_{j})$

Hver línuaðgerð samsvarar aðgerð sem við höfum þegar lært við lausn jöfnuhneppa með þremur breytum. Með þessum aðgerðum má beita nokkrum lykilskrefum til að koma fylki fljótt á efra stallaform. Við notum Gauss-eyðingu til að fá 1 sem fyrsta stak svo nota megi línu 1 til að umbreyta línunum fyrir neðan.

Dæmi 3

Að leysa 2 × 2 jöfnuhneppi með Gauss-eyðingu

Leysið gefna jöfnuhneppið með Gauss-eyðingu.

\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 6 \\ x - y = \frac{1}{2} \end{array}

Lausn

Fyrst ritum við hneppið sem aukið fylki.

[\begin{array}{r} 2 & 3 \\ 1 & −1 \end{array} | \begin{array}{r} 6 \\ \frac{1}{2} \end{array}]

Við viljum fá 1 í línu 1 og dálki 1. Það má gera með því að víxla línu 1 og línu 2.

R_{1} \leftrightarrow R_{2} \to [\begin{array}{r} 1 & −1 \\ 2 & 3 \end{array} | \begin{array}{r} \frac{1}{2} \\ 6 \end{array}]

Nú er 1 fyrsta stakið í línu 1 og dálki 1. Næst skulum við fá 0 í línu 2 og dálki 1. Það má gera með því að margfalda línu 1 með − 2 $−2,$ og leggja niðurstöðuna síðan við línu 2.

−2 R_{1} + R_{2} = R_{2} \to [\begin{array}{r} 1 & −1 \\ 0 & 5 \end{array} | \begin{array}{r} \frac{1}{2} \\ 5 \end{array}]

Aðeins eitt skref er eftir: að margfalda línu 2 með $\frac{1}{5} .$

\frac{1}{5} R_{2} = R_{2} \to [\begin{array}{r} 1 & −1 \\ 0 & 1 \end{array} | \begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 1 \end{matrix}]

Notið bakinnsetningu. Önnur lína fylkisins táknar $y = 1.$ Setjið $y = 1$ inn í fyrstu jöfnuna.

\begin{array}{l} x - (1) = \frac{1}{2} \\ x = \frac{3}{2} \end{array}

Lausnin er punkturinn $(\frac{3}{2}, 1) .$

Dæmi 4

Notkun Gauss-eyðingar til að leysa jöfnuhneppi

Notið Gauss-eyðingu til að leysa gefna $2 \times 2$ jöfnuhneppið.

\begin{array}{l} 2 x + y = 1 \\ 4 x + 2 y = 6 \end{array}

Lausn

Ritið hneppið sem aukið fylki.

[\begin{array}{l} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{array} | \begin{array}{l} 1 \\ 6 \end{array}]

Fáið 1 í línu 1 og dálki 1. Það má gera með því að margfalda fyrstu línu með $\frac{1}{2} .$

\frac{1}{2} R_{1} = R_{1} \to [\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} \\ 4 & 2 \end{matrix} | \begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 6 \end{matrix}]

Næst viljum við fá 0 í línu 2 og dálki 1. Margfaldið línu 1 með $−4$ og leggið línu 1 við línu 2.

−4 R_{1} + R_{2} = R_{2} \to [\begin{matrix} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 \end{matrix} | \begin{matrix} \frac{1}{2} \\ 4 \end{matrix}]

Önnur línan táknar jöfnuna $0 = 4.$ Jöfnuhneppið er því ósamkvæmt og hefur enga lausn.

Dæmi 5

Að leysa háð jöfnuhneppi

Leysið jöfnuhneppið.

\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 12 \\ 6 x + 8 y = 24 \end{array}

Lausn

Framkvæmið línuaðgerðir á aukna fylkinu til að reyna að koma því á efra stallaform.

A = [\begin{array}{l} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{array} | \begin{array}{l} 12 \\ 24 \end{array}]

\begin{array}{l} \begin{array}{l} - \frac{1}{2} R_{2} + R_{1} = R_{1} \to [\begin{array}{l} 0 & 0 \\ 6 & 8 \end{array} | \begin{array}{l} 0 \\ 24 \end{array}] \\ R_{1} \leftrightarrow R_{2} \to [\begin{array}{l} 6 & 8 \\ 0 & 0 \end{array} | \begin{array}{l} 24 \\ 0 \end{array}] \end{array} \end{array}

Síðasta lína fylkisins verður núlllína: $0 y = 0.$ Lausnirnar eru því óendanlega margar og jöfnuhneppið flokkast sem háð. Til að finna almennu lausnina förum við aftur í eina af upphaflegu jöfnunum og leysum fyrir $y .$

\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 12 \\ 4 y = 12 −3 x \\ y = 3 - \frac{3}{4} x \end{array}

Lausnamengi jöfnuhneppisins er því $(x, 3 - \frac{3}{4} x) .$

Dæmi 6

Línuaðgerðir á 3×3 auknu fylki til að fá efra stallaform

Framkvæmið línuaðgerðir á gefna fylkinu til að koma því á efra stallaform.

[\begin{array}{r} 1 & −3 & 4 \\ 2 & −5 & 6 \\ −3 & 3 & 4 \end{array} | \begin{array}{r} 3 \\ 6 \\ 6 \end{array}]

Lausn

Í fyrstu línu er þegar 1 í línu 1 og dálki 1. Næst margföldum við línu 1 með $−2$ og leggjum hana við línu 2. Síðan skiptum við línu 2 út fyrir niðurstöðuna.

−2 R_{1} + R_{2} = R_{2} \to [\begin{array}{r} 1 & −3 & 4 \\ 0 & 1 & −2 \\ −3 & 3 & 4 \end{array} | \begin{array}{r} 3 \\ 0 \\ 6 \end{array}]

Næst skal fá núll í línu 3 og dálki 1.

3 R_{1} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & −3 & 4 \\ 0 & 1 & −2 \\ 0 & −6 & 16 \end{array} | \begin{array}{r} 3 \\ 0 \\ 15 \end{array}]

Næst skal fá núll í línu 3 og dálki 2.

6 R_{2} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & −3 & 4 \\ 0 & 1 & −2 \\ 0 & 0 & 4 \end{array} | \begin{array}{r} 3 \\ 0 \\ 15 \end{array}]

Síðasta skrefið er að fá 1 í línu 3 og dálki 3.

\frac{1}{4} R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & −3 & 4 \\ 0 & 1 & −2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} 3 \\ 0 \\ \frac{15}{4} \end{array}]

Að leysa línulegt jöfnuhneppi með fylkjum

Við höfum séð hvernig jöfnuhneppi er ritað sem aukið fylki og hvernig línuaðgerðir og bakinnsetning eru notaðar til að fá efra stallaform. Nú göngum við skrefi lengra og leysum 3 sinnum 3 línulegt jöfnuhneppi. Grunnhugmyndin er að nota línuaðgerðir til að eyða öllum breytum nema einni og beita síðan bakinnsetningu til að leysa fyrir hinar breyturnar.

Dæmi 7

Að leysa línulegt jöfnuhneppi með fylkjum

Leysið línulega jöfnuhneppið með fylkjum.

\begin{matrix} \begin{array}{l} x - y + z = 8 \end{array} \\ 2 x + 3 y - z = −2 \\ 3 x - 2 y - 9 z = 9 \end{matrix}

Lausn

Fyrst ritum við aukna fylkið.

[\begin{array}{r} 1 & - 1 & 1 \\ 2 & 3 & - 1 \\ 3 & - 2 & - 9 \end{array} | \begin{array}{r} 8 \\ - 2 \\ 9 \end{array}]

Næst framkvæmum við línuaðgerðir til að fá efra stallaform.

\begin{array}{r} - 2 R_{1} + R_{2} = R_{2} \to [\begin{array}{r} 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 5 & - 3 \\ 3 & - 2 & - 9 \end{array} | \begin{array}{r} 8 \\ - 18 \\ 9 \end{array}] & - 3 R_{1} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 5 & - 3 \\ 0 & 1 & - 12 \end{array} | \begin{array}{r} 8 \\ - 18 \\ - 15 \end{array}] \end{array}

Einfaldast er að fá 1 í línu 2 og dálki 2 með því að víxla $R_{2}$ og $R_{3} .$

Interchange R_{2} and R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & −1 & 1 & 8 \\ 0 & 1 & −12 & −15 \\ 0 & 5 & −3 & −18 \end{array}]

Þá fæst

\begin{array}{l} \begin{array}{r} −5 R_{2} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & −1 & 1 \\ 0 & 1 & −12 \\ 0 & 0 & 57 \end{array} | \begin{array}{r} 8 \\ −15 \\ 57 \end{array}] & - \frac{1}{57} R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & −1 & 1 \\ 0 & 1 & −12 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} 8 \\ −15 \\ 1 \end{array}] \end{array} \end{array}

Síðasta fylkið táknar jafngilda jöfnuhneppið.

\begin{array}{l} x - y + z = 8 \\ y - 12 z = −15 \\ z = 1 \end{array}

Með bakinnsetningu fæst lausnin $(4, −3, 1) .$

Dæmi 8

Að leysa háð línulegt jöfnuhneppi með fylkjum

Leysið eftirfarandi línulega jöfnuhneppi með fylkjum.

\begin{array}{r} - x −2 y + z = −1 \\ 2 x + 3 y = 2 \\ y −2 z = 0 \end{array}

Lausn

Ritið aukna fylkið.

[\begin{array}{r} −1 & −2 & 1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & −2 \end{array} | \begin{array}{r} −1 \\ 2 \\ 0 \end{array}]

Margfaldið fyrst línu 1 með $−1$ til að fá 1 í línu 1 og dálki 1. Framkvæmið síðan línuaðgerðir til að fá efra stallaform.

- R_{1} \to [\begin{array}{r} 1 & 2 & −1 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & −2 \end{array} | \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}]

R_{2} \leftrightarrow R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & 2 & - 1 \\ 0 & 1 & - 2 \\ 2 & 3 & 0 \end{array} | \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array}]

−2 R_{1} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & 2 & −1 \\ 0 & 1 & −2 \\ 0 & −1 & 2 \end{array} | \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}]

R_{2} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & 2 & −1 \\ 0 & 1 & −2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} | \begin{array}{r} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]

Síðasta fylkið táknar eftirfarandi jöfnuhneppi.

\begin{array}{l} x + 2 y - z = 1 \\ y - 2 z = 0 \\ 0 = 0 \end{array}

Af samsemdinni $0 = 0$ sjáum við að jöfnuhneppið er háð og hefur óendanlega margar lausnir. Næst finnum við almennu lausnina. Með því að leysa aðra jöfnuna fyrir $y$ og setja niðurstöðuna inn í fyrstu jöfnuna getum við ritað $z$ sem fall af $x .$

\begin{array}{l} x + 2 y - z = 1 \\ y = 2 z \\ x + 2 (2 z) - z = 1 \\ x + 3 z = 1 \\ z = \frac{1 - x}{3} \end{array}

Nú setjum við stæðuna fyrir $z$ inn í aðra jöfnuna og ritum $y$ sem fall af $x .$

\begin{array}{l} y - 2 z = 0 \\ z = \frac{1 - x}{3} \\ y - 2 (\frac{1 - x}{3}) = 0 \\ y = \frac{2 - 2 x}{3} \end{array}

Almenna lausnin er $(x, \frac{2 −2 x}{3}, \frac{1 - x}{3}) .$

Dæmi 9

Að leysa jöfnuhneppi með fylkjum og reiknivél

Leysið jöfnuhneppið.

\begin{array}{r} 5 x + 3 y + 9 z = −1 \\ −2 x + 3 y - z = −2 \\ - x −4 y + 5 z = 1 \end{array}

Lausn

Ritið aukið fylki jöfnuhneppisins.

[\begin{array}{r} 5 & 3 & 9 \\ −2 & 3 & −1 \\ −1 & −4 & 5 \end{array} | \begin{array}{r} −1 \\ −2 \\ −1 \end{array}]

Á fylkjasíðu reiknivélarinnar skráum við aukna fylkið hér að framan sem fylkjabreytuna $[A] .$

[A] = [\begin{array}{r} 5 & 3 & 9 & −1 \\ −2 & 3 & −1 & −2 \\ −1 & −4 & 5 & 1 \end{array}]

Notið fallið ref( í reiknivélinni og sækið fylkjabreytuna $[A] .$

ref ([A])

Reiknið.

\begin{array}{l} [\begin{array}{r} 1 & \frac{3}{5} & \frac{9}{5} & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{13}{21} & - \frac{4}{7} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{24}{187} \end{array}] \to \begin{array}{l} x + \frac{3}{5} y + \frac{9}{5} z = - \frac{1}{5} \\ y + \frac{13}{21} z = - \frac{4}{7} \\ z = - \frac{24}{187} \end{array} \end{array}

Með bakinnsetningu fæst lausnin $(\frac{61}{187}, - \frac{92}{187}, - \frac{24}{187}) .$

Dæmi 10

Notkun 2 × 2 fylkja í fjármálum

Carolyn fjárfestir samtals $12,000 í tveimur sveitarfélagsskuldabréfum. Annað ber 10.5% interest vexti en hitt 12% interest. Árlegar vaxtatekjur af fjárfestingunum tveimur á síðasta ári voru $1,335. Hversu há fjárhæð var fjárfest á hvorum vöxtum?

Lausn

Við höfum jöfnuhneppi með tveimur jöfnum og tveimur breytum. Látum $x =$ fjárhæðina sem fjárfest er á 10.5% interest vöxtum og $y =$ fjárhæðina sem fjárfest er á 12% interest vöxtum.

\begin{array}{l} x + y = 12,000 \\ 0.105 x + 0.12 y = 1,335 \end{array}

Á fylkjaformi fæst

[\begin{array}{r} 1 & 1 \\ 0.105 & 0.12 \end{array} | \begin{array}{r} 12,000 \\ 1,335 \end{array}]

Margfaldið línu 1 með $−0.105$ og leggið niðurstöðuna við línu 2.

[\begin{array}{r} 1 & 1 \\ 0 & 0.015 \end{array} | \begin{array}{r} 12,000 \\ 75 \end{array}]

Þá fæst

\begin{array}{l} 0.015 y = 75 \\ y = 5,000 \end{array}

Því er $12,000 −5,000 = 7,000.$

Því voru $5,000 fjárfestir á 12% interest vöxtum og $7,000 á 10.5% interest vöxtum.

Dæmi 11

Notkun 3 × 3 fylkja í fjármálum

Ava fjárfestir samtals $10,000 á þremur reikningum. Einn ber 5% interest vexti, annar 8% interest og sá þriðji 9% interest. Árlegar vaxtatekjur af fjárfestingunum þremur á síðasta ári voru $770. Fjárhæðin sem var fjárfest á 9% was var tvöföld fjárhæðin sem var fjárfest á 5%. Hversu há fjárhæð var fjárfest á hverjum vöxtum?

Lausn

Við höfum jöfnuhneppi með þremur jöfnum og þremur breytum. Látum $x$ vera fjárhæðina sem fjárfest er á 5% interest, $y$ fjárhæðina sem fjárfest er á 8% interest og $z$ fjárhæðina sem fjárfest er á 9% interest. Þá fæst

\begin{array}{l} x + y + z = 10, 000 \\ 0.05 x + 0.08 y + 0.09 z = 770 \\ 2 x - z = 0 \end{array}

Á fylkjaformi fæst

[\begin{array}{r} 1 & 1 & 1 \\ 0.05 & 0.08 & 0.09 \\ 2 & 0 & −1 \end{array} | \begin{array}{r} 10, 000 \\ 770 \\ 0 \end{array}]

Nú beitum við Gauss-eyðingu til að fá efra stallaform.

\begin{array}{l} \begin{array}{l} −0.05 R_{1} + R_{2} = R_{2} \to [\begin{array}{r} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0.03 & 0.04 \\ 2 & 0 & −1 \end{array} | \begin{array}{r} 10,000 \\ 270 \\ 0 \end{array}] \end{array} \\ −2 R_{1} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0.03 & 0.04 \\ 0 & −2 & −3 \end{array} | \begin{array}{r} 10,000 \\ 270 \\ −20,000 \end{array}] \\ \frac{1}{0.03} R_{2} = R_{2} \to [\begin{array}{r} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} \\ 0 & −2 & −3 \end{array} | \begin{array}{r} 10,000 \\ 9,000 \\ −20,000 \end{array}] \\ 2 R_{2} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{array}{r} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} \\ 0 & 0 & - \frac{1}{3} \end{array} | \begin{array}{r} 10,000 \\ 9,000 \\ −2,000 \end{array}] \end{array}

Þriðja línan segir okkur að $- \frac{1}{3} z = −2,000;$ því er $z = 6,000.$

Önnur línan segir okkur að $y + \frac{4}{3} z = 9,000.$ Þegar 𝑧 = 6 , 0 0 0 $z = 6,000,$ er sett inn fæst

\begin{array}{r} y + \frac{4}{3} (6,000) = 9,000 \\ y + 8,000 = 9,000 \\ y = 1,000 \end{array}

Fyrsta línan segir okkur að $x + y + z = 10, 000.$ Þegar $y = 1, 000$ og 𝑧 = 6 , 0 0 0 $z = 6, 000,$ eru sett inn fæst

\begin{array}{l} x + 1, 000 + 6, 000 = 10,000 \\ x = 3,000 \end{array}

Svarið er að $3,000 voru fjárfestir á 5% interest vöxtum, $1,000 á 8% vöxtum og $6,000 á 9% interest vöxtum.

9.6 Æfingar kaflans

Munnleg verkefni

Er hægt að rita sérhvert línulegt jöfnuhneppi sem aukið fylki? Útskýrið hvers vegna eða hvers vegna ekki og lýsið hvernig aukna fylkið er ritað.

Er hægt að rita sérhvert fylki sem línulegt jöfnuhneppi? Útskýrið hvers vegna eða hvers vegna ekki og lýsið hvernig jöfnuhneppið er ritað.

Er aðeins ein rétt leið til að nota línuaðgerðir á fylki? Lýsið tveimur ólíkum línuaðgerðum sem nota mætti til að leysa aukna fylkið $[\begin{array}{r} 9 & 3 \\ 1 & - 2 \end{array} | \begin{array}{r} 0 \\ 6 \end{array}] .$

Er hægt að leysa fylki sem hefur stakið 0 á hornalínunni? Útskýrið hvers vegna eða hvers vegna ekki. Hvernig mætti laga stöðuna?

Getur fylki með heila línu af 0 haft eina lausn? Útskýrið hvers vegna eða hvers vegna ekki.

Algebruverkefni

Í eftirfarandi æfingum skal rita aukið fylki línulega jöfnuhneppisins.

8⁢𝑥⁢−37⁢𝑦=82⁢𝑥+12⁢𝑦=3 $\begin{array}{l} 8 x −37 y = 8 \\ 2 x + 12 y = 3 \end{array}$

16⁢𝑦=49⁢𝑥−𝑦=2 $\begin{array}{l} 16 y = 4 \\ 9 x - y = 2 \end{array}$

3⁢𝑥+2⁢𝑦+10⁢𝑧=3−6⁢𝑥+2⁢𝑦+5⁢𝑧=13 4⁢𝑥+𝑧=18 $\begin{array}{l} 3 x + 2 y + 10 z = 3 \\ −6 x + 2 y + 5 z = 13 \\ 4 x + z = 18 \end{array}$

𝑥+5⁢𝑦+8⁢𝑧=1912⁢𝑥+3⁢𝑦=43⁢𝑥+4⁢𝑦+9⁢𝑧=−7 $\begin{array}{l} x + 5 y + 8 z = 19 \\ 12 x + 3 y = 4 \\ 3 x + 4 y + 9 z = −7 \end{array}$

10.

6⁢𝑥+12⁢𝑦+16⁢𝑧=4 19⁢𝑥⁢−5⁢𝑦+3⁢𝑧=−9 𝑥+2⁢𝑦=−8 $\begin{array}{l} 6 x + 12 y + 16 z = 4 \\ 19 x −5 y + 3 z = −9 \\ x + 2 y = −8 \end{array}$

Í eftirfarandi æfingum skal rita línulega jöfnuhneppið sem aukna fylkið táknar.

11.

[−256−18 ∣ 526] $[\begin{array}{r} −2 & 5 \\ 6 & −18 \end{array} | \begin{array}{r} 5 \\ 26 \end{array}]$

12.

[341017 ∣ 10439] $[\begin{array}{r} 3 & 4 \\ 10 & 17 \end{array} | \begin{array}{r} 10 \\ 439 \end{array}]$

13.

⎡⎢ ⎢⎣320−1−94857 ∣ 3−18⎤⎥ ⎥⎦ $[\begin{array}{r} 3 & 2 & 0 \\ −1 & −9 & 4 \\ 8 & 5 & 7 \end{array} | \begin{array}{r} 3 \\ −1 \\ 8 \end{array}]$

14.

⎡⎢ ⎢⎣8291−175003 ∣ 433810⎤⎥ ⎥⎦ $[\begin{array}{r} 8 & 29 & 1 \\ −1 & 7 & 5 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} | \begin{array}{r} 43 \\ 38 \\ 10 \end{array}]$

15.

⎡⎢ ⎢⎣45−2015887−3 ∣ 122−5⎤⎥ ⎥⎦ $[\begin{array}{r} 4 & 5 & −2 \\ 0 & 1 & 58 \\ 8 & 7 & −3 \end{array} | \begin{array}{r} 12 \\ 2 \\ −5 \end{array}]$

Í eftirfarandi æfingum skal leysa jöfnuhneppið með Gauss-eyðingu.

16.

[1000 ∣ 30] $[\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} | \begin{array}{r} 3 \\ 0 \end{array}]$

17.

[1010 ∣ 12] $[\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} | \begin{array}{r} 1 \\ 2 \end{array}]$

18.

[1245 ∣ 36] $[\begin{array}{r} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{array} | \begin{array}{r} 3 \\ 6 \end{array}]$

19.

[−124−5 ∣ −36] $[\begin{array}{r} −1 & 2 \\ 4 & −5 \end{array} | \begin{array}{r} −3 \\ 6 \end{array}]$

20.

[−2002 ∣ 1−1] $[\begin{array}{r} −2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} | \begin{array}{r} 1 \\ −1 \end{array}]$

21.

2⁢𝑥−3⁢𝑦=−95⁢𝑥+4⁢𝑦=58 $\begin{array}{l} 2 x - 3 y = - 9 \\ 5 x + 4 y = 58 \end{array}$

22.

6⁢𝑥+2⁢𝑦=−43⁢𝑥+4⁢𝑦=−17 $\begin{array}{l} 6 x + 2 y = −4 \\ 3 x + 4 y = −17 \end{array}$

23.

2⁢𝑥+3⁢𝑦=12 4⁢𝑥+𝑦=14 $\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 12 \\ 4 x + y = 14 \end{array}$

24.

−4⁢𝑥⁢−3⁢𝑦=−2 3⁢𝑥⁢−5⁢𝑦=−13 $\begin{array}{l} −4 x −3 y = −2 \\ 3 x −5 y = −13 \end{array}$

25.

−5⁢𝑥+8⁢𝑦=310⁢𝑥+6⁢𝑦=5 $\begin{array}{l} −5 x + 8 y = 3 \\ 10 x + 6 y = 5 \end{array}$

26.

3⁢𝑥+4⁢𝑦=12−6⁢𝑥⁢−8⁢𝑦=−24 $\begin{array}{l} 3 x + 4 y = 12 \\ −6 x −8 y = −24 \end{array}$

27.

−60⁢𝑥+45⁢𝑦=12 20⁢𝑥⁢−15⁢𝑦=−4 $\begin{array}{l} −60 x + 45 y = 12 \\ 20 x −15 y = −4 \end{array}$

28.

11⁢𝑥+10⁢𝑦=4315⁢𝑥+20⁢𝑦=65 $\begin{array}{l} 11 x + 10 y = 43 \\ 15 x + 20 y = 65 \end{array}$

29.

2⁢𝑥−𝑦=23⁢𝑥+2⁢𝑦=17 $\begin{array}{l} 2 x - y = 2 \\ 3 x + 2 y = 17 \end{array}$

30.

−1.06⁢𝑥⁢−2.25⁢𝑦=5.51−5.03⁢𝑥⁢−1.08⁢𝑦=5.40 $\begin{array}{l} \begin{array}{l} −1.06 x −2.25 y = 5.51 \end{array} \\ −5.03 x −1.08 y = 5.40 \end{array}$

31.

34⁢𝑥−35⁢𝑦=414⁢𝑥+23⁢𝑦=1 $\begin{array}{l} \frac{3}{4} x - \frac{3}{5} y = 4 \\ \frac{1}{4} x + \frac{2}{3} y = 1 \end{array}$

32.

14⁢𝑥−23⁢𝑦=−112⁢𝑥+13⁢𝑦=3 $\begin{array}{l} \frac{1}{4} x - \frac{2}{3} y = −1 \\ \frac{1}{2} x + \frac{1}{3} y = 3 \end{array}$

33.

⎡⎢ ⎢⎣100011001 ∣ 314587⎤⎥ ⎥⎦ $[\begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} 31 \\ 45 \\ 87 \end{array}]$

34.

⎡⎢ ⎢⎣101110011 ∣ 5020−90⎤⎥ ⎥⎦ $[\begin{array}{r} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} 50 \\ 20 \\ −90 \end{array}]$

35.

⎡⎢ ⎢⎣123056008 ∣ 479⎤⎥ ⎥⎦ $[\begin{array}{r} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 8 \end{array} | \begin{array}{r} 4 \\ 7 \\ 9 \end{array}]$

36.

⎡⎢ ⎢⎣−0.10.3−0.1−0.40.20.10.60.10.7 ∣ 0.20.8−0.8⎤⎥ ⎥⎦ $[\begin{array}{r} −0.1 & 0.3 & −0.1 \\ −0.4 & 0.2 & 0.1 \\ 0.6 & 0.1 & 0.7 \end{array} | \begin{array}{r} 0.2 \\ 0.8 \\ −0.8 \end{array}]$

37.

−2⁢𝑥+3⁢𝑦−2⁢𝑧=3 4⁢𝑥+2⁢𝑦−𝑧=94⁢𝑥−8⁢𝑦+2⁢𝑧=−6 $\begin{array}{l} −2 x + 3 y - 2 z = 3 \\ 4 x + 2 y - z = 9 \\ 4 x - 8 y + 2 z = −6 \end{array}$

38.

𝑥+𝑦−4⁢𝑧=−4 5⁢𝑥−3⁢𝑦−2⁢𝑧=0 2⁢𝑥+6⁢𝑦+7⁢𝑧=30 $\begin{array}{l} x + y - 4 z = −4 \\ 5 x - 3 y - 2 z = 0 \\ 2 x + 6 y + 7 z = 30 \end{array}$

39.

2⁢𝑥+3⁢𝑦+2⁢𝑧=1 −4⁢𝑥−6⁢𝑦−4⁢𝑧=−210⁢𝑥+15⁢𝑦+10⁢𝑧=5 $\begin{array}{l} 2 x + 3 y + 2 z = 1 \\ −4 x - 6 y - 4 z = −2 \\ 10 x + 15 y + 10 z = 5 \end{array}$

40.

𝑥+2⁢𝑦−𝑧=1−𝑥−2⁢𝑦+2⁢𝑧=−23⁢𝑥+6⁢𝑦−3⁢𝑧=5 $\begin{array}{l} x + 2 y - z = 1 \\ - x - 2 y + 2 z = −2 \\ 3 x + 6 y - 3 z = 5 \end{array}$

41.

𝑥+2⁢𝑦−𝑧=1−𝑥⁢−2⁢𝑦+2⁢𝑧=−23⁢𝑥+6⁢𝑦⁢−3⁢𝑧=3 $\begin{array}{l} x + 2 y - z = 1 \\ - x −2 y + 2 z = −2 \\ 3 x + 6 y −3 z = 3 \end{array}$

42.

𝑥+𝑦=2 𝑥+𝑧=1−𝑦−𝑧=−3 $\begin{array}{l} x + y = 2 \\ x + z = 1 \\ - y - z = −3 \end{array}$

43.

𝑥+𝑦+𝑧=100 𝑥+2⁢𝑧=125−𝑦+2⁢𝑧=25 $\begin{array}{l} x + y + z = 100 \\ x + 2 z = 125 \\ - y + 2 z = 25 \end{array}$

44.

14⁢𝑥−23⁢𝑧=−1215⁢𝑥+13⁢𝑦=4715⁢𝑦−13⁢𝑧=29 $\begin{array}{l} \frac{1}{4} x - \frac{2}{3} z = - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{5} x + \frac{1}{3} y = \frac{4}{7} \\ \frac{1}{5} y - \frac{1}{3} z = \frac{2}{9} \end{array}$

45.

−12⁢𝑥+12⁢𝑦+17⁢𝑧=−5314 12⁢𝑥−12⁢𝑦+14⁢𝑧=3 14⁢𝑥+15⁢𝑦+13⁢𝑧=2315 $\begin{array}{l} - \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} y + \frac{1}{7} z = - \frac{53}{14} \\ \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} y + \frac{1}{4} z = 3 \\ \frac{1}{4} x + \frac{1}{5} y + \frac{1}{3} z = \frac{23}{15} \end{array}$

46.

−12⁢𝑥−13⁢𝑦+14⁢𝑧=−296 15⁢𝑥+16⁢𝑦−17⁢𝑧=431210−18⁢𝑥+19⁢𝑦+110⁢𝑧=−4945 $\begin{array}{l} - \frac{1}{2} x - \frac{1}{3} y + \frac{1}{4} z = - \frac{29}{6} \\ \frac{1}{5} x + \frac{1}{6} y - \frac{1}{7} z = \frac{431}{210} \\ - \frac{1}{8} x + \frac{1}{9} y + \frac{1}{10} z = - \frac{49}{45} \end{array}$

Viðbótarverkefni

Í eftirfarandi æfingum skal nota Gauss-eyðingu til að leysa jöfnuhneppið.

47.

𝑥⁢−17+𝑦⁢−28+𝑧⁢−34=0𝑥+𝑦+𝑧=6𝑥+23+2⁢𝑦+𝑧⁢−33=5 $\begin{array}{l} \frac{x −1}{7} + \frac{y −2}{8} + \frac{z −3}{4} = 0 \\ x + y + z = 6 \\ \frac{x + 2}{3} + 2 y + \frac{z −3}{3} = 5 \end{array}$

48.

𝑥⁢−14−𝑦+14+3⁢𝑧=−1 𝑥+52+𝑦+74−𝑧=4 𝑥+𝑦−𝑧⁢−22=1 $\begin{array}{l} \frac{x −1}{4} - \frac{y + 1}{4} + 3 z = −1 \\ \frac{x + 5}{2} + \frac{y + 7}{4} - z = 4 \\ x + y - \frac{z −2}{2} = 1 \end{array}$

49.

𝑥⁢−34−𝑦⁢−13+2⁢𝑧=−1𝑥+52+𝑦+52+𝑧+52=8𝑥+𝑦+𝑧=1 $\begin{array}{l} \frac{x −3}{4} - \frac{y −1}{3} + 2 z = −1 \\ \frac{x + 5}{2} + \frac{y + 5}{2} + \frac{z + 5}{2} = 8 \\ x + y + z = 1 \end{array}$

50.

𝑥⁢−310+𝑦+32⁢−2⁢𝑧=3𝑥+54−𝑦⁢−18+𝑧=32𝑥⁢−14+𝑦+42+3⁢𝑧=32 $\begin{array}{l} \frac{x −3}{10} + \frac{y + 3}{2} −2 z = 3 \\ \frac{x + 5}{4} - \frac{y −1}{8} + z = \frac{3}{2} \\ \frac{x −1}{4} + \frac{y + 4}{2} + 3 z = \frac{3}{2} \end{array}$

51.

𝑥⁢−34−𝑦⁢−13+2⁢𝑧=−1𝑥+52+𝑦+52+𝑧+52=7𝑥+𝑦+𝑧=1 $\begin{array}{l} \frac{x −3}{4} - \frac{y −1}{3} + 2 z = −1 \\ \frac{x + 5}{2} + \frac{y + 5}{2} + \frac{z + 5}{2} = 7 \\ x + y + z = 1 \end{array}$

Raunhæf verkefni

Í eftirfarandi æfingum skal setja upp aukið fylki sem lýsir aðstæðunum og finna umbeðna lausn.

52.

Á hverjum degi selur bollakökubúð Angeni 5,000 bollakökur með súkkulaði- eða vanillubragði. Ef súkkulaðibragðið er 3 sinnum vinsælla en vanillubragðið, hversu margar kökur af hvorri gerð selur búðin á dag?

53.

Í bollakökubúð Bakari, sem keppir við búð Angeni, eru daglega seldar bollakökur fyrir $4,520. Súkkulaðibollakökurnar kosta $2.25 og rauðu flauelsbollakökurnar $1.75. Ef samtals seljast 2,200 bollakökur á dag, hversu margar af hvorri gerð seljast daglega?

54.

Þið fjárfestið $10,000 á tveimur reikningum, öðrum sem ber einfalda vexti að 3% interest og hinum að 2.5% interest. Ef heildarvaxtagreiðslan eftir eitt ár var $283.50, hversu há fjárhæð var á hvorum reikningi að árinu liðnu?

55.

Þið fjárfestið $2,300 á reikningi 1 og $2,700 á reikningi 2. Ef heildarvextir eftir eitt ár eru $254 og reikningur 2 ber 1.5 sinnum hærri vexti en reikningur 1, hverjir eru vextir reikninganna? Gerið ráð fyrir einföldum vöxtum.

56.

Bikes’R’Us framleiðir reiðhjól sem seljast á $250. Framleiðslukostnaður er $180 á hvert hjól auk $3,500 stofnkostnaðar. Hversu mörg hjól þarf að selja til að reksturinn standi á sléttu?

57.

Stór raftækjaverslun hefur samþykkt að panta ryksugur frá sprotafyrirtæki sem verkfræðinemar stofnuðu. Verslunin getur keypt hverja ryksugu á $86 og greiðir $9,200 sendingargjald óháð fjölda seldra ryksuga. Ef verslunin þarf að fara að skila hagnaði þegar 230 einingar hafa selst, hvaða verð á hún að setja á ryksugurnar?

58.

Þrjú vinsælustu ísbrögðin eru súkkulaði, jarðarber og vanilla og mynda saman 83% af seldum ís í ísbúð. Ef vanilluís selst 1% meira en tvöfalt meira en jarðarberjaís og súkkulaðiís selst 11% meira en vanilluís, hvert er hlutfall vanillu-, súkkulaði- og jarðarberjaíss af heildarsölunni?

59.

Í ísbúð eykst eftirspurn eftir þremur bragðtegundum. Á síðasta ári voru banana-, graskers- og Rocky Road-ísar 12% af heildarsölu íss. Í ár voru sömu þrjár tegundir 16.9% af íssölunni. Sala Rocky Road-íss tvöfaldaðist, sala bananaíss jókst um 50% og sala graskersíss um 20%. Ef hlutdeild Rocky Road-íss var einu prósentustigi minni en hlutdeild bananaíss skal finna hlutfall hverrar tegundar af íssölunni á síðasta ári.

60.

Poki af blönduðum hnetum inniheldur kasjúhnetur, pistasíuhnetur og möndlur. Alls eru 1,000 hnetur í pokanum og möndlurnar eru 100 færri en pistasíuhneturnar. Kasjúhneturnar vega 3 g hver, pistasíuhneturnar 4 g og möndlurnar 5 g. Ef pokinn vegur 3.7 kg skal finna fjölda hneta af hverri tegund.

61.

Poki af blönduðum hnetum inniheldur kasjúhnetur, pistasíuhnetur og möndlur. Upphaflega voru 900 hnetur í pokanum. 30% af möndlunum, 20% af kasjúhnetunum og 10% af pistasíuhnetunum voru borðaðar og nú eru 770 hnetur eftir. Upphaflega voru kasjúhneturnar 100 fleiri en möndlurnar. Finnið upphaflegan fjölda hneta af hverri tegund.