99 Jöfnuhneppi og ójöfnuhneppi

9.5 Fylki og fylkjaaðgerðir

Námsmarkmið

Í þessum hluta lærið þið að:

Finna summu og mismun tveggja fylkja.
Finna margfeldi fylkis og tölu.
Finna margfeldi tveggja fylkja.

Mikil barátta er í knattspyrnuleik þar sem leikmaður í blárri treyju reynir að halda boltanum en mótherjar í rauðu og hvítu umkringja hana. Boltinn er við fætur hennar á úrslitastundu í leiknum. — **Mynd 1.** (mynd: „SD Dirk“, Flickr)

Tvö félagslið í knattspyrnu, Wildcats og Mud Cats, vilja kaupa nýjan búnað fyrir komandi keppnistímabil. Tafla 1 sýnir búnaðarþörf beggja liða.

	Wildcats	Mud Cats
Mörk	6	10
Boltar	30	24
Keppnistreyjur	14	20

Mark kostar $300, bolti kostar $10 og keppnistreyja kostar $30. Hvernig getum við fundið heildarkostnað búnaðarins sem hvort lið þarf? Í þessum hluta kynnumst við aðferð til að setja gögnin í töflunni yfir knattspyrnubúnað fram á formi sem nota má við frekari útreikninga. Þá getum við reiknað kostnað búnaðarins.

Að finna summu og mismun tveggja fylkja

Til að leysa verkefni eins og það sem lýst var fyrir knattspyrnuliðin getum við notað fylki, sem er rétthyrnd tafla talna. Lína í fylki er talnaruna sem liggur lárétt. Dálkur í fylki er talnaruna sem liggur lóðrétt. Hver tala er stak í fylkinu. Fylki eru afmörkuð með [ ] eða ( ) og yfirleitt táknuð með stórum bókstöfum. Hér fyrir neðan sjást til dæmis þrjú fylki sem nefnast 𝐴 , 𝐵 A , B , og $A, B,$ $C$ 𝐶 . C

A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 1 & 2 & 7 \\ 0 & −5 & 6 \\ 7 & 8 & 2 \end{matrix}], C = [\begin{matrix} −1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix} \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}]

Lýsing fylkja

Oft er vísað til fylkis með stærð þess: $m \times n$ táknar $m$ línur og $n$ dálka. Stak fylkis er fyrst auðkennt með línu og síðan dálki. Til að finna stak í fylki $A$ sem táknað er 𝑎 𝑖 ⁢ 𝑗 $a_{i j},$ leitum við til dæmis að stakinu í línu 𝑖 $i,$ og dálki $j .$ Í fylki 𝐴 $A,$ hér fyrir neðan er stakið í línu 2 og dálki 3 jafnt $a_{23} .$

A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}]

Fylki af stærðinni 𝑛 $\times ⁠$ 𝑛 $n \times n,$ kallast ferningsfylki; það hefur jafnmargar línur og dálka. $3 \times 3$ fylkið hér að framan er dæmi um ferningsfylki.

Línufylki er fylki með einni línu og er af stærðinni $1 \times n .$

[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{matrix}]

Dálkfylki er fylki með einum dálki og er af stærðinni $m \times 1.$

[\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ a_{31} \end{matrix}]

Nota má fylki til að tákna jöfnuhneppi. Þá tákna tölurnar stuðla breytanna í hneppinu. Fylki auðvelda oft lausn jöfnuhneppa vegna þess að breyturnar sjálfar eru ekki hafðar með. Við skoðum þetta nánar í næsta hluta en lítum fyrst á helstu fylkjaaðgerðir.

Dæmi 1

Að finna stærð gefins fylkis og staðsetja stök

Gefið er fylkið $A :$

ⓐ Hver er stærð fylkisins $A ?$
ⓑ Hver eru stökin $a_{31}$ og $a_{22} ?$
$A = [\begin{array}{r} 2 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 7 \\ 3 & 1 & - 2 \end{array}]$

Lausn

ⓐ Stærðin er $3 \times 3$ því fylkið hefur þrjár línur og þrjá dálka.
ⓑ Stakið $a_{31}$ er talan í línu 3 og dálki 1, sem er 3. Stakið $a_{22}$ er talan í línu 2 og dálki 2, sem er 4. Munið að línan er tilgreind á undan dálkinum.

Samlagning og frádráttur fylkja

Við notum fylki til að skrá gögn eða tákna hneppi. Þar sem stökin eru tölur getum við framkvæmt aðgerðir á fylkjum. Við leggjum fylki saman eða drögum þau frá með því að leggja saman eða draga frá samsvarandi stök.

Til þess verða stökin að samsvara hvert öðru. Því er aðeins hægt að leggja saman eða draga frá fylki af sömu stærð. Við getum lagt saman eða dregið frá $3 \times 3$ fylki og annað $3 \times 3$ fylki en ekki $2 \times 3$ fylki og $3 \times 3$ fylki, því þá eiga sum stök annars fylkisins sér ekkert samsvarandi stak í hinu.

Dæmi 2

Að finna summu fylkja

Finnið summu $A$ og 𝐵 $B,$ þegar

A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] and B = [\begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix}]

Lausn

Leggið saman samsvarandi stök.

\begin{array}{l} A + B = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] + [\begin{matrix} e & f \\ g & h \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} a + e & b + f \\ c + g & d + h \end{matrix}] \end{array}

Dæmi 3

Að leggja saman fylkin A og B

Finnið summu $A$ og $B .$

A = [\begin{matrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix}] and B = [\begin{matrix} 5 & 9 \\ 0 & 7 \end{matrix}]

Lausn

Leggið saman samsvarandi stök. Leggið stakið í línu 1 og dálki 1, $a_{11},$ í fylki $A$ við stakið í línu 1 og dálki 1, $b_{11},$ í $B .$ Haldið sama mynstri áfram þar til öll stökin hafa verið lögð saman.

\begin{array}{l} A + B = [\begin{matrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 5 & 9 \\ 0 & 7 \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} 4 + 5 & 1 + 9 \\ 3 + 0 & 2 + 7 \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} 9 & 10 \\ 3 & 9 \end{matrix}] \end{array}

Dæmi 4

Að finna mismun tveggja fylkja

Finnið mismun $A$ og $B .$

A = [\begin{matrix} −2 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix}] and B = [\begin{matrix} 8 & 1 \\ 5 & 4 \end{matrix}]

Lausn

Við drögum samsvarandi stök fylkjanna frá hvert öðru.

\begin{array}{l} A - B = [\begin{array}{r} - 2 & 3 \\ 0 & 1 \end{array}] - [\begin{array}{r} 8 & 1 \\ 5 & 4 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} - 2 - 8 & 3 - 1 \\ 0 - 5 & 1 - 4 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} - 10 & 2 \\ - 5 & - 3 \end{array}] \end{array}

Dæmi 5

Að finna summu og mismun tveggja 3 x 3 fylkja

Gefin eru $A$ og $B :$

ⓐ Finnið summuna.
ⓑ Finnið mismuninn.

A = [\begin{array}{r} 2 & −10 & −2 \\ 14 & 12 & 10 \\ 4 & −2 & 2 \end{array}] and B = [\begin{array}{r} 6 & 10 & −2 \\ 0 & −12 & −4 \\ −5 & 2 & −2 \end{array}]

Lausn

ⓐ Leggið saman samsvarandi stök.
$\begin{array}{l} A + B = [\begin{array}{r} 2 & - 10 & - 2 \\ 14 & 12 & 10 \\ 4 & - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{r} 6 & 10 & - 2 \\ 0 & - 12 & - 4 \\ - 5 & 2 & - 2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 2 + 6 & - 10 + 10 & - 2 - 2 \\ 14 + 0 & 12 - 12 & 10 - 4 \\ 4 - 5 & - 2 + 2 & 2 - 2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 8 & 0 & - 4 \\ 14 & 0 & 6 \\ - 1 & 0 & 0 \end{array}] \end{array}$
ⓑ Dragið samsvarandi stök frá hvert öðru.
$\begin{array}{l} A - B = [\begin{array}{r} 2 & −10 & −2 \\ 14 & 12 & 10 \\ 4 & −2 & 2 \end{array}] - [\begin{array}{r} 6 & 10 & −2 \\ 0 & −12 & −4 \\ −5 & 2 & −2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 2 - 6 & −10 - 10 & −2 + 2 \\ 14 - 0 & 12 + 12 & 10 + 4 \\ 4 + 5 & −2 - 2 & 2 + 2 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} −4 & −20 & 0 \\ 14 & 24 & 14 \\ 9 & −4 & 4 \end{array}] \end{array}$

Að finna margfeldi fylkis og tölu

Auk þess að leggja saman og draga frá heil fylki þurfum við oft að margfalda fylki með fasta sem kallast skali. Rifjum upp að skali er rauntala sem hefur stærð en enga stefnu. Tími, hitastig og vegalengd eru til dæmis skalarstærðir. Við skölun fylkis er hvert stak þess margfaldað með skala. Margfeldi fylkis og skala er fylkið sem fæst við slíka skölun.

Skoðum raunhæft dæmi þar sem háskóli þarf að fjölga tölvum, tölvuborðum og stólum í tveimur tölvuverum vegna aukins nemendafjölda. Áætlað er að 15% more búnaðarins þurfi í báðum tölvuverum. Núverandi búnaður skólans er sýndur í töflu 2 .

	Tölvuver A	Tölvuver B
Tölvur	15	27
Tölvuborð	16	34
Stólar	16	34

Þegar gögnunum er breytt í fylki fæst

C_{2013} = [\begin{matrix} 15 \\ 16 \\ 16 \end{matrix} \begin{matrix} 27 \\ 34 \\ 34 \end{matrix}]

Til að reikna hversu mikinn tölvubúnað þarf margföldum við öll stök fylkisins $C$ með 0.15.

(0.15) C_{2013} = [\begin{matrix} (0.15) 15 \\ (0.15) 16 \\ (0.15) 16 \end{matrix} \begin{matrix} (0.15) 27 \\ (0.15) 34 \\ (0.15) 34 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2.25 \\ 2.4 \\ 2.4 \end{matrix} \begin{matrix} 4.05 \\ 5.1 \\ 5.1 \end{matrix}]

Við verðum að námunda upp að næstu heiltölu og því þarf eftirfarandi magn af nýjum búnaði:

[\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{matrix} \begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 6 \end{matrix}]

Með því að leggja fylkin saman eins og sýnt er hér fyrir neðan sjáum við nýja heildarfjöldann.

[\begin{matrix} 15 \\ 16 \\ 16 \end{matrix} \begin{matrix} 27 \\ 34 \\ 34 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{matrix} \begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 6 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 18 \\ 19 \\ 19 \end{matrix} \begin{matrix} 32 \\ 40 \\ 40 \end{matrix}]

Þetta þýðir að

C_{2014} = [\begin{matrix} 18 \\ 19 \\ 19 \end{matrix} \begin{matrix} 32 \\ 40 \\ 40 \end{matrix}]

Tölvuver A verður því með 18 tölvur, 19 tölvuborð og 19 stóla en tölvuver B með 32 tölvur, 40 tölvuborð og 40 stóla.

Dæmi 6

Að margfalda fylki með skala

Margfaldið fylkið $A$ með skalanum 3.

A = [\begin{matrix} 8 & 1 \\ 5 & 4 \end{matrix}]

Lausn

Margfaldið hvert stak í $A$ með skalanum 3.

\begin{array}{l} 3 A = 3 [\begin{array}{r} 8 & 1 \\ 5 & 4 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 3 \cdot 8 & 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 5 & 3 \cdot 4 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 24 & 3 \\ 15 & 12 \end{array}] \end{array}

Dæmi 7

Að finna summu skalaðra fylkja

Finnið summuna $3 A + 2 B .$

A = [\begin{array}{r} 1 & −2 & 0 \\ 0 & −1 & 2 \\ 4 & 3 & −6 \end{array}] and B = [\begin{array}{r} −1 & 2 & 1 \\ 0 & −3 & 2 \\ 0 & 1 & −4 \end{array}]

Lausn

Finnið fyrst 3 ⁢ 𝐴 $3 A,$ og síðan $2 B .$

\begin{array}{l} \begin{array}{l} 3 A = [\begin{array}{l} 3 \cdot 1 & 3 (−2) & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 & 3 (−1) & 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 4 & 3 \cdot 3 & 3 (−6) \end{array}] \end{array} \\ = [\begin{array}{r} 3 & −6 & 0 \\ 0 & −3 & 6 \\ 12 & 9 & −18 \end{array}] \end{array}

\begin{array}{l} \begin{array}{l} 2 B = [\begin{array}{l} 2 (−1) & 2 \cdot 2 & 2 \cdot 1 \\ 2 \cdot 0 & 2 (−3) & 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 (−4) \end{array}] \end{array} \\ = [\begin{array}{r} −2 & 4 & 2 \\ 0 & −6 & 4 \\ 0 & 2 & −8 \end{array}] \end{array}

Leggið nú saman $3 A + 2 B .$

\begin{array}{l} 3 A + 2 B = [\begin{array}{r} 3 & −6 & 0 \\ 0 & −3 & 6 \\ 12 & 9 & −18 \end{array}] + [\begin{array}{r} −2 & 4 & 2 \\ 0 & −6 & 4 \\ 0 & 2 & −8 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 3 - 2 & −6 + 4 & 0 + 2 \\ 0 + 0 & −3 - 6 & 6 + 4 \\ 12 + 0 & 9 + 2 & −18 −8 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 1 & −2 & 2 \\ 0 & −9 & 10 \\ 12 & 11 & - 26 \end{array}] \end{array}

Að finna margfeldi tveggja fylkja

Auk þess að margfalda fylki með skala getum við margfaldað saman tvö fylki. Margfeldi tveggja fylkja er aðeins skilgreint þegar innri stærðirnar eru jafnar, það er þegar fjöldi dálka í fyrra fylkinu er jafn fjölda lína í því síðara. Ef $A$ er $m \times r$ fylki og $B$ er $r \times n$ fylki, þá er margfeldisfylkið $A B$ af stærðinni 𝑚 $\times ⁠$ 𝑛 . $m \times n$ Margfeldið $A B$ er til dæmis skilgreint vegna þess að fjöldi dálka í $A$ er jafn fjölda lína í $B .$ Ef innri stærðirnar eru ekki jafnar er margfeldið ekki skilgreint.

Regla um fylkjamargföldun: Þegar A (2x3) er margfaldað með B (3x3) verður fjöldi dálka í A (3) að vera jafn fjölda lína í B (3). Merkingin „jafnt“ undirstrikar þetta nauðsynlega skilyrði þess að aðgerðin sé skilgreind.

Við margföldum stök $A$ með stökum $B$ samkvæmt tilteknu mynstri sem lýst er hér á eftir. Fylkjamargföldun verður skýrari þegar unnið er dæmi með rauntölum.

Til að fá stökin í línu $i$ í 𝐴 ⁢ 𝐵 $A B,$ margföldum við stökin í línu $i$ í $A$ með samsvarandi stökum í dálki $j$ í $B$ og leggjum margfeldin saman. Gefin eru til dæmis fylkin $A$ og 𝐵 $B,$ þar sem stærð $A$ er $2 \times 3$ og stærð $B$ er 3 $\times ⁠$ 3 . $3 \times 3,$ Margfeldið $A B$ verður þá $2 \times 3$ fylki.

A = [\begin{array}{r} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array}] and B = [\begin{array}{r} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{array}]

Margfaldið og leggið saman á eftirfarandi hátt til að fá fyrsta stak margfeldisfylkisins $A B .$

Til að fá stakið í línu 1 og dálki 1 í 𝐴 ⁢ 𝐵 $A B,$ margföldum við fyrstu línu $A$ með fyrsta dálki 𝐵 $B,$ og leggjum margfeldin saman.
$[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{11} \\ b_{21} \\ b_{31} \end{matrix}] = a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21} + a_{13} \cdot b_{31}$
$[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{11} \\ b_{21} \\ b_{31} \end{matrix}] = a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21} + a_{13} \cdot b_{31}$
Til að fá stakið í línu 1 og dálki 2 í 𝐴 ⁢ 𝐵 $A B,$ margföldum við fyrstu línu $A$ með öðrum dálki 𝐵 $B,$ og leggjum margfeldin saman.
$[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{12} \\ b_{22} \\ b_{32} \end{matrix}] = a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} + a_{13} \cdot b_{32}$
$[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{12} \\ b_{22} \\ b_{32} \end{matrix}] = a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} + a_{13} \cdot b_{32}$
Til að fá stakið í línu 1 og dálki 3 í 𝐴 ⁢ 𝐵 $A B,$ margföldum við fyrstu línu $A$ með þriðja dálki 𝐵 $B,$ og leggjum margfeldin saman.
$[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{13} \\ b_{23} \\ b_{33} \end{matrix}] = a_{11} \cdot b_{13} + a_{12} \cdot b_{23} + a_{13} \cdot b_{33}$
$[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{13} \\ b_{23} \\ b_{33} \end{matrix}] = a_{11} \cdot b_{13} + a_{12} \cdot b_{23} + a_{13} \cdot b_{33}$

Við förum eins að til að fá aðra línu $A B .$ Með öðrum orðum margföldum við línu 2 í $A$ með dálki 1 í 𝐵 , $B;$ línu 2 í $A$ með dálki 2 í 𝐵 $B;$ og línu 2 í $A$ með dálki 3 í $B .$ Þegar þessu er lokið verður margfeldisfylkið

A B = [\begin{matrix} \begin{array}{l} a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21} + a_{13} \cdot b_{31} \end{array} \\ a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21} + a_{23} \cdot b_{31} \end{matrix} \begin{matrix} \begin{array}{l} a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22} + a_{13} \cdot b_{32} \end{array} \\ a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22} + a_{23} \cdot b_{32} \end{matrix} \begin{matrix} \begin{array}{l} a_{11} \cdot b_{13} + a_{12} \cdot b_{23} + a_{13} \cdot b_{33} \end{array} \\ a_{21} \cdot b_{13} + a_{22} \cdot b_{23} + a_{23} \cdot b_{33} \end{matrix}]

Dæmi 8

Að margfalda saman tvö fylki

Margfaldið saman fylkið $A$ og fylkið $B .$

A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}] and B = [\begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix}]

Lausn

Fyrst athugum við stærð fylkjanna. Fylkið $A$ er af stærðinni $2 \times 2$ og fylkið $B$ er af stærðinni $2 \times 2.$ Innri stærðirnar eru jafnar og því getum við margfaldað fylkin. Margfeldið verður af stærðinni $2 \times 2.$

Við framkvæmum aðgerðirnar sem lýst var hér að framan.

Skref fyrir skref er sýnt hvernig tvö 2 × 2 fylki eru margfölduð og hvernig hvert stak margfeldisfylkisins fæst með því að leggja saman margfeldi samsvarandi staka úr línu fyrra fylkisins og dálki þess síðara.

Dæmi 9

Að margfalda saman tvö fylki

Gefin eru $A$ og $B :$

ⓐ Finnið $A B .$
ⓑ Finnið $B A .$

A = [\begin{array}{l} \begin{matrix} −1 & 2 & 3 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4 & 0 & 5 \end{matrix} \end{array}] and B = [\begin{matrix} 5 \\ −4 \\ 2 \end{matrix} \begin{matrix} −1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}]

Lausn

ⓐ Þar sem stærð $A$ er $2 \times 3$ og stærð $B$ er 3 $\times ⁠$ 2 $3 \times 2,$ má margfalda fylkin saman, því fjöldi dálka í $A$ er jafn fjölda lína í $B .$ Margfeldið verður $2 \times 2$ fylki, það er fjöldi lína í $A$ sinnum fjöldi dálka í $B .$
$\begin{array}{l} A B = [\begin{array}{r} −1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 5 \end{array}] [\begin{array}{r} 5 & −1 \\ - 4 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} −1 (5) + 2 (−4) + 3 (2) & −1 (−1) + 2 (0) + 3 (3) \\ 4 (5) + 0 (−4) + 5 (2) & 4 (−1) + 0 (0) + 5 (3) \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} −7 & 10 \\ 30 & 11 \end{array}] \end{array}$
ⓑ Stærð $B$ er $3 \times 2$ og stærð $A$ er $2 \times 3.$ Innri stærðirnar eru jafnar og því er margfeldið skilgreint og verður $3 \times 3$ fylki.
$\begin{array}{l} B A = [\begin{array}{r} 5 & −1 \\ −4 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}] [\begin{array}{r} −1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 5 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 5 (−1) + −1 (4) & 5 (2) + −1 (0) & 5 (3) + −1 (5) \\ −4 (−1) + 0 (4) & −4 (2) + 0 (0) & −4 (3) + 0 (5) \\ 2 (−1) + 3 (4) & 2 (2) + 3 (0) & 2 (3) + 3 (5) \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} −9 & 10 & 10 \\ 4 & −8 & −12 \\ 10 & 4 & 21 \end{array}] \end{array}$

Greining

Takið eftir að margfeldin $A B$ og $B A$ eru ekki jöfn.

A B = [\begin{matrix} −7 & 10 \\ 30 & 11 \end{matrix}] \neq [\begin{matrix} −9 & 10 & 10 \\ 4 & −8 & −12 \\ 10 & 4 & 21 \end{matrix}] = B A

Þetta sýnir að víxlregla gildir ekki um fylkjamargföldun.

Dæmi 10

Notkun fylkja í raunhæfum verkefnum

Snúum aftur að verkefninu í upphafi þessa hluta. Tafla 3 sýnir búnaðarþörf tveggja knattspyrnuliða.

	Wildcats	Mud Cats
Mörk	6	10
Boltar	30	24
Keppnistreyjur	14	20

Einnig er gefið verð búnaðarins eins og sýnt er í töflu 4 .

Mark	$300
Bolti	$10
Keppnistreyja	$30

Við breytum gögnunum í fylki. Fylkið yfir búnaðarþörf er þá ritað sem

E = [\begin{matrix} 6 \\ 30 \\ 14 \end{matrix} \begin{matrix} 10 \\ 24 \\ 20 \end{matrix}]

Kostnaðarfylkið er ritað sem

C = [\begin{matrix} 300 & 10 & 30 \end{matrix}]

Við notum fylkjamargföldun til að reikna kostnað búnaðarins.

\begin{array}{l} C E = [\begin{array}{r} 300 & 10 & 30 \end{array}] [\begin{array}{r} 6 & 10 \\ 30 & 24 \\ 14 & 20 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 300 (6) + 10 (30) + 30 (14) & 300 (10) + 10 (24) + 30 (20) \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 2,520 & 3,840 \end{array}] \end{array}

Heildarkostnaður búnaðar Wildcats er $2,520 og heildarkostnaður búnaðar Mud Cats er $3,840.

Dæmi 11

Notkun reiknivélar við fylkjaaðgerðir

Finnið $A B - C$ þegar

A = [\begin{array}{r} −15 & 25 & 32 \\ 41 & −7 & −28 \\ 10 & 34 & −2 \end{array}], B = [\begin{array}{r} 45 & 21 & −37 \\ −24 & 52 & 19 \\ 6 & −48 & −31 \end{array}], and C = [\begin{array}{r} −100 & −89 & −98 \\ 25 & −56 & 74 \\ −67 & 42 & −75 \end{array}] .

Lausn

Á fylkjasíðu reiknivélarinnar skráum við fylkið $A$ hér að framan sem fylkjabreytuna $[A],$ fylkið $B$ sem fylkjabreytuna [ 𝐵 ] $[B],$ og fylkið $C$ sem fylkjabreytuna $[C] .$

Á heimaskjá reiknivélarinnar sláum við verkefnið inn og sækjum hverja fylkjabreytu eftir þörfum.

[A] [B] - [C]

Reiknivélin gefur eftirfarandi fylki.

[\begin{array}{r} - 983 & - 462 & 136 \\ 1, 820 & 1, 897 & - 856 \\ - 311 & 2, 032 & 413 \end{array}]

9.5 Æfingar kaflans

Munnleg verkefni

Er hægt að leggja saman hvaða tvö fylki sem er? Ef svo er, útskýrið hvers vegna; ef ekki, útskýrið hvers vegna ekki og gefið dæmi um tvö fylki sem ekki má leggja saman.

Er hægt að margfalda sérhvert dálkfylki með sérhverju línufylki? Útskýrið hvers vegna eða hvers vegna ekki.

Geta bæði margfeldin $A B$ og $B A$ verið skilgreind? Ef svo er, útskýrið hvernig; ef ekki, útskýrið hvers vegna.

Er hægt að margfalda saman hvaða tvö jafnstór fylki sem er? Ef svo er, útskýrið hvers vegna; ef ekki, útskýrið hvers vegna ekki og gefið dæmi um tvö jafnstór fylki sem ekki má margfalda saman.

Gildir víxlregla um fylkjamargföldun, það er gildir $A B = B A ?$ Ef svo er, sannið það. Ef ekki, útskýrið hvers vegna.

Algebruverkefni

Í eftirfarandi æfingum skal nota fylkin hér fyrir neðan og framkvæma tilgreinda samlagningu eða frádrátt. Takið fram ef aðgerðin er ekki skilgreind.

A = [\begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 7 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 2 & 14 \\ 22 & 6 \end{matrix}], C = [\begin{matrix} 1 & 5 \\ 8 & 92 \\ 12 & 6 \end{matrix}], D = [\begin{matrix} 10 & 14 \\ 7 & 2 \\ 5 & 61 \end{matrix}], E = [\begin{matrix} 6 & 12 \\ 14 & 5 \end{matrix}], F = [\begin{matrix} 0 & 9 \\ 78 & 17 \\ 15 & 4 \end{matrix}]

𝐴+𝐵 $A + B$

𝐶+𝐷 $C + D$

𝐴+𝐶 $A + C$

𝐵−𝐸 $B - E$

10.

𝐶+𝐹 $C + F$

11.

𝐷−𝐵 $D - B$

Í eftirfarandi æfingum skal nota fylkin hér fyrir neðan og skala þau eins og tilgreint er.

A = [\begin{array}{r} 4 & 6 \\ 13 & 12 \end{array}], B = [\begin{array}{r} 3 & 9 \\ 21 & 12 \\ 0 & 64 \end{array}], C = [\begin{array}{r} 16 & 3 & 7 & 18 \\ 90 & 5 & 3 & 29 \end{array}], D = [\begin{array}{r} 18 & 12 & 13 \\ 8 & 14 & 6 \\ 7 & 4 & 21 \end{array}]

12.

5⁢𝐴 $5 A$

13.

3⁢𝐵 $3 B$

14.

−2⁢𝐵 $−2 B$

15.

−4⁢𝐶 $−4 C$

16.

12⁢𝐶 $\frac{1}{2} C$

17.

100⁢𝐷 $100 D$

Í eftirfarandi æfingum skal nota fylkin hér fyrir neðan og framkvæma fylkjamargföldunina.

A = [\begin{array}{r} −1 & 5 \\ 3 & 2 \end{array}], B = [\begin{array}{r} 3 & 6 & 4 \\ −8 & 0 & 12 \end{array}], C = [\begin{array}{r} 4 & 10 \\ −2 & 6 \\ 5 & 9 \end{array}], D = [\begin{array}{r} 2 & −3 & 12 \\ 9 & 3 & 1 \\ 0 & 8 & −10 \end{array}]

18.

𝐴⁢𝐵 $A B$

19.

𝐵⁢𝐶 $B C$

20.

𝐶⁢𝐴 $C A$

21.

𝐵⁢𝐷 $B D$

22.

𝐷⁢𝐶 $D C$

23.

𝐶⁢𝐵 $C B$

Í eftirfarandi æfingum skal nota fylkin hér fyrir neðan og framkvæma tilgreinda aðgerð ef það er hægt. Ef það er ekki hægt skal útskýra hvers vegna.

A = [\begin{array}{r} 2 & −5 \\ 6 & 7 \end{array}], B = [\begin{array}{r} −9 & 6 \\ −4 & 2 \end{array}], C = [\begin{array}{r} 0 & 9 \\ 7 & 1 \end{array}], D = [\begin{array}{r} −8 & 7 & −5 \\ 4 & 3 & 2 \\ 0 & 9 & 2 \end{array}], E = [\begin{array}{r} 4 & 5 & 3 \\ 7 & −6 & −5 \\ 1 & 0 & 9 \end{array}]

24.

𝐴+𝐵−𝐶 $A + B - C$

25.

4⁢𝐴+5⁢𝐷 $4 A + 5 D$

26.

2⁢𝐶+𝐵 $2 C + B$

27.

3⁢𝐷+4⁢𝐸 $3 D + 4 E$

28.

𝐶⁢−0.5⁢𝐷 $C −0.5 D$

29.

100⁢𝐷⁢−10⁢𝐸 $100 D −10 E$

Í eftirfarandi æfingum skal nota fylkin hér fyrir neðan og framkvæma tilgreinda aðgerð ef það er hægt. Ef það er ekki hægt skal útskýra hvers vegna. (Vísbending: $A^{2} = A \cdot A$ )

A = [\begin{array}{r} −10 & 20 \\ 5 & 25 \end{array}], B = [\begin{array}{r} 40 & 10 \\ −20 & 30 \end{array}], C = [\begin{array}{r} −1 & 0 \\ 0 & −1 \\ 1 & 0 \end{array}]

30.

𝐴⁢𝐵 $A B$

31.

𝐵⁢𝐴 $B A$

32.

𝐶⁢𝐴 $C A$

33.

𝐵⁢𝐶 $B C$

34.

𝐴2 $A^{2}$

35.

𝐵2 $B^{2}$

36.

𝐶2 $C^{2}$

37.

𝐵2⁢𝐴2 $B^{2} A^{2}$

38.

𝐴2⁢𝐵2 $A^{2} B^{2}$

39.

(𝐴⁢𝐵)₂ ${(A B)}^{2}$

40.

(𝐵⁢𝐴)₂ ${(B A)}^{2}$

Í eftirfarandi æfingum skal nota fylkin hér fyrir neðan og framkvæma tilgreinda aðgerð ef það er hægt. Ef það er ekki hægt skal útskýra hvers vegna. (Vísbending: $A^{2} = A \cdot A$ )

A = [\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{array}], B = [\begin{array}{r} −2 & 3 & 4 \\ −1 & 1 & −5 \end{array}], C = [\begin{array}{r} 0.5 & 0.1 \\ 1 & 0.2 \\ −0.5 & 0.3 \end{array}], D = [\begin{array}{r} 1 & 0 & −1 \\ −6 & 7 & 5 \\ 4 & 2 & 1 \end{array}]

41.

𝐴⁢𝐵 $A B$

42.

𝐵⁢𝐴 $B A$

43.

𝐵⁢𝐷 $B D$

44.

𝐷⁢𝐶 $D C$

45.

𝐷2 $D^{2}$

46.

𝐴2 $A^{2}$

47.

𝐷3 $D^{3}$

48.

(𝐴⁢𝐵)⁢𝐶 $(A B) C$

49.

𝐴⁡(𝐵⁢𝐶) $A (B C)$

Tækniverkefni

Í eftirfarandi æfingum skal nota fylkin hér fyrir neðan og framkvæma tilgreinda aðgerð ef það er hægt. Ef það er ekki hægt skal útskýra hvers vegna. Notið reiknivél til að sannreyna lausnina.

A = [\begin{array}{r} −2 & 0 & 9 \\ 1 & 8 & −3 \\ 0.5 & 4 & 5 \end{array}], B = [\begin{array}{r} 0.5 & 3 & 0 \\ −4 & 1 & 6 \\ 8 & 7 & 2 \end{array}], C = [\begin{array}{r} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}]

50.

𝐴⁢𝐵 $A B$

51.

𝐵⁢𝐴 $B A$

52.

𝐶⁢𝐴 $C A$

53.

𝐵⁢𝐶 $B C$

54.

𝐴⁢𝐵⁢𝐶 $A B C$

Viðbótarverkefni

Í eftirfarandi æfingum skal nota fylkið hér fyrir neðan og framkvæma tilgreinda aðgerð á því.

B = [\begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}]

55.

𝐵2 $B^{2}$

56.

𝐵3 $B^{3}$

57.

𝐵4 $B^{4}$

58.

𝐵5 $B^{5}$

59.

Notið verkefnin hér að framan til að finna formúlu fyrir $B^{n} .$ Prófið formúluna fyrir $B^{201}$ og 𝐵 2 0 2 $B^{202},$ með reiknivél.