99 Jöfnuhneppi og ójöfnuhneppi

9.7 Lausn jöfnuhneppa með andhverfum fylkja

Námsmarkmið

Í þessum hluta lærið þið að:

Finna andhverfu fylkis.
Leysa línulegt jöfnuhneppi með andhverfu fylkis.

Soriya ætlar að fjárfesta $10,500 í tveimur ólíkum skuldabréfum til að dreifa áhættunni. Fyrra skuldabréfið skilar 10% á ári og hið síðara 6%. Hversu mikið á Soriya að fjárfesta í hvoru skuldabréfi til að fá 8.5% ávöxtun samanlagða ávöxtun? Hvaða aðferð hentar best til að leysa verkefnið?

Hægt er að leysa verkefnið á ýmsa vegu. Eins og við höfum séð í fyrri hlutum nýtast jöfnuhneppi og fylki við lausn raunhæfra fjármálaverkefna. Eftir þennan hluta höfum við verkfæri til að leysa skuldabréfaverkefnið með andhverfu fylkis.

Að finna andhverfu fylkis

Við vitum að margföldunarandhverfa rauntölunnar $a$ er $a^{−1},$ og að $a a^{−1} = a^{−1} a = (\frac{1}{a}) a = 1.$ Til dæmis er $2^{−1} = \frac{1}{2}$ og $(\frac{1}{2}) 2 = 1.$ Andhverfa fylkis byggist á svipaðri hugmynd, nema margfeldi fylkisins $A$ og andhverfu þess $A^{−1}$ er einingarfylkið. Einingarfylki er ferningsfylki með einingum á hornalínunni og núllum alls staðar annars staðar. Við táknum einingarfylki með $I_{n}$ þar sem $n$ táknar stærð fylkisins. Skoðið eftirfarandi jöfnur.

I_{2} = [\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

I_{3} = [\begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

Einingarfylkið gegnir hlutverki 1 í fylkjaalgebru. Til dæmis er $A I = I A = A .$

Fylki sem hefur andhverfu uppfyllir eiginleikana

\begin{array}{l} A A^{−1} = I \\ A^{−1} A = I \end{array}

Fylki sem hefur andhverfu kallast andhverfanlegt fylki. Aðeins ferningsfylki getur haft andhverfu, því skilyrðið 𝐴 ⁢ 𝐴 − 1 = 𝐴 − 1 ⁢ 𝐴 = 𝐼 $A A^{−1} = A^{−1} A = I,$ verður að gilda í báðar áttir. Ekki hafa öll ferningsfylki andhverfu, en ef $A$ er andhverfanlegt er $A^{−1}$ ótvírætt ákvarðað. Við skoðum tvær aðferðir til að finna andhverfu $2 \times 2$ fylkis og þriðju aðferðina sem nota má fyrir bæði $2 \times 2$ og $3 \times 3$ fylki.

Dæmi 1

Að sýna að einingarfylkið gegni hlutverki 1

Gefið er fylkið A. Sýnið að $A I = I A = A .$

A = [\begin{matrix} 3 & 4 \\ −2 & 5 \end{matrix}]

Lausn

Notið fylkjamargföldun til að sýna að margfeldi $A$ og einingarfylkisins sé jafnt margfeldi einingarfylkisins og A.

A I = [\begin{array}{r} 3 & 4 \\ −2 & 5 \end{array}] \begin{array}{r}  \end{array} [\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] = [\begin{array}{r} 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 & 3 \cdot 0 + 4 \cdot 1 \\ −2 \cdot 1 + 5 \cdot 0 & −2 \cdot 0 + 5 \cdot 1 \end{array}] = [\begin{array}{r} 3 & 4 \\ −2 & 5 \end{array}]

I A = [\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] \begin{array}{r}  \end{array} [\begin{array}{r} 3 & 4 \\ −2 & 5 \end{array}] = [\begin{array}{r} 1 \cdot 3 + 0 \cdot (−2) & 1 \cdot 4 + 0 \cdot 5 \\ 0 \cdot 3 + 1 \cdot (−2) & 0 \cdot 4 + 1 \cdot 5 \end{array}] = [\begin{array}{r} 3 & 4 \\ −2 & 5 \end{array}]

Dæmi 2

Að sýna að fylkið A sé andhverfa fylkisins B

Sýnið að gefnu fylkin séu andhverfur hvort annars.

A = [\begin{array}{r} 1 & 5 \\ −2 & −9 \end{array}], B = [\begin{array}{r} −9 & −5 \\ 2 & 1 \end{array}]

Lausn

Margfaldið $A B$ og $B A .$ Ef bæði margfeldin eru jöfn einingarfylkinu eru fylkin andhverfur hvort annars.

\begin{array}{l} A B = [\begin{array}{r} 1 & 5 \\ −2 & −9 \end{array}] \cdot [\begin{array}{r} −9 & −5 \\ 2 & 1 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 1 (−9) + 5 (2) & 1 (−5) + 5 (1) \\ −2 (−9) −9 (2) & −2 (−5) −9 (1) \end{array}] \\ = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] \end{array}

\begin{array}{l} B A = [\begin{array}{r} −9 & −5 \\ 2 & 1 \end{array}] \cdot [\begin{array}{r} 1 & 5 \\ −2 & −9 \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} −9 (1) −5 (−2) & −9 (5) −5 (−9) \\ 2 (1) + 1 (−2) & 2 (5) + 1 (−9) \end{array}] \\ = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] \end{array}

$A$ og $B$ eru andhverfur hvort annars.

Að finna andhverfu með fylkjamargföldun

Nú getum við ákvarðað hvort tvö fylki séu andhverfur, en hvernig finnum við andhverfu gefins fylkis? Þar sem margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylkið getum við fundið andhverfuna með því að setja upp jöfnu og nota fylkjamargföldun.

Dæmi 3

Að finna andhverfu með fylkjamargföldun

Notið fylkjamargföldun til að finna andhverfu gefna fylkisins.

A = [\begin{array}{r} 1 & −2 \\ 2 & −3 \end{array}]

Lausn

Í þessari aðferð margföldum við $A$ með fylki óþekktra fasta og setjum margfeldið jafnt einingarfylkinu.

[\begin{array}{r} 1 & −2 \\ 2 & −3 \end{array}] [\begin{array}{r} a & b \\ c & d \end{array}] = [\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

Finnið margfeldi fylkjanna tveggja vinstra megin við jafnaðarmerkið.

[\begin{array}{r} 1 & −2 \\ 2 & −3 \end{array}] [\begin{array}{r} a & b \\ c & d \end{array}] = [\begin{array}{r} 1 a −2 c & 1 b −2 d \\ 2 a −3 c & 2 b −3 d \end{array}]

Setjið næst upp jöfnuhneppi þar sem stakið í línu 1 og dálki 1 í nýja fylkinu er sett jafnt fyrsta staki einingarfylkisins, 1. Setjið stakið í línu 2 og dálki 1 í nýja fylkinu jafnt samsvarandi staki einingarfylkisins, sem er 0.

\begin{matrix} 1 a −2 c = 1 R_{1} \\ 2 a −3 c = 0 R_{2} \end{matrix}

Notið línuaðgerðir og margfaldið og leggið saman þannig: $(−2) R_{1} + R_{2} \to R_{2} .$ Leggið jöfnurnar saman og leysið fyrir $c .$

\begin{array}{r} 1 a - 2 c = 1 \\ 0 + 1 c = - 2 \\ c = - 2 \end{array}

Notið bakinnsetningu til að leysa fyrir $a .$

\begin{array}{r} a −2 (−2) = 1 \\ a + 4 = 1 \\ a = −3 \end{array}

Setjið upp annað jöfnuhneppi þar sem stakið í línu 1 og dálki 2 í nýja fylkinu er sett jafnt samsvarandi staki einingarfylkisins, 0. Setjið stakið í línu 2 og dálki 2 jafnt samsvarandi staki einingarfylkisins.

\begin{array}{r} 1 b −2 d = 0 & R_{1} \\ 2 b −3 d = 1 & R_{2} \end{array}

Notið línuaðgerðir og margfaldið og leggið saman þannig: $(−2) R_{1} + R_{2} = R_{2} .$ Leggið jöfnurnar tvær saman og leysið fyrir $d .$

\begin{array}{r} 1 b −2 d = 0 \\ \frac{0 + 1 d = 1}{d = 1} \end{array}

Notið aftur bakinnsetningu og leysið fyrir $b .$

\begin{array}{r} b −2 (1) = 0 \\ b −2 = 0 \\ b = 2 \end{array}

A^{−1} = [\begin{array}{r} −3 & 2 \\ −2 & 1 \end{array}]

Að finna andhverfu með því að bæta einingarfylkinu við

Önnur leið til að finna andhverfuna er að bæta einingarfylkinu við. Þegar fylkinu $A$ er umbreytt í 𝐼 $I,$ umbreytist viðbætta fylkið $I$ í $A^{−1} .$

Gefið er til dæmis

A = [\begin{array}{r} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{array}]

Bætið $A$ einingarfylkinu við 𝐴 A

[\begin{array}{r} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{array} | \begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]

Framkvæmið línuaðgerðir með það að markmiði að umbreyta $A$ í einingarfylkið.

Víxlið línu 1 og línu 2.
$[\begin{array}{r} 5 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}]$
$[\begin{array}{r} 5 & 3 \\ 2 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}]$
Margfaldið línu 2 með $−2$ og leggið við línu 1.
$[\begin{array}{r} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} −2 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}]$
$[\begin{array}{r} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} −2 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}]$
Margfaldið línu 1 með $−2$ og leggið við línu 2.
$[\begin{array}{r} 1 & 1 \\ 0 & −1 \end{array} | \begin{array}{r} −2 & 1 \\ 5 & −2 \end{array}]$
$[\begin{array}{r} 1 & 1 \\ 0 & −1 \end{array} | \begin{array}{r} −2 & 1 \\ 5 & −2 \end{array}]$
Leggið línu 2 við línu 1.
$[\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & −1 \end{array} | \begin{array}{r} 3 & −1 \\ 5 & −2 \end{array}]$
$[\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & −1 \end{array} | \begin{array}{r} 3 & −1 \\ 5 & −2 \end{array}]$
Margfaldið línu 2 með $−1.$
$[\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} 3 & −1 \\ −5 & 2 \end{array}]$
$[\begin{array}{r} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} | \begin{array}{r} 3 & −1 \\ −5 & 2 \end{array}]$

Fylkið sem við höfum fundið er $A^{−1} .$

A^{−1} = [\begin{array}{r} 3 & −1 \\ −5 & 2 \end{array}]

Að finna andhverfu 2 $\times$ 2 fylkis með formúlu

Þegar finna þarf andhverfu $2 \times 2$ fylkis getum við notað sérstaka formúlu í stað fylkjamargföldunar eða þess að bæta einingarfylkinu við.

Ef $A$ er $2 \times 2$ fylki á borð við

A = [\begin{array}{r} a & b \\ c & d \end{array}]

er andhverfa $A$ gefin með formúlunni

A^{−1} = \frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{r} d & - b \\ - c & a \end{array}]

þar sem $a d - b c \neq 0.$ Ef 𝑎 ⁢ 𝑑 − 𝑏 ⁢ 𝑐 = 0 $a d - b c = 0,$ hefur $A$ enga andhverfu.

Dæmi 4

Notkun formúlunnar til að finna andhverfu fylkisins A

Notið formúluna til að finna andhverfu

A = [\begin{matrix} 1 & −2 \\ 2 & −3 \end{matrix}]

Lausn

Með formúlunni fæst

\begin{array}{l} A^{−1} = \frac{1}{(1) (−3) - (−2) (2)} [\begin{matrix} −3 & 2 \\ −2 & 1 \end{matrix}] \\ = \frac{1}{−3 + 4} [\begin{matrix} −3 & 2 \\ −2 & 1 \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} −3 & 2 \\ −2 & 1 \end{matrix}] \end{array}

Greining

Við getum staðfest formúluna með því að reikna andhverfuna með annarri aðferð. Bætum einingarfylkinu við $A$ 𝐴 . A

[\begin{matrix} 1 & −2 \\ 2 & −3 \end{matrix} | \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

Framkvæmið línuaðgerðir með það að markmiði að umbreyta $A$ í einingarfylkið.

Margfaldið línu 1 með $−2$ og leggið við línu 2.
$[\begin{matrix} 1 & −2 \\ 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} 1 & 0 \\ −2 & 1 \end{matrix}]$
Margfaldið línu 2 með 2 og leggið við línu 1.
$[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} −3 & 2 \\ −2 & 1 \end{matrix}]$

Þar með höfum við staðfest upphaflegu lausnina.

A^{−1} = [\begin{matrix} −3 & 2 \\ −2 & 1 \end{matrix}]

Dæmi 5

Að finna andhverfu fylkis, ef hún er til

Finnið andhverfu gefna fylkisins ef hún er til.

A = [\begin{matrix} 3 & 6 \\ 1 & 2 \end{matrix}]

Lausn

Við notum aðferðina þar sem einingarfylkinu er bætt við.

[\begin{matrix} 3 & 6 \\ 1 & 2 \end{matrix} | \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

Víxlið línu 1 og línu 2.
$[\begin{matrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{matrix} | \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$
Margfaldið línu 1 með −3 og leggið hana við línu 2.
$[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{matrix} | \begin{matrix} 1 & 0 \\ −3 & 1 \end{matrix}]$
Ekki er hægt að ganga lengra. Núllin í línu 2 sýna að fylkið hefur enga andhverfu.

Að finna andhverfu 3 $\times$ 3 fylkja

Því miður höfum við ekki hliðstæða formúlu við formúluna fyrir $2 \times 2$ fylki til að finna andhverfu $3 \times 3$ fylkis. Þess í stað bætum við einingarfylkinu við upphaflega fylkið og notum línuaðgerðir til að finna andhverfuna.

Gefið er $3 \times 3$ fylkið

A = [\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix}]

Bætið $A$ einingarfylkinu við 𝐴 . A

A | I = [\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

Fyrst ritum við aukna fylkið með einingarfylkið hægra megin og $A$ vinstra megin. Með einföldum línuaðgerðum færum við einingarfylkið yfir á vinstri hlið og þá fæst andhverfa fylkið hægra megin. Við finnum andhverfu þessa fylkis í næsta dæmi.

Dæmi 6

Að finna andhverfu 3 × 3 fylkis

Gefið er $3 \times 3$ fylkið 𝐴 . $A,$ Finnið andhverfu þess.

A = [\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix}]

Lausn

Bætið einingarfylkinu við $A$ og framkvæmið síðan línuaðgerðir þar til einingarfylkið kemur í stað $A .$ Fylkið hægra megin verður andhverfa $A .$

[\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \overset{Interchange R_{2} and R_{1}}{\to} [\begin{matrix} 3 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

- R_{2} + R_{1} = R_{1} \to [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix} | \begin{array}{r} −1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]

- R_{2} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} | \begin{array}{r} −1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \end{array}]

R_{3} \leftrightarrow R_{2} \to [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix} | \begin{array}{r} −1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}]

−2 R_{1} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{matrix} | \begin{array}{r} −1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \\ 3 & −2 & 0 \end{array}]

−3 R_{2} + R_{3} = R_{3} \to [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{array}{r} −1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \\ 6 & −2 & −3 \end{array}]

Því fæst

A^{−1} = B = [\begin{matrix} −1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \\ 6 & −2 & −3 \end{matrix}]

Greining

Til að sanna að 𝐵 = 𝐴 − 1 $B = A^{−1},$ margföldum við fylkin tvö saman og athugum hvort margfeldið sé einingarfylkið, það er hvort $A A^{−1} = I$ og $A^{−1} A = I .$

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \begin{array}{l}  \end{array} \\ A A^{−1} = [\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix}] [\begin{array}{r} −1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \\ 6 & −2 & −3 \end{array}] \end{array} \\ = [\begin{matrix} 2 (−1) + 3 (−1) + 1 (6) & 2 (1) + 3 (0) + 1 (−2) & 2 (0) + 3 (1) + 1 (−3) \\ 3 (−1) + 3 (−1) + 1 (6) & 3 (1) + 3 (0) + 1 (−2) & 3 (0) + 3 (1) + 1 (−3) \\ 2 (−1) + 4 (−1) + 1 (6) & 2 (1) + 4 (0) + 1 (−2) & 2 (0) + 4 (1) + 1 (−3) \end{matrix}] \\ = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}] \end{array}

\begin{array}{l} \begin{array}{l} \begin{array}{l}  \end{array} \\ A^{−1} A = [\begin{array}{r} −1 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \\ 6 & −2 & - 3 \end{array}] [\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix}] \end{array} \\ = [\begin{array}{r} −1 (2) + 1 (3) + 0 (2) & −1 (3) + 1 (3) + 0 (4) & −1 (1) + 1 (1) + 0 (1) \\ −1 (2) + 0 (3) + 1 (2) & −1 (3) + 0 (3) + 1 (4) & −1 (1) + 0 (1) + 1 (1) \\ 6 (2) + −2 (3) + −3 (2) & 6 (3) + −2 (3) + −3 (4) & 6 (1) + −2 (1) + −3 (1) \end{array}] \\ = [\begin{array}{r} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}] \end{array}

Að leysa línulegt jöfnuhneppi með andhverfu fylkis

Til að leysa línulegt jöfnuhneppi með andhverfu fylkis skilgreinum við tvö ný fylki: $X$ táknar breytur jöfnuhneppisins og $B$ táknar fastana. Með fylkjamargföldun getum við ritað jöfnuhneppi með jafnmargar jöfnur og breytur sem

A X = B

Til að leysa línulegt jöfnuhneppi með andhverfu fylkis látum við $A$ vera stuðlafylkið, $X$ breytufylkið og $B$ fastafylkið. Við viljum því leysa hneppið $A X = B .$ Skoðum til dæmis eftirfarandi jöfnuhneppi.

\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{matrix}

Stuðlafylki hneppisins er

A = [\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}]

Breytufylkið er

X = [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]

Fastafylkið er

B = [\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \end{matrix}]

Þá lítur $A X = B$ svona út:

[\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \end{matrix}]

Rifjið upp umfjöllunina fyrr í þessum hluta um margföldun rauntölu með andhverfu sinni, $(2^{−1}) 2 = (\frac{1}{2}) 2 = 1.$ Til að leysa eina línulega jöfnu $a x = b$ fyrir 𝑥 $x,$ margföldum við einfaldlega báðar hliðar jöfnunnar með margföldunarandhverfu 𝑎 , $a .$ það er gagnhverfu tölunni. Þá fæst

\begin{matrix} a x = b \\ (\frac{1}{a}) a x = (\frac{1}{a}) b \\ (a^{−1}) a x = (a^{−1}) b \\ [(a^{−1}) a] x = (a^{−1}) b \\ 1 x = (a^{−1}) b \\ x = (a^{−1}) b \end{matrix}

Eini munurinn á lausn línulegrar jöfnu og jöfnuhneppis á fylkjaformi er að flóknara er að finna andhverfu fylkis og fylkjamargföldun tekur fleiri skref. Markmiðið er þó hið sama: að einangra breytuna.

Við skoðum þessa hugmynd ítarlega, en gagnlegt er að byrja á $2 \times 2$ hneppi og fara síðan yfir í $3 \times 3$ hneppi.

Dæmi 7

Að leysa 2 × 2 jöfnuhneppi með andhverfu fylkis

Leysið gefna jöfnuhneppið með andhverfu fylkis.

\begin{array}{r} 3 x + 8 y = 5 \\ 4 x + 11 y = 7 \end{array}

Lausn

Ritið hneppið með stuðlafylki, breytufylki og fastafylki.

A = [\begin{matrix} 3 & 8 \\ 4 & 11 \end{matrix}], X = [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 5 \\ 7 \end{matrix}]

Þá fæst

[\begin{matrix} 3 & 8 \\ 4 & 11 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{matrix} 5 \\ 7 \end{matrix}]

Fyrst þurfum við að reikna $A^{−1} .$ Með formúlunni fyrir andhverfu 2 sinnum 2 fylkis fæst

\begin{array}{l} A^{−1} = \frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}] \\ = \frac{1}{3 (11) −8 (4)} [\begin{matrix} 11 & −8 \\ −4 & 3 \end{matrix}] \\ = \frac{1}{1} [\begin{matrix} 11 & −8 \\ −4 & 3 \end{matrix}] \end{array}

Því er

A^{−1} = [\begin{matrix} 11 & −8 \\ −4 & ​ ​ 3 \end{matrix}]

Nú getum við leyst hneppið. Margfaldið báðar hliðar jöfnunnar með $A^{−1} .$

\begin{array}{l} (A^{−1}) A X = (A^{−1}) B \\ [\begin{array}{r} 11 & −8 \\ −4 & 3 \end{array}] [\begin{matrix} 3 & 8 \\ 4 & 11 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{array}{r} 11 & −8 \\ −4 & 3 \end{array}] [\begin{matrix} 5 \\ 7 \end{matrix}] \\ [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{array}{r} 11 (5) + (−8) 7 \\ −4 (5) + 3 (7) \end{array}] \\ [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}] = [\begin{array}{r} −1 \\ 1 \end{array}] \end{array}

Lausnin er $(−1, 1) .$

Dæmi 8

Að leysa 3 × 3 jöfnuhneppi með andhverfu fylkis

Leysið eftirfarandi jöfnuhneppi með andhverfu fylkis.

\begin{array}{r} 5 x + 15 y + 56 z = 35 \\ −4 x −11 y −41 z = −26 \\ - x −3 y −11 z = −7 \end{array}

Lausn

Ritið jöfnuna $A X = B .$

[\begin{matrix} 5 & 15 & 56 \\ −4 & −11 & −41 \\ −1 & −3 & −11 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{array}{r} 35 \\ −26 \\ −7 \end{array}]

Fyrst finnum við andhverfu $A$ með því að bæta einingarfylkinu við.

[\begin{array}{r} 5 & 15 & 56 \\ −4 & −11 & −41 \\ −1 & −3 & −11 \end{array} | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

Margfaldið línu 1 með $\frac{1}{5} .$

[\begin{matrix} 1 & 3 & \frac{56}{5} \\ −4 & −11 & −41 \\ −1 & −3 & −11 \end{matrix} | \begin{matrix} \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

Margfaldið línu 1 með 4 og leggið við línu 2.

[\begin{matrix} 1 & 3 & \frac{56}{5} \\ 0 & 1 & \frac{19}{5} \\ −1 & −3 & −11 \end{matrix} | \begin{matrix} \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ \frac{4}{5} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

Leggið línu 1 við línu 3.

[\begin{matrix} 1 & 3 & \frac{56}{5} \\ 0 & 1 & \frac{19}{5} \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{matrix} | \begin{matrix} \frac{1}{5} & 0 & 0 \\ \frac{4}{5} & 1 & 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \end{matrix}]

Margfaldið línu 2 með −3 og leggið við línu 1.

[\begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{19}{5} \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{matrix} | \begin{matrix} - \frac{11}{5} & −3 & 0 \\ \frac{4}{5} & 1 & 0 \\ \frac{1}{5} & 0 & 1 \end{matrix}]

Margfaldið línu 3 með 5.

[\begin{matrix} 1 & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{19}{5} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} - \frac{11}{5} & −3 & 0 \\ \frac{4}{5} & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 5 \end{matrix}]

Margfaldið línu 3 með $\frac{1}{5}$ og leggið við línu 1.

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{19}{5} \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} −2 & −3 & 1 \\ \frac{4}{5} & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 5 \end{matrix}]

Margfaldið línu 3 með $- \frac{19}{5}$ og leggið við línu 2.

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix} −2 & −3 & 1 \\ −3 & 1 & −19 \\ 1 & 0 & 5 \end{matrix}]

Því er

A^{−1} = [\begin{matrix} −2 & −3 & 1 \\ −3 & 1 & −19 \\ 1 & 0 & 5 \end{matrix}]

Margfaldið báðar hliðar jöfnunnar með $A^{−1} .$ Við viljum fá $A^{−1} A X = A^{−1} B :$

[\begin{array}{r} −2 & −3 & 1 \\ −3 & 1 & −19 \\ 1 & 0 & 5 \end{array}] [\begin{array}{r} 5 & 15 & 56 \\ −4 & −11 & −41 \\ −1 & −3 & −11 \end{array}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{array}{r} −2 & −3 & 1 \\ −3 & 1 & −19 \\ 1 & 0 & 5 \end{array}] [\begin{array}{r} 35 \\ −26 \\ −7 \end{array}]

Því fæst

A^{−1} B = [\begin{array}{r} −70 + 78 −7 \\ −105 −26 + 133 \\ 35 + 0 −35 \end{array}] = [\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}]

Lausnin er $(1, 2, 0) .$

Dæmi 9

Notkun reiknivélar til að leysa jöfnuhneppi með andhverfum fylkja

Leysið jöfnuhneppið með andhverfum fylkja og reiknivél.

\begin{array}{l} 2 x + 3 y + z = 32 \\ 3 x + 3 y + z = −27 \\ 2 x + 4 y + z = −2 \end{array}

Lausn

Á fylkjasíðu reiknivélarinnar skráið stuðlafylkið sem fylkjabreytuna [ 𝐴 ] $[A],$ og fastafylkið sem fylkjabreytuna $[B] .$

[A] = [\begin{matrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix}], [B] = [\begin{matrix} 32 \\ −27 \\ −2 \end{matrix}]

Á heimaskjá reiknivélarinnar sláið inn margföldunina sem leysir fyrir 𝑋 $X,$ og sækið hverja fylkjabreytu eftir þörfum.

{[A]}^{−1} \times [B]

Reiknið stæðuna.

[\begin{matrix} −59 \\ −34 \\ 252 \end{matrix}]

9.7 Æfingar kaflans

Munnleg verkefni

Í fyrri hluta sýndum við að víxlregla gildir almennt ekki um fylkjamargföldun, það er 𝐴 ⁢ 𝐵 ≠ 𝐵 ⁢ 𝐴 . $A B \neq B A$ Getið þið útskýrt hvers vegna fylki og andhverfa þess víxlast í margföldun, það er hvers vegna $A^{−1} A = A A^{−1} ?$

Hefur sérhvert $2 \times 2$ fylki andhverfu? Útskýrið hvers vegna eða hvers vegna ekki og hvaða skilyrði þarf að uppfylla svo andhverfa sé til.

Getið þið útskýrt hvort $2 \times 2$ fylki með heila núlllínu geti haft andhverfu?

Getur fylki með heilum núlldálki haft andhverfu? Útskýrið hvers vegna eða hvers vegna ekki.

Getur fylki með núll á hornalínunni haft andhverfu? Ef svo er, finnið dæmi. Ef ekki, sannið hvers vegna ekki. Til einföldunar skal gera ráð fyrir $2 \times 2$ fylki.

Algebruverkefni

Í eftirfarandi æfingum skal sýna að fylkið $A$ sé andhverfa fylkisins $B .$

𝐴=[10−11],𝐵=[1011] $A = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ −1 & 1 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix}]$

𝐴=[1234],𝐵=[−2132−12] $A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} −2 & 1 \\ \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} \end{matrix}]$

𝐴=[4570],𝐵=[01715−435] $A = [\begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 0 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 0 & \frac{1}{7} \\ \frac{1}{5} & - \frac{4}{35} \end{matrix}]$

𝐴=[−2123−1],𝐵=[−2−1−6−4] $A = [\begin{matrix} −2 & \frac{1}{2} \\ 3 & −1 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} −2 & −1 \\ −6 & −4 \end{matrix}]$

10.

𝐴=⎡⎢ ⎢⎣10101−1011⎤⎥ ⎥⎦,𝐵=12⁢⎡⎢ ⎢⎣21−10110−11⎤⎥ ⎥⎦ $A = [\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & −1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}], B = \frac{1}{2} [\begin{matrix} 2 & 1 & −1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & −1 & 1 \end{matrix}]$

11.

𝐴=⎡⎢ ⎢⎣123402169⎤⎥ ⎥⎦,𝐵=14⁢⎡⎢ ⎢⎣60−217−3−5−1224⎤⎥ ⎥⎦ $A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 0 & 2 \\ 1 & 6 & 9 \end{matrix}], B = \frac{1}{4} [\begin{matrix} 6 & 0 & −2 \\ 17 & −3 & −5 \\ −12 & 2 & 4 \end{matrix}]$

12.

𝐴=⎡⎢ ⎢⎣3821115612⎤⎥ ⎥⎦,𝐵=136⁢⎡⎢ ⎢⎣−684−67−261−1−225⎤⎥ ⎥⎦ $A = [\begin{matrix} 3 & 8 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 5 & 6 & 12 \end{matrix}], B = \frac{1}{36} [\begin{matrix} −6 & 84 & −6 \\ 7 & −26 & 1 \\ −1 & −22 & 5 \end{matrix}]$

Í eftirfarandi æfingum skal finna andhverfu hvers fylkis ef hún er til.

13.

[3−219] $[\begin{matrix} 3 & −2 \\ 1 & 9 \end{matrix}]$

14.

[−2231] $[\begin{matrix} −2 & 2 \\ 3 & 1 \end{matrix}]$

15.

[−3792] $[\begin{matrix} −3 & 7 \\ 9 & 2 \end{matrix}]$

16.

[−4−3−58] $[\begin{matrix} −4 & −3 \\ −5 & 8 \end{matrix}]$

17.

[1122] $[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{matrix}]$

18.

[0110] $[\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]$

19.

[0.51.51−0.5] $[\begin{matrix} 0.5 & 1.5 \\ 1 & −0.5 \end{matrix}]$

20.

⎡⎢ ⎢⎣106−217302⎤⎥ ⎥⎦ $[\begin{matrix} 1 & 0 & 6 \\ −2 & 1 & 7 \\ 3 & 0 & 2 \end{matrix}]$

21.

⎡⎢ ⎢⎣01−3410105⎤⎥ ⎥⎦ $[\begin{matrix} 0 & 1 & −3 \\ 4 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 5 \end{matrix}]$

22.

⎡⎢ ⎢⎣12−1−341−2−4−5⎤⎥ ⎥⎦ $[\begin{matrix} 1 & 2 & −1 \\ −3 & 4 & 1 \\ −2 & −4 & −5 \end{matrix}]$

23.

⎡⎢ ⎢⎣19−32564−27⎤⎥ ⎥⎦ $[\begin{matrix} 1 & 9 & −3 \\ 2 & 5 & 6 \\ 4 & −2 & 7 \end{matrix}]$

24.

⎡⎢ ⎢⎣1−23−48−12142⎤⎥ ⎥⎦ $[\begin{matrix} 1 & −2 & 3 \\ −4 & 8 & −12 \\ 1 & 4 & 2 \end{matrix}]$

25.

⎡⎢ ⎢ ⎢⎣121212131415161718⎤⎥ ⎥ ⎥⎦ $[\begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} \end{matrix}]$

26.

⎡⎢ ⎢⎣123456789⎤⎥ ⎥⎦ $[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}]$

Í eftirfarandi æfingum skal leysa jöfnuhneppið með andhverfu $2 \times 2$ fylkis.

27.

5⁢𝑥−6⁢𝑦=−614⁢𝑥+3⁢𝑦=−2 $\begin{array}{l} 5 x - 6 y = - 61 \\ 4 x + 3 y = - 2 \end{array}$

28.

8⁢𝑥+4⁢𝑦=−1003⁢𝑥⁢−4⁢𝑦=1 $\begin{array}{l} 8 x + 4 y = −100 \\ 3 x −4 y = 1 \end{array}$

29.

3⁢𝑥⁢−2⁢𝑦=6−𝑥+5⁢𝑦=−2 $\begin{array}{l} 3 x −2 y = 6 \\ - x + 5 y = −2 \end{array}$

30.

5⁢𝑥⁢−4⁢𝑦=−54⁢𝑥+𝑦=2.3 $\begin{array}{l} 5 x −4 y = −5 \\ 4 x + y = 2.3 \end{array}$

31.

−3⁢𝑥⁢−4⁢𝑦=912⁢𝑥+4⁢𝑦=−6 $\begin{array}{l} −3 x −4 y = 9 \\ 12 x + 4 y = −6 \end{array}$

32.

−2⁢𝑥+3⁢𝑦=310−𝑥+5⁢𝑦=12 $\begin{array}{l} −2 x + 3 y = \frac{3}{10} \\ - x + 5 y = \frac{1}{2} \end{array}$

33.

85⁢𝑥−45⁢𝑦=25−85⁢𝑥+15⁢𝑦=710 $\begin{array}{l} \frac{8}{5} x - \frac{4}{5} y = \frac{2}{5} \\ - \frac{8}{5} x + \frac{1}{5} y = \frac{7}{10} \end{array}$

34.

12⁢𝑥+15⁢𝑦=−1412⁢𝑥−35⁢𝑦=−94 $\begin{array}{l} \frac{1}{2} x + \frac{1}{5} y = - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} x - \frac{3}{5} y = - \frac{9}{4} \end{array}$

Í eftirfarandi æfingum skal leysa jöfnuhneppi með andhverfu $3 \times 3$ fylkis.

35.

3⁢𝑥⁢−2⁢𝑦+5⁢𝑧=215⁢𝑥+4⁢𝑦=37𝑥⁢−2⁢𝑦⁢−5⁢𝑧=5 $\begin{array}{l} 3 x −2 y + 5 z = 21 \\ 5 x + 4 y = 37 \\ x −2 y −5 z = 5 \end{array}$

36.

4⁢𝑥+4⁢𝑦+4⁢𝑧=402⁢𝑥−3⁢𝑦+4⁢𝑧=−12−𝑥+3⁢𝑦+4⁢𝑧=9 $\begin{array}{l} 4 x + 4 y + 4 z = 40 \\ 2 x - 3 y + 4 z = −12 \\ - x + 3 y + 4 z = 9 \end{array}$

37.

6⁢𝑥−5⁢𝑦−𝑧=31−𝑥+2⁢𝑦+𝑧=−63⁢𝑥+3⁢𝑦+2⁢𝑧=13 $\begin{array}{l} 6 x - 5 y - z = 31 \\ - x + 2 y + z = −6 \\ 3 x + 3 y + 2 z = 13 \end{array}$

38.

6⁢𝑥⁢−5⁢𝑦+2⁢𝑧=−42⁢𝑥+5⁢𝑦−𝑧=122⁢𝑥+5⁢𝑦+𝑧=12 $\begin{array}{l} 6 x −5 y + 2 z = −4 \\ 2 x + 5 y - z = 12 \\ 2 x + 5 y + z = 12 \end{array}$

39.

4⁢𝑥⁢−2⁢𝑦+3⁢𝑧=−122⁢𝑥+2⁢𝑦⁢−9⁢𝑧=336⁢𝑦⁢−4⁢𝑧=1 $\begin{array}{l} 4 x −2 y + 3 z = −12 \\ 2 x + 2 y −9 z = 33 \\ 6 y −4 z = 1 \end{array}$

40.

110⁢𝑥−15⁢𝑦+4⁢𝑧=−41215⁢𝑥⁢−20⁢𝑦+25⁢𝑧=−101310⁢𝑥+4⁢𝑦−310⁢𝑧=23 $\begin{array}{l} \frac{1}{10} x - \frac{1}{5} y + 4 z = \frac{−41}{2} \\ \frac{1}{5} x −20 y + \frac{2}{5} z = −101 \\ \frac{3}{10} x + 4 y - \frac{3}{10} z = 23 \end{array}$

41.

12⁢𝑥−15⁢𝑦+15⁢𝑧=31100−34⁢𝑥−14⁢𝑦+12⁢𝑧=740−45⁢𝑥−12⁢𝑦+32⁢𝑧=14 $\begin{array}{l} \frac{1}{2} x - \frac{1}{5} y + \frac{1}{5} z = \frac{31}{100} \\ - \frac{3}{4} x - \frac{1}{4} y + \frac{1}{2} z = \frac{7}{40} \\ - \frac{4}{5} x - \frac{1}{2} y + \frac{3}{2} z = \frac{1}{4} \end{array}$

42.

0.1⁢𝑥+0.2⁢𝑦+0.3⁢𝑧=−1.40.1⁢𝑥⁢−0.2⁢𝑦+0.3⁢𝑧=0.60.4⁢𝑦+0.9⁢𝑧=−2 $\begin{array}{l} 0.1 x + 0.2 y + 0.3 z = −1.4 \\ 0.1 x −0.2 y + 0.3 z = 0.6 \\ 0.4 y + 0.9 z = −2 \end{array}$

Tækniverkefni

Í eftirfarandi æfingum skal nota reiknivél til að leysa jöfnuhneppið með andhverfum fylkja.

43.

2⁢𝑥−𝑦=−3−𝑥+2⁢𝑦=2.3 $\begin{array}{l} 2 x - y = −3 \\ - x + 2 y = 2.3 \end{array}$

44.

−12⁢𝑥−32⁢𝑦=−432052⁢𝑥+115⁢𝑦=314 $\begin{array}{l} - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2} y = - \frac{43}{20} \\ \frac{5}{2} x + \frac{11}{5} y = \frac{31}{4} \end{array}$

45.

12.3⁢𝑥⁢−2⁢𝑦⁢−2.5⁢𝑧=236.9⁢𝑥+7⁢𝑦⁢−7.5⁢𝑧=−78⁢𝑦⁢−5⁢𝑧=−10 $\begin{array}{l} 12.3 x −2 y −2.5 z = 2 \\ 36.9 x + 7 y −7.5 z = −7 \\ 8 y −5 z = −10 \end{array}$

46.

0.5⁢𝑥⁢−3⁢𝑦+6⁢𝑧=−0.80.7⁢𝑥⁢−2⁢𝑦=−0.060.5⁢𝑥+4⁢𝑦+5⁢𝑧=0 $\begin{array}{l} 0.5 x −3 y + 6 z = −0.8 \\ 0.7 x −2 y = −0.06 \\ 0.5 x + 4 y + 5 z = 0 \end{array}$

Viðbótarverkefni

Í eftirfarandi æfingum skal finna andhverfu gefna fylkisins.

47.

⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣1010010101100011⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦ $[\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix}]$

48.

⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣−1025000202−101−301⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦ $[\begin{array}{r} - 1 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & - 1 & 0 \\ 1 & - 3 & 0 & 1 \end{array}]$

49.

⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣1−230010214−23−5011⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦ $[\begin{array}{r} 1 & - 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 4 & - 2 & 3 \\ - 5 & 0 & 1 & 1 \end{array}]$

50.

⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣1202302100003010200100120⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦ $[\begin{array}{r} 1 & 2 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

51.

⎡⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣100000010000001000000100000010111111⎤⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦ $[\begin{array}{r} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}]$

Raunhæf verkefni

Í eftirfarandi æfingum skal rita jöfnuhneppi sem lýsir aðstæðunum og leysa það síðan með andhverfu fylkis.

52.

2,400 miðar voru seldir á körfuboltaleik. Miðaverð fyrir svæði 1 og svæði 2 var ólíkt og heildartekjurnar voru $64,000. Hvert var verð hvorrar miðategundar?

53.

Í fyrri æfingu eru 400 fleiri miðar seldir á svæði 2 en svæði 1. Hvert var þá verð hvorrar miðategundar?

54.

Í matarsöfnun söfnuðust tvær gerðir niðursuðuvara, grænar baunir og nýrnabaunir. Alls söfnuðust 350 dósir og samanlögð þyngd matargjafanna var 348 pund og 12 únsur. Ef dósirnar með grænum baunum vega 2 únsum minna en dósirnar með nýrnabaunum, hversu margar dósir af hvorri gerð voru gefnar?

55.

Nemendur voru beðnir að koma með uppáhaldsávöxtinn sinn í kennslustund. 95% af ávaxtanna voru bananar, epli eða appelsínur. Ef appelsínur voru tvöfalt vinsælli en bananar og epli 5% síður vinsæl en bananar, hvert var hlutfall hverrar ávaxtategundar?

56.

Hjúkrunarfræðiklúbburinn hélt kökusölu til fjáröflunar og seldi brúnkur og súkkulaðibitakökur. Brúnkurnar kostuðu $1 og súkkulaðibitakökurnar $0.75. Klúbburinn safnaði $700 og seldi 850 kökur. Hversu margar brúnkur og hversu margar smákökur seldust?

57.

Fataverslun þarf að endurnýja birgðir. Hún selur þrjár gerðir hatta: stráhatta, húfur og kúrekahatta. Stráhattur kostar $13.99, húfa $7.99 og kúrekahattur $14.49. Á síðasta ársfjórðungi seldust 100 hattar fyrir samtals $1,119 og húfur voru 10 fleiri en kúrekahattar. Hversu marga hatta af hverri gerð á verslunin að panta til að bæta upp seldu hattana?

58.

Anna, Percy og Morgan vega samtals 370 pund. Morgan vegur 20 pundum meira en Percy og Anna vegur 1.5 sinnum það sem Percy vegur. Hvað vegur hvert þeirra?

59.

Þrír herbergisfélagar deildu pakka með 12 íspinnum en enginn man hversu marga hver borðaði. Micah borðaði tvöfalt fleiri íspinna en Joe og Albert þremur færri en Micah. Hversu marga íspinna borðaði hver þeirra?

60.

Bóndi smíðaði hænsnakofa úr hænsnaneti, timbri og krossviði. Hænsnanetið kostaði $2 á ferfet, timbrið $10 á ferfet og krossviðurinn $5 á ferfet. Bóndinn greiddi samtals $51 og efnismagnið var alls ⁣⁣⁣ $14 {fet}^{2} .$ Hann notaði ⁣⁣ ${3 fet}^{2}$ meira af hænsnaneti en krossviði. Hversu mikið notaði bóndinn af hverju efni?

61.

Jay er með sítrónu-, appelsínu- og granateplatré í bakgarðinum. Appelsína vegur 8 únsur, sítróna 5 únsur og granatepli 11 únsur. Jay tíndi 142 ávexti sem vógu samtals 70 pund og 10 únsur. Hann tíndi 15.5 sinnum fleiri appelsínur en granatepli. Hversu marga ávexti af hverri tegund tíndi Jay?