7.6 Líkangerð með hornaföllum – Undirbúningur fyrir stærðfræðigreiningu, 2. útgáfa (IS) | Námsgögn
77 Hornafallasamsemdir og -jöfnur
7.6 Líkangerð með hornaföllum
7.6 Líkangerð með hornaföllum
Námsmarkmið
Í þessum hluta lærið þið að:
Ákvarða útslag og lotu sínuslaga falla.
Setja fram jöfnur sínuslaga falla og teikna gröf þeirra.
Líkja eftir lotubundinni hegðun.
Líkja eftir sveifluhreyfingu með föllum.
Mynd 1. Vísar klukku hreyfast lotubundið: þeir koma aftur í sömu stöðu á tólf klukkustunda fresti. (Mynd: „zoutedrop“/Flickr)
Hugsum okkur að við skráum meðalhita hvers dags í New York-borg yfir heilt ár. Við myndum búast við lægsta hitanum í janúar og febrúar en hæsta hitanum í júlí og ágúst. Þessi kunnuglega sveifla endurtekur sig ár eftir ár. Ef grafið væri framlengt yfir mörg ár myndi það líkjast lotubundnu falli.
Mörg önnur náttúrufyrirbæri eru einnig lotubundin. Tunglkvartaskipti hafa til dæmis um það bil 28 daga lotu og fuglar vita að þeir eiga að fljúga suður á svipuðum tíma ár hvert.
Hvernig getum við þá sett fram jöfnu sem lýsir lotubundinni hegðun? Fyrst þurfum við að safna gögnum og skrá þau. Síðan finnum við fall sem líkist mynstrinu sem við sjáum. Að lokum gerum við nauðsynlegar breytingar á fallinu til að fá áreiðanlegt líkan. Í þessum hluta skoðum við nánar tilteknar gerðir lotubundinnar hegðunar og setjum fram jöfnur sem hæfa gögnunum.
Útslag og lota sínuslaga falls ákvörðuð
Hreyfing sem endurtekur sig á föstu tímabili kallast lotubundin hreyfing og unnt er að lýsa henni með sínuslaga falli. Útslag sínuslaga falls er fjarlægðin frá miðlínunni að hæsta gildinu eða frá miðlínunni að lægsta gildinu. Miðlínan er meðalgildið. Sínuslaga föll sveiflast ofan og neðan við miðlínuna, eru lotubundin og endurtaka gildi sín í föstum lotum. Rifjið upp úr Gröf sínus- og kósínusfalla að lota sínusfallsins og kósínusfallsins er Með öðrum orðum gildir fyrir sérhvert gildi á 𝑥 að
Dæmi 1
Sýnt hvernig eiginleikar hornafalls geta ummyndað graf
Sýnið ummyndun grafsins af í grafið af
Lausn
Skoðið grafaröðina á mynd 2 og hvernig hver breyting á jöfnunni breytir grafinu.
Mynd 2. (a) Grunngrafið af y = sin x (b) Þegar útslaginu er breytt úr 1 í 2 fæst grafið af y = 2 sin x . (c) Lota sínusfallsins breytist með gildinu á B , þannig að l o t d = 2 𝜋 𝐵 . period = 2 π/B . Hér er B = 4 , sem gefur lotuna π/2 . Grafið lýkur einni heilli lotu á π/2 einingum. (d) Grafið er hliðrað lárétt um C/B , eða π/2/4 = π/8 . (e) Að lokum er grafið hliðrað lóðrétt um gildið á D . Í þessu tilviki er grafið hliðrað upp um 2 einingar.
Dæmi 2
Útslag og lota falls fundin
Finnið útslag og lotu eftirfarandi falla og teiknið eina lotu af hverju grafi.
ⓐⓐ 𝑦=2sin(14𝑥)
ⓑⓑ 𝑦=−3sin(2𝑥+𝜋2)
ⓒⓒ 𝑦=cos𝑥+3
Lausn
Við leysum þessi verkefni samkvæmt líkönunum.
ⓐ 𝑦 = 2 s i n ( 1 4 𝑥 ) y = 2 sin ( 1/4 x ) inniheldur sínus og því
notum við formið 𝑦 = 𝐴 s i n ( 𝐵 𝑡 + 𝐶 ) + 𝐷 . y = A sin ( B t + C ) + D Við vitum að | 𝐴 | | A | er útslagið og því er útslagið 2. Lotan er 2 𝜋 𝐵, 2 π/B , svo lotan er 2 𝜋 𝐵 =
ⓑ ⓑ 𝑦 = − 3 s i n ( 2 𝑥 + 𝜋 2 ) y = −3 sin ( 2
x + π/2 ) inniheldur sínus og því notum við formið 𝑦 = 𝐴 s i n ( 𝐵 𝑡 − 𝐶 ) + 𝐷 . y = A sin ( B t − C ) + D Útslagið er | 𝐴 |, | A | , svo það er | − 3 | = 3 . | − 3 | = 3. Þar sem 𝐴 A er neikvætt speglast grafið um x-ásinn. Lotan er 2 𝜋 𝐵, 2 π/B , svo
hún er 2 𝜋 𝐵 = 2 𝜋 2 = 𝜋 . 2 π/B = 2 π/2 = π Grafið er hliðrað til vinstri um 𝐶 𝐵 = 𝜋 2 2 = 𝜋 4 C/B = π/2/2 = π/4
einingar. Sjá mynd 4. Mynd 4
ⓒ 𝑦 = c o s 𝑥 + 3 y = cos x + 3 inniheldur kósínus og því
notum við formið 𝑦 = 𝐴 c o s ( 𝐵 𝑡 ± 𝐶 ) + 𝐷 . y = A cos ( B t ± C ) + D Útslagið er | 𝐴 |, | A | , svo það er 1. Lotan er 2 𝜋 . 2 π . Sjá mynd 5. Þetta er staðlaða kósínusfallið hliðrað upp um
þrjár einingar. Mynd 5
Jöfnur sínuslaga falla fundnar og gröf þeirra teiknuð
Ein aðferð við að teikna gröf sínuslaga falla er að finna fimm lykilpunkta. Punktarnir svara til jafnlangra bila sem hvert er af lotunni. Lykilpunktarnir sýna hvar hæstu og lægstu gildin eru. Ef engin lóðrétt hliðrun er til staðar sýna þeir einnig skurðpunkta við x-ásinn. Hugsum okkur til dæmis að við viljum teikna graf fallsins Við vitum að lotan er svo bilið milli lykilpunkta finnst þannig.
Við byrjum með reiknum fyrsta y-gildið, leggjum lengd bilsins við 0 og reiknum annað y-gildið. Síðan leggjum við ítrekað við þar til lykilpunktarnir fimm eru fundnir. Síðasta gildið ætti að vera jafnt því fyrsta, því útreikningarnir ná yfir eina heila lotu. Með töflu á borð við töflu 1 sjást þessir lykilpunktar greinilega á grafinu á mynd 6.
𝜃 θ
0 0
𝜋 2 π/2
𝜋 π
3 𝜋 2 3 π/2
2 𝜋 2 π
𝑦 = c o s 𝜃 y = cos θ
1 1
0 0
− 1 −1
0 0
1 1
Dæmi 3
Gröf sínuslaga falla teiknuð með lykilpunktum
Teiknið graf fallsins með útslagi, lotu og lykilpunktum.
Lausn
Útslagið er
Lotan er (Rifjið upp að stundum táknum við með Teikna má eina lotu grafsins á bilinu Til að finna lykilpunktana deilum við lotunni með 4. Gerið töflu á borð við töflu 2, byrjið með og leggið síðan ítrekað við og reiknið Sjá grafið á mynd 7.
𝑥 x
0 0
1 2
1 1
3 2
2 2
𝑦 = − 4 c o s ( 𝜋 𝑥 ) y = −4 cos ( π x )
− 4 −4
0 0
4 4
0 0
− 4 −4
Mynd 7
Líkangerð lotubundinnar hegðunar
Nú beitum við þessum hugmyndum á verkefni um lotubundna hegðun.
Dæmi 4
Jafna sett fram og graf sínuslaga falls skissað samkvæmt skilyrðum
Meðalhiti hvers mánaðar í smábæ í Oregon er gefinn í töflu 3. Finnið sínuslaga fall af gerðinni sem hæfir gögnunum (námundið að næsta tíunda hluta) og skissið grafið.
Mánuður
Hitastig, o F
Janúar
42.5
Febrúar
44.5
Mars
48.5
Apríl
52.5
Maí
58
Júní
63
Júlí
68.5
Ágúst
69
September
64.5
Október
55.5
Nóvember
46.5
Desember
43.5
Lausn
Rifjið upp að útslagið er fundið með formúlunni
Útslagið er því
Gögnin ná yfir 12 mánaða lotu, svo sem gefur
Lóðrétta hliðrunin er fundin með eftirfarandi jöfnu.
Lóðrétta hliðrunin er því
Enn sem komið er höfum við jöfnuna
Til að finna láréttu hliðrunina setjum við 𝑥-gildið og 𝑦-gildið fyrir fyrsta mánuðinn inn í jöfnuna og leysum fyrir
Klukkustundarvísir stóru klukkunnar á vegg Union Station er 24 tommur á lengd. Á hádegi er oddur vísisins 30 tommur frá loftinu. Klukkan 3 e.h. er oddurinn 54 tommur frá loftinu og klukkan 6 e.h. er hann 78 tommur frá því. Klukkan 9 e.h. er hann aftur 54 tommur frá loftinu og á miðnætti snýr oddur vísisins aftur í upphafsstöðuna, 30 tommur frá loftinu. Látum tákna fjarlægðina frá oddi klukkustundarvísisins að loftinu klukkustundum eftir hádegi. Finnið jöfnuna sem lýsir hreyfingu klukkunnar og skissið grafið.
Lausn
Byrjið á að gera gildatöflu eins og sýnd er í töflu 4.
𝑥 x
𝑦 y
Punktar sem á að teikna
Hádegi
30 tommur
( 0 , 3 0 ) ( 0 , 30 )
3 e.h.
54 tommur
( 3 , 5 4 ) ( 3 , 54 )
6 e.h.
78 tommur
( 6 , 7 8 ) ( 6 , 78 )
9 e.h.
54 tommur
( 9 , 5 4 ) ( 9 , 54 )
Miðnætti
30 tommur
( 1 2 , 3 0 ) ( 12 , 30 )
Til að setja fram jöfnu þurfum við fyrst að finna útslagið.
Lota klukkunnar endurtekur sig á 12 klukkustunda fresti. Því er
Lóðrétta hliðrunin er
Engin lárétt hliðrun er til staðar, svo Þar sem fallið byrjar í lægsta gildi þegar (en ekki hæsta gildinu) notum við kósínusfallið með neikvæðu gildi á Á forminu 𝑦 = 𝐴 c o s ( 𝐵 𝑥 ± 𝐶 ) + 𝐷 er jafnan
Hæð sjávarfalla í litlum strandbæ er mæld við sjóvarnargarð. Sjávarhæðin sveiflast milli 7 feta á fjöru og 15 feta á flóði. Á tilteknum degi var fjara klukkan 6 f.h. og flóð á hádegi. Lotan endurtekur sig á um það bil 12 klukkustunda fresti. Finnið jöfnu sem lýsir sjávarhæðinni.
Lausn
Þar sem sjávarhæðin breytist frá 7 fetum í 15 fet getum við reiknað útslagið þannig:
Lotan endurtekur sig á 12 klukkustunda fresti; því er 𝐵 B
Lóðrétta hliðrunin er Þar sem gildi fallsins er í hámarki þegar notum við kósínusfallið með jákvæðu gildi á
Blóðþrýstingi meðalmanneskju er lýst með fallinu þar sem táknar blóðþrýstinginn á tímanum
mældum í mínútum. Túlkið fallið með hliðsjón af lotu og tíðni. Skissið grafið og finnið blóðþrýstingsgildið.
Lausn
Lotan er gefin með
Í blóðþrýstingsfalli táknar tíðnin fjölda hjartslátta á mínútu. Tíðnin er umhverfa lotunnar og er gefin með
Mynd 11. Blóðþrýstingsgildið á grafinu er 1 2 0 8 0 ( h á m a r k l á g m a r k ) . 120/80 ( maximum/minimum ) .
Greining
Blóðþrýstingur telst eðlilegur. Efri talan er hámarks- eða slagbilsgildið og mælir þrýstinginn í slagæðum þegar hjartað dregst saman. Neðri talan er lágmarks- eða hlébilsþrýstingurinn og mælir þrýstinginn í slagæðum þegar hjartað slakar á milli slaga og fyllist aftur af blóði. Því má lýsa eðlilegum blóðþrýstingi með lotubundnu falli sem hefur hámarkið 120 og lágmarkið 80.
Líkangerð sveifluhreyfinga
Sveifluhreyfing er tegund lotubundinnar hreyfingar, en tiltekin atriði greina þessar tvær gerðir að. Almenn lotubundin hreyfing endurtekur lotur sínar án ytri áhrifa en sveifluhreyfing krefst endurheimtarkrafts. Dæmi um sveifluhreyfingu eru hreyfing gorma og hreyfing vegna þyngdar- eða segulkrafts.
Einföld sveifluhreyfing
Hreyfing sem kallast einföld sveifluhreyfing felur í sér endurheimtarkraft en gert er ráð fyrir að hreyfingin haldi áfram endalaust. Hugsum okkur lóð sem hangir í gormi. Þegar lóðinu er ekki raskað segjum við að það sé í kyrrstöðu eða jafnvægi. Ef lóðið er dregið niður og síðan sleppt togar kraftur gormsins það aftur í átt að jafnvægisstöðunni og sveifluhreyfing hefst. Endurheimtarkrafturinn er í beinu hlutfalli við færslu lóðsins frá jafnvægisstöðunni. Þegar 𝑡 = 0 er 𝑑 = 0 .
Dæmi 8
Færsla, lota og tíðni fundnar og graf falls teiknað
Fyrir gefnu föllin skuluð þið:
Finna mestu færslu hlutar.
Finna lotuna, það er tímann sem ein sveifla tekur.
Finna tíðnina.
Skissa grafið.
ⓐ 𝑦=5sin(3𝑡)
ⓑ 𝑦=6cos(𝜋𝑡)
ⓒ 𝑦=5cos(𝜋2𝑡)
Lausn
ⓐ
𝑦 = 5 s i n ( 3 𝑡 ) y = 5 sin ( 3 t ) Mesta færslan er jöfn útslaginu | 𝑎 |, |
a | , sem er 5. Lotan
er 2 𝜋 𝜔 = 2 𝜋 3 . 2 π/ω
= 2 π/3 . Tíðnin er 𝜔 2 𝜋 = 3 2 𝜋 . ω/2 π = 3/2 π . Sjá mynd 12. Grafið sýnir
lykilpunktana fimm. Mynd 12
ⓑ
𝑦 = 6 c o s ( 𝜋 𝑡 ) y = 6 cos ( π t ) Mesta færslan er 6 .
Í raun sveiflast pendúll ekki fram og aftur að eilífu og hlutur á gormi skoppar ekki endalaust upp og niður. Að lokum hættir pendúllinn að sveiflast og hluturinn að skoppa og bæði færast aftur í jafnvægisstöðu. Lotubundin hreyfing þar sem orkutapandi kraftur, eða deyfingarstuðull, verkar kallast deyfð sveifluhreyfing. Núningur er yfirleitt deyfingarþátturinn.
Í eðlisfræði eru ýmsar formúlur notaðar til að taka tillit til deyfingarstuðulsins sem verkar á hlut á hreyfingu. Sumar þeirra byggjast á stærðfræðigreiningu og fela í sér afleiður. Hér notum við formúlur fyrir einföld líkön deyfðrar sveifluhreyfingar.
Dæmi 9
Líkangerð deyfðrar sveifluhreyfingar
Setjið fram jöfnur sem hæfa aðstæðunum tveimur og notið grafteikniforrit til að teikna gröf fallanna: Tvö massa-gormskerfi sýna deyfða sveifluhreyfingu með tíðnina lotur á sekúndu. Bæði hafa upphafsfærsluna 10 cm. Fyrra kerfið hefur deyfingarstuðulinn og það síðara deyfingarstuðulinn
Lausn
Þegar 𝑡 = 0 er færslan í hámarkinu 10 cm og því á kósínusfallið við. Kósínusfallið verður notað í báðum líkönum.
Tíðnin er gefin sem og er 0.5 lotur á sekúndu. Því er
Fyrra gormskerfið hefur deyfingarstuðulinn Samkvæmt almenna líkaninu fyrir deyfða sveifluhreyfingu fæst
Takið eftir ólíkum áhrifum deyfingarstuðulsins. Staðbundin hámarks- og lágmarksgildi fallsins með deyfingarstuðulinn minnka miklu hraðar en hjá fallinu með
Dæmi 10
Kósínusfall sem lýsir deyfðri sveifluhreyfingu fundið
Finnið og teiknið graf falls af gerðinni sem lýsir gefnum upplýsingum.
ⓐ 𝑎=20,𝑐=0.05,𝑝=4
ⓑ 𝑎=2,𝑐=1.5,𝑓=3
Lausn
Setjið gefnu gildin inn í líkanið. Rifjið upp að lotan er og tíðnin er
Sínusfall sem lýsir deyfðri sveifluhreyfingu fundið
Finnið og teiknið graf falls af gerðinni sem lýsir gefnum upplýsingum.
ⓐ 𝑎=7,𝑐=10,𝑝=𝜋6
ⓑ 𝑎=0.3,𝑐=0.2,𝑓=20
Lausn
Reiknið gildið á og setjið þekktu gildin inn í líkanið.
ⓐ Þar sem lotan er 2 𝜋 𝜔 2 π/ω , fæst 𝜋 6 = 2
𝜋 𝜔 𝜔 𝜋 = 6 ( 2 𝜋 ) 𝜔 = 1 2 . π/6 = 2 π/ω ω π = 6 ( 2 π ) ω = 12 Deyfingarstuðullinn er 10 og útslagið er 7. Líkanið er því 𝑦 = 7 𝑒 − 1 0 𝑡 s i n ( 1 2 𝑡 ) . y = 7 e − 10 t sin ( 12
t ) . Sjá mynd 19. Mynd 19
ⓑ Þar sem tíðnin er 𝜔 2 𝜋 ω/2 π , fæst 2 0 = 𝜔 2 𝜋 4 0
𝜋 = 𝜔 . 20 = ω/2 π 40 π = ω Deyfingarstuðullinn er 0 . 2 0.2 og útslagið er 0 . 3 . 0.3. Líkanið er 𝑦 = 0 . 3 𝑒 − 0 . 2 𝑡 s i n ( 4 0 𝜋 𝑡 ) . y = 0.3 e − 0.2 t sin ( 40 π
t ) . Sjá mynd 20. Mynd 20
Greining
Samanburður síðustu tveggja dæma sýnir hvernig við veljum milli sínus- og kósínusfalls til að lýsa sínuslaga skilyrðum. Kósínusfallið er í mestri færslu þegar 𝑡 = 0 en sínusfallið er í jafnvægisstöðu þegar Skoðum til dæmis jöfnuna úr sýnidæmi 10. Á grafinu sést að þegar 𝑡 = 0 er 𝑦 = 2 0, sem er upphafsútslagið. Staðfestið þetta með því að setja inn í kósínusjöfnuna:
Ef sínusfallið er notað fæst
Kósínus er því rétta fallið.
Dæmi 12
Sveiflum gorms lýst með líkani
Gormur sem er 10 tommur að náttúrulegri lengd er þjappað saman um 5 tommur og sleppt. Hann sveiflast einu sinni á hverjum 3 sekúndum og útslag hans minnkar um 30% á sekúndu. Finnið jöfnu sem lýsir stöðu gormsins sekúndum eftir að honum er sleppt.
Lausn
Útslagið byrjar í 5 tommum og minnkar 30% á sekúndu. Þar sem gormurinn er þjappaður saman í upphafi ritum við A sem neikvætt gildi. Útslagshluta fallsins má rita sem
Við ritum á forminu þannig:
Nú skulum við skoða lotuna. Gormurinn fer í gegnum stöður sínar á 3 sekúndna fresti. Það er lotan og við getum notað formúluna til að finna ómega.
Náttúrulega lengdin, 10 tommur, er miðlínan. Við notum kósínusfallið því gormurinn byrjar í mestri færslu. Þessi hluti jöfnunnar er
Að lokum setjum við föllin tvö saman. Líkanið fyrir stöðu gormsins eftir sekúndur er
Gildi deyfingarstuðulsins c fundið út frá gefnum skilyrðum
Gítarstrengur er plokkaður og sveiflast með deyfðri sveifluhreyfingu. Strengurinn er togaður 2 cm frá jafnvægisstöðu sinni. Eftir 3 sekúndur mælist færsla strengsins 1 cm. Finnið deyfingarstuðulinn.
Lausn
Færsluþátturinn táknar útslagið og ákvarðast af stuðlinum í líkani deyfðrar sveifluhreyfingar. Deyfingarstuðullinn kemur fyrir í liðnum Vitað er að eftir 3 sekúndur er staðbundna hámarkið helmingur upphafsgildis síns. Því höfum við jöfnuna
Notið algebru og veldareglur til að leysa fyrir
Notið síðan logareglurnar.
Deyfingarstuðullinn er
Afmarkandi ferlar í sveifluhreyfingu
Gröf sveifluhreyfinga geta legið innan afmarkandi ferla. Þegar fall hefur breytilegt útslag sem vex og minnkar mörgum sinnum innan einnar lotu getum við ákvarðað afmarkandi ferlana út frá hluta fallsins.
Dæmi 14
Sveiflandi kósínusferill teiknaður
Teiknið graf fallsins
Lausn
Grafið sem fallið myndar verður sýnt í tvennu lagi. Fyrra grafið sýnir nákvæmlega fallið (sjá mynd 22) og síðara grafið sýnir fallið ásamt afmarkandi falli (sjá mynd 23). Gröfin líta mjög ólíkt út.
Mynd 22Mynd 23
Greining
Ferlarnir og eru afmarkandi ferlar: þeir afmarka fallið að ofan og neðan og fylgja hæstu og lægstu punktum þess. Graf sveifluhreyfingarinnar liggur innan afmarkandi ferlanna. Þetta er dæmi um fall þar sem útslagið minnkar ekki aðeins með tíma heldur vex og minnkar mörgum sinnum innan hverrar lotu.
7.6 Verkefni úr hlutanum
Munnleg verkefni
1.
Útskýrið hvaða gerðum eðlisfræðilegra fyrirbæra er best lýst með sínuslaga föllum. Hvaða eiginleikar þurfa að vera fyrir hendi?
2.
Hvaða upplýsingar þarf til að setja fram hornafallalíkan fyrir daglegt hitastig? Nefnið dæmi um tvenns konar upplýsingasöfn sem myndu gera kleift að lýsa hitastiginu með jöfnu.
3.
Væri sínuslaga fall gott líkan ef við vildum lýsa uppsafnaðri úrkomu yfir heilt ár? Hvers vegna eða hvers vegna ekki?
4.
Útskýrið áhrif deyfingarstuðuls á gröf falla sem lýsa sveifluhreyfingu.
Algebruverkefni
Finnið í eftirfarandi verkefnum hugsanlega formúlu fyrir hornafallið sem gildataflan sýnir.
5.
𝑥 x
𝑦 y
0 0
− 4
3 3
− 1
6 6
2 2
9 9
− 1
1 2 12
− 4
1 5 15
− 1
1 8 18
2 2
6.
𝑥 x
𝑦 y
0 0
5 5
2 2
1 1
4 4
− 3
6 6
1 1
8 8
5 5
1 0 10
1 1
1 2 12
− 3
7.
𝑥 x
𝑦 y
0 0
2 2
𝜋 4 π/4
7 7
𝜋 2 π/2
2 2
3 𝜋 4 3 π/4
− 3
𝜋 π
2 2
5 𝜋 4 5 π/4
7 7
3 𝜋 2 3 π/2
2 2
8.
𝑥 x
𝑦 y
0 0
1 1
1 1
− 3
2 2
− 7
3 3
− 3
4 4
1 1
5 5
− 3
6 6
− 7
9.
𝑥 x
𝑦 y
0 0
− 2
1 1
4 4
2 2
1 0 10
3 3
4 4
4 4
− 2
5 5
4 4
6 6
1 0 10
10.
𝑥 x
𝑦 y
0 0
5 5
1 1
− 3
2 2
5 5
3 3
1 3 13
4 4
5 5
5 5
− 3
6 6
5 5
11.
𝑥 x
𝑦 y
− 3
− 1 − √ 2 − 1 − 2
− 2
− 1
− 1
1 − √ 2 1 − 2
0 0
0 0
1 1
√ 2 − 1
2 2
1 1
3 3
√ 2 + 1
12.
𝑥 x
𝑦 y
− 1
√ 3 − 2
0 0
0 0
1 1
2 − √ 3 2 − 3
2 2
√ 3 3
3 3
1 1
4 4
√ 3 3
5 5
2 + √ 3 2 + 3
Myndræn verkefni
Teiknið í eftirfarandi verkefnum graf gefna fallsins og finnið síðan hugsanlegt eðlisfræðilegt ferli sem jafnan gæti lýst.
13.
𝑓(𝑥)=−30cos(𝑥𝜋6)−20cos2(𝑥𝜋6)+80[0,12]
14.
á bilinu
15.
á bilinu
Tækniverkefni
Setjið í eftirfarandi verkefni fram fall sem lýsir hegðuninni og notið reiknivél til að finna umbeðnar niðurstöður.
16.
Meðalársúrkoma í borg er nú 20 tommur og sveiflast árstíðabundið um 5 tommur. Vegna ófyrirséðra aðstæðna virðist úrkoman minnka 15% á ári. Eftir hve mörg ár má búast við að úrkoman nái fyrst 0 tommum? Athugið að líkanið er ógilt þegar það spáir neikvæðri úrkomu, svo veljið fyrsta punktinn þar sem úrkoman fer undir 0.
Raunveruleg viðfangsefni
Setjið í eftirfarandi verkefnum fram sínuslaga fall út frá gefnum upplýsingum og leysið síðan jöfnuna fyrir umbeðin gildi.
17.
Lýsa má útihita yfir daginn með sínuslaga falli. Gerum ráð fyrir að hæsti hitinn, , 105 °F mælist klukkan 5PM og að meðalhiti dagsins sé Finnið hitastigið klukkan 9AM og námundið að næstu heilu gráðu.
18.
Lýsa má útihita yfir daginn með sínuslaga falli. Gerum ráð fyrir að hæsti hitinn, , 84 °F mælist klukkan 6PM og að meðalhiti dagsins sé Finnið hitastigið klukkan 7AM og námundið að næstu heilu gráðu.
19.
Lýsa má útihita yfir daginn með sínuslaga falli. Gerum ráð fyrir að hitastigið breytist milli og yfir daginn og að meðalhiti dagsins mælist fyrst klukkan 10 f.h. Hve mörgum klukkustundum eftir miðnætti nær hitastigið fyrst
20.
Lýsa má útihita yfir daginn með sínuslaga falli. Gerum ráð fyrir að hitastigið breytist milli og yfir daginn og að meðalhiti dagsins mælist fyrst klukkan 12 f.h. Hve mörgum klukkustundum eftir miðnætti nær hitastigið fyrst
21.
Parísarhjól er 20 metrar í þvermál og gengið er um borð af palli sem er 2 metra yfir jörðu. Staðan sem samsvarar klukkan sex á hjólinu er í sömu hæð og pallurinn. Hjólið lýkur 1 heilum snúningi á 6 mínútum. Hve stórum hluta ferðarinnar, í mínútum og sekúndum, er farþeginn hærra en 13 metra yfir jörðu?
22.
Parísarhjól er 45 metrar í þvermál og gengið er um borð af palli sem er 1 metra yfir jörðu. Staðan sem samsvarar klukkan sex á hjólinu er í sömu hæð og pallurinn. Hjólið lýkur 1 heilum snúningi á 10 mínútum. Hve margar mínútur ferðarinnar er farþeginn hærra en 27 metra yfir jörðu? Námundið að næstu sekúndu.
23.
Flatarmál hafíss umhverfis norðurpólinn sveiflast milli um 6 milljóna ferkílómetra þann 1. september og 14 milljóna ferkílómetra þann 1. mars. Gerið ráð fyrir sínuslaga sveiflu. Hvenær er hafísinn minni en 9 milljónir ferkílómetra? Gefið svarið sem dagabil og námundið að næsta degi.
24.
Flatarmál hafíss umhverfis suðurpólinn sveiflast milli um 18 milljóna ferkílómetra í september og 3 milljóna ferkílómetra í mars. Gerið ráð fyrir sínuslaga sveiflu. Hvenær er hafísinn meiri en 15 milljónir ferkílómetra? Gefið svarið sem dagabil og námundið að næsta degi.
25.
Á 90 daga monsúntímabili má lýsa daglegri úrkomu með sínuslaga föllum. Ef úrkoman sveiflast milli lágmarksins 2 tommu á degi 10 og 12 tomma á degi 55, á hvaða tímabili er dagleg úrkoma meiri en 10 tommur?
26.
Á 90 daga monsúntímabili má lýsa daglegri úrkomu með sínuslaga föllum. Lágmarkið 4 tomma úrkomu mældist á degi 30 og meðalúrkoma á dag var 8 tommur. Á hvaða tímabili var dagleg úrkoma minni en 5 tommur?
27.
Á tilteknu svæði nær mánaðarúrkoma hámarkinu 8 tommum þann 1. júní og lágmarkinu 1 tommu þann 1. desember. Finnið tímabil flóðaaðstæðna (meira en 7 tommur) og þurrkaaðstæðna (minna en 2 tommur) á svæðinu. Gefið svarið miðað við næsta dag.
28.
Á tilteknu svæði nær mánaðarúrkoma hámarkinu 24 tommum í september og lágmarkinu 4 tommum í mars. Finnið tímabil flóðaaðstæðna (meira en 22 tommur) og þurrkaaðstæðna (minna en 5 tommur) á svæðinu. Gefið svarið miðað við næsta dag.
Finnið í eftirfarandi verkefnum útslag, lotu og tíðni gefna fallsins.
29.
Færslu í sentímetrum hjá massa sem hangir í gormi er lýst með fallinu þar sem er mælt í sekúndum. Finnið útslag, lotu og tíðni færslunnar.
30.
Færslu í sentímetrum hjá massa sem hangir í gormi er lýst með fallinu þar sem er mælt í sekúndum. Finnið útslag, lotu og tíðni færslunnar.
31.
Færslu í sentímetrum hjá massa sem hangir í gormi er lýst með fallinu þar sem er mælt í sekúndum. Finnið útslag, lotu og tíðni færslunnar.
Setjið í eftirfarandi verkefnum fram jöfnu sem lýsir hegðuninni.
32.
Færslu í sentímetrum, hjá massa sem hangir í gormi er lýst með fallinu þar sem er mælt í sekúndum. Finnið útslag, lotu og tíðni færslunnar.
Setjið í eftirfarandi verkefnum fram jöfnu sem lýsir hegðuninni.
33.
Dádýrastofn sveiflast um 19 yfir og undir meðaltali yfir árið og nær lágmarki í janúar. Meðalstofninn er í upphafi 800 dádýr og fjölgar um 160 á ári. Finnið fall sem lýsir stofninum 𝑃 sem falli af fjölda mánaða frá janúar,
34.
Kanínustofn sveiflast um 15 yfir og undir meðaltali yfir árið og nær lágmarki í janúar. Meðalstofninn er í upphafi 650 kanínur og fjölgar um 110 á ári. Finnið fall sem lýsir stofninum 𝑃 sem falli af fjölda mánaða frá janúar,
35.
Bísamrottustofn sveiflast um 33 yfir og undir meðaltali yfir árið og nær lágmarki í janúar. Meðalstofninn er í upphafi 900 bísamrottur og fjölgar um 7% á mánuði. Finnið fall sem lýsir stofninum 𝑃 sem falli af fjölda mánaða frá janúar,
36.
Fiskistofn sveiflast um 40 yfir og undir meðaltali yfir árið og nær lágmarki í janúar. Meðalstofninn er í upphafi 800 fiskar og fjölgar um 4% á mánuði. Finnið fall sem lýsir stofninum 𝑃 sem falli af fjölda mánaða frá janúar,
37.
Gormur sem festur er í loft er dreginn 10 cm niður frá jafnvægisstöðu og sleppt. Útslagið minnkar 15% á sekúndu. Gormurinn sveiflast 18 sinnum á sekúndu. Finnið fall sem lýsir fjarlægð 𝐷 enda gormsins frá jafnvægisstöðu sem falli af sekúndunum 𝑡 frá því gorminum var sleppt.
38.
Gormur sem festur er í loft er dreginn 7 cm niður frá jafnvægisstöðu og sleppt. Útslagið minnkar 11% á sekúndu. Gormurinn sveiflast 20 sinnum á sekúndu. Finnið fall sem lýsir fjarlægð 𝐷 enda gormsins frá jafnvægisstöðu sem falli af sekúndunum 𝑡 frá því gorminum var sleppt.
39.
Gormur sem festur er í loft er dreginn 17 cm niður frá jafnvægisstöðu og sleppt. Eftir 3 sekúndur hefur útslagið minnkað í 13 cm. Gormurinn sveiflast 14 sinnum á sekúndu. Finnið fall sem lýsir fjarlægð 𝐷 enda gormsins frá jafnvægisstöðu sem falli af sekúndunum 𝑡 frá því gorminum var sleppt.
40.
Gormur sem festur er í loft er dreginn 19 cm niður frá jafnvægisstöðu og sleppt. Eftir 4 sekúndur hefur útslagið minnkað í 14 cm. Gormurinn sveiflast 13 sinnum á sekúndu. Finnið fall sem lýsir fjarlægð 𝐷 enda gormsins frá jafnvægisstöðu sem falli af sekúndunum 𝑡 frá því gorminum var sleppt.
Setjið í eftirfarandi verkefnum fram fall sem lýsir hegðuninni. Reiknið síðan umbeðna niðurstöðu með reiknivél.
41.
Í tilteknu vatni er silungsstofninn nú að meðaltali 20,000. Stofninn sveiflast náttúrulega um 2,000 yfir og undir meðaltalinu ár hvert. Vatnið var opnað fyrir veiðum á þessu ári. Ef veiðimenn veiða 3,000 fiska á ári, hve langur tími líður þar til enginn silungur er eftir í vatninu?
42.
Stofn hvítfisks í vatni er nú 500. Stofninn sveiflast náttúrulega um 25 yfir og undir meðaltalinu ár hvert. Ef ofveiði manna nemur 4% af stofninum á ári, eftir hve mörg ár verða í fyrsta sinn færri en 200 hvítfiskar í vatninu?
43.
Gormur sem festur er í loft er dreginn 11 cm niður frá jafnvægisstöðu og sleppt. Eftir 2 sekúndur hefur útslagið minnkað í 6 cm. Gormurinn sveiflast 8 sinnum á sekúndu. Finnið hvenær gormurinn fer fyrst að haldast milli og og telst þá í raun kyrrstæður.
44.
Gormur sem festur er í loft er dreginn 21 cm niður frá jafnvægisstöðu og sleppt. Eftir 6 sekúndur hefur útslagið minnkað í 4 cm. Gormurinn sveiflast 20 sinnum á sekúndu. Finnið hvenær gormurinn fer fyrst að haldast milli og og telst þá í raun kyrrstæður.
45.
Tveir gormar eru dregnir niður úr lofti og þeim sleppt samtímis. Fyrri gormurinn, sem sveiflast 8 sinnum á sekúndu, var í upphafi dreginn 32 cm niður frá jafnvægisstöðu og útslag hans minnkar 50% á sekúndu. Síðari gormurinn sveiflast 18 sinnum á sekúndu, var í upphafi dreginn 15 cm niður frá jafnvægisstöðu og hefur eftir 4 sekúndur útslagið 2 cm. Hvor gormurinn stöðvast fyrr og hvenær? Lítið svo á að gormur sé kyrrstæður þegar útslagið er minna en
46.
Tveir gormar eru dregnir niður úr lofti og þeim sleppt samtímis. Fyrri gormurinn, sem sveiflast 14 sinnum á sekúndu, var í upphafi dreginn 2 cm niður frá jafnvægisstöðu og útslag hans minnkar 8% á sekúndu. Síðari gormurinn sveiflast 22 sinnum á sekúndu, var í upphafi dreginn 10 cm niður frá jafnvægisstöðu og hefur eftir 3 sekúndur útslagið 2 cm. Hvor gormurinn stöðvast fyrr og hvenær? Lítið svo á að gormur sé kyrrstæður þegar útslagið er minna en
Viðbótarverkefni
47.
Flugvél flýgur í 1 klukkustund á 150 mílna hraða á klukkustund í stefnu austan við norður og heldur síðan áfram í 1.5 klukkustundir á 120 mílna hraða á klukkustund, nú í stefnu austan við norður. Finnið heildarfjarlægðina frá upphafspunktinum og beina hornið norðan við austur.
48.
Flugvél flýgur í 2 klukkustundir á 200 mílna hraða á klukkustund í stefnuna og heldur síðan áfram í 1.5 klukkustundir á sama hraða, nú í stefnuna Finnið fjarlægðina frá upphafspunktinum og stefnuhornið þaðan. Vísbending: Stefnuhorn er mælt rangsælis frá norðri.
Finnið í eftirfarandi verkefnum fall af gerðinni sem hæfir gefnum gögnum.
49.
𝑥 x
0
1
2
3
𝑦 y
6
29
96
379
50.
𝑥 x
0
1
2
3
𝑦 y
6
34
150
746
51.
𝑥 x
0
1
2
3
𝑦 y
4
0
16
-40
Finnið í eftirfarandi verkefnum fall af gerðinni sem hæfir gefnum gögnum.
